2.1 En un compressor de dues etapes, el gas que surt de la primera etapa de compressió es refreda (passant-lo a través d’un bescanviador de calor) abans d’entrar a la segona etapa de compressió, per tal d’augmentar l’eficiència del procés. El treball total , W, que cal donar al compressor per a la compressió iso-entròpica d’un gas ideal ve donat per
−
−−
−
+
+ +
+
=
==
=
−
−
−
−
−
−−
−
2
1
2 3 1
1 2 1
k k k
k
p p
p p
T p C W
on Cp és la calor específica del gas a pressió constant, k és la relació entre les calors específiques a pressió constant i a volum constant, i T1 és la temperatura d’entrada del gas al compressor. Determina la pressió, p2, a la que el refredament intermedi s’hauria de portar a terme per tal de minimitzar el treball que cal donar al compressor. Determina també el valor d’aquest mínim treball.
2.2 Determina els màxims i els mínims de la funció f(x)====12x5−−−−45x4++++40x3++++5
2.3 La potència generada per una turbina Pelton és proporcional a u (V-u), on u és la velocitat de la turbina, que és variable, i V és la velocitat del jet, que és fixa. Demostra que l’eficiència de la turbina Pelton serà màxima quan u = V/2.
2.4 Una canonada de longitud L i diàmetre D té en un dels extrems un broquet de diàmetre d, a través del qual es descarrega l’aigua que surt d’un dipòsit. El nivell d’aigua en el dipòsit es manté constant a un determinat valor, h, per damunt del centre del broquet. Determina el diàmetre del broquet per a que l’energia cinètica del doll d’aigua sigui màxima. L’energia cinètica del doll es pot expressar com
2 3 4 5
5 2
fLd 4 D
h gD d 2
4
1
+++ πρ +
on ρ és la densitat de l’aigua, f és el coeficient de fricció, i g és l’acceleració de la gravetat.
2.5 Un fanal elèctric està col·locat tot just al centre d’un tros de gespa de forma circular i de 100. m de diàmetre. Assumint que la intensitat de la llum per unitat d’àrea és directament proporcional al sinus de l’angle incident sobre la superfície de la gespa, i inversament proporcional al quadrat de la distància al fanal, a quina alçaria cal penjar el fanal per a que la intensitat de llum que rep la circumferència exterior de la gespa a la sigui màxima?
2.6 Has de dissenyar una llauna de forma cilíndrica per a contenir 1.0 litres d’oli. Quines són les dimensions de la llauna que minimitzen el cost del material utilitzat?
2.7 Has de preparar un pòster rectangular amb una àrea aprofitable de 500. cm2. Les normes de presentació diuen que hi ha d’haver 4.0 cm de marge superior i inferior i 2.0 cm de marge lateral per cada costat. Quines són les dimensions del pòster que minimitzen el consum de cartolina?
2.8 Determina les dimensions d’una llauna cilíndrica que maximitzen el seu volum de manera
2.9 Determina els mínims i els màxims locals de la funció
((((
x1,x2))))
x12 x22f ==== ++++
2.10 Se sap que el volum de vendes d’un producte, f, és funció del nombre d’anuncis als diaris, x, i dels minuts d’anuncis a la televisió, y, segons l’equació
2
2 3
12xy x y
f ==== −−−− −−−−
Cada anunci al diari, o cada minut a la televisió, costen 1000 Euros. L’empresa vol invertir 48000 Euros en publicitat. Com caldria distribuir aquests diners entre anuncis als diaris i minuts de televisió?
2.11 Una empresa vol construir un espai de magatzem consistent en una única planta de base rectangular. L’àrea de la base ha de ser 22500 ft2 i l’alçària de 18 ft. Hom vol utilitzar totxanes en tres de les parets laterals, i vidre a la quarta. Troba les dimensions de l’edifici que minimitzin el cost dels materials, tenint en compte que el preu del vidre per m2 d’àrea de paret és el doble del preu de les totxanes per m2 d’àrea, i que el preu per unitat d’àrea del sostre és el triple del preu per unitat d’àrea de les totxanes.
2.12 Per l’edifici del problema 2.11, determina les dimensions que minimitzen les pèrdues de calor a través de les parets assumint que les pèrdues de calor per unitat d’àrea, en W/m2, són de 4q al sostre, 2q a la paret de totxanes, 5q pel vidre, i q pel terra.
2.13 La distribució de temperatura adimensional a la superfície d’una placa circular, d’1.00 m de radi, ve donada per
((((
x,y))))
====x2 ++++2y2−−−−xθ
on (x, y) venen donades en metres i l’origen de coordinades és al centre de la placa.
Determina la situació del màxim i del mínim de temperatura i els seus valors.
2.14 Per les condicions de l’exercici 2.13, quines seran les temperatures adimensionals màxima i mínima que notarà una formiga que camina seguint una circumferència de 0.500 m de radi al voltant del centre de la placa?
