LÍMITES Y CONTINUIDAD

Contenido

3. LÍMITES Y CONTINUIDAD ... 3

3.1. Introducción... 3

3.2. Límites de los valores de una función ... 3

3.3. Concepto de infinitésimo. ... 5

3.3.1. Reglas de cálculo con infinitésimos y propiedades. ... 5

3.3.2. Sucesiones. Concepto de límite de una sucesión infinitesimal. ... 6

3.3.3. Sucesiones. Teoremas, el número e. ... 6

3.3.4. Limite finito... 6

3.4. Teoremas de Límites ... 6

3.5. Cálculo de límites ... 6

3.5.1. Clasificación de límites ... 7

3.6. Límites inmediatos ... 7

3.8. Límites algebraicos de la forma 0/0 ... 8

3.8.1. Límites con radicales ... 12

3.9. Indeterminaciones de la forma ∞ ∞ ... 17

3.10. Indeterminaciones de la forma ∞ − ∞... 19

3.11. Exponenciales y logarítmicos ... 20

3.12. Límites Trigonométricos ... 26

3.13. Teorema de Bolzano – Weierstrass. ... 31

3.14. Límites laterales y continuidad ... 31

3.15. Límites de funciones Especiales ... 35

3.16. Límites laterales ... 35

3.16.1. Límites por derecha ... 35

3.16.2. Límites por izquierda ... 35

3.17. Continuidad ... 40

3.17.1. Discontinuidad de primera clase y segunda clase. ... 41

3.18. Aplicaciones del límite ... 41

3.18.1. Asíntotas ... 41

3.19. Ejercicios ... 44

CÁLCULO I 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Objetivo.- Que el alumno conozca el concepto de Límite, comprenda la importancia que tiene este

concepto en el Cálculo y adquiera habilidad en el cálculo de los Límites más comunes.

Definición.- Suponiendo que 𝑓(𝑥) está definida cuando “x” está cerca del número “a”. (Esto

significa que 𝑓(𝑥) está definida en algún intervalo abierto que contiene a “a”, excepto posiblemente en “a” misma.) Entonces se escribe

lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿

Y se dice que “el límite de 𝑓(𝑥), cuando “x” tiende a “a”, es igual a “L” si se puede hacer que los valores de 𝑓(𝑥) estén arbitrariamente cercanos a “L” (tan cercanos a “L” como queramos), tomando valores de “x” suficientemente cerca de “a” (por ambos lados de “a”), pero no iguales a “a”.

3.1. Introducción

La noción de límite es uno de los conceptos más básicos, poderosos y de gran alcance en toda la matemática. El concepto de límite es la primera piedra de cálculo y, como tal, es la base de todo su desarrollo, la diferenciación e integración, que comprenden el núcleo de estudio en el cálculo son las dos consecuencias del límite.

Es extremadamente importante obtener una buena comprensión de la noción de límite de una función si se tiene el deseo de comprender plenamente el cálculo.

El álgebra es un campo matemático estático, que no puede ser utilizado para analizar la dinámica de un objeto en movimiento, por ejemplo. Las matemáticas de cálculo tienen la capacidad incorporada de hacer este análisis. El concepto principal que permite hacer la transición de álgebra (estática) para el cálculo (dinámico) es el límite de una función.

El desarrollo del cálculo en el siglo XVII por Newton y Leibniz proporciona a los científicos su primera comprensión real de lo que se entiende por una "tasa de cambio instantánea", tales como la velocidad y la aceleración. Es el concepto de "límite", una idea que es tan importante que todos los demás conceptos de cálculo se basan ahora en él.

El concepto de límite es fundamental para determinar la velocidad de un objeto en movimiento y la tangente a una curva. Algunas funciones varían continuamente, cambios pequeños en “𝑥” producen sólo cambios pequeños en 𝑓(𝑥). Otras funciones pueden tener valores que “saltan”, varían erráticamente, o tienden a aumentar o disminuir sin cota. La noción de límite brinda una forma precisa de distinguir entre dichos comportamientos.

3.2. Límites de los valores de una función

Con frecuencia, cuando se estudia una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), se está interesado en el comportamiento de la función cerca de un punto particular “𝑥”, por ejemplo, éste podría ser el caso si “𝑥” es un número irracional, como 𝜋 o √2 , cuyos valores sólo pueden aproximarse mediante números racionales “cercanos” en los que en realidad evaluamos la función. Otra situación ocurre cuando tratamos de evaluar una función en 𝑥.

El Límite de una Función Real de Variable Real se escribe

)

(x

f

y =

y



+

a



−

a

a



−

L



+

L

L

x

como:

lim

𝑥 →𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿 (3.1)

Se lee como: el Límite de la Función 𝑓(𝑥) cuando “x” tiende hacia “a”, es igual a “L” La definición de límite es:

lim

𝑥 →𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑆𝑖: ∀ 𝜀 > 0: ∃ 𝛿 > 0

Tal que: |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀: siempre que 0 < |𝑥 – 𝑎| < 𝛿

Todo el anterior simbolismo expresa: Si el Límite de 𝑓(𝑥) es igual a “L”; para verificarlo se debe tener un intervalo (Preferentemente pequeño), de manera que se cumpla la desigualdad de: |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀; esto necesariamente debe tener por consecuencia la existencia de otro intervalo, que a su vez cumplirá con la desigualdad: |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.

Se dice que la función 𝑓(𝑥) tiene límite finito “L” en el punto 𝑥 = 𝑎 (o cuando “x” tiende a “a”) si para cualquier distancia elegida ε > 0, es posible encontrar una distancia δ > 0 tal que si “x” se encuentra a una distancia de “a” menor que “δ” y mayor que “0”, entonces su imagen 𝑓(𝑥) se encontrará a una distancia de “”L menor que “ε”.

Para la interpretación gráfica, se desarrollan las Desigualdades en Valor Absoluto, de manera que se aprecie los intervalos que determinan:

|𝑓(𝑥)– 𝐿| < 𝜀 |𝑥 – 𝑎| < 𝛿

−𝜀 < 𝑓(𝑥)– 𝐿 < 𝜀 − 𝛿 < 𝑥 – 𝑎 < 𝛿

𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥)– 𝐿 < 𝐿 + 𝜀 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 – 𝑎 < 𝑎 + 𝛿

Ejemplo 3.1.

Usando la definición de límite de una función, probar que: lim

𝑥→5(9 − 3𝑥) = −6 |𝑥 – 5| < 𝛿 (1) |𝑓(𝑥)– 𝐿| < 𝜀 → |9 − 3𝑥 + 6| < 𝜀 → |15 − 3𝑥| < 𝜀 → ⌈−3⌉|𝑥 − 5| < 𝜀 |𝑥 − 5| <𝜀 3 (2) Igualando (1) y (2) 𝛿 =𝜀 3

En particular, si se escoge un 𝜀 = 0,01, en este ejemplo, entonces 𝛿 = 0,003̅.

Ejemplo 3.2.

Usando la definición de límite de una función, probar que: lim

𝑥→1( 2𝑥2−𝑥−1 𝑥−1 ) = 3 |𝑥 – 1| < 𝛿 (1) |𝑓(𝑥)– 𝐿| < 𝜀 → |2𝑥2_𝑥−1−𝑥−1− 3| < 𝜀 → |2𝑥2−𝑥−1−3𝑥+3 𝑥−1 | < 𝜀 Con 𝑥 − 1 ≠ 0 |2𝑥2−4𝑥+2 𝑥−1 | < 𝜀 → 2 | 𝑥2_−2𝑥+1 𝑥−1 | < 𝜀 → 2 | (𝑥−1)2 𝑥−1 | < 𝜀 → |𝑥 − 1| < 𝜀 2 (2) Igualando (1) y (2) 𝛿 =𝜀 2

3.3. Concepto de infinitésimo.

Se llama infinitésimo a toda función cuyo límite en un punto dado es cero. Ello quiere decir que, al aproximarse al punto, la función tiende a anularse. El concepto de infinitésimo, entendido intuitivamente como algo infinitamente pequeño, tiene gran importancia en el campo del análisis matemático.

Ejemplos: Sen x, es un infinitésimo para 𝑥 = 0 ; 𝜋 ; 2 𝜋. Cos x, es un infinitésimo para 𝑥 = 1/2 𝜋, 𝑥3 _{es infinitésimo para 𝑥 = 0,}

(2𝑥 − 1)3 _{es infinitésimo cuando 𝑥 = 1/2}

Observaciones: no hay número infinitésimo, sino funciones infinitésimas en un punto. No se puede decir que un número sea pequeño o grande si no se toma algún punto de referencia. Un milímetro es una longitud pequeña para las mediciones habituales, pero muy grande para la escala atómica.

Las funciones no son infinitésimos en general, sino en ciertos puntos de “x”. Ejemplo: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es infinitésimo para 𝑥 = 𝑘 𝜋 ( 𝑘 = 0 ; ±1 ; ± 2; … ) pero no lo es para ningún otro valor de “x”.

3.3.1. Reglas de cálculo con infinitésimos y propiedades.

1) La suma de varios infinitésimos en un mismo punto 𝑥 = 𝑎 es otro infinitésimo en el punto “a”. En efecto, si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son infinitésimos para 𝑥 = 𝑎, ello significa que se puede hacer |𝑓(𝑥)| < 𝜀, |𝑔(𝑥)| < 𝜀, para los valores “x” suficientemente próximos a “a”. Entonces es:

|𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)| < |𝑓(𝑥)| + |𝑔(𝑥)| < 𝜀 + 𝜀 = 2𝜀

Y puesto que 𝜀 es tan pequeño como se quiera, queda demostrado que también 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) puede hacerse, en valor absoluto, tan pequeño como se quiera, o, lo que es lo mismo, esta suma también es infinitésima para 𝑥 = 𝑎.

2) El producto de 2 infinitésimo es un infinitésimo.

|𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)| < |𝑓(𝑥)| ∙ |𝑔(𝑥)| < 𝜀 ∙ 𝜀 = 𝜀2

Es decir, el producto de dos funciones, infinitésimos e n un punto, puede hacerse, en el entorno de ese punto, tan pequeño como se quiera.

3) El producto de un infinitésimo por una constante “K” cualquiera es un infinitésimo. Pues |𝐾 𝑓(𝑥)| < |𝐾| ∙ |𝑓(𝑥)| < |𝐾| ∙ 𝜀

Esta última expresión puede hacerse tan pequeña como se quiera en el entorno del punto considerado con tal de tomar 𝜀 suficientemente pequeño.

4) Cociente de infinitésimos. Ordenes Infinitesimales. A diferencia de lo que ocurre con las operaciones anteriores entre infinitésimos, en el caso del cociente pueden darse 3 situaciones:

a) El cociente 𝑥5

𝑥2 de los infinitésimos x

5_{, x}2_{, para 𝑥 = 0, es igual a x}3_{, que también es un}

infinitésimo en el origen. Como este cociente tiende a 0, se dice que el numerador (𝑓(𝑥)) es un infinitésimo de orden superior respecto del denominador (𝑔(𝑥)). Se escribe 𝑓 = 0(𝑔).

b) El cociente 𝑥2

𝑥5 es igual a

1

𝑥3, expresión que se hace tan grande como se quiera si se toma

“x” suficientemente próximo al origen. En este caso el numerador (𝑓(𝑥)) es un infinitésimo de orden inferior respecto de 𝑔(𝑥). se escribe 𝑔 = 0(𝑓).

c) El cociente 𝑥2

2𝑥2 de los infinitésimos x

2 _{y 2x}2 _{en el origen, es igual al número fijo 1/2. Si el}

cociente tiende a un valor constante K, se dice que los infinitésimos son del mismo orden. Se escribe 𝑓~𝐾𝑔.

