TÉCNICAS DE DESCOMPOSICIÓN EN PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
Dr. Víctor M. Albornoz S. Departamento de Industrias. Campus Santiago Vitacura, Chile.
Universidad Técnica Federico Santa María
Instituto de Computación, Facultad de Ingeniería, UdelaR. Montevideo, lunes 14 al viernes 18 de Octubre de 2019
La Investigación de Operaciones es una disciplina que aplica métodos analíticos avanzados para contribuir a la toma de buenas decisiones.
Frente a un problema de naturaleza real esta disciplina contempla numerosas metodologías para generar decisiones admisibles, encontrar la mejor solución a un problema o simplemente evaluar posibles conjuntos de soluciones.
Entre las metodologías destacan los modelos de optimización, los cuales son frecuentemente empleados en problemas de:
- manejo de inventarios, - revenue management,
- planificación y programación de la producción, - localización óptima de instalaciones,
- problemas de expansión de capacidad, - cadenas de abastecimiento,
Los modelos de optimización son muy variados dada la naturaleza del problema y las decisiones: □ optimización continua o discreta
□ optimización restringida o sin restricciones □ optimización determinista o estocástica
□ optimización diferenciable o no-diferenciable □ uno o múltiples objetivos.
Existen numerosos programas computacionales para resolver modelos de los diversos tipos señalados.
Sin embargo, en numerosas situaciones estos pueden ser insuficientes ante problemas complejos.
Destacan los lenguajes de modelado algebraico que permite emplear una notación común para la representación de modelos y una sintaxis simple en el desarrollo de algoritmos.
En ellos resulta fácil leer datos, comunicarse con un solver determinado, examinar y exportar la solución de un problema y programar algoritmos.
Programas de modelado algebraico incluyen a: AIMMS AMPL, www.ampl.com GAMS LINGO MPL OPL Studio PLAM JuMP
HIPÓTESIS DEL CURSO.
□ Los Métodos de Descomposición proveen una técnica numérica de optimización que ha resultado apropiada ante problemas complejos.
OBJETIVO DEL CURSO.
□ Introducir y formar en el empleo de técnicas algorítmicas de descomposición para la resolución de problemas de programación matemática de alta complejidad y gran escala.
CONTENIDOS
1. Introducción.
2. Formulación y resolución de modelos en AMPL.
3. Método de Benders.
4. Generación de Columnas.
5. Método de Dantzig & Wolfe.
1.- Introducción
Existe una amplia variedad de problemas en diversas disciplinas que dan origen a modelos de optimización estructurados de gran tamaño, donde, por ejemplo, se combinan restricciones simples con otras más complejas.
Un Método de Descomposición es una técnica numérica de optimización que resulta muy apropiada ante problemas de esta naturaleza.
En efecto, hay problemas con restricciones lineales (Ax=b), cuya matriz resulta ser una matriz con muchísimas más columnas que ecuaciones o poco densa, con un claro patrón de sus elementos no-nulos.
Por ejemplo, A podría ser una matriz bloque angular:
tener una estructura dual bloque angular:
Un modelo lineal de Optimización Estocástica con recurso de dos-etapas (en el caso finito) corresponde por ejemplo a:
Min cx + p1q1y1 + p2q2y2 + ∙∙∙ + pSqSyS s.a. Ax = b T1x + Wy1 = h1 T2x + Wy2 = h2 ∙∙∙ TSx + WyS = hS x≥0, y1≥0, y2≥0, … , yS≥0.
Existen problemas de optimización de gran tamaño altamente estructurados que contribuyen en la toma de decisiones.
Los trabajos seminales en la literatura de métodos de descomposición que explotan este tipo de estructuras surgieron hace ya sesenta años atrás:
Dantzig & Wolfe Decomposition (1960).
Column Generation (Gilmore and Gomory, 1961) Benders Decomposition (1962).
En Albornoz et al. (2004) se abordó un problema de expansión de capacidad de un sistema de potencia eléctrica térmico, que ante incertidumbre en la disponibilidad de las unidades de generación existentes se resolvió mediante el Método de Descomposición de Benders.
Pérez Canto (2008) formula y resuelve un problema de operación y mantenimiento de unidades de generación en un sistema de potencia eléctrica empleando igualmente el Método de Benders.
Ahumada et al. (2012) aplicaron el Método de Benders para la búsqueda de un plan óptimo de cultivo y distribución de productos frescos ante rendimientos y demandas bajo incertidumbre.
