Diagramas de Venn. María Manzano. Febrero 2010 USAL. María Manzano (USAL) Venn Febrero / 22

Diagrama Hoja de Trébol

A

B

C

5

2

8

U

6

1

3

4

7

Áreas del diagrama

Convenciones

1 Sombrearemos en el diagrama las zonas vacías.

2 _{Usaremos cruces entrelazadas para indicar la existencia de elementos}

en una zona.

3 Las zonas de las que carecemos de información permanecerán sin

Sintaxis

La representación diagramática utiliza cuatro objetos básicos

1 _Rectángulo 2 Curva cerrada 3 Sombreado 4 Cruces

Como objetos auxiliares:

5 Líneas, para unir las cruces

Representar zonas vacías

Para expresar en el diagrama que Q P sombrearemos en el diagrama el

área Q P.

Q

P

U

Representar existencia elementos

Para indicar en el diagrama que (P_\Q_{) 6=}∅ pondremos una pequeña marca en todas aquellas zonas que constituyen (P_\Q)y uniremos estas marcas entre sí

Q

P

U

Consistencia e inconsistencia

Inconsistente: sombreados y cruces entrelazadas y un entrelazado completo todo sombreado. Consistente en el resto de los casos.

P U Q P U Q P U Q P₆₌∅ P Q P Q

El resultado …nal es el siguiente:

P

Modelos que satisfacen diagramas

En los cuatro apartados que siguen pondremos algunos modelos del diagrama de la …gura Q P.

1 U = f_{1, 2, 3g P}= f_{1, 2g Q}= f_2g

2 U = f1, 2, 3g P= ∅ Q=∅

3 U = fnjn es un número natural} P= fnjn es un número par}

Q_{= f}n_jn es múltiplo de cuatro_g

4 U = fxjx es un paísg P= fx jx es un país mediterráneog

Razonamientos con diagramas I Hipótesis 1 J_\R₆₌∅ Hipótesis 2 E_\J =∅ Conclusión (J_\R_)\ E₆₌∅ J R U E J R E U J R U E

Razonamientos con diagramas II Hipótesis 1 L F Hipótesis 2 L_\ C₆₌∅ Conclusión C_\ F₆₌∅ L F U C L F U C L F U C

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

Contraejemplo

Puesto que el diagrama …nal es consistente, construimos un modelo que cumpla las especi…caciones del mismo.

U = fa, b, c_g F_{= f}a, b, c_g C_{= f}a, b_g L_{= f}a, c_g

Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues:

fa, c_{g =} L F_{= f}a, b, c_g

fa, c_{g \ f}c_{g = f}c_{g 6=}∅ L_\ C₆₌∅)

Pero la conclusión C_\ F₆₌∅ falla, pues:

Hallar conclusión

Los casos son tres:

1 El diagrama de las hipótesis sólo contiene áreas sombreadas. En este

caso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puede ser una conclusión.

2 El diagrama de las hipótesis contiene sombreado y cruces: 1 Es inconsistente.

2 Es consistente. En este caso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puede ser una conclusión. También lo es cualquiera de los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay más de uno).

3 El diagrama de las hipótesis sólo contiene cruces entrelazadas. Será

La Isla del Tesoro I

HIPÓTESIS 1 Todos los piratas enrolados en La Española saben de la existencia de un tesoro.

P T

HIPÓTESIS 2 Nadie que sepa de la existencia de un tesoro obra desinteresadamente.

T D

CONCLUSIÓN Hay piratas que obran desinteresadamente, pero no van enrolados en La Española.

La Isla del Tesoro II P T U D P T U D P T U D

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

La Isla del Tesoro III

Puesto que el diagrama …nal es consistente, construimos un modelo que cumpla las especi…caciones del mismo.

U = f1, 2_g P=D=∅ T_{= f}1_g

Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues: ∅=P T_{= f}1_{g f}1_{g =}T D_{= f}1, 2_g Pero la conclusión D_\ P₆₌∅ falla, pues:

Hallar conclusión: cruces y sombreado A B U C A B U C A B U C A B U C A B U C A B U C A B

U

Lewis Carroll: Hipótesis

HIPÓTESIS 1 Algunas ostras(O)son silenciosas (S). O_\S₆₌∅

HIPÓTESIS 2 Las criaturas silenciosas no son divertidas (D).

S D

Mediante diagramas de Venn buscamos conclusión al argumento:

O S U D O S U D O S U D

Lewis Carroll: conclusión

De entre las diversas conclusiones posibles elegiremos la estándar; esto es, la que relaciona a los conjuntos O y D.

O

S

U

D

O_\ D₆₌∅

Expresada en español diría: