Rendimiento de cualquier inversión de capital. ³

Texto completo

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Definición de interés

Cuando una persona pide dinero en préstamo, el que otorga el préstamo, o prestamista por entregarlo debe recibir un beneficio; a dicho beneficio se le llama interés. ¹

Es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo. ² Cargo de servicio por el empleo de dinero o de capital que el usuario paga a intervalos convenidos y que se expresa comúnmente como porcentaje del capital ganado no pagado.³

Rendimiento de cualquier inversión de capital. ³

Por el dinero tomado en rédito en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio se expresa por una suma a pagar por cada unidad de dinero prestada en una unidad de tiempo convencionalmente estipulada. ²

Interés.- renta que se paga por el uso del dinero

En los problemas de interés simple el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agrega los intereses al capital formando un monto sobre el cual se calcularan los intereses en el siguiente intervalo o periodo de tiempo y así sucesivamente se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.

1. EQUIPO EDITORIAL OCEANO 2. LINCOYAN PORTUS GOVINDEN. 3. ERIC L. KOHLER

(2)

Tipos de interés

Existen varios tipos de interés pero nosotros nos enfocaremos a los más utilizados los cuales son:

1. Interés simple 2. Interés compuesto

Interés simple

Es cuando al capital original sobre el que se calculan los intereses permanecen sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. 4

Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son : El capital que se invierte.………. C

El tiempo o plazo……….……….. n El interés simple.……….. I El monto (capital + interés)……. M La tasa de interés.………... i Así mismo definiremos:

Capital: que es la suma entregada el prestamista durante un periodo fijo, dicha cantidad varía a lo largo del periodo del préstamo.

Interés: es la cantidad adicional de dinero que recibirá el prestamista como beneficio del préstamo.

Monto: es la cantidad total de dinero que recibirá el prestamista al terminar el periodo del préstamo el monto varia uniformemente con el tiempo.

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monto superior y el valor actual es precisamente el que tiene en este momento una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura.

Interés simple

La empresa Sección “ “, S. A. De C. V., ubicada en la ciudad de Quiroga, Mich., para financiar su capital de trabajo solicita un crédito de habilitación a Banca Confía, por la cantidad de $200,000.00 pagando una tasa de interés mensual del 3%. El crédito es a 90 días, los intereses serán pagados por adelantado, de igual forma se pagara una comisión por apertura de crédito de 1 al millar (cobrado por adelantado)

Se pide:

1. Determinar el monto de intereses que correspondan a dicho crédito 2. Determinar el importe de la comisión

3. Determinar el importe neto a recibir

4. Determinar el costo de financiamiento de dichos recursos. Formula:

En donde: i = interés c = capital

t = tasa de interés

n = tiempo del préstamo

p = periodo en función de la tasa de interés

(4)

Datos:

Préstamo $200,000.00

Tasa de interés 36% anual, (3% mensual)

Tiempo 90 días 1.- interés: I = (200,000)(0.36)(90) = $18,000.00 360 2.- comisión: Comisión = 200,000.00 (0.001) = $200.00 3.- importe neto a recibir

Préstamo $200,000.00

(-) Intereses $ 18,000.00

(-) Comisión 200.00 18,200.00

(=) Neto recibido $ 181,800.00

4.- costo de financiamiento:

El costo de financiamiento suele llamarse también costo real. Importe neto recibido $181,800.00 : 100% Interés y comisión 18,200.00 : X

X = 10.01%

(5)

Interés moratorio

I = (200,000)(0.48)(15) = $ 4,000.00 360

6. - Determine el costo de financiamiento, suponiendo el inciso anterior:

Préstamo $ 200,000.00 (-) Intereses $ 18,000.00 (-) Comisión 200.00 18,200.00 (-) Intereses moratorios 4,000.00 Intereses y comisión $ 22,200.00 (=) Recibido neto $ 181,800.00 $181,800.00 : 100% 22,200.00 : X X = 12.21% Por 105 días 41.86% anual

7.- Suponga que el crédito es pagado con 15 días de anticipación determine el monto de los intereses que se bonificaran a la empresa.