2.15 Moltes empreses del sector industrial i comercial mantenen un magatzem de matèries primeres o productes per a cobrir futures demandes. L’emmagatzematge evita els costs de temps i diners que implicaria un subministrament continuat, i també representa una protecció contra situacions d’emergència. Un problema clàssic d’optimització és determinar la grandària òptima del magatzem. Un model comunament utilitzat és l’EOQ (Economic Order Quantity). S’assumeix una demanda constant de λ unitats/any de producte. Cada cop que es torna a omplir el magatzem, cal pagar K($) de despesa fixa (independent del nombre d’unitats adquirides). El preu de compra de cada unitat és c($/unitat). El preu d’emmagatzematge per cada unitat és d’h ($/unitat/any). Determina la grandària de magatzem, Q (unitats), que sigui òptima, i el corresponent període d’emmagatzematge, T = Q/λ.
2.16 Una empresa fabrica PCl3, el qual es ven en barrils, amb una quantitat de vendes de B barrils per dia. El cost per barril produït és:
B B barril
Euros C
103
0 10 9
0
50 ××××
++ ++ ++
++
===
=
.
. .
El preu de venda és de 300. Euros per barril. Determina:
a) El nivell de producció que minimitza el cost per barril.
b) El nivell de producció que maximitza els guanys per dia.
c) El nivell de producció amb guany zero.
D D/2
H 2.17 (E) L’energia potencial de les forces d’interacció entre dues molècules és una funció de la distància que les separa, r. Per distàncies de separació grans, aquesta energia, u(r), és positiva perquè les dues molècules s’atrauen per forces d’atracció entre masses o entre càrregues de signe oposat. Per distàncies curtes, les dues molècules es repel·leixen perquè una no pot envair l’espai físic de l’altra, i u(r) ha de ser per tant negativa. Un dels models més senzills per a avaluar aquesta energia d’interacció entre molècules és l’anomenat potencial 6- 12 de Lennard-Jones:
(((( ))))
−
−−
−
∈
∈
∈
∈
=
=
=
=
6 12
4 r r
r
u σ σ
on ∈∈∈∈ i σ són constants positives. Té el potencial de Lennard-Jones u(r) algun (o més d’un) punt(s) estacionari(s) (màxims, mínims, punts d’inflexió)? Si és així, localitza’l(s) i determina el valor de l’energia potencial en el(s) punt(s) estacionari(s) (com a funció dels paràmetres ∈∈ i ∈∈ σ). Per cadascun dels punts estacionaris localitzats, digues si es tracta d’un mínim, d’un màxim, o bé d’un punt d’inflexió. Utilitza només tècniques analítiques
2.18 (E) Hom vol construir un tanc d’emmagatzematge amb un volum total de 1200 m3. El tanc ha de ser cilíndric, tancat per dalt per una semiesfera de diàmetre
igual al diàmetre del cilindre. Cal determinar els valors òptims de D i H que minimitzin la superfície total del tanc.
a) Escriu el model matemàtic pel problema d’optimització
b) Utilitza les condicions necessàries d’òptim per a determinar els valors òptims de D i H, i el valor mínim de l’àrea superficial.
2.19 (E) Determina les dimensions (en metres) d’un contenidor obert (sense sostre) de 10.0 m3 de volum, amb base rectangular i parets verticals (és a dir, en forma paral·lelepipèdica) amb mínim cost (del material). Assumeix que totes les parets tenen el mateix gruix.
a) Dibuixa un esquema del problema on hi apareguin les variables d’interès.
b) Escriu un model matemàtic pel problema d’optimització.
c) Resol, utilitzant tècniques analítiques, el model matemàtic de l’apartat anterior.
2.20 (E) Considera el problema de programació no lineal,
1 2 2
5 2
2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
===
=
−−
−−
≤
≤
≤
≤ + + + +
+ + + +
=
=
=
=
x x
x x
x x Z Minimitza
a) Escriu les condicions d’òptim de Karush-Kuhn-Tucker per a aquest problema.
b) Utilitzant el resultat de l’apartat anterior, que pots concloure dels següents punts?
(Justifica la resposta) i) (0, 0) ii) (1, 1/2) iii) (1/3, -1/6)
c) Si algun dels punts de l’apartat anterior compleix les condicions d’òptim de Karush-Kuhn- Tucker, comprova si també compleix les condicions suficients de segon ordre.
1.0 m
L H
2.21 (E) Una conducció d’aire de secció rectangular està situada dins una regió de secció triangular, tal com s’indica a la figura adjunta.
Els tres costats del triangle són d’idèntica llargària igual a 1.0 m.
L’objectiu és maximitzar l’àrea de pas, L x H.
a) Escriu un model matemàtic d’optimització (amb variables, una funció objectiu i les restriccions pertinents).
b) Resol analíticament (utilitzant paper i la calculadora de butxaca, no pas l’ordinador) el problema per a determinar les dimensions òptimes de la conducció.