En Bagger et al. (2018) se resuelve la programación de horarios de asignaturas mediante el Método de Descomposición de Benders.
En Albornoz y Canales (2006), se usó un Método de Descomposición Lagrangeana para resolver un modelo no-lineal de optimización estocástica con recurso de dos-etapas que provee una cuota total de captura de un recurso pesquero particular regulado por el Estado.
En Escudero et al. (2017), se propone un Método de Descomposición Lagrangeana para resolver modelos con recurso de múltiples-etapas y decisiones aversas al riesgo basado en un esquema de cluster de escenarios.
Reinertsen y Vossen (2010) abordaron una extensión del problema de corte de piezas, problema clásico en este contexto, incluyendo ahora fechas de entrega y lo resolvieron empleando también el Método de Generación de Columnas.
Kramer et al. (2012) emplearon el Método de Generación de Columnas para optimizar el consumo energético de servidores en una plataforma de cloud computing.
Costa et al. (2014) aplicaron el método de Generación de Columnas para hallar rotaciones óptimas de cultivo de modo de satisfacer demandas por diferentes productos agrícolas.
En Albornoz y Ñanco (2016) se abordó un problema de partición en zonas homogéneas de un terreno agrícola, basado en información geo-referenciada de propiedades del suelo, mediante un Método de Generación de Columnas ante la gran cantidad de variables del modelo.
En Choi et al (2018) se resolvió un problema de asignación de vehículos a una red compleja de transporte conocida como hybrid hub-and-spoke network mediante el Método de Generación de Columnas.
Existen numerosos problemas de gran tamaño altamente estructurados que contribuyen a la toma de buenas decisiones y cuya resolución plantea desafíos algorítmicos por su complejidad.
La presencia de tal estructura puede y (debe) ser empleada en métodos eficientes para la resolución de tales tipos de problema (ante instancias de gran tamaño).
Para abordar computacionalmente un problema complejo mediante el uso de un Método de Descomposición la idea básica consiste en:
descomponer o simplificar la resolución del problema original resolviendo separadamente un Problema Maestro (Reducido) y un Subproblema, este último usualmente con un subconjunto de las restricciones originales que poseen una estructura especial.
Para llevar a cabo esta idea en un contexto algorítmico, la estrategia consiste en enviar información tales como precios sombra y soluciones factibles entre el Problema Maestro (Reducido) y el Subproblema hasta alcanzar la solución óptima o una aproximación a la misma en un número finito de iteraciones.
En Albornoz et al. (2004) se considera el Método de Descomposición de Benders donde:
Problema Maestro: plan de inversiones sobre todo
el horizonte de planificación de largo plazo.
Subproblemas: operación óptima del sistema en cada mes y escenario de disponibilidad de unidades.
Ahumada et al. (2012) aplicaron el Método de Benders, donde:
Problema Maestro. Encuentra un plan óptimo de cultivos de productos frescos.
Subproblemas. maximiza los ingresos esperados ante la realización de posibles escenarios de los parámetros inciertos (rendimientos y demandas futuras).
En Bagger et al. (2018):
Problema Maestro: asignación de cursos a
horarios.
En Albornoz y Canales (2006) y Escudero et al.(2017):
Problema Maestro: coordinación de las restricciones de no-anticipatividad.
Subproblema(s): problema para cada escenario de
Costa et al. (2014) aplicaron Generación de Columnas, donde:
Problema Maestro. Encuentra un plan óptimo de rotación de cultivos que permita satisfacer demandas sobre un conjunto de tierras de cultivo. Subproblema. Provee una nueva potencial rotación de cultivo para un terreno.
En Albornoz y Ñanco (2016) se considera el Método de Generación de Columnas donde:
Problema Maestro: Partición óptima del terreno para un conjunto dado (generado) de potenciales zonas de manejo agrícola.
Subproblema: determina una nueva potencial
En Choi et al. (2018) se considera un:
Problema Maestro: reformulación del problema en
término de (todas) las rutas posibles para los distintos vehículos empleados.
CONTENIDOS
1. Introducción.
2. Formulación y resolución de modelos en AMPL.
3. Método de Benders.
4. Generación de Columnas.
5. Método de Dantzig & Wolfe.
2.- Formulación y resolución de modelos en AMPL
La Optimización se relaciona comúnmente con problemas de minimizar o maximizar una función (objetivo) de una o varias variables, cuyos valores usualmente están restringidos por ecuaciones y/o inecuaciones.