(200,000)(0.36)(15)

I = 360 = $3,000.00

(6)

$181,800.00 : 100% 15,200.00 : X X = 8.36%

Por 75 días 40.13 % anual

Suponiendo que la empresa requiera como cantidad neta los $200,000.00 ¿Cuánto deberá pedir prestado?

$181,800.00 : 18,200.00 200,000.00 : X

Despejando “x”:

X = 20,022.00

Con formula:

Préstamo = neto a recibir / 100%-(%intereses + %comisión) Préstamo = 200,000.00 / (100%)-(9.1%)* Préstamo = 200,000.00 / 90.9% Préstamo = $220,022.00 Interés (3%) (3) 9.00% Comisión (0.1%)(1) 0.10% Interés + comisión 9.10% Comprobación: Préstamo $220,022.00 Interés y comisión ) 9.10% 20,022.00 Neto a recibir $200,000.00

(7)

$200,000.00 : 100% 20,022.00 : X Despejando “x” X = 10.01% Por 90 días 40.04 % anual

Ejercicios para resolver en clases. PROBLEMA # 1

¿Cuál fue la tasa de interés que cobro el señor Chagolla si él invirtió $500,000.00 y al cabo de 90 días recibió $ 575 000.00?

PROBLEMA # 2

Un pagaré firmado por $ 500,000.00 a 120 días a una tasa de interés del 12%, fue vendido 25 días antes de su vencimiento a una tasa de interés de 18%. ¿En cuánto se vendió el documento?

PROBLEMA # 3

(8)

Ejercicios de tarea PROBLEMA # 4

El Sr. Santoyo firmó un pagare el 30 de marzo por $300,000.00 para ser pagado el 15 de septiembre, a una tasa de interés de 24% ¿Cuál será el valor del pagare a su vencimiento?

PROBLEMA # 5

En el cuadro siguiente se detallan los créditos que tiene la señora Amalia Mendoza.

PRESTAMO CANTIDAD PEDIDA DURACION EN AÑOS

TASA INTERÉS ANUAL

V $1’200,000.0.0 3 25%

W 2’000,000.00 2 18%

X 500,000.00 5 9%

Y 800,000.00 4 7%

Z 1’500,000.00 2 12%

Para cada uno de ellos determine lo siguiente: a) Determine el interés pagado

b) Determine el pago total al vencimiento

c) Determine el total pagado por todas las deudas PROBLEMA # 6

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PRESTAMO CAPITAL QUE SE DEBE PAGAR

TASA DE INTERÉS ANUAL

AÑOS QUE FALTAN

A $ 10’000,000.00 10% 3

B 3’000,000.00 15% 2

C 2’000,000.00 12% 4

D 8’000,000.00 7.5% 5

Determine:

a) la cantidad a pagar el día de hoy por cada deuda b) Determine el dinero que se ahorraría

c) Determine el dinero total ahorrado en las transacciones PROBLEMA # 7

¿Por cuánto tiempo presto el Sr. Placido Domingo $ 1,000,000.00, si la tasa de interés fue de 12 % y le devolvieron $ 1,075,000.00?

PROBLEMA # 8

¿Cual debe ser el precio mínimo al que se debe vender una casa que produce una renta mensual de $ 10,000.00, si la tasa de interés neta que paga el banco es de 7%?

PROBLEMA # 9

Lupita Reina recibirá durante tres años, cada mes $25,000.00 como herencia. Si la tasa de interés simple del mercado es de 12%. ¿A cuánto asciende la herencia?

PROBLEMA # 10

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PROBLEMA # 11

En el cuadro siguiente se describen las obligaciones contraídas por la empresa “Status, S. A.”