2.22 (E) Donat el següent problema d’optimització,
(
1, x2)
2ln( )
1 8ln( )
2f x x x
Maximitzar = +
sota les restriccions:
1 1
8 4
2 1
2 1
≥
≥
= + x x
x x
a) Escriu (totes) les condicions necessàries d’optimalitat de primer ordre (Karush-Kuhn- Tucker) per a aquest problema.
b) Utilitza les condicions necessàries que has escrit a l’apartat anterior per a dir si cadascun dels següents punts compleixen (o no) les condicions (KKT) d’òptim del problema (justifica les respostes):
(i) x1 = 1, x2 = 1 (ii) x1 = 1, x2 = 4 (iii) x1 = 7/3, x2 = 1 (iv) x1 = 2/5, x2 = 32/5
2.23 (E) Donat el següent problema d’optimització:
( )
2 0 0
0 2
5 , ,
3 2 1
3 2
3 2 1
2 3 2 2 2 1 3 2 1
≥
≥
≥
≤
−
≥ + +
+ +
=
x x x
x x
x x x
x x x x x x f Minimitza
a) Escriu (totes) les condicions necessàries d’optimalitat de primer ordre (Karush-Kuhn- Tucker) per a aquest problema.
b) Utilitza les condicions necessàries que has escrit a l’apartat anterior per a dir si cadascun dels següents punts compleixen (o no) les condicions (KKT) d’òptim del problema (justifica les respostes):
(i) x1 = 3/2, x2 = 3/2, x3 = 2 (ii) x1 = 4/3, x2 = 2/3, x3 = 3 (iii) x1 = 2, x2 = 1, x3 = 2
c) Escriu el corresponent programa de GAMS per al problema d’optimització amb restriccions. Soluciona el problema per i contrasta els resultats obtinguts a l’apartat (b).
2.24 (E) Hom ha de construir una carretera que uneixi dues ciutats separades per un riu.
El riu flueix de Nord a Sud (és a dir, paral·lel a la direcció y a la figura adjunta) i, en el tram d’interès, la seva amplada es pot considerar constant amb un valor W. El pont ha de travessar el riu perpendicularment (és a dir, ha de ser paral·lel a la direcció x). Les posicions de les ciutats A [(xa, ya)] i B [(xb, yb)], així com la localització longitudinal del riu (xr; veure figura adjunta) són perfectament conegudes. Els trams de carretera entre cadascuna de les dues ciutats i el riu poden ser perfectament rectes (tal com indica la figura).
a) Determina la localització (yp) òptima del pont per tal de minimitzar la llargària total de carretera que cal construir (és a dir, determina una equació que expressi la localització òptima yp en funció dels paràmetres coneguts W, xr, xa, ya, xb i yb).
b) Dóna un resultat numèric del problema per als següents valors dels paràmetres (tots els valors són en quilòmetres): W = 0.55; (xa, ya) = (0, 0); xr = 2.3; (xb, yb) = (5.3, 4.8).
Riu
W
Pont
x y
A
B
xr
(xb, yb)
(xa, ya) yp
a
b
H
L Escala
Paret 2.25- (E) Una caixa rectangular d’alçària a = 200.
cm i amplada b = 100. cm està situada contra una paret vertical. Quina és la llargària mínima que ha de tenir una escala de fusta que es recolza en l’aresta de la caixa i en la paret (segons l’esquema indicat a la figura adjunta) i quins seran els corresponents valors d’H i L?
2.26- (E) Hom vol fabricar un determinat producte en un reactor industrial. El producte desitjat és el resultat d’una reacció la velocitat específica de la qual depèn de la temperatura segons la relació,
( ) ( )
{
T}
k
k = o 1.5T+0.0010T2 -300 exp−0.0040 on ko és una constant i T és la temperatura del reactor, en K. Tenint en compte que el reactor no pot operar per sota de 300 K ni per damunt de 700 K, determina la temperatura d’operació del reactor
que maximitza la velocitat específica de reacció del producte desitjat. Escriu les condicions necessàries de mínim local, i utilitza aquestes condicions per a determinar la posició (T*) del màxim del problema, i el corresponent valors de la velocitat específica de reacció en aquest punt.
2.27 (E) La reacció del cos humà a una certa quantitat de medicament es pot quantificar, en determinats casos, segons l’equació,
−
= 2 3
2 C M
M R
on C és una constant positiva i M és la quantitat de medicina absorbida per la sang, en mg/litre. El significat físic de R varia segons els casos. Si la reacció a la medicina és un augment de la pressió arterial, aleshores R vindrà donat en mm Hg; si és un augment de temperatura, R vindrà en ºC, etc. Determina el valor de la quantitat de medicina, M, que maximitza la reacció del cos humà.
2.28 (E) Un reactor de forma esfèrica, amb diàmetre D (en metres), bescanvia calor amb l’ambient. Si la caiguda de temperatura entre la superfície del reactor i l’ambient (lluny de la superfície) l’anomenem θ (en K), el coeficient de transferència de calor per convecció, h (W/m2/K) ve donat per:
2 . 1 27 .