3.3.2. Sucesiones. Concepto de límite de una sucesión infinitesimal.

Definición: Se define como sucesión de números reales a una función con dominio en el conjunto de los números naturales y codominio en el conjunto de los números reales, es decir:

𝑓: 𝑁 → 𝑅 𝑛 → 𝑓(𝑛)

3.3.3. Sucesiones. Teoremas, el número e.

Se llama número “e” al límite de la variable (1 + 1/𝑛) cuando “n” tiende a infinito. lim

𝑛→∞(1 +

1 𝑛)

𝑛

El valor del número es: 2,7182818284… 3.3.4. Limite finito.

3.4. Teoremas de Límites

Sea 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) funciones y “𝑘” es un número real 𝑘 ∈ ℝ. Si lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥), y lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) existen y son finitos.

Entonces: a) lim 𝑥→𝑎𝑘 = 𝑘 b) lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) c) lim 𝑥→𝑎[ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)] = 𝑘 ⋅ lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) d) lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ⋅ lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) e) lim 𝑥→𝑎 [ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥) , 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0 f) lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥)] 𝑛_{= [lim} 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)] 𝑛 , 𝑆𝑖: lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) > 0 g) lim

𝑥→𝑎(log𝐴𝑓(𝑥)) = log𝐴lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

3.5. Cálculo de límites

En la práctica para calcular límites es suficiente reemplazar en la función la variable por el valor que toma en el límite. En el caso de tener una indeterminación, es decir una operación no conocida, se debe resolver la misma.

Las operaciones conocidas para 𝑎 > 0 son:

A) 0 ± 0 = 0 B) 𝑎 ± 0 = 𝑎 C) ∞ ± 𝑎 = ∞ D) ∞ ± 0 = ∞ E) 0 ∗ 0 = 0 F) 𝑎 ∗ 0 = 0 G) ∞ ∗ 𝑎 = ∞ H) ∞ ∗ ∞ = ∞ I) 0 𝑎= 0 J) 𝑎 0= ∞ K) ∞ 0 = ∞ L) 𝑎 ∞= 0

M) ∞ 𝑎 = ∞ N) 0 ∞= 0 O) 0 𝑎_{= 0 P) 𝑎}0_{= 1} Q) 0∞_{= 0 R) 𝑎}∞_{= {}0 𝑆𝑖 𝑎 < 1 ∞ 𝑆𝑖 𝑎 > 1 S) ∞𝑎= ∞ T) ∞∞= ∞ U) ∞ + ∞ = ∞

Resolver una indeterminación (o un límite indeterminado), significa llegar a una decisión acerca del límite indeterminado, es decir, poder afirmar si es finito (cuánto vale), es infinito o no existe. Recordando, dada su importancia, las diferentes indeterminaciones:

∞ ∞ ∞ − ∞ 0 0 0 ∙ ∞ 0 0 _∞0 ₁∞ 3.5.1. Clasificación de límites

Los límites se pueden clasificar en: ➢ Límites inmediatos ➢ Límites algebraicos: o De la forma 0 0. o De la forma ∞ ∞. o De la forma ∞ − ∞.

➢ Límites exponenciales y logarítmicos. ➢ Límites trigonométricos.

3.6. Límites inmediatos

Se resuelven reemplazando el valor de la variable en la función cuyo límite se está calculando.

1) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 64 √𝑥 3 ₊₃ √𝑥−1 * I/2016 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 64 √64 3 ₊₃ √64−1= 4+3 √8−1→ 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → 𝟔𝟒 √𝟔𝟒 𝟑 _+𝟑 √𝟔𝟒−𝟏 = 𝟏 2) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0[𝑥 3 𝑥⁄ _{+ (1/𝑥)}7 𝑥⁄ _{] * I/2016} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0[0 3 0⁄ _{+ (1/𝑥)}7 0⁄ _{] = 0}0_{+ ∞}∞_{= 0 + ∞ → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎} 𝒙 → 𝟎[𝒙 𝟑 𝒙⁄ _{+ (𝟏/𝒙)}𝟕 𝒙⁄ _{] = ∞} 3) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[( 4 3) 𝑥 − (3 34) 𝑥 ] * I/2016 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[( 4 3) ∞ − (3 34) ∞ ] = ∞ − 0 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞[( 𝟒 𝟑) 𝒙 − (𝟑 𝟑𝟒) 𝒙 ] = ∞ 4) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[𝑥 9_{∙ 9}𝑥_{+ 𝑥}𝑥𝑥_{+ 𝑙𝑛 𝑥 + 1000] I/2016} 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[∞ 9_{∙ 9}∞_{+ ∞}∞∞_{+ 𝑙𝑛 ∞ + 1000] = ∞ + ∞ + ∞ + 1000} 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞[𝒙 𝟗_{∙ 𝟗}𝒙_{+ 𝒙}𝒙𝒙_{+ 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝟎] = ∞} 5) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0(9 + 7𝑥) 5 4𝑥 * I/2016 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0(9 + 7 ∙ 0) 5 4∙0= 9 5 0= 9∞→ 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟎(𝟗 + 𝟕𝒙) 𝟓 𝟒𝒙= ∞ 6) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3 |1−36𝑥−𝑥2| |25−𝑥2_| I/2016

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3 |1−36∗3−32| |25−32_| = |1−36∗3−32| |25−32_| = |−116| |16| = 116 16 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → 𝟑 |𝟏−𝟑𝟔𝒙−𝒙𝟐| |𝟐𝟓−𝒙𝟐_| = 𝟐𝟗 𝟒 7) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 2[𝑠𝑔𝑛(𝑥 3_{+ 2𝑥 + 1)] * I/2016} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 2[𝑠𝑔𝑛(2 3_{+ 2 ∙ 2 + 1)] = 𝑠𝑔𝑛(13) = 1 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎} 𝒙 → 𝟐[𝒔𝒈𝒏(𝒙 𝟑_{+ 𝟐𝒙 + 𝟏)] = 𝟏} 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑔𝑛(𝑥) =|𝑥| 𝑥 I/2016 8) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → √5 ⟦𝑥⟧+𝑥 7+𝑥−𝑥2 * I/2016 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → √5 ⟦√5⟧+√5 7+√5−√52= ⟦√5⟧+√5 2+√5 = 2+√5 2+√5= 1 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎_{𝒙 → √𝟓} ⟦𝒙⟧+𝒙 𝟕+𝒙−𝒙𝟐= 𝟏 9) 𝐿 = lim 𝑥→0 (1+𝑥)(1+2𝑥)(1+3𝑥) 𝑥 I/2015 𝐿 =3 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (1+𝑥)(1+5𝑥+6𝑥2)−1 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 1+5𝑥+6𝑥2_+𝑥+5𝑥2_+6𝑥3₋₁ 𝑥 → 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 6𝑥+11𝑥2_+6𝑥3 𝑥 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0(6 + 11𝑥 + 6𝑥 2_{) = 𝟔} 10) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥+𝑥2_+𝑥3_+𝑥4_+⋯+𝑥𝑛_−𝑛 𝑥−1 I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥−1)+(𝑥2_−1)+(𝑥3_−1)+(𝑥4_{−1)+⋯+(𝑥}𝑛₋₁₎ 𝑥−1 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (𝑥−1)+(𝑥−1)(𝑥+1)+(𝑥−1)(𝑥2_{+𝑥+1)+(𝑥−1)(𝑥}3_+𝑥2_{+𝑥+1)+⋯+(𝑥−1)(𝑥}𝑛−1_+𝑥𝑛−2_+⋯+𝑥+1) 𝑥−1 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1(1 + (𝑥 + 1) + (𝑥 2_{+ 𝑥 + 1) + (𝑥}3_{+ 𝑥}2_{+ 𝑥 + 1) + ⋯ + (𝑥}𝑛−1_{+ 𝑥}𝑛−2_{+ ⋯ + 𝑥 + 1))} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥+𝑥2_+𝑥3_+𝑥4_+⋯+𝑥𝑛_−𝑛 𝑥−1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝒏 𝟐(𝒏 + 𝟏) 11) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1( 1 𝑥−1− 3 𝑥3−1) I/2015 𝐿 =1 0− 3 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1( 1 𝑥−1− 3 (𝑥−1)(𝑥2_+𝑥+1)) = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→1( 𝑥2_+𝑥+1−3 (𝑥−1)(𝑥2_+𝑥+1)) = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→1( 𝑥2_+𝑥−2 (𝑥−1)(𝑥2_+𝑥+1)) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1( (𝑥+2)(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥2_+𝑥+1)) = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→1( (𝑥+2) (𝑥2_+𝑥+1)) = 𝟏 [ 3√8 ( √83 )2+2( √8+3 )+4 ] = [ 2 (2)2_+2(2)+4] = [ 2 4+4+4] = 1 6→ 𝑳 = 𝟏 𝟔 12) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ (𝑥+1)10+(𝑥+2)10+⋯+(𝑥+100)10 𝑥10₊₁₀10 ] I/2016 𝐿 = 100 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ (𝑥+1)10_+(𝑥+2)10_{+⋯+(𝑥+100)}10 𝑥10₊₁₀10 ] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}[ (𝑥+1)10 𝑥10 + (𝑥+2)10 𝑥10 +⋯+ (𝑥+100)10 𝑥10 𝑥10 𝑥10+ 1010 𝑥10 ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ (𝑥_𝑥+1_𝑥)10+(𝑥_𝑥+2_𝑥)10+⋯+(𝑥_𝑥+100_𝑥 )10 1+(10_𝑥)10 ] = (1+0)10₊₍₁₊₀₎10_+⋯+(1+0)10 1+0 = 100 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞[ (𝒙+𝟏)𝟏𝟎_+(𝒙+𝟐)𝟏𝟎_{+⋯+(𝒙+𝟏𝟎𝟎)}𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟎_+𝟏𝟎𝟏𝟎 ] = 𝟏𝟎𝟎

3.7. Límites algebraicos de la forma 𝟎/𝟎

➢ Deben factorizarse las expresiones desarrolladas.

➢ Desarrollar las expresiones factorizadas deben desarrollarse y luego nuevamente factorizarse.

➢ Las expresiones con radicales deben racionalizarse.

1. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥3−𝑥2+3𝑥−3 𝑥−1 I/2015 𝐿 =1−1+3−3 0 = 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥2(𝑥−1)+3(𝑥−1) 𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑥2(𝑥−1)(𝑥2₊₃₎ 𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1(𝑥 2_{+ 3) = 𝟒} 2. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (1+𝑥)5_−(1+5𝑥) 𝑥2_+𝑥5 I/2015 𝐿 =1−1 0+0= 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1+5𝑥+10𝑥2_+10𝑥3_+5𝑥4_+𝑥5_−1−5𝑥 𝑥2_+𝑥5 = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→0 10 𝑥2_+10𝑥3_+5𝑥4_+𝑥5 𝑥2_+𝑥5 = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→0 𝑥2(10+10 𝑥+5𝑥2+𝑥3) 𝑥2_(1+𝑥3₎ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 10+10 𝑥+5𝑥2+𝑥3 1+𝑥3 = 𝟏𝟎 3. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑥𝑚−𝑎𝑚 𝑥−𝑎 I/2015 𝐿 =𝑎𝑚−𝑎𝑚 𝑎−𝑎 = 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑥𝑚−𝑎𝑚 𝑥−𝑎 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 (𝑥−𝑎)(𝑥𝑚−1+𝑥𝑚−2𝑎+𝑥𝑚−3𝑎2+⋯+𝑥𝑎𝑚−2−𝑎𝑚−1) 𝑥−𝑎 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎(𝑥 𝑚−1_{+ 𝑥}𝑚−2_{𝑎 + 𝑥}𝑚−3_𝑎2_{+ ⋯ + 𝑥𝑎}𝑚−2_{− 𝑎}𝑚−1_{) = 𝒎 𝒂}𝒎−𝟏 4. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑥𝑛_−𝑎𝑛_−𝑛𝑎 𝑛 −1 _{(𝑥−𝑎)} (𝑥−𝑎)2 I/2015 𝐿 =𝑎𝑛−𝑎𝑛−𝑛𝑎 𝑛 −1 (𝑎−𝑎) 0 = 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 (𝑥−𝑎)(𝑥𝑛−1 _{+ 𝑥}𝑛−2_{𝑎 + 𝑥}𝑛−3_𝑎2 _{+⋯+ 𝑥}2_𝑎𝑛−3_{+ 𝑥𝑎}𝑛−2 _{+ 𝑎}𝑛−1_)−𝑛𝑎 𝑛 −1 _{(𝑥−𝑎)} (𝑥−𝑎)2 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑥𝑛−1 _{+ 𝑥}𝑛−2_{𝑎 + 𝑥}𝑛−3_𝑎2 _{+⋯+ 𝑥}2_𝑎𝑛−3_{+ 𝑥𝑎}𝑛−2 _{+ 𝑎}𝑛−1 _{− 𝑛𝑎} 𝑛 −1 (𝑥−𝑎) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 +⋯+ 𝑥2𝑎𝑛−3+ 𝑥𝑎𝑛−2 − (𝑛 − 1)𝑎 𝑛 −1 (𝑥−𝑎) 𝑢 = 𝑥 − 𝑎 𝑥 = 𝑢 + 𝑎} → { 𝑥 → 𝑎 𝑢 → 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0 (𝑢 + 𝑎)𝑛−1+(𝑢 + 𝑎)𝑛−2𝑎 + (𝑢 + 𝑎)𝑛−3𝑎2 +⋯+ (𝑢 + 𝑎)2𝑎𝑛−3 + (𝑢 + 𝑎)𝑎𝑛−2−(𝑛−1)𝑎 𝑛 −1 𝑢 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0 [(𝑢+𝑎)𝑛−1_−𝑎 𝑛 −1_{] + [(𝑢+𝑎)}𝑛−2_{𝑎 − 𝑎} 𝑛 −1_{] + [(𝑢 + 𝑎)}𝑛−3_𝑎2 _{− 𝑎} 𝑛 −1_{] +⋯+[(𝑢 + 𝑎)}2_𝑎𝑛−3_−𝑎 𝑛 −1_{]+ [(𝑢+𝑎) 𝑎}𝑛−2_−𝑎 𝑛 −1_] 𝑢 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0 [(𝑢+𝑎)𝑛−1_−𝑎 𝑛 −1_{] + 𝑎[(𝑢+𝑎)}𝑛−2 _{− 𝑎} 𝑛 −2_{] + 𝑎}2_{[(𝑢 + 𝑎)}𝑛−3 _{− 𝑎} 𝑛 −3_{] +⋯+𝑎}𝑛−3_{[(𝑢 + 𝑎)}2_−𝑎 2_{]+ 𝑎}𝑛−2_{[(𝑢+𝑎) −𝑎]} 𝑢 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0 𝑢[(𝑢+𝑎)𝑛−2_+(𝑢+𝑎)𝑛−3_{𝑎+⋯+𝑎} 𝑛 −2_{] +𝑎𝑢[(𝑢+𝑎)}𝑛−3_+(𝑢+𝑎)𝑛−4_{𝑎+⋯+𝑎} 𝑛 −3_]+⋯+𝑎𝑛−2_𝑢 𝑢 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0{[(𝑢 + 𝑎) 𝑛−2_{+ (𝑢 + 𝑎)}𝑛−3_{𝑎 + ⋯ + 𝑎} 𝑛 −2_] ⏟ 𝑛−1 + 𝑎 [(𝑢 + 𝑎)_⏟ 𝑛−3_{+ (𝑢 + 𝑎)}𝑛−4_{𝑎 + ⋯ + 𝑎} 𝑛 −3_] 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎_⏟𝑛−2 1 } 𝐿 = (𝑛 − 1)𝑎_⏟ 𝑛 −2_{+ (𝑛 − 2)𝑎} 𝑛 −2_{+ ⋯ + 𝑎} 𝑛 −2 (𝑛−1) 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝒏(𝒏−𝟏) 𝟐 𝒂 𝒏 −𝟐 5. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → −1 𝑥5+1 𝑥3₊₁ * I/2016 𝐿 =−1+1 −1+1= 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → −1 𝑥5+1 𝑥3₊₁= 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → −1} (𝑥+1)(𝑥4−𝑥3+𝑥2−𝑥+1) (𝑥+1)(𝑥2_−𝑥+1) = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → −1} (−1)4−(−1)3+(−1)2−(−1)+1 (−1)2_−(−1)+1 = 1+1+1+1+1 1+1+1

𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → −𝟏 𝒙𝟓+𝟏 𝒙𝟑_+𝟏= 𝟓 𝟑 6. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1 3+2𝑥3_−𝑥2_−4𝑥 3𝑥2_+𝑥3₋₄ I/2016 L=0 𝐿 =3+2−1−4 3+1−4 = 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1 2𝑥3_−𝑥2_−4𝑥+3 𝑥3_+3𝑥2₋₄ = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 1} (𝑥−1)(𝑥−1)(𝑥+3₂) (𝑥−1)(𝑥+2)(𝑥+2)= 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1 (𝑥−1)(𝑥+3₂) (𝑥+2)(𝑥+2)= 0∙5₂ 3∙3 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟏 𝟑+𝟐𝒙𝟑−𝒙𝟐−𝟒𝒙 𝟑𝒙𝟐_+𝒙𝟑_−𝟒 = 𝟎 2 -1 -4 3 1 3 0 -4 1 2 1 -3 1 1 1 4 2 1 -3 --- 1 4 4 --- 1 2 3 -2 -2 -4 2 3 --- 1 2 --- -3/2 -3 -2 -2 2 --- 1 --- 7. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0 (1−𝑥)4_{−(1−𝑥)}2 (1+𝑥)2_{−(1−𝑥)}3 I/2016 𝐿 = − 2 5 𝐿 =1−1 1−1= 0/0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0 (1−𝑥)4−(1−𝑥)2 (1+𝑥)2_{−(1−𝑥)}3= 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 0} [(1−𝑥)2−1](1−𝑥)2 𝑥2_{+2𝑥+1−(1−3𝑥+3𝑥}2₋₎= 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 0} [1−2𝑥+𝑥2−1](1−2𝑥+𝑥2) 𝑥2_{+2𝑥+1+𝑥}3_−3𝑥2_+3𝑥−1 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0 [𝑥2−2𝑥](𝑥2−2𝑥+1) 𝑥3_−2𝑥2_+5𝑥 = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 0} 𝑥4−2𝑥3+𝑥2−2𝑥3+4𝑥2−2𝑥 𝑥3_−2𝑥2_+5𝑥 = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 0} 𝑥4−4𝑥3+5𝑥2−2𝑥 𝑥3_−2𝑥2_+5𝑥 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0 (𝑥3−4𝑥2+5𝑥−2)𝑥 (𝑥2_{−2𝑥+5)𝑥} = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 0} 𝑥3_−4𝑥2_+5𝑥−2 𝑥2_−2𝑥+5 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎_{𝒙 → 𝟎} (𝟏−𝒙)𝟒_{−(𝟏−𝒙)}𝟐 (𝟏+𝒙)𝟐_{−(𝟏−𝒙)}𝟑= − 𝟐 𝟓 8. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0 (7+𝑥)𝑚−7𝑚 𝑥 * I/2016 𝐿 =7𝑚−7𝑚 0 = 0 0

Por el binomio de Newton: (𝑎 + 𝑏)𝑛_{= 𝑎}𝑛₊𝑛 1!𝑎 𝑛−1_{𝑏 +}𝑛(𝑛−1) 2! 𝑎 𝑛−2_𝑏2_{+ ⋯ + 𝑏}𝑛 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0 (7+𝑥)𝑚−7𝑚 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0 7𝑚+𝑚_1!7𝑚−1𝑥+𝑚(𝑚−1)_2! 7𝑚−2𝑥2+⋯+𝑥𝑚−7𝑚 𝑥 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 0( 𝑚 1!7 𝑚−1₊𝑚(𝑚−1) 2! 7 𝑚−2_𝑥1_{+ ⋯ + 𝑥}𝑚−1_{) → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎} 𝒙 → 𝟎 (𝟕+𝒙)𝒎_−𝟕𝒎 𝒙 = 𝒎 ∙ 𝟕 𝒎−𝟏 9. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 𝑐 𝑥𝑚−𝑐𝑚 𝑥−𝑐 , 𝑚 > 0 * I/2016 𝐿 = 𝑚 ∙ 𝑐 𝑚−1 𝐿 =𝑐𝑚−𝑐𝑚 𝑐−𝑐 = 0 0 𝑥𝑚_{− 𝑐}𝑚_{= (𝑥 − 𝑐)(𝑥}𝑚−1_{+ 𝑥}𝑚−2_{𝑐 + 𝑥}𝑚−2_𝑐2_{+ ⋯ + 𝑥𝑐}𝑚−2_{+ 𝑐}𝑚−1_)b 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 𝑐 𝑥𝑚_−𝑐𝑚 𝑥−𝑐 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑐 (𝑥−𝑐)(𝑥𝑚−1+𝑥𝑚−2𝑐+𝑥𝑚−2𝑐2+⋯+𝑥𝑐𝑚−2+𝑐𝑚−1) 𝑥−𝑐 𝐿 = 𝑐_⏟ 𝑚−1_{+ 𝑐}𝑚−1_{+ 𝑐}𝑚−1_{+ ⋯ + 𝑐}𝑚−1_{+ 𝑐}𝑚−1 𝑚 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝒄 𝒙𝒎_−𝒄𝒎 𝒙−𝒄 = 𝒎 ∙ 𝒄 𝒎−𝟏

10. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 𝑐 √𝑏2_{−𝑥−√𝑏}2_−𝑐 𝑥−𝑐 , 𝑏 > 0 con 𝑏 > 0 I/2016 𝐿 =√𝑏2−𝑐−√𝑏2−𝑐 𝑐−𝑐 = 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 𝑐[( √𝑏2_{−𝑥−√𝑏}2_−𝑐 𝑥−𝑐 ) ( √𝑏2_{−𝑥+√𝑏}2_−𝑐 √𝑏2_{−𝑥+√𝑏}2_−𝑐)] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 𝑐}[ 𝑏2_{−𝑥−𝑏}2_+𝑐 (𝑥−𝑐)(√𝑏2_{−𝑥+√𝑏}2_−𝑐)] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 𝑐}[ −(𝑥−𝑐) (𝑥−𝑐)(√𝑏2_{−𝑥+√𝑏}2_−𝑐)] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 𝑐 −1 √𝑏2_{−𝑥+√𝑏}2_−𝑐= −1 √𝑏2_{−𝑐+√𝑏}2_−𝑐= −1 2√𝑏2_−𝑐→ 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎_{𝒙 → 𝒄} √𝒃𝟐_{−𝒙−√𝒃}𝟐_−𝒄 𝒙−𝒄 = −𝟏 𝟐√𝒃𝟐_−𝒄 11. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3 √𝑥2_{−2𝑥+6−√𝑥}2_+2𝑥−6 𝑥2_−4𝑥+3 I/2016 𝐿 = − 1 3 𝐿 =√9−6+6−√9+6−6 9−12+3 = 0/0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3[( √𝑥2_{−2𝑥+6−√𝑥}2_+2𝑥−6 𝑥2_−4𝑥+3 ) ( √𝑥2_{−2𝑥+6+√𝑥}2_+2𝑥−6 √𝑥2_{−2𝑥+6+√𝑥}2_+2𝑥−6)] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 3}[ 𝑥2−2𝑥+6−𝑥2−2𝑥+6 (𝑥2_{−4𝑥+3)(√𝑥}2_{−2𝑥+6+√𝑥}2_+2𝑥−6)] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3[ −4(𝑥−3) (𝑥−3)(𝑥−1)(√𝑥2_{−2𝑥+6+√𝑥}2_+2𝑥−6)] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 3}[ −4 (𝑥−1)(√𝑥2_{−2𝑥+6+√𝑥}2_+2𝑥−6)] 𝐿 = −4 2(√9−6+6+√9+6−6)= −2 6 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → 𝟑 √𝒙𝟐_{−𝟐𝒙+𝟔−√𝒙}𝟐_{+𝟐𝒙−𝟔} 𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟑 = − 𝟏 𝟑 12. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 8 √7+ √𝑥3 ₋₃ 𝑥−8 I/2016 𝐿 = 1 72 𝐿 =√7+2−3 8−8 = 0/0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 8[( √7+ √𝑥3 ₋₃ 𝑥−8 ) ( √7+ √𝑥3 ₊₃ √7+ √𝑥3 ₊₃)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 8[ 7+ √𝑥3 −9 (𝑥−8)(√7+ √𝑥3 +3) ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 8[ √𝑥 3 ₋₂ (𝑥−8)(√7+ √𝑥3 +3) ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 8[ √𝑥 3 ₋₂ (𝑥−8)(√7+ √𝑥3 +3) (√𝑥2 3 +2 √𝑥3 +4 √𝑥2 3 +2 √𝑥3 +4)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 8[ 𝑥−8 (𝑥−8)(√7+ √𝑥3 +3)( √𝑥3 2_{+2 √𝑥}3 ₊₄₎] 13. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 8[ 1 (√7+ √𝑥3 +3)( √𝑥3 2_{+2 √𝑥}3 ₊₄₎] = 1 (√7+ √83 +3)( √83 2_{+2 √8}3 ₊₄₎= 1 (3+3)(4+4+4)= 1 72 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟖 √𝟕+ √𝒙𝟑 _−𝟑 𝒙−𝟖 = 𝟏 𝟕𝟐 14. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 4095 √𝑥+1−4 √𝑥+13 √𝑥+1 4 ₋₈ * I/2016 𝐿 = 16 3 𝐿 =√4096−4 √40963 √4096 4 −8 = 64−64 8−8 = 0 0

Realizando un cambio de variables: 𝑢12= 𝑥 + 1 𝑥 = √𝑢 − 112 } → 𝑥 → 4095 𝑢 → √409612 = 2} 12 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑐𝑚 𝑑𝑒 2, 3 𝑦 4 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢 →2 √𝑢12_{−4 √𝑢}3 12 √𝑢12 4 −8 = 𝑙𝑖𝑚𝑢 →2 𝑢6_−4𝑢4 𝑢3₋₈ = 𝑙𝑖𝑚_{𝑢 →2} 𝑢4(𝑢2−4) (𝑢−2)(𝑢2_+2𝑢+4)= 𝑙𝑖𝑚_{𝑢 →2} 𝑢4_{(𝑢+2)(𝑢−2)} (𝑢−2)(𝑢2_+2𝑢+4) 𝑙𝑖𝑚 𝑢 →2 𝑢4(𝑢+2) (𝑢2_+2𝑢+4)= 24∙4 4+4+4= 16∙4 3∙4 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → 𝟒𝟎𝟗𝟓 √𝒙+𝟏−𝟒 √𝒙+𝟏𝟑 √𝒙+𝟏 𝟒 _−𝟖 = 𝟏𝟔 𝟑

15. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1 √𝑥+√𝑥+3−3 𝑥−1 I/2016 𝐿 = 3 4 𝐿 =1+2−3 1−1 = 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1( √𝑥−1 𝑥−1 + √𝑥+3−2 𝑥−1 ) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( √𝑥−1 𝑥−1) + 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( √𝑥+3−2 𝑥−1 ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1( √𝑥−1 (√𝑥−1)(√𝑥+1)) + 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( (√𝑥+3−2) (𝑥−1) ∙ (√𝑥+3+2) (√𝑥+3+2)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( 1 √𝑥+1) + 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( (𝑥+3−4) (𝑥−1)(√𝑥+3+2)) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1( 1 √𝑥+1) + 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( (𝑥−1) (𝑥−1)(√𝑥+3+2)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( 1 √𝑥+1) + 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1( 1 √𝑥+3+2) = 1 2+ 1 4= 3 4 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟏 √𝒙+√𝒙+𝟑−𝟑 𝒙−𝟏 = 𝟑 𝟒 16. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1 √𝑥 4 _{+ √𝑥}3 _+√𝑥−3 𝑥−1 I/2016 𝐿 = 13 12 𝐿 =1+1+1−3 1−1 = 0 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1 √𝑥 4 _{+ √𝑥}3 _+√𝑥−3 𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1 √𝑥 4 _{−1+ √𝑥}3 _{−1+√𝑥−1} 𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1 √𝑥 4 ₋₁ 𝑥−1 + √𝑥 3 ₋₁ 𝑥−1 + √𝑥−1 𝑥−1 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1 √𝑥 4 ₋₁ ( √𝑥4 −1)( √𝑥4 3_{+ √𝑥}4 2_{+ √𝑥}4 ₊₁₎+ √𝑥 3 ₋₁ ( √𝑥3 −1)( √𝑥3 2_{+ √𝑥}3 ₊₁₎+ √𝑥−1 (√𝑥−1)(√𝑥+1) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1( 1 √𝑥3 4 + √𝑥4 2_{+ √𝑥}4 ₊₁+ 1 √𝑥2 3 + √𝑥3 +1+ 1 √𝑥+1) = 1 4+ 1 3+ 1 2= 3+4+6 12 = 13 12 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟏 √𝒙 𝟒 _{+ √𝒙}𝟑 _{+√𝒙−𝟑} 𝒙−𝟏 = 𝟏𝟑 𝟏𝟐 17. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √𝑥−1 𝑥2−1 𝐿 =0 0 18. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥3₋₈ 3 𝑥2₋₁₂ 𝐿 =0 0

3.7.1. Límites con radicales

1. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→27 √10+2𝑥−8 √𝑥 3 ₋₃ I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→27( √10+2𝑥−8 √𝑥 3 ₋₃ ) ∗ ( √10+2𝑥+8 √10+2𝑥+8) ∗ ( √𝑥2 3 +3 √𝑥3 +9 √𝑥2 3 +3 √𝑥3 +9) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→27( (10+2𝑥−64)( √𝑥3 2_{+3 √𝑥}3 ₊₉₎ (𝑥−27)(√10+2𝑥+8) ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→27( 2(𝑥−27)( √𝑥3 2_{+3 √𝑥}3 ₊₉₎ (𝑥−27)(√10+2𝑥+8) ) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→27( 2( √𝑥3 2_{+3 √𝑥}3 ₊₉₎ √10+2𝑥+8 ) = 54 16= 𝟐𝟕 𝟖 2. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 √√𝑥+7−3 𝑥−4 I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 √√𝑥+7−3 𝑥−4 ∗ √√𝑥+7+3 √√𝑥+7+3= 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 √𝑥+7−9 (𝑥−4)(√√𝑥+7+3)= 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 √𝑥−2 (𝑥−4)(√√𝑥+7+3)∗ √𝑥+2 √𝑥+2 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 𝑥−4 (𝑥−4)(√√𝑥+7+3)(√𝑥+2)= 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 1 (√√𝑥+7+3)(√𝑥+2)= 𝟏 𝟐𝟒 3. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √𝑥+𝑎+𝑏−√𝑎+𝑏 𝑥 I/2015

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √𝑥+𝑎+𝑏−√𝑎+𝑏 𝑥 ∗ √𝑥+𝑎+𝑏+√𝑎+𝑏 √𝑥+𝑎+𝑏+√𝑎+𝑏= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑥+𝑎+𝑏−𝑎−𝑏 𝑥(√𝑥+𝑎+𝑏+√𝑎+𝑏)= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑥 𝑥(√𝑥+𝑎+𝑏+√𝑎+𝑏) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 √𝑥+𝑎+𝑏+√𝑎+𝑏= 𝟏 𝟐 √𝒂+𝒃 4. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 √1+𝛼𝑥 𝑚 _{− √1+𝛽𝑥}𝑛 𝑥 I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (1+𝛼𝑥) 1 𝑚−(1+𝛽𝑥) 1 𝑛 𝑥 (1 + 𝛼𝑥)𝑚1 = 1 +1 𝑚𝛼𝑥 + 1 𝑚( 1 𝑚−1) 2! 𝛼 2_𝑥2₊ 1 𝑚( 1 𝑚−1)( 1 𝑚−1) 3! 𝛼 3_𝑥3_{+ ⋯} (1 + 𝛽𝑥)1𝑛= 1 +1 𝑛𝛽𝑥 + 1 𝑛( 1 𝑛−1) 2! 𝛽 2_𝑥2₊ 1 𝑛( 1 𝑛−1)( 1 𝑛−1) 3! 𝛽 3_𝑥3_{+ ⋯} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1+_𝑚1𝛼𝑥+ 1 𝑚( 1 𝑚−1) 2! 𝛼2𝑥2+ 1 𝑚( 1 𝑚−1)( 1 𝑚−1) 3! 𝛼3𝑥3+⋯− 1− 1 𝑛𝛽𝑥− 1 𝑛( 1 𝑛−1) 2! 𝛽2𝑥2− 1 𝑛( 1 𝑛−1)( 1 𝑛−1) 3! 𝛽3𝑥3 𝑥 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 𝑚𝛼+ 1 𝑚( 1 𝑚−1) 2! 𝛼 2_𝑥+ 1 𝑚( 1 𝑚−1)( 1 𝑚−1) 3! 𝛼 3_𝑥2_+⋯−1 𝑛𝛽− 1 𝑛( 1 𝑛−1) 2! 𝛽 2_𝑥− 1 𝑛( 1 𝑛−1)( 1 𝑛−1) 3! 𝛽 3_𝑥2 𝑥 = 𝜶 𝒎− 𝜷 𝒏 5. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (1 − √𝑥)(1 − √𝑥3 )(1 − √𝑥4 )⋯⋯(1 − √𝑥𝑛 ) (1 −𝑥)𝑛−1 I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 (1 − √𝑥) (1 − 𝑥) ∗ (1 − √𝑥3 ) (1 − 𝑥) ∗ (1 − √𝑥4 ) (1 − 𝑥) ∗ ⋯ ∗ (1 − √𝑥𝑛 ) (1 − 𝑥) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1{[ (1 − √𝑥) (1 − 𝑥) ∗ (1+ √𝑥) (1+ √𝑥)] [ (1 − √𝑥3 ) (1 − 𝑥) ∗ (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2) (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2₎] [ (1 − √𝑥4 ) (1 − 𝑥) ∗ (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2+𝑥) (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2_+𝑥)] ∗ ⋯ ∗ [ (1 − √𝑥𝑛 ) (1 − 𝑥) ∗ (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2_{+𝑥+⋯+ √𝑥}3 𝑛−1₎ (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2_{+𝑥+⋯+ √𝑥}3 𝑛−1₎]} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1{[ (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)(1+ √𝑥)] [ (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)(1+ √𝑥3 + √𝑥3 2₎] [ (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)(1+ √𝑥3 + √𝑥3 2_+𝑥)] ∗ ⋯ ∗ [ (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)(1+ √𝑥3 + √𝑥3 2_{+𝑥+⋯+ √𝑥}3 𝑛−1₎]} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1{[ 1 (1+ √𝑥)] [ 1 (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2₎] [ 1 (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2_+𝑥)] ∗ ⋯ ∗ [ 1 (1+ √𝑥3 + √𝑥3 2_{+𝑥+⋯+ √𝑥}3 𝑛−1₎]} 𝐿 =1 2∗ 1 3∗ 1 4∗ ⋯ ∗ 1 𝑛= 𝟏 𝒏! 6. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√1+𝑥2_+𝑥)𝑛_{− (√1+𝑥}2_−𝑥)𝑛 𝑥 I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [(√1+𝑥2+𝑥)− (√1+𝑥2−𝑥)][(√1+𝑥2+𝑥)𝑛−1+(√1+𝑥2+𝑥)𝑛−2(√1+𝑥2−𝑥)+⋯+(√1+𝑥2−𝑥)𝑛−1] 𝑥 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 [√1+𝑥2+𝑥− √1+𝑥2_{+𝑥][(√1+𝑥}2_+𝑥)𝑛−1_+(√1+𝑥2_+𝑥)𝑛−2_(√1+𝑥2_{−𝑥)+⋯+(√1+𝑥}2_−𝑥)𝑛−1_] 𝑥 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 2𝑥 [(√1 + 𝑥2_{+ 𝑥)}𝑛−1_{+ (√1 + 𝑥}2_{+ 𝑥)}𝑛−2_{(√1 + 𝑥}2_{− 𝑥) + ⋯ + (√1 + 𝑥}2_{− 𝑥)}𝑛−1_] 𝑥 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→02 [(√1 + 𝑥 2_{+ 𝑥)}𝑛−1_{+ (√1 + 𝑥}2_{+ 𝑥)}𝑛−2_{(√1 + 𝑥}2_{− 𝑥) + ⋯ + (√1 + 𝑥}2_{− 𝑥)}𝑛−1_{] = 𝟐𝒏} 7. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √1 𝑥+ √ 1 𝑥+ √ 1 𝑥 − √ 1 𝑥− √ 1 𝑥+ √ 1 𝑥 ) I/2015 𝑢 =1 𝑥 𝑥 =1 𝑢 } → {𝑥 → 0 𝑢 → ∞