DEUDA

DINERO TASA DE TIEMPO TIEMPO QUE FALTA PARA VENCIMIENTO PEDIDO EN PRESTAMO INTERES PACTADO EN AÑOS EN MESES A 1,500,000.00 20% 3 3 B 800,000.00 18% 4 2 C 3,000,000.00 24% 2 8 D 2,500,000.00 30% 3 10 E 4,000,000.00 12% 5 4

La empresa se pone de acuerdo con el deudor y decide reestructurar las deudas con un rendimiento de 18%, en este punto deciden que los abonos también generen intereses, resolver los siguientes incisos.

a. Efectuar un solo pago dentro de medio año. ¿A cuánto asciende el pago?

b. Tres pagos iguales cada 4 meses, el primero dentro de 4 meses. ¿A cuánto asciende cada pago?

c. Un abono por $10, 000,000.00 dentro de 5 meses y el saldo dentro de 6 meses ¿Cuánto se paga al final?

d. Efectuar un solo pago el día de hoy. ¿Cuánto se paga?

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El señor Peter Brad firmó un pagaré por $3, 000,000.00 a 6 meses., a una tasa de interés mensual del 1.5%. Dicho documento fue vendido 2 meses antes de su vencimiento a una tasa de interés del 3% mensual.

Determinar:

a) El valor del pagare a su vencimiento

b) La utilidad que obtuvo el que compró el documento 2 meses antes del vencimiento.

PROBLEMA # 13

La Caja de Ahorros Valladolid Morelia, S.C., tiene como política de préstamos el otorgamiento de créditos con la condición de que el deudor tenga una cuenta de ahorros de por lo menos 50% del préstamo sin ganar intereses. Si el Sr. Flores pidió $500,000 a un año, pagando una tasa de interés de 24% ¿Cuál fue la tasa real que cobro la caja de ahorros?

PROBLEMA # 14

Según estudios financieros realizados por los administradores de la empresa Status, S.A., las utilidades probables para los próximos 5 años son de $200,000.00, $150.000.00, $300,000.00, $250,000.00 y $350,000.00. Si el costo de oportunidad del dinero es de 12%, ¿Cuál es el valor actual de esas utilidades?

PROBLEMA # 15

En el cuadro siguiente se dan las utilidades posibles de 3 tres diferentes proyectos, para los próximos 5 anos, cada uno tiene una inversión inicial de $900,000.00, si la tasa de interés es de 18%. ¿Cuál es el mejor proyecto?

Se presentan las utilidades de cada proyecto

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3 300, 000 300, 000 100, 000 4 400, 000 200, 000 100, 000 5 500, 000 100, 000 1,100, 000

PROBLEMA # 16

Un bono al que le faltan 2 años para su vencimiento y cuyo valor nominal es de $20,000.00 recibe cada 6 meses $1,000.00 de dividendos.

¿Cuál es el precio del bono el día de hoy, tomando en consideración que la tasa de mercado es de 12.5%?

PROBLEMA # 17

Un hospital recibió una donación de $7, 000,000.00 de inmediato para la compra de equipo y al final de cada año recibirá $10, 000,000.00 de interés. Si la tasa de interés es de 7%. ¿Cuál fue el monto de la donación?

PROBLEMA # 18

Santander Serfin le abonara al Sr. Chagolla cuatro pagos iguales de $100,000.00 cada 3 meses. Si la tasa de interés es del 7% y el primer pago es dentro de 3 meses. ¿Por qué cantidad cambiaria?

PROBLEMA # 19

¿Cuál fue la tasa de interés que cobro el señor Mauricio Aurelio si él invirtió $2, 500,000.00 y al cabo de 180 días recibió $ 2,575 000.00?

PROBLEMA # 20

El Sr. Giovanni lobato obtiene un préstamo del banco por la cantidad de $20,000 que le solicito al mismo y acuerda pagarlo después de 2 meses, entregándole al banco $21,400. ¿Cuál es la tasa de interés?

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Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $3,500 que acuerda liquidar haciendo un pago de inmediato por $1,500 y un pago final 4 meses después. Acepta pagar 60 % de interés anual simple sobre su saldo. ¿Cuánto deberá pagar dentro de 4 meses?

PROBLEMA # 22

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Interés sobre saldos insolutos AMORTIZACIONES IGUALES

La característica principal de este tipo de interés es que existen abonos al capital y en consecuencia se paga interés únicamente sobre el monto de la deuda pendiente de liquidar.