55
0. 0 0 .
2 + θ
−= D
h
Consideracions de resistència mecànica del reactor porten a imposar la següent restricció en el disseny:
= 75
θ D
Si la transferència de calor per unitat de temps des del reactor cap a l’ambient ve donada per,
θ π
= D
2h
Q
determina els valors de les variables D i θ que minimitzen les pèrdues de calor (Q) des del reactor cap a l’ambient. Ajut: és possible combinar les equacions d’igualtat amb la funció objectiu per a reduir el problema a un d’una única variable sense restriccions.
2.29 (E) Un projectil es llença cap a l’aire amb una velocitat inicial, Vo, i un angle inicial, α, respecte l’horitzontal. En el context de la figura adjunta, l’origen de coordinades es fa coincidir amb el punt de llançament, L és la distància horitzontal a la que el projectil cau a terra, i H és l’alçària màxima assolida pel projectil durant la seva trajectòria. Si negligim la resistència de l’aire al moviment del projectil, i assumim que som en un dia sense vent, els corresponents balanços de força que actuen sobre el projectil en les direccions x i y es poden escriure, respectivament, com:
2 0
2
dt = x
d g
dt y d 2 =−
2
on g és l’acceleració de la gravetat i t és el temps, essent l’origen t = 0 a l’instant inicial de llançament. Integrant aquestes dues equacions diferencials ordinàries dues vegades, obtenim:
( )
tV
x= ocos α
( )
sen 2
t2
g t V
y= o α −
Combinant les dues anteriors equacions per a eliminar el temps, t, obtenim la següent equació que descriu la trajectòria del projectil:
( )
( )
−( )
αα
= α 2 2
2
cos 2 cos sen
Vo
x gx y
a) Determina l’alçària del punt més elevat de la trajectòria, H, i el temps tH que el projectil tarda en arribar a aquest punt, en funció dels paràmetres del problema (Vo, α, g).
b) Determina el valor òptim de l’angle, α, que maximitza l’abast horitzontal del projectil, L.
Dada: potser trobis interessant la següent igualtat trigonomètrica:
( )
2x 2sen( )
x cos( )
xsen =
2.30 (E; b i c) Donat el següent problema de minimització,
1 9
:
2 1
2 2 2 1
2 2 1
≤ +
≤ +
+
=
x x
x x
ns restriccio les
sota
x x f Minimitzar
a) Demostra que és un problema de Programació Convexa.
b) Escriu les corresponents condicions de Karush-Kuhn-Tucker (condicions necessàries d’òptim de primer ordre).
c) Determina l’òptim del problema de minimització (dóna la localització del mínim i el corresponent valor de la funció objectiu) tot utilitzant les condicions de Karush-Kuhn-Tucker
x y
H
L
3.1 Maximitza
2
1 6
2x x
f ==== ++++ sota les restriccions
0 0
2 2
1
2 1
2 1
2 1
≥≥
≥≥
≥≥
≥≥
≤
≤
≤
≤ + + + +
≤≤
≤≤ ++ ++
−−−
− x
; x
x x
x x
3.2 Minimitza
2
1 3x
x f ==== ++++ sota les restriccions
0
signe de restricció sense
2 4
5 12 3 4
2 1
2 1
2 1
2 1
≤
≤≤
≤
≥
≥≥
≥ + + + +
−−−
−
≤≤
≤≤ +++ +
≤
≤
≤
≤
−
−
−
−
−
−−
−
x x
x x
x x
x x
3.3 Minimitza
2
1 2
4x x
f ==== −−−− sota les restriccions
1 2
8 4
3
2 6
5 2 1
4 2 1
3 2 1
=
=
=
= + ++ + + + + +
=
==
= + + + + + + + +
−
−
−
−
==
== ++ ++
−−
−− x x x
x x x
x x x
on totes les variables xi només poden prendre valors positius.