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞(√𝑢 + √𝑢 + √𝑢 − √𝑢 − √𝑢 + √𝑢 ) ∗ (√𝑢+√𝑢+√𝑢 + √𝑢−√𝑢+√𝑢 ) (√𝑢+√𝑢+√𝑢 + √𝑢−√𝑢+√𝑢 ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 𝑢+√𝑢+√𝑢− 𝑢+√𝑢+√𝑢 √𝑢+√𝑢+√𝑢 + √𝑢−√𝑢+√𝑢 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 2 √𝑢+√𝑢 √𝑢+√𝑢+√𝑢 + √𝑢−√𝑢+√𝑢 ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 2 √𝑢+√𝑢 √𝑢 √𝑢+√𝑢+√𝑢 + √𝑢−√𝑢+√𝑢 √𝑢 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 2 √𝑢_𝑢+√𝑢_𝑢 √𝑢 𝑢− √𝑢+√𝑢 𝑢 + √ 𝑢 𝑢− √𝑢+√𝑢 𝑢 ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 2 √1+√𝑢_𝑢 √1−√𝑢+√𝑢 𝑢 + √1− √𝑢+√𝑢 𝑢 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞ ( 2 √1+√_𝑢2𝑢 √1−√_𝑢2𝑢+√_𝑢4𝑢 + √1−√_𝑢2𝑢+√_𝑢4𝑢 ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞ ( 2 √1+√_𝑢1 √1−√_𝑢1+√_𝑢31 + √1−√_𝑢1+√_𝑢31 ) =2 2= 𝟏 8. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[√8𝑥 + √8𝑥 2_{+ √8𝑥 + √8𝑥}3 3 3 3 − 2 √𝑥3 ] I/2016 𝐿 =1 6 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ ( √8𝑥 + √8𝑥3 3 2_{+ √8𝑥 + √8𝑥}3 3 − 2 √𝑥3 ) ( ( √_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 3 ) 2 +2 √𝑥3 ( √_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 3 ) +4 √𝑥3 2 ( √3_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 ) 2 +2 √𝑥3 ( √3_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 ) +4 √𝑥3 2 )] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ 8𝑥+ √8𝑥3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 _−8𝑥 ( √_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 3 ) 2 +2 √𝑥3 ( √_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 3 ) +4 √𝑥3 2 ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ √8𝑥2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 3 ( √3_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 ) 2 +2 √𝑥3 ( √3_{8𝑥+ √8𝑥}3 2_{+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 ) +4 √𝑥3 2 ]

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ √8𝑥2+ √8𝑥+ √8𝑥3 3 3 √𝑥2 3 ( √3_{8𝑥+ √8𝑥+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 3 ) 2 +2 √𝑥3 ( √3_{8𝑥+ √8𝑥+ √8𝑥+ √8𝑥}3 3 3 ) +4 √𝑥23 √𝑥2 3 _] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ √8𝑥2+ √8𝑥+ √8𝑥3 3 𝑥2 3 ( √8𝑥+ √8𝑥2+ √8𝑥+ √8𝑥3 3 3 3 √𝑥 3 ) 2 +2 √𝑥3 √𝑥 3 ( √8𝑥+ √8𝑥2+ √8𝑥+ √8𝑥3 3 3 3 √𝑥 3 ) +4 √𝑥2 3 √𝑥2 3 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ √8+ √8𝑥+ √8𝑥3 𝑥6 3 3 ( √ 8+√8𝑥2+ √8𝑥+ √8𝑥 3 3 𝑥3 3 3 ) 2 +2 ( √ 8+√8𝑥2+ √8𝑥+ √8𝑥 3 3 𝑥3 3 3 ) +4 ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ √8+ √8𝑥 𝑥6+ √ 8𝑥 𝑥18 3 3 3 ( √8+ √8𝑥2 𝑥3+ √ 8𝑥 𝑥9+ √ 8𝑥 𝑥27 3 3 3 3 ) 2 +2 ( √8+ √8𝑥2 𝑥3+ √ 8𝑥 𝑥9+ √ 8𝑥 𝑥27 3 3 3 3 ) +4 ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ [ √8+ √8 𝑥5+ √ 8 𝑥17 3 3 3 ( √8+ √8 𝑥+ √ 8 𝑥8+ √ 8 𝑥26 3 3 3 3 ) 2 +2 ( √8+ √8 𝑥+ √ 8 𝑥8+ √ 8 𝑥26 3 3 3 3 ) +4 ] 𝐿 = [ √8 + √0 + √03 3 3 ( √8 + √0 + √0 + √03 3 3 3 ) 2 + 2 ( √8 + √0 + √0 + √03 3 3 3 ) + 4 ] = 9. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 √𝑥2₊₇ 3 − √𝑥+3 3 𝑥2_+2𝑥−5 I/2015

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1[ √𝑥2₊₇ 3 (3𝑥+5)(𝑥−1)+ − √𝑥+3 (3𝑥+5)(𝑥−1)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1[ ( √𝑥3 2_{+7 − 2)} (3𝑥+5)(𝑥−1)+ (2 − √𝑥+3) (3𝑥+5)(𝑥−1)] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1[ ( √𝑥3 2+7 − 2) (3𝑥+5)(𝑥−1)∗ ( √(𝑥3 2+7)2+2 √𝑥3 2+7+4) ( √(𝑥3 2₊₇₎2_{+2 √𝑥}3 2₊₇₊₄₎+ (2 − √𝑥+3) (3𝑥+5)(𝑥−1)∗ (2+ √𝑥+3) (2+ √𝑥+3)] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1[ (𝑥2_{+7 − 8)} (3𝑥+5)(𝑥−1)( √(𝑥3 2₊₇₎2_{+2 √𝑥}3 2₊₇₊₄₎+ (4 −𝑥−3 ) (3𝑥+5)(𝑥−1)(2+ √𝑥+3)] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1[ (𝑥− 1)(𝑥+1) (3𝑥+5)(𝑥−1)( √(𝑥3 2₊₇₎2 +2 √𝑥3 2+7+4)+ (1 −𝑥) (3𝑥+5)(𝑥−1)(2+ √𝑥+3)] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1[ (𝑥+1) (3𝑥+5)( √(𝑥3 2₊₇₎2_{+2 √𝑥}3 2₊₇₊₄₎− 1 (3𝑥+5)(2+ √𝑥+3)] = 2 8∗(4+4+4)− 1 8∗4= − 𝟏 𝟗𝟔 10. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞𝑥 3 2[√𝑥 + 2 − 2√𝑥 + 1 + √𝑥] I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞{𝑥 3 2[√𝑥 + 2 − (2√𝑥 + 1 − √𝑥)] ∗ (√𝑥+2+(2√𝑥+1−√𝑥) √𝑥+2+(2√𝑥+1−√𝑥))} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞{𝑥 3 2[𝑥+2−(4(𝑥+1)−4√𝑥 2_+𝑥+𝑥) √𝑥+2+(2√𝑥+1−√𝑥) ]} = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞{𝑥 3 2[𝑥+2−4𝑥−4+4√𝑥 2_+𝑥−𝑥 √𝑥+2+(2√𝑥+1−√𝑥) ]} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞{𝑥 3 2[−4𝑥−2+4√𝑥 2_+𝑥 √𝑥+2+2√𝑥+1−√𝑥]} = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞{𝑥 3 2[(4√𝑥 2_{+𝑥−(4𝑥+2)} √𝑥+2+2√𝑥+1−√𝑥) ∗ ( 4√𝑥2_{+𝑥+(4𝑥+2)} 4√𝑥2_{+𝑥+(4𝑥+2)})]} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞{𝑥 3 2[ 16(𝑥 2_{+𝑥)−(4𝑥+2)}2 (√𝑥+2+2√𝑥+1−√𝑥)(4√𝑥2_{+𝑥+(4𝑥+2))}]} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞{𝑥 3 2[ 16𝑥 2_{+16𝑥−16𝑥}2_{−16𝑥−4} (√𝑥+2+2√𝑥+1−√𝑥)(4√𝑥2_{+𝑥+4𝑥+2)}]} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞[ −4√𝑥3 (√𝑥+2+2√𝑥+1−√𝑥)(4√𝑥2_{+𝑥+4𝑥+2)}] = 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→∞[ −4√𝑥3 √𝑥3 (√𝑥+2+2√𝑥+1−√𝑥)(4√𝑥2+𝑥+4𝑥+2) √𝑥3 ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞[ −4 (√𝑥+2+2√𝑥+1−√𝑥) √𝑥 (4√𝑥2+𝑥+4𝑥+2) √𝑥2 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞[ −4 (√𝑥_𝑥+2_𝑥+2√𝑥_𝑥+1_𝑥−√_𝑥𝑥)(4√𝑥2_𝑥2+_𝑥2𝑥+4𝑥_𝑥+2_𝑥) ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ [ −4 (√1 +2_{𝑥 + 2}√1 +1_{𝑥 − 1) (4}√1 +1_{𝑥 + 4 +}2 𝑥)] = −4 (√1 + 0 + 2√1 + 0 − √1)(4√1 + 0 + 4 + 0) = −𝟏 𝟒 11. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(√𝑥√𝑥√𝑥 + 2 − √𝑥) I/2015 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(√𝑥√𝑥√𝑥 + 2 − √𝑥) ∗ ( √𝑥√𝑥√𝑥+2+√𝑥 √𝑥√𝑥√𝑥+2+√𝑥 ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥√𝑥√𝑥+2−𝑥 √𝑥√𝑥√𝑥+2+√𝑥 ) ∗ (𝑥√𝑥√𝑥+2+𝑥 𝑥√𝑥√𝑥+2+𝑥) → 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞( 𝑥3√𝑥+2−𝑥2 (√𝑥√𝑥√𝑥+2+√𝑥)(𝑥√𝑥√𝑥+2+𝑥) ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥3√𝑥+2−𝑥2 (√𝑥√𝑥√𝑥+2+√𝑥)(𝑥√𝑥√𝑥+2+𝑥) ) ∗ (𝑥3√𝑥+2+𝑥2 𝑥3_{√𝑥+2+𝑥}2)