La empresa Sección " ", S.A. de C.V., solicita un préstamo bancario para financiar su capital de trabajo por $120,000.00. El interés que pagará será del 3% mensual sobre saldos insolutos. El préstamo se realiza a un año con amortizaciones mensuales de capital.

Se pide:

a) Elaborar tabla de amortización del préstamo.

b) Determinar el monto de los intereses por medio de la ecuación. Datos:

Préstamo $120,000.00

Tasa de interés 36 %

Tiempo 12 meses

(15)

A) Determinación del monto de los intereses:

Cia. Sección " " S.A. De C.V.

Amortizaciones De Capital De Préstamo "w" Contratado Con City Bank

Periodo Capital Al Inicio Del Periodo Intereses (3% Mensual) Amortización Del Capital Pago Total (Capital + Interés) 1 $120,000.00 $3,600.00 $10,000.00 $13,600.00 2 110,000.00 3,300.00 10,000.00 13,300.00 3 100,000.00 3,000.00 10,000.00 13,000.00 4 90,000.00 2,700.00 10,000.00 12,700.00 5 80,000.00 2,400.00 10,000.00 12,400.00 6 70,000.00 2,100.00 10,000.00 12,100.00 7 60,000.00 1,800.00 10,000.00 11,800.00 8 50,000.00 1,500.00 10,000.00 11,500.00 9 40,000.00 1,200.00 10,000.00 11,200.00 10 30,000.00 900.00 10,000.00 10,900.00 11 20,000.00 600.00 10,000.00 10,600.00 12 10,000.00 300.00 10,000.00 10,300.00 SUMAS $ 23,400.00 $120,000.00 $143,400.00

La Amortización del Capital se obtiene dividiendo el préstamo, entre el número de periodos con amortizaciones de capital:

(16)

i = c t (n+1) 2 En donde: c = capital

t = tasa de interés al período

n =número de períodos (no. De amortizaciones) Sustituyendo: I = ($120,000.00)(0.03(12+1) 2 I = $46,800.00 2 I =$23,400.00

Suponiendo los datos del ejemplo anterior y considerando que a la empresa le otorgan 2 meses de gracia (se paga únicamente interés y la amortización de capital se posterga a periodos posteriores),

Se pide determinar:

(17)

Elaboración de la tabla de amortización:

Cía. Sección " " S.A. De C.V.

Amortizaciones de Capital del Préstamo "W" Contratado Con City Bank (Con 2 Meses De Gracia) Período Capital Al Inicio Del Período Intereses (3% Mensual) Amortización Del Capital Pago Total (Capital + Int.) 1 $120,000.00 $3,600.00 $ 0.00 $ 3,600.00 2 $120,000.00 $3,600.00 $ 0.00 $ 3,600.00 3 $120,000.00 $3,600.00 $12,000.00 $15,600.00 4 $108,000.00 $3,240.00 $12,000.00 $15,240.00 5 $ 96,000.00 $2,880.00 $12,000.00 $14,880.00 6 $ 84,000.00 $2,520.00 $12,000.00 $14,520.00 7 $ 72,000.00 $2,160.00 $12,000.00 $14,160.00 8 $ 60,000.00 $1,800.00 $12,000.00 $13,800.00 9 $ 48,000.00 $1,440.00 $12,000.00 $13,440.00 10 $ 36,000.00 $1,080.00 $12,000.00 $13,080.00 11 $ 24,000.00 $ 720.00 $12,000.00 $12,720.00 12 $ 12,000.00 $ 360.00 $12,000.00 $12,360.00 SUMAS $27,000.00 $120,000.00 $147,000.00

B) Determinación del interés del período:

i = c t (n + 1 + pg) 2

Pg = períodos de gracia

Determinación del monto de la amortización:

Monto de la amortización = crédito / no. De amortizaciones Monto de la amortización = 120,000 / 10

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Interés sobre saldos insolutos PAGOS IGUALES

La Empresa Sección “ “, S. A. de C. V., dedicada a la fabricación de lentes de contacto ubicada en la ciudad de Toluca Edo. de México, tiene problemas de liquidez por lo que esta pensando solicitar un crédito bancario para financiar su capital de trabajo, por la cantidad de $3,000,000.00; el préstamo deberá ser a 6 meses, pagando una tasa de interés de 12%.