3.4 Minimitza
2
1 2
3x x
f ====−−−− −−−− sota les restriccions
((((
12))))
0 6 2 3
1
2 1
2 1
, i , x
x x
x x
i ≥≥≥≥ ====
≤
≤≤
≤
−
−
−
−
≤
≤
≤
≤
−
−
−
−
3.5 Minimitza
2
1 100
40x x
f ====−−−− −−−− sota les restriccions
((((
12))))
0
900 3
2
2000 10
4
2500 5
10
2 1
2 1
2 1
, i , x
x x
x x
x x
i≥≥≥≥ ====
≤≤
≤≤ +++ +
≤
≤
≤
≤ + ++ +
≤
≤≤
≤ + ++ +
3.6 Maximitza
2
1 8x
x f ==== −−−− sota les restriccions
signe el en restricció tenen
no
35 5
2
108 7
9
6 2 3
2 1
2 1
2 1
2 1
x , x
x x
x x
x x
−
−
−
−
≥
≥
≥
≥
−
−
−
−
≤
≤≤
≤ + ++ +
≥≥
≥≥ ++ ++
3.7 Maximitza
3 2
1 2x x
x
F ==== ++++ ++++ sota les restriccions
((((
123))))
0
6 4
6 5 2
2 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
, , i , x
x x x
x x x
x x x
i ≥≥≥≥ ====
≤
≤≤
≤ + ++ + + + + +
≥≥
≥≥
−−
−− +++ +
−−
−−
≤
≤
≤
≤
−
−−
− + + + +
3.8 Una empresa de fertilitzants compra nitrats, fosfats, potassa, i una base inerta de guix, els preus dels quals (en Euros per tona) són, respectivament, 1500., 500., 1000. i 100. L’empresa produeix quatre diferents fertilitzants, diguem-ne productes A, B, C i D. Els costs de producció, preus de venda i composició dels quatre fertilitzants són els reflectits a la següent taula:
Composició màssica percentual Fertilitzant Cost prod.
(E/tona)
Preu venda (E/tona)
Nitrats Fosfats Potassa Base inerta
A 100. 350. 5.0 10. 5.0 80.
B 150. 550. 5.0 15. 10. 70.
C 200. 450. 10. 20. 10. 60.
D 250. 700. 15. 5.0 15. 65.
El subministrament setmanal de matèries primeres està limitat a 1000. tones de nitrats, 2000.
tones de fosfats i 1500. tones de potassa. L’empresa està obligada contractualment a subministrar com a mínim 5000. tones/setmana de fertilitzant A i 4000. tones/setmana de fertilitzant D als seus clients. A part d’això, pot produir lliurement les quantitats que cregui més convenients de cadascun dels fertilitzants. Determineu la quantitat setmanal de cada fertilitzant que ha de produir l’empresa per a maximitzar els beneficis.
3.9 Hom vol mesclar dos aliatges de coure (bronze), A i B, per formar un nou aliatge, C. Les composicions dels aliatges A i B, i les especificacions del nou aliatge C són les següents:
Composició percentual en massa
Aliatge Coure Zinc Plom Estany
A 80. 10. 6.0 4.0
B 60. 20. 18. 2.0
C ≥ 65. ≥ 12. ≥ 10. ≥ 3.0
Si el cost de l’aliatge B és el doble del de l’aliatge A, determina les proporcions en que cal mesclar A i B per a produir l’aliatge C amb un cost mínim.
3.10 Una empresa fabrica dos productes, A i B, cadascun dels quals requereix dues operacions en sèrie. Els beneficis per unitat venuda d’A i de B són, respectivament, 5.0 i 7.0 Euros. La fabricació d’una unitat d’A requereix 2.5 hores de tallar i 1.5 hores de polir. Cada unitat de B fabricada requereix 4.0 hores de tallar i 1.0 hora de polir. El nombre màxim d’hores setmanals disponibles per a aquestes dues operacions és de 4000. hores de tallar i 2000. hores de polir.
3.11 Una empresa alimentària ofereix dues mescles diferents de fruits secs per a aperitius. El producte “Mescla-A” conté un 20.% (en massa) d’ametlles, un 10.% de pistatxos, un 15.% de nous i un 55.% de cacauets. El producte “Mescla-B” conté un 10.% d’ametlles, un 20.% de pistatxos, un 25% de nous, i un 45% de cacauets. Un client vol utilitzar en el seu aperitiu una nova mescla que contingui com a mínim 4.0 lb d’ametlles, 5.0 lb de pistatxos, i 6.0 lb de nous. Si els costs dels productes “Mescla-A” i “Mescla-B” són de 2.5 Euros/lb i 3.0 Euros/lb, respectivament, determina les quantitats de “Mescla-A” i de “Mescla-B” que cal utilitzar per a preparar la nova mescla amb un cost mínim.
3.12 Una empresa vol fabricar un nou aliatge a base d’estany, zinc i plom. La composició màssica del nou aliatge ha d’incloure com a mínim un 35% d’estany i un 30.% de zinc, i com a màxim un 20.% de plom. El nou aliatge es fabricarà mesclant diferents aliatges dels quals disposa l’empresa. La següent taula mostra la composició de cadascun d’aquests aliatges i el seu cost:
Aliatge
Propietat 1 2 3 4 5
% Estany 60. 25 45 20. 50.
% Zinc 10. 15 45 50. 40.
% Plom 30. 60. 10. 30. 10.
Cost ($/Lb) 22 20. 25 24 27
L’objectiu és determinar les proporcions d’aquests cinc aliatges que cal mesclar per a produir el nou aliatge amb un cost mínim.
a) Formula un model de programació lineal per aquest problema.
b) Escriu el corresponent programa de GAMS i determina la solució del problema.
3.13 Un taller mecànic utilitza una màquina perforadora i cinc freses per a produir dos objectes diferents, que podem anomenar peça 1 i peça 2. La productivitat de cada màquina en fabricar cada una de les parts és la següent:
Temps de producció, min/peça
Peça Perforar Fresar
1 3.0 20.