Existen numerosos programas computacionales para resolver modelos de optimización en las diferentes categorías.
Lo anterior incluye software basado bibliotecas de subrutinas y en el uso de planillas electrónicas para la representación y carga del respectivo modelo.
También están los lenguajes de modelado algebraico, que existen desde fines de los años 70, creados pensando inicialmente en problemas de programación lineal.
El desarrollo de los más conocidos: GAMS y AMPL se inició en 1978 y 1985, respectivamente.
Otros lenguajes de modelado algebraico: AIMMS LINDO/LINGO MPL OPL Studio PLAM JuMP (open-source)
Lectura recomendada Fourer (2012)
Descarga versión estudiantil de AMPL en:
http://ampl.com/try-ampl/download-a-free-demo/
AMPL
Manual
Los modelos en AMPL permiten representar las en variables, restricciones y función objetivo expresados con la ayuda de conjuntos y parámetros, todos en términos algebraicos.
Toda la información contempla diferentes archivos con las extensiones: .mod (para el modelo), .dat (para los datos del modelo) y .run (para la ejecución del modelo).
En lo concerniente a la representación del modelo, el archivo .mod, presenta una estructura con los siguientes elementos:
Conjuntos (set),
Parámetros (param),
Variables de decisión (var),
Función objetivo (minimize o maximize) y Restricciones (subject to)
Ejemplo Introductorio. Resolveremos el siguiente problema, que corresponde a una instancia de un problema de producción con múltiples productos, asociado a los archivos STEEL.MOD y STEEL.DAT:
Max ∑iP profiti Xi s.a.
∑iP (1/ri)Xi ≤ rm Xi≥0 iP
Problemas de Planificación de la Producción. Las firmas planifican el conjunto de sus actividades en distintos niveles de decisión.
En particular, a nivel táctico, sobre un horizonte de planificación mediano plazo, se busca asegurar que los recursos sean obtenidos eficazmente y también empleados eficientemente de acuerdo a los objetivos de la firma.
Un modelo con diferentes periodos de planificación y múltiples productos considera
Parámetros
pit = precio de venta del producto i en el mes t
cit = costo de producción del producto i en mes t hit = costo de inventario del producto i en mes t
dit = demanda máxima del producto i para el mes t
ri = unidades elaboración por hora de una unidad de i
rmt = máximo de horas en tpo normal en mes t Ii0 = inventario inicial
Variables de decisión.
Xit = unidades elaboradas de producto i en mes t Iit = nivel de inventario de producto i al término
del mes t
Max ∑t ∑i pitSit - citXit - hitIit
s.a.
Xit + Ii(t-1) = Sit + Iit iP; t=1,…,T (Iio inv. inicial) ∑i (1/ri)Xit ≤ rmt t=1,…,T
Sit ≤ dit iP; t=1,…,T
Si presenta a continuación el modelo que describe un problema de producción como el del descrito,
asociado a los archivos STEELT.MOD y
Problema de Transporte.
Un problema muy interesante en la logística de las operaciones consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos.
Variables de decisión.
Ti,j: unidades transportadas desde el origen i al destino j
Modelo
Min ∑i ∑j ci,j Ti,j
s.a.
∑j Ti,j ≤ ofertai para todo origen i=1,…,m
∑i Ti,j = ddaj para todo destino j=1,…,n
Si discute a continuación el modelo correspondiente a un problema de producción como el del ejemplo asociado a los archivos
Problema de producción y transporte.
El problema considera decisiones de producción en cada origen y el respectivo transporte a cada destino para múltiples productos y corresponde a:
Min ∑i∑pP fi,p Xi,p + ∑i ∑j∑pP ci,j,p Ti,j,p
s.a.
∑pP (1/rp)Xi,p ≤ rmi i=1,…,m
∑j Ti,j,p ≤ Xi,p i=1,…,m; pP
∑i Ti,j,p = ddaj,p j=1,…,n; pP
Si discute a continuación la carga en AMPL de un modelo para el problema de producción y transporte, de acuerdo al ejemplo asociado a los archivos STEELP.MOD y STEELP.DAT.
NEOS server for optimization
http://www.neos-server.org/neos/
E. D. Dolan, R. Fourer, J. J. Moré, and T.S. Munson.
Optimization on the NEOS Server. SIAM News, Volume