SE PIDE:

Determine la cantidad que debe pagar mensualmente incluyendo capital e intereses, es decir, ¿Cuál debe ser su Capacidad de Pago mensual?

A = P

(

(

)

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + 1 1 1 n n i i i A = 3, 000,000.00

(

(

)

)

⎟⎟

⎜⎜

+

+

1

01

.

0

1

01

.

1

01

.

6 6         

PERIODO  CAPITAL  INTERES 1%  AMORTIZACION 

PAGO  TOTAL  1  3,000,000.00  30,000.00  487,645.07  517,645.07   2  2,512,354.93  25,123.55  492,521.52  517,645.07   3  2,019,833.41  20,198.33  497,446.74  517,645.07   4  1,522,386.67  15,223.87  502,421.20  517,645.07   5  1,019,965.47  10,199.65  507,445.42  517,645.07   6  512,520.05  5,125.20  512,519.87  517,645.07   PROBLEMA # 7

(19)
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Interés Compuesto

Es cuando los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso.¹

Se dice que el interés se capitaliza y que se esta en presencia de una operación de interés compuesto.

La característica de este tipo de interés es que se capitaliza el interés del periodo anterior

El periodo de capitalización es el intervalo de tiempo convenido en la obligación para capitalizar los intereses. Y la tasa de interés compuesto es el interés fijado por periodo de capitalización.

La tasa convenida para una operación financiera es una tasa nominal. La tasa real o efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser igual o distinta a la tasa efectiva y esto solo depende de las condiciones convenidas para la operación.

En estas operaciones el capital no es constante a través del tiempo ya que a final de cada periodo aumenta por la adición de los intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida.

(21)

Tasa de interés compuesto

Se expresa comúnmente en forma anual indicando si es necesario su periodo de capitalización.

Ejemplo:

28 % anual capitalizable mensualmente 28 % anual capitalizable trimestralmente 28 % anual capitalizable semestralmente

Si el interés se expresa sin mención alguna respecto a su capitalización se entiende que este ocurre anualmente.

Ejemplo:

28 % anual capitalizable

Debe tomarse muy en cuenta que para la solución de cualquier problema de interés compuesto el interés anual sea convertido la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se establezca (semestral, trimestral, etc.)

El monto compuesto es el resultado que se obtiene al incrementar el capital original el interés compuesto.

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Ejercicios Resueltos

El Sr. Manríquez deposita $200,000.00 en Banco Azteca, la misma le pagará un interés del 2% mensual. La inversión se realizará a tres meses con capitalizaciones mensuales de intereses.

Se pide:

1. - determinar el monto de los intereses que cobrará el Sr. Manríquez. Formula:

n M = c (1 + i) En donde:

M =Monto (capital al final del periodo) c =Capital inicial

i =Tasa de interés del periodo

(23)

Cia Sección " " S.A. De C.V.

Tabla De Capitalización De Intereses De La Inversión Periodo Capital Al Inicio Del

Periodo

Intereses Capital Al Final Del Periodo 1 $200,000.00 $4,000.00 $204,000.00 2 204,000.00 4,080.00 208,080.00 3 208,080.00 4,161.60 212,241.60 Interés = M - c Interés = $212,241.60 - $200,000.00 Intereses = $12,241.60

(24)

Ejercicios para resolver en clases- PROBLEMA #1

El Sr. Chagolla invirtió en Inbursa la cantidad de $500,000.00 a una tasa de interés de 7% a 5 años. Cuánto recibirá al término del contrato de inversión, si la capitalización es: a) anual b) semestral c) tetra mestral d) trimestral e) bimestral f) mensal g) diária. PROBLEMA # 2

Un proyecto de inversión genera flujos de fectivo de $500,000.00 anuales durante los próximos 5 años. Si la tasa de interés es de 12% y la capitalización es anual. ¿Cuál es el valor presente de los flujos de efectivo?