2 5.0 15
Hom vol mantenir un balanç en la càrrega de treball de les màquines de manera que cap màquina en particular funciona més de 30. min/dia més que cap altra màquina (assumeix que la càrrega de la perforadora es reparteix equitativament entre les cinc freses). El problema que es planteja és distribuir el temps de treball diari de cada màquina per a obtenir el nombre màxim d’objectes fabricats en un dia, assumint que la jornada de treball és de 8.0 hores/dia.
a) Formula un model matemàtic de programació lineal mixta per al problema proposat.
b) Resol el problema amb l’ajut d’una gràfica.
c) Escriu el corresponent programa de GAMS i determina la solució del problema.
3.14 (E) Una empresa fabrica dos productes diferents, P1 i P2. A la fabricació d’aquests
productes hi intervenen 5 diferents tipus de màquines, M1, M2, M3, M4 i M5. A la següent taula hi trobaràs els temps de màquina necessaris per a produir P1 i P2:
Producte Temps de màquina (en hores per unitat de producte fabricada)
M1 M2 M3 M4 M5
P1 0.60 0.40 0.10 0.50 0.20
P2 0.90 0.10 0.20 0.30 0.30
El nombre de màquines de cada tipus de les que disposa l’empresa és:
Tipus de màquina M1 M2 M3 M4 M5
Quantitat 10 3 4 6 5
Cadascuna de les màquines es pot utilitzar durant 8.0 hores al dia, 30. dies cada mes. No hi ha cap limitació d’emmagatzematge dels productes intermedis, de manera que en qualsevol moment qualsevol màquina pot estar fabricant qualsevol dels dos productes. Com que els costs de producció, els preus de venda i la demanda de P1 i de P2 són gairebé idèntics, la política de l’empresa es produir la màxima quantitat conjunta dels dos productes, P1 i P2.
a) Planifica la producció de l’empresa per a maximitzar la quantitat total de producte (P1+P2) produïda en un mes (digues quina és la quantitat màxima mensual de producte total que hom pot produir en les condicions establertes, i la utilització que es fa de les màquines disponibles).
b) L’empresa decideix comprar una màquina d’un dels cinc tipus coneguts. De quin tipus hauria de ser la màquina que compraries? Justifica la resposta.
3.15 Una refineria pot comprar quatre diferents tipus de petroli, els quals processa per a obtenir quatre productes: gasolina, gas-oil, fuel d’aviació i oli de motor. Existeixen límits màxims en la demanda de cada producte (la quantitat màxima que es pot vendre) i en la disponibilitat de cada tipus de petroli. La refineria té dues cadenes de producció diferents, C-1 i C-2. Només el petroli P-4 es pot processar a través de C-2. La cadena C-1 produeix gasolina, gas-oil i fuel, però no oli. De la cadena C-2 s’obtenen en canvi tots quatre productes. A la següent taula hi trobareu totes les dades rellevants:
C-1 C-1 C-1 C-1 C-2 P-1 P-2 P-3 P-4 P-4
Preu producte (Euros/bbl)
Màxima Demanda(mi
lers bbl/set) Gasolina 0.60 0.50 0.30 0.40 0.40 45 170
Gas-oil 0.20 0.20 0.30 0.30 0.10 30. 85
Fuel 0.10 0.20 0.30 0.20 0.20 15 85
Oli 0 0 0 0 0.20 60. 20.
Producció (bbl producte/
bbl cru)
Altres (*) 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 - - Preu cru (Euros/bbl) 15 15 15 25 25
Cost operació (Euros/bbl) 5.0 8.5 7.5 3.0 2.5 Disponibilitat del cru
(milers bbl/setmana)
100. 100. 100. 220. 220.
(*) Altres es refereix a les pèrdues en el procés.
a) Determina les quantitats que cal comprar de cada tipus de cru per a maximitzar els beneficis.
3.16 Una companyia elèctrica opera dues diferents centrals tèrmiques, diguem-ne A i B, on s’utilitzen tres diferents tipus de carbó com a matèria primera, C1, C2 i C3. Les centrals A i B han de produir, com a mínim, 30. i 80. MWh, respectivament. A la següent taula hi trobareu, per cada planta, la quantitat de cada tipus de carbó que es necessita per a generar 1 MWh d’energia elèctrica, l’índex de contaminació per tona de carbó, i el cost per tona de cada tipus de carbó.
Tones de carbó per a
produir 1 MWh Índex de contaminació
Cost del carbó (euros/tona)
Carbó A B A B A B
C1 2.5 1.5 1.0 1.5 20 18
C2 1.0 2.0 1.5 2.0 25 28
C3 3.0 2.5 2.0 2.5 18 12
Determina les quantitats de cada tipus de carbó que caldrà utilitzar en cada planta per a) minimitzar el nivell total de contaminació.
b) minimitzar els costs global d’operació de les dues centrals.