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥6(𝑥+2)−𝑥4 (√𝑥√𝑥√𝑥+2+√𝑥)(𝑥√𝑥√𝑥+2+𝑥)(𝑥3_{√𝑥+2+𝑥}2₎ ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥7_+2𝑥6_−𝑥4 (√𝑥√𝑥√𝑥+2+√𝑥)(𝑥√𝑥√𝑥+2+𝑥)(𝑥3√𝑥+2+𝑥2) ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ ( 1+2_𝑥−_𝑥31 (√𝑥√𝑥√𝑥+2_𝑥14 +√_𝑥14𝑥) ⏟ 0 (𝑥√𝑥√𝑥+2+𝑥)(𝑥3_{√𝑥+2+𝑥}2₎ ) = ∞ 12. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(√4𝑥 + √4𝑥 + √4𝑥 − 2√𝑥) I/2015 𝑢 = 4𝑥 → {𝑥 → ∞_{𝑢 → ∞} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞(√𝑢 + √𝑢 + √𝑢 − √𝑢) ∗ (√𝑢+√𝑢+√𝑢 +√𝑢) (√𝑢+√𝑢+√𝑢 +√𝑢) = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞ 𝑢+√𝑢+√𝑢−𝑢 (√𝑢+√𝑢+√𝑢 +√𝑢) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞ √𝑢+√𝑢 (√𝑢+√𝑢+√𝑢 +√𝑢) = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞ √𝑢+√𝑢 √𝑢 (√𝑢+√𝑢+√𝑢 +√𝑢 √𝑢 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞ √𝑢_𝑢+√_𝑢2𝑢 √𝑢 𝑢+√ 𝑢 𝑢2+√ 𝑢 𝑢4 +√ 𝑢 𝑢 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞ √1+√1_𝑢 √1+√1_𝑢+√_𝑢31 +1 = 1 1+1= 𝟏 𝟐 13. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(√16𝑥 2_{+ 8𝑥 + 6 − √16𝑥}2_{− 8𝑥 + 6) I/2015} 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(√16𝑥 2_{+ 8𝑥 + 6 − √16𝑥}2_{− 8𝑥 + 6) ∗}(√16𝑥2+8𝑥+6+√16𝑥2−8𝑥+6) (√16𝑥2_{+8𝑥+6+√16𝑥}2_−8𝑥+6) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ (16𝑥2+8𝑥+6−16𝑥2+8𝑥−6) (√16𝑥2+8𝑥+6+√16𝑥2−8𝑥+6)= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 16𝑥 (√16𝑥2+8𝑥+6+√16𝑥2−8𝑥+6) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 16 (√16𝑥2+8𝑥+6_𝑥2 +√16𝑥2−8𝑥+6_𝑥2 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 16 (√16+8_𝑥+_𝑥26+√16−8_𝑥+_𝑥26) = 16 2 √16= 16 8 = 𝟐 3.8. Indeterminaciones de la forma ∞ ∞

Para resolver límites algebraicos que presentan indeterminaciones de la forma ∞

∞, se deben dividir

tanto el numerador como el denominador entre la potencia de mayor grado. Conociendo que: 𝑎∞_{= {}0 𝑆𝑖 𝑎 < 1 ∞ 𝑆𝑖 𝑎 > 1 1. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ 3𝑥11_+2𝑥5_+𝑥+100 5𝑥7_+4𝑥3_+3𝑥+1 * I/2016 𝐿 =∞ ∞

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ 3𝑥11_+2𝑥5_+𝑥+100 5𝑥7_+4𝑥3_+3𝑥+1 = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞} 3𝑥11+2𝑥5+𝑥+100 𝑥11 5𝑥7+4𝑥3+3𝑥+1 𝑥11 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ 3+_𝑥62+_𝑥101 +100_𝑥11 5 𝑥4+ 4 𝑥9+ 3 𝑥10+ 1 𝑥11 =3+0+0+0 0+0+0+0= ∞ 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞ 𝟑𝒙𝟏𝟏+𝟐𝒙𝟓+𝒙+𝟏𝟎𝟎 𝟓𝒙𝟕_+𝟒𝒙𝟑_{+𝟑𝒙+𝟏} = ∞ 2. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (3𝑥+4)20∙(5𝑥+2)50 (7𝑥+1)70 * I/2016 𝐿 =∞ ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (3𝑥+4)20∙(5𝑥+2)50 (7𝑥+1)70 = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞} (3𝑥+4)20 𝑥20 ∙ (5𝑥+2)50 𝑥50 (7𝑥+1)70 𝑥70 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (3+4_𝑥)20∙(5+2_𝑥)50 (7+1_𝑥)70 = (3+0)20∙(5+0)50 (7+0)70 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞ (𝟑𝒙+𝟒)𝟐𝟎∙(𝟓𝒙+𝟐)𝟓𝟎 (𝟕𝒙+𝟏)𝟕𝟎 = 𝟑𝟐𝟎∙𝟓𝟓𝟎 𝟕𝟕𝟎 3. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (2𝑥+4)12_+(2𝑥+13)12_+(2𝑥−5)12 16𝑥12−17 I/2016 𝐿 =∞ ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (2𝑥+4)12+(2𝑥+13)12+(2𝑥−5)12 16𝑥12₋₁₇ = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞} (2𝑥+4)12 𝑥12 + (2𝑥+13)12 𝑥12 + (2𝑥−5)12 𝑥12 16𝑥12−17 𝑥12 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (2+4_𝑥)12+(2+13_𝑥)12+(2−5_𝑥)12 16−_𝑥1217 = (2+0)12+(2+0)12+(2−0)12 16−0 = 3 ∙ 2 8 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞ (𝟐𝒙+𝟒)𝟏𝟐_{+(𝟐𝒙+𝟏𝟑)}𝟏𝟐_{+(𝟐𝒙−𝟓)}𝟏𝟐 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟐_−𝟏𝟕 = 𝟕𝟔𝟖 4. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥 √𝑥+√𝑥+√𝑥 * 𝐿 = 1 𝐿 =∞ ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥 √𝑥+√𝑥+√𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥 √𝑥 √𝑥+√𝑥+√𝑥 √𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥_𝑥 √𝑥 𝑥+ √𝑥+√𝑥 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥_𝑥 √𝑥 𝑥+√ 𝑥 𝑥2+ √𝑥 𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥_𝑥 √𝑥 𝑥+√ 𝑥 𝑥2+√ 𝑥 𝑥4 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ 1 √1+√1 𝑥+√ 1 𝑥3 = 1 √1+√0+√0 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞ √𝒙 √𝒙+√𝒙+√𝒙 = 𝟏 5. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √5𝑥2_{+2𝑥+ √𝑥}3 2₊₄ √𝑥4₊₂ 4 + √𝑥5 4+4 * I/2016 𝐿 = √5 𝐿 =∞ ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √5𝑥2_{+2𝑥+ √𝑥}3 2₊₄ √𝑥4₊₂ 4 + √𝑥5 4+4 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → ∞ √5𝑥2+2𝑥 𝑥 + √𝑥2+4 3 𝑥 √𝑥4+2 4 𝑥 + √𝑥4+4 5 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √5𝑥2 𝑥2+ 2𝑥 𝑥2+ √ 𝑥2 𝑥3+ 4 𝑥3 3 √𝑥4 𝑥4+ 2 𝑥4 4 + √𝑥4 𝑥5+ 4 𝑥5 5 = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞} √5+2_𝑥+ √31_𝑥+_𝑥34 √1+_𝑥42 4 + √51_𝑥+_𝑥54 𝐿 =√5+0+ √0+03 √1+0 4 _{+ √0+0}5 = √5 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞ √𝟓𝒙𝟐_{+𝟐𝒙+ √𝒙}𝟑 𝟐_+𝟒 √𝒙𝟒_+𝟐 𝟒 + √𝒙𝟓 𝟒_+𝟒 = √𝟓 6. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥7₊₃ 5 + √2𝑥4 3₋₁ √𝑥8_+𝑥7_+1−𝑥 6 I/2016 𝐿 = ∞

𝐿 =∞ ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥7₊₃ 5 + √2𝑥4 3₋₁ √𝑥8_+𝑥7_+1−𝑥 6 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥7+3 5 𝑥 7 5 +√2𝑥3−1 4 𝑥 7 5 √𝑥8+𝑥7+1−𝑥 6 𝑥 7 5 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ √𝑥7 𝑥7+ 3 𝑥7 5 + √2𝑥3 𝑥 28 5 −1 𝑥 28 5 4 √𝑥8 𝑥 42 5 +𝑥7 𝑥 42 5 +1 𝑥 42 5 −𝑥 𝑥 42 5 6 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → ∞ √1+_𝑥73 5 + √2 𝑥 13 5 − 1 𝑥 28 5 4 √1 𝑥 2 5 +𝑥7 𝑥 7 5 + 1 𝑥 42 5 −𝑥 𝑥 37 5 6 𝐿 =5√1+0+ √0−04 √0+0+0−0 6 = 1 0= ∞ → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → ∞ √𝒙𝟕_+𝟑 𝟓 + √𝟐𝒙𝟒 𝟑_−𝟏 √𝒙𝟖_+𝒙𝟕_+𝟏−𝒙 𝟔 = ∞ 7 5> 8 6→ 42 > 40 3.9. Indeterminaciones de la forma ∞ − ∞

Es conveniente aplicar las siguientes reglas:

Cuando la función de límite es una diferencia de polinomios, entonces se factoriza el factor común monomio, con lo que se puede lograr levantar la indeterminación.

Cuando la función de límite es diferencia de fracciones, entonces la función el límite se debe reducir

a una función mediante mcd con lo que la indeterminación se transforma en las formas 0

0=? ? o ∞ ∞=

? ? y luego se aplican los métodos propuestos para levantar estas indeterminaciones.

Cuando la función de límite es diferencia de logaritmos, se aplica el siguiente teorema de logaritmo log 𝐴 − log 𝐵 = log𝐴

𝐵 con lo que la indeterminación se transforma en las formas

0 0=? ? o

∞

∞=? ? y luego

se aplican los métodos propuestos para levantar estas indeterminaciones.