PROBLEMA # 3

BBVA Bancomer ofrece 2 planes de inversión el plan “AAA” paga 18% de interés simple y el plan “BBB” una tasa de interés de 16% con capitalización mensual. Si un cliente piensa depositar $200,000.00 a un plazo de:

a) 1 año b) 2 años

(25)

Un capital de $500,000.00 fue invertido en un banco a 5 años, a una tasa de interés de 14% con capitalización anual. ¿A que tasa de interés se debe invertir la misma cantidad para que produzcan los mismos intereses, pero con capitalización mensual? Desarrolle el cálculo.

PROBLEMA # 5

¿En cuanto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés es de 15% y su capitalización es mensual?

Problemas de tarea PROBLEMA # 6

Si un capital de $200,000.00 paga intereses por 1 año $40,000.00 y por 2 años de $88,000.00, ¿Cuál es la tasa de interés que se paga?

PROBLEMA # 7

Una huerta de aguacate producirá $100,000.00 en los próximos 8 años, está a la venta. Si la tasa de interés del mercado es de 6%. ¿Cuál es el precio máximo que recomendaría a un comprador que ofrecería por la huerta?

PROBLEMA # 8

La Sra. Guillen cuenta con $700 000.00 cantidad que piensa invertir en Banco Azteca 3 años. El banco ofrece los siguientes planes de inversión, cuyas tasas varían de acuerdo con su periodo de capitalización.

a) 24% si es anual.

(26)

PROBLEMA # 9

¿En cuanto tiempo se triplica un capital si la tasa de interés es de 6% y su capitalización es mensual?

PROBLEMA # 10

¿A que tasa de interés se deben invertir 600,000.00, para que los 5 años, estos se conviertan en $ 990,000.00 si la capitalización es bimestral?

PROBLEMA # 11

La junta de colonos de “Las Joyas de Ixtapa”, fraccionamiento ubicado en Zihuatanejo, Guerrero se esta modernizando, y según el proyecto se tienen que realizar gastos cada año por un monto de $1,000,000.00. Ellos han decidido crear un fondo, que invertido en el banco, les produzca de intereses la cantidad para efectuar el mantenimiento, si la tasa de intereses es del 6% y la capitalización es mensual. ¿Cuánto se debe invertir para crear el fondo?

PROBLEMA # 12

El Arq. Jaime Cuauhtemoc heredó una inversión que fue realizada hace 10 años por $2,000,000.00, con capitalización mensual y tasa variable. En los primeros 3 años la tasa fue de 24%, en los siguientes 4 años de 18%, y en los últimos 3 la tasa fue de 12%, si hoy decide retirar su inversión, ¿Cuánto le dará el banco?

PROBLEMA # 13

(27)

PROBLEMA # 14

El señor Pepe Celaya tiene $1,000,000.00 y cuenta con dos opciones; la primera es invertirlo en un banco durante 5 años, ganando una tasa de interés de 12%, con capitalización mensual; y la segunda en una empresa cuyas utilidades netas se estiman en $240,000.00 cada año y durante cinco. Empleando el valor presente y futuro, diga cual de las dos opciones recomienda y explique ¿Por qué?

PROBLEMA # 15

¿Qué preferiría usted, recibir hoy $ 500,000.00 o cuatro pagos anuales por $100,000.00, $200,000.00 y $300,000.000, al final de cada año, tomando en consideración que la tasa de interés es de 9.5%?

PROBLEMA # 16

(28)

Bibliografía Consultada:

Problemario de Matemáticas Financieras Abraham Hernández Hernández

Ed. Thomson. 2006 Matemáticas Financieras

Alfredo Díaz Mata, Víctor M. Aguilera Gómez Tercera Edición

Editorial Mc Graw Hill Matemáticas Financieras Lincoyan Portus Govinden Tercera Edición

Editorial Mc Graw Hill Matemáticas Financieras

Javier Gómez, Miguel Jiménez, J. A. Jiménez, Gregorio González Editorial Mc Graw Hill

Enciclopedia Didáctica De Matemáticas Editorial Océano

Diccionario Para Contadores Eric L. Kohler

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