3.17 Una empresa siderúrgica produeix acer utilitzant quatre processos diferents. A la següent taula hi trobaràs les dades més significatives:
Procés no.
Mineral necessari (tones/dia)
Carbó necessari (tones/dia)
Ma d’obra (persones-
dia)
Acer produït (tones/dia)
Sub- productes (tones/dia)
1 5.0 3.0 6.0 4.0 1.0
2 8.0 5.0 12 6.0 2.0
3 3.0 2.0 5.0 2.0 1.0
4 10. 7.0 12 6.0 4.0
Preu (euros) 50./tona 10./tona 150/persona- dia
350/tona 100./tona
Limitacions
disponibles només 600.
tones al mes
disponibles només 250 tones al mes
cap limitació
Hom pot vendre tot l’acer produït
Només es poden vendre
200. tones al mes
Assumint que qualsevol procés es pot utilitzar qualsevol nombre de dies al mes (30. dies), programa la producció de l’empresa per maximitzar els beneficis.
3.18 Les mesures de temperatura a l’interior d’una paret escalfada de gruix δ, obtingudes en un experiment al laboratori, són:
Distància des de la superfície calenta, x/ δ
0 0.20 0.40 0.60 0.80 1.0 Temperatura, Ti (ºC) 400 350 250 175 100 50
Hom creu (Llei de Fourier) que la distribució de temperatura amb x hauria de ser lineal. Hom vol ajustar els valors experimentals a una expressió lineal, T = a + b x/ δ. Utilitza un model de programació lineal per a determinar els valors d’a i de b que minimitzen.
(((( ))))
∑
∑ ∑
∑
++++ −−−−=
==
= a b xi Ti
f δ
3.19 (E) La següent taula mostra la informació nutricional de la carn de vedella i les patates:
Grams ingerits en una ració típica (mitjana)
Ingredient Carn Patates Requeriment diari
Carbohidrats 5.0 15 ≥ 50. grams
Proteïnes 20. 5.0 ≥ 40. grams
Greixos 15 2.0 ≥ 60. grams
Cost mitjà per ració
(Euros) 4.0 2.0
Cal notar que la ‘ració típica’ es refereix una quantitat específica de grams, preestablerta per a poder fer les estadístiques. En un àpat hom pot servir qualsevol quantitat de grams, i per tant, qualsevol fracció de la ració típica. Has de determinar el nombre de ‘racions típiques’ de carn i de patates que compleixen els requeriments dietètics diaris amb un mínim cost (entenent, es clar, que es proposa una dieta només a base de carn i patates!).
a) Formula un model matemàtic de programació lineal b) Resol el model de l’apartat anterior gràficament
c) Escriu el corresponent model de GAMS i utilitza’l per a resoldre el problema.
3.20 Una planta química fabrica tres productes i utilitza tres matèries primeres amb límits de subministrament, tal com mostra la figura adjunta. Cadascun dels tres productes es fabrica en un procés independent (1, 2, 3), tal com s’indica a la figura. No és obligat consumir tot el disponible d’A, B i C.
Les següents taules mostren les dades de procés:
Matèria primera
Màxim disponible
(lb/dia)
Cost ($/100 lb)
Procés / Producte
Reactius necessaris
(lb/lb producte)
Cost d’operació ($)
Preu de venda del
producte ($)
A 4000 1.50 1 / E 2/3 A, 1/3 B 1.00 / 100 lb A
(consumit a 1)
4.00 / 100 lb E
B 3000 2.00 2/ F 2/3 A, 1/3 B 0.50 / 100 lb A
(consumit a 2)
3.30 / 100 lb F
C 2500 2.50 3 / G 1/2 A, 1/6 B,
1/3 C
1.00 / 100 lb G (produït a 3)
3.80 / 100 lb G Escriu un model de programació lineal i resol-lo per a determinar la distribució òptima de
Monòmer A
3 2 1
Monòmer B
Inhibidor C G F E
3.21 (E) Una refineria pot comprar dos tipus diferents de petroli, dels quals s’obté gasolina, querosè i fuel en les proporcions que s’indiquen a la taula adjunta. La taula també inclou el límit de producció de cadascun dels productes (és físicament impossible produir-ne més a planta). Els guanys en processar el cru del tipus #1 són de 1.00 € / bbl, i pel de tipus #2 són de 0.70 € / bbl. L’objectiu és determinar les quantitats diàries que cal processar de cada tipus de cru per a maximitzar els guanys de la refineria.