Cuando la función de límite es un radical, entonces se debe racionalizar, con lo que la indeterminación se transforma en las formas 0

0=? ? o ∞

∞=? ? y luego se aplican los métodos

propuestos para levantar estas indeterminaciones.

1. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1( 1 1−𝑥− 3 1−𝑥3) 𝐿 = −1 𝐿 = 1 1−0− 3 1−0= 1 0− 3 0= ∞ − ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1( 1 1−𝑥− 3 1−𝑥3) = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 1}( 1 1−𝑥− 3 (1−𝑥)(1+𝑥+𝑥2₎) = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 1}( 1+𝑥+𝑥2−3 (1−𝑥)(1+𝑥+𝑥2₎) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1( 𝑥2+𝑥−2 (1−𝑥)(1+𝑥+𝑥2₎) = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 1}( (𝑥+2)(𝑥−1) (1−𝑥)(1+𝑥+𝑥2₎) = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 1}( −(𝑥+2) 1+𝑥+𝑥2) = − 3 3= −1 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟏( 𝟏 𝟏−𝒙− 𝟑 𝟏−𝒙𝟑) = −𝟏 2. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 2( 2 3𝑥−6− 2 2𝑥2_−5𝑥+2) I/2016 𝐿 = 2 6−6− 2 8−10+2= 2 0− 2 0= ∞ − ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 2( 2 3𝑥−6− 2 2𝑥2_−5𝑥+2) = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → 2}( 2 3(𝑥−2)− 2 4𝑥2−5∙2𝑥+4 2 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 2( 2 3(𝑥−2)− 2 (2𝑥−4)(2𝑥−1) 2 ) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 2( 2 3(𝑥−2)− 2 (𝑥−2)(2𝑥−1)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 2( 2(2𝑥−1)−6 3(𝑥−2)(2𝑥−1)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 2( 4(𝑥−2) 3(𝑥−2)(2𝑥−1)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 2( 4 3(2𝑥−1)) 𝐿 = 4 3∙3= 4 9→ 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → 𝟐( 𝟐 𝟑𝒙−𝟔− 𝟐 𝟐𝒙𝟐_{−𝟓𝒙+𝟐}) = 𝟒 𝟗 3. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞( √𝑥 + 5 3 − √𝑥3 ) * I/2016 𝐿 = ∞ − ∞

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[( √𝑥 + 5 3 − √𝑥3 ) (√(𝑥+5)2 3 + √𝑥3 ∙ √𝑥+53 + √𝑥3 2 √(𝑥+5)2 3 + √𝑥3 ∙ √𝑥+53 + √𝑥3 2)] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}[ 𝑥+5−𝑥 √(𝑥+5)2 3 + √𝑥3 ∙ √𝑥+53 + √𝑥3 2] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ 5 √(𝑥+5)2 3 _{+ √𝑥}3 _{∙ √𝑥+5}3 _{+ √𝑥}3 2] = 5 ∞= 0 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → ∞( √𝒙 + 𝟓 𝟑 − √𝒙𝟑 ) = 𝟎 4. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞(√2𝑥 2_{+ 7𝑥 + 8 − √3𝑥 + 5) * I/2016 𝐿 = ∞} 𝐿 = ∞ − ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[(√2𝑥 2_{+ 7𝑥 + 8 − √3𝑥 + 5) (}√2𝑥2+7𝑥+8+√3𝑥+5 √2𝑥2_{+7𝑥+8+√3𝑥+5})] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}[ 2𝑥2+7𝑥+8−3𝑥−5 √2𝑥2_{+7𝑥+8+√3𝑥+5}] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ 2𝑥2+4𝑥+3 √2𝑥2_{+7𝑥+8+√3𝑥+5}] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}[ 2𝑥2+4𝑥+3 𝑥 √2𝑥2+7𝑥+8 𝑥 + √3𝑥+5 𝑥 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ 2𝑥+4+3_𝑥 √2𝑥2 𝑥2+ 7𝑥 𝑥2+ 8 𝑥2+√ 3𝑥 𝑥2+ 5 𝑥2 ] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ 2𝑥+4+3_𝑥 √2+7_𝑥+_𝑥28+√3_𝑥+_𝑥25 ] = ∞+4+0 √2+0+0+√0+0→ 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → ∞(√𝟐𝒙 𝟐_{+ 𝟕𝒙 + 𝟖 − √𝟑𝒙 + 𝟓) = ∞} 5. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞𝑥 2_[𝑥2_{− √2 + 𝑥}4] * I/2016 _{𝐿 = −1} 𝐿 = ∞ − ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞𝑥 2_[𝑥2_{− √2 + 𝑥}4_{] = 𝑙𝑖𝑚} 𝑥 → ∞𝑥 2_[(𝑥2_{− √2 + 𝑥}4₎(𝑥2+√2+𝑥4) (𝑥2_+√2+𝑥4₎] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}𝑥 2_[𝑥4−2−𝑥4 𝑥2_+√2+𝑥4] 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞𝑥 2_[𝑥4−2−𝑥4 𝑥2_+√2+𝑥4] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}[ −2𝑥2 𝑥2_+√2+𝑥4] = 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}[ −2𝑥2_𝑥2 𝑥2 𝑥2+√ 2 𝑥4+ 𝑥4 𝑥4 ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ −2 1+√_𝑥42+1 ] = −2 1+√0+1 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞𝒙 𝟐_[𝒙𝟐_{− √𝟐 + 𝒙}𝟒_{] = −𝟏} 6. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ln(5𝑥 5_{+ 3𝑥 + 1) − ln(𝑥}3_{+ 7)] I/2016 𝐿 = ∞} 𝐿 = ∞ − ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞[ln(5𝑥 5_{+ 3𝑥 + 1) − ln(𝑥}3_{+ 7)] = 𝑙𝑖𝑚} 𝑥 → ∞[ln ( 5𝑥5+3𝑥+1 𝑥3₊₇ )] = ln [ 𝑙𝑖𝑚_{𝑥 → ∞}( 5𝑥5+3𝑥+1 𝑥3₊₇ )] 𝐿 = ln [ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞( 5𝑥5 𝑥5+ 3𝑥 𝑥5+ 1 𝑥5 𝑥3 𝑥5+ 7 𝑥5 )] = ln [ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞( 5+_𝑥43+1 𝑥5 1 𝑥2+ 7 𝑥5 )] = ln (5+0+0 0+0 ) = ln(∞) = ∞ 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → ∞[𝐥𝐧(𝟓𝒙 𝟓_{+ 𝟑𝒙 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒙}𝟑_{+ 𝟕)] = ∞} 3.10. Exponenciales y logarítmicos

Son límites de funciones exponenciales o logarítmicas, para salvar la indeterminación se debe realizar operaciones algebraicas hasta transformar a los siguientes límites conocidos:

a) lim 𝑥→0(1 + 𝑥) 1 𝑥= 𝑒 b) lim 𝑥→0(1 + 1 𝑥) 𝑥 = 𝑒 c) lim 𝑥→0(1 + 𝑎𝑥) 1 𝑥= 𝑒𝑎 d) lim 𝑥→0(1 + 1 𝑥) 𝑥 = 𝑒𝑎 e) lim 𝑥→0( ln 𝑥 𝑥 ) 1 𝑥 = 0 f) lim 𝑥→0( 𝑎𝑥₋₁ 𝑥 ) 𝑥 = 0 Indeterminación uno elevado a infinito

lim 𝑥→0(1 + 1 𝑓(𝑥)) 𝑓(𝑥) = 𝑒 1er _Método: 𝐿 = lim 𝑥→1(1 + 1 𝑓(𝑥)) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝐿 = lim 𝑥→1( 2𝑥+1 𝑥+2) 1 𝑥−1 Se suma y resta uno. 𝐿 = lim 𝑥→1(1 + 2𝑥+1 𝑥+2 − 1) 1 𝑥−1

Se realiza el común denominador a 1

𝑓(𝑥)− 1 𝐿 = lim 𝑥→1(1 + 2𝑥+1−𝑥−2 𝑥+2 ) 1 𝑥−1 = lim 𝑥→0(1 + 𝑥−1 𝑥+2) 1 𝑥−1

Se sustituye por el inverso del inverso 𝐿 = lim 𝑥→1(1 + 1 𝑥+2 𝑥−1 ) 1 𝑥−1

Se eleva al denominador y a su inverso 𝐿 = [lim 𝑥→1(1 + 1 𝑥+2 𝑥−1 ) 𝑥+2 𝑥−1 ] 1 𝑥−1∙ 𝑥−1 𝑥+2 = [lim 𝑥→1(1 + 1 𝑥+2 𝑥−1 ) 𝑥+2 𝑥−1 ] lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥+2∙ 1 𝑥−1 = 𝑒𝑥→1lim 1 𝑥+2_{= 𝑒}3 2do _Método:

Utilizando la regla práctica cuando 𝐿 = 1∞

1. 𝐿 = lim 𝑥→0( cos(𝑚𝑥) cos(𝑛𝑥)) 𝑥− 2 R: 𝑒12 (𝑛2 − 𝑚2)

Aplicando la regla práctica (cuando 𝐿 = 1∞_):

𝐿 = lim 𝑥→𝑥0 (𝑓(𝑥)g(𝑥)_{) = 1}∞_{⟹ 𝐿 = 𝑒}𝑥⟶𝑥0lim [(𝑓(𝑥) − 1)∗g(𝑥)] 𝐿 = 𝑒𝑥→0lim( cos(𝑚𝑥) cos(𝑛𝑥)−1)∗𝑥− 2_{= 𝑒}𝑥→0lim( cos(𝑚𝑥) − cos(𝑛𝑥) 𝑥2 cos(𝑛𝑥) ) 𝐿 = 𝑒𝑥→0lim( 1 cos(𝑛𝑥))∗lim𝑥→0( [1 − cos(𝑛𝑥)] −[1 − cos(𝑚𝑥)] 𝑥2 ) 𝐿 = 𝑒𝑥→0lim( 1 cos(𝑛𝑥))∗lim𝑥→0( [1 − cos(𝑛𝑥)] 𝑛2 𝑛2𝑥2 − [1 − cos(𝑚𝑥)]𝑚2 𝑚2𝑥2 )_{= 𝑒}1∗( 𝑛2 2− 𝑚2 2 ) 𝐿 = 𝒆𝟏𝟐(𝒏 𝟐_−𝒎𝟐₎ 2. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝜋₂(𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑡𝑔 𝑥 _{R: 1} 𝑢 = 𝑥 −𝜋 2 𝑥 = 𝑢 +𝜋 2 } → {𝑥 → 𝜋 2 𝑢 → 0 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0[𝑠𝑒𝑛 (𝑢 + 𝜋 2)] 𝑡𝑔 (𝑢+𝜋₂) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0{[1 + (𝑠𝑒𝑛 (𝑢 + 𝜋 2) − 1)] 1 (𝑠𝑒𝑛 (𝑢+𝜋₂₎₋₁₎ } (𝑠𝑒𝑛 (𝑢+𝜋₂)−1)𝑡𝑔 (𝑢+𝜋₂)

𝐿 = [𝑙𝑖𝑚 𝑢→0{[1 + (𝑠𝑒𝑛 (𝑢 + 𝜋 2) − 1)] 1 𝑠𝑒𝑛 (𝑢+𝜋_2)−1}] lim 𝑢→0[(𝑠𝑒𝑛 (𝑢+ 𝜋 2)−1)𝑡𝑔 (𝑢+ 𝜋 2)] Por límite conocido: 𝑙𝑖𝑚

𝑢→0{[1 + 𝑢] 1 𝑢} = 𝑒 𝐿 = 𝑒𝑢→0lim[(𝑠𝑒𝑛 (𝑢+ 𝜋 2)−1)𝑡𝑔 (𝑢+ 𝜋 2)] 𝐿 = 𝑒𝑢→0lim[(𝑠𝑒𝑛(𝑢) cos( 𝜋 2)+𝑠𝑒𝑛( 𝜋 2) cos(𝑢)−1)( 𝑠𝑒𝑛(𝑢) cos(𝜋_{2)+𝑠𝑒𝑛(}𝜋_{2) cos}(𝑢) cos(𝑢) cos(𝜋_{2)−𝑠𝑒𝑛}(𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝜋_{2 )})] 𝐿 = 𝑒𝑢→0lim[(cos(𝑢)−1)( cos(𝑢) −𝑠𝑒𝑛(𝑢))]_{= 𝑒}𝑢→0lim[ (cos(𝑢)−1) cos(𝑢) −𝑠𝑒𝑛(𝑢) ]_{= 𝑒}𝑢→0lim[ (cos(𝑢)−1) 𝑢 ∗cos(𝑢)∗( 𝑢 −𝑠𝑒𝑛 (𝑢))] 𝐿 = 𝑒0∗cos 0∗1_{= 𝑒}0_{→ 𝑳 = 𝟏} 3. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ (𝑥+𝑎)𝑥+𝑎_(𝑥+𝑏)𝑥+𝑏 (𝑥+𝑎+𝑏)2𝑥+𝑎+𝑏 R: 𝑒− (𝑎+𝑏) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ (𝑥+𝑎)𝑥+𝑎_(𝑥+𝑏)𝑥+𝑏 (𝑥+𝑎+𝑏)𝑥+𝑎+𝑥+𝑏 = 𝑙𝑖𝑚_𝑥→∞ (𝑥+𝑎)𝑥+𝑎_(𝑥+𝑏)𝑥+𝑏 (𝑥+𝑎+𝑏)𝑥+𝑎_{(𝑥+𝑎+𝑏)}𝑥+𝑏= 𝑙𝑖𝑚_𝑥→∞ (𝑥+𝑎)𝑥+𝑎 (𝑥+𝑎+𝑏)𝑥+𝑎 (𝑥+𝑏)𝑥+𝑏 (𝑥+𝑎+𝑏)𝑥+𝑏 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥+𝑎 𝑥+𝑎+𝑏) 𝑥+𝑎 ( 𝑥+𝑏 𝑥+𝑎+𝑏) 𝑥+𝑏 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥+𝑎 𝑥+𝑎+𝑏) 𝑥+𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥+𝑏 𝑥+𝑎+𝑏) 𝑥+𝑏 𝑢 = 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 → 𝑥 = 𝑢 − 𝑎 − 𝑏 → {_{𝑢 → ∞}𝑥 → ∞ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 𝑢−𝑏 𝑢 ) 𝑢−𝑏 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 𝑢−𝑎 𝑢 ) 𝑢−𝑎 = 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞(1 − 𝑏 𝑢) 𝑢−𝑏 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞(1 − 𝑎 𝑢) 𝑢−𝑎 𝐿 =𝑢→∞𝑙𝑖𝑚(1− 𝑏 𝑢) 𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 𝑢−𝑏 𝑢 ) 𝑏 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞(1− 𝑎 𝑢) 𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑢→∞( 𝑢−𝑎 𝑢 ) 𝑎 = 1∗1 𝑒𝑏𝑒𝑎→ 𝑳 = 𝒆 −(𝒂+𝒃) 4. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑒𝑎𝑥−𝑒𝑏𝑥 𝑥 R: 𝑎 − 𝑏 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (𝑒𝑎₎𝑥_−1−(𝑒𝑎𝑏₎𝑥₊₁ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 (𝑒𝑎₎𝑥₋₁ 𝑥 − 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 (𝑒𝑎𝑏₎𝑥₋₁ 𝑥 = ln 𝑒 𝑎_{− ln 𝑒}𝑏_{→ 𝑳 = 𝒂 − 𝒃} 5. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥2₋₂𝑥 2−𝑥 R: 𝑎 𝑛_{ln 𝑎} 𝑢 = 2 − 𝑥 𝑥 = 2 − 𝑢} → { 𝑥 → 2 𝑢 → 0 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0 (2 −𝑢) 2_{− 2} 2−𝑢 𝑢 → 𝑙𝑖𝑚𝑢→0 4−4𝑢+𝑢2_{− 2} 2₂ − 𝑢 𝑢 → 𝑙𝑖𝑚𝑢→0 −4(2 − 𝑢_{−1)−4𝑢+𝑢}2 𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0(−4 ((2−1)𝑢−1) 𝑢 − 4 + 𝑢) −4 𝑙𝑖𝑚 𝑢→0( ((2−1)𝑢−1) 𝑢 ) + 𝑙𝑖𝑚𝑢→0(−4 + 𝑢) = −4 𝑙𝑛 2 −1_{− 4 → 𝑳 = 𝟒(𝒍𝒏 𝟐 − 𝟏)} 6. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ln[cos(𝑎𝑥)] ln[cos(𝑏𝑥)]= 0 0 R: ( 𝑎 𝑏) 2 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ln(cos(𝑎𝑥)) ln(cos(𝑏𝑥))= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0( ln(cos(𝑎𝑥)) 𝑥2 ln(cos(𝑏𝑥)) 𝑥2 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0( ln(cos(𝑎𝑥) 1 𝑥2₎ ln(cos(𝑏𝑥) 1 𝑥2) ) =1∞ 1∞

Si 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥) y 𝑔(𝑥) en límites es conveniente convertirla a límite exponencial esto

es 1

_{, por tanto se divide entre “𝑥” o “𝑥}

_{”, y dependiendo del valor “𝑥}

0

” en algunos

casos se multiplicara por “𝑥” o “𝑥

_”.

Regla práctica:

𝐿 = lim

𝑥→𝑥₀

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

_{= 1}

_{Directamente seria:}

𝐿 =ln 𝑒 lim 𝑥→0[cos(𝑎𝑥)−1]∗ 1 𝑥2 ln 𝑒𝑥→0lim[cos(𝑏𝑥)−1]∗ 1 𝑥2 → 𝐿 =ln 𝑒 − lim 𝑥→0[ 1 − cos(𝑎𝑥) 𝑎2𝑥2 ]∗𝑎2 ln 𝑒− lim𝑥→0[ 1 − cos(𝑏𝑥) 𝑏2𝑥2 ]∗𝑏2 =ln 𝑒 −𝑎2₂ ln 𝑒− 𝑏2 2 =− 𝑎2 2 −𝑏2₂ →I/2016 7. 𝐿 = lim 𝑥→0(1 + 9𝑥) 7 3𝑥= 1∞ * 𝐿 = 𝑒21 𝐿 = lim 𝑥→0(1 + 9𝑥) 7 3𝑥= 𝑒lim𝑥→0(1+9𝑥−1) 7 3𝑥_{= 𝑒}𝑥→0lim( 63𝑥 3𝑥)_{= 𝑒}lim𝑥→0(21)= 𝑒21 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎(𝟏 + 𝟗𝒙) 𝟕 𝟑𝒙= 𝒆𝟐𝟏 8. 𝐿 = lim 𝑥→1 √2 − 𝑥 𝑥−1 = 1∞ _{* 𝐿 = 𝑒}−1 𝐿 = lim 𝑥→1 (2 − 𝑥) 1 𝑥−1= 𝑒𝑥→0lim(2−𝑥−1) 1 𝑥−1_{= 𝑒}𝑥→0lim( 1−𝑥 𝑥−1)_{= 𝑒}𝑥→0lim(−1)_{= 𝑒}−1 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 √𝟐 − 𝒙 𝒙−𝟏 = 𝒆−𝟏 9. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑙𝑛(1+9𝑥) 3𝑥 * 𝐿 = 3 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑙𝑛(1+9𝑥) 3𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0(𝑙𝑛(1 + 9𝑥) 1 3𝑥) = ln (𝑙𝑖𝑚 𝑥→0(1 + 9𝑥) 1 3𝑥) = ln (𝑒𝑥→0lim(1+9𝑥−1) 1 3𝑥₎ 𝐿 = ln (𝑒𝑥→0lim( 9𝑥 3𝑥)_{) = ln(𝑒}3_{) = 3 → 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎} 𝒙→𝟎 𝒍𝒏(𝟏+𝟗𝒙) 𝟑𝒙 = 𝟑 10. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 5𝑥∙ 𝑙𝑛 ( 1−3𝑥 1−7𝑥) * 𝐿 = 4 5 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1 5𝑥∙ 𝑙𝑛 ( 1−3𝑥 1−7𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0(𝑙𝑛 ( 1−3𝑥 1−7𝑥) 1 5𝑥 ) = ln (𝑙𝑖𝑚 𝑥→0( 1−3𝑥 1−7𝑥) 1 5𝑥 ) = ln (𝑒𝑥→0lim( 1−3𝑥 1−7𝑥−1) 1 5𝑥₎ 𝐿 = ln (𝑒𝑥→0lim( 1−3𝑥−1+7𝑥 1−7𝑥 ) 1 5𝑥_{) = ln (𝑒}𝑥→0lim( 4𝑥 (1−7𝑥)∙5𝑥)_{) = ln (𝑒} 4 5∙lim𝑥→0( 1 1−7𝑥)_{) = ln (𝑒} 4 5∙) =4 5 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 𝟓𝒙∙ 𝒍𝒏 ( 𝟏−𝟑𝒙 𝟏−𝟕𝒙) = 𝟒 𝟓 11. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥−1 𝑥+1) 𝑥 = 1∞ _{𝐿 =} 1 𝑒2 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥−1 𝑥+1) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 𝑥−1 𝑥 𝑥+1 𝑥 ) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞( 1−1_𝑥 1+1_𝑥) 𝑥 =𝑥→∞𝑙𝑖𝑚(1− 1 𝑥) 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(1+ 1 𝑥) 𝑥= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(1+{ −1 𝑥}) 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞(1+ 1 𝑥) 𝑥 = 𝑒−1 𝑒1 = 1 𝑒2 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞( 𝒙−𝟏 𝒙+𝟏) 𝒙 = 𝟏 𝒆𝟐 12. 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 8𝑥− 4𝑥 10𝑥_{− 5}𝑥 * 𝐿 = 1 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 8𝑥_{− 4}𝑥 10𝑥_{− 5}𝑥= 𝑙𝑖𝑚_𝑥→0 8𝑥_{−1− 4}𝑥₊₁ 10𝑥_{−1− 5}𝑥₊₁= 𝑙𝑖𝑚_𝑥→0 (8𝑥_{−1)−( 4}𝑥₋₁₎ (10𝑥_{−1)− (5}𝑥₋₁₎ 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (8𝑥−1) 𝑥 − ( 4𝑥−1) 𝑥 (10𝑥−1) 𝑥 − (5𝑥−1) 𝑥 = 𝑥→0𝑙𝑖𝑚( 8𝑥−1 𝑥 )−𝑙𝑖𝑚𝑥→0( 4𝑥−1 𝑥 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0( 10𝑥−1 𝑥 )−𝑙𝑖𝑚𝑥→0( 5𝑥−1 𝑥 ) = ln 8−ln 4 ln 10−ln 5= ln(8₄) ln(10₅)= ln 2 ln 2= 1 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟖𝒙− 𝟒𝒙 𝟏𝟎𝒙_{− 𝟓}𝒙= 𝟏