% (en volum) de rendiment (bbl de producte per cada 100 bbl de cru alimentat)
Cru #1 Cru #2
Producció màxima (bbl/dia)
Gasolina 70. 31 6.0 103
Querosè 6.0 9.0 2.4 103
Fuel 24 60. 12 103
a) Escriu un model matemàtic de Programació Lineal per l’optimització de la producció de la refineria.
b) Escriu les equacions del Problema de Programació Lineal que sigui el dual del de l’apartat anterior
c) Escriu el programa de GAMS corresponent al model de l’apartat (a).
d) Determina el punt òptim del problema (valors de les variables i de la funció objectiu) amb l’ajut d’una representació gràfica (justifica breument el raonament utilitzat per a determinar on es troba el punt òptim). Compara la solució gràfica amb el resultat del programa de GAMS que has escrit a l’apartat anterior.
e) Resol el problema utilitzant l’algoritme símplex analíticament (és a dir, no utilitzant l’ordinador sinó simplement una calculadora de butxaca; construeix una taula amb el resum del procés iteratiu).
3.22 (E) Una empresa de fertilitzants mescla tres productes químics, que anomenarem A, B i C, per a produir la mescla Súper, la qual es ven a 1.00 Euros/lb. L’empresa també produeix la mescla més econòmica Normal, la qual es ven a 0.80 Euros/lb i només conté dos dels tres productes químics. La següent taula mostra la composició de cada tipus de mescla.
Productes químics
Mescles A B C
Súper 10. % 5.0 % 5.0 %
Normal - 15 % 5.0 %
Quantitat disponible 400. lb 300. lb 500. lb
Observa que hi ha una quantitat màxima disponible de cada producte químic. Cada mescla es completa fins al 100 % amb material inert que prové d’una mina a les rodalies de la fàbrica, i té un cost de 0.10 Euros/lb. Hom disposa d’una quantitat il·limitada de material inert. El cost per lliura dels productes químics A, B i C és de 0.30 €, 0.25 € i 0.21 €, respectivament.
L’objectiu és determinar la quantitat òptima que caldria produir de cada mescla.
a) Escriu el corresponent model de programació lineal (PL).
b) Resol el problema de PL amb l’ajut d’una gràfica.
c) Escriu el corresponent programa de GAMS. Executa el programa, i compara la solució amb l’obtinguda a l’apartat anterior.
3.23 Problema de programació lineal amb coeficients variables. Una empresa fabrica tres diferents productes, A, B i C. Cada unitat de producte A requereix 1.0 hores de treball d’enginyeria, 10. hores de treball directe, i 3.0 lb de material. Per a produir una unitat de B, calen 2.0 hores d’enginyeria, 4.0 hores de treball directe, i 2.0 lb de material. Cada unitat de C requereix 1.0 hores d’enginyeria, 5.0 hores de treball directe, i 1.0 lliures de material. Degut a una mala planificació de la campanya anterior, l’empresa disposa d’un romanent de 100.
hores d’enginyeria, 700. hores de ma d’obra, i 400. lb de material. L’empresa vol aprofitar aquest romanent de la millor forma possible, tot fabricant amb els recursos disponibles unes quantitats dels tres productes amb la màxima rendibilitat. Els tres productes tenen una gran demanda al mercat, de forma que les quantitats fabricades de cada producte es vendran tot d’una, i possiblement a un únic client. Aleshores, cal tenir en compte, però, que l’empresa ofereix una política de descomptes en el preu de venda en funció de la quantitat venuda.
Tenint en compte aquests descomptes, la següent taula reflecteix els guanys nets de l’empresa per unitat fabricada (i venuda) de cada producte.
Producte A Producte B Producte C
Unitats venudes
Guanys per unitat, $
Unitats venudes
Guanys per unitat, $
Unitats venudes
Guanys per unitat, $
0-40 10. 0-50 6.0 0-100 5.0
40-100 9.0 50-100 4.0 Més de 100 4.0
100-150 8.0 Més de 100 3.0
Més de 150 7.0
Això vol dir que, per exemple, si es venen 120 unitats d’A, amb les primeres 40 unitats hom guanyaria 10.$/unitat, amb les 60 següents 9.0$/unitat, i amb les altres 20, 8.0$/unitat.
a) Formula un model de programació lineal per a la millor utilització dels recursos disponibles de l’empresa.
b) Escriu el corresponent programa de GAMS i resol-lo per a determinar les produccions òptimes de cada producte.
Nota: assumeix que hom vendrà tota la producció, i que hom pot fabricar i vendre qualsevol fracció d’unitat.
3.24- (E) Un avió de càrrega té tres compartiments per emmagatzemar la càrrega: frontal, central, i cua. Aquests compartiments tenen límits de capacitat en quant a volum, i també en quant a pes. La següent taula resumeix aquests límits:
Compartiment Pes màxim (Tones) Capacitat (peus cúbics)
Frontal 12 7000
Central 18 9000
Cua 10. 5000
A més, per a poder mantenir el balanç de l’avió durant el vol, cal que la proporció entre el pes de la càrrega i el pes màxim sigui la mateixa en tots tres compartiments. L’empresa de transport té quatre ofertes de càrregues per al proper vol de l’avió:
Tipus de càrrega
Quantitat màxima a transportar (tones)
Volum específic (peus cúbics per tona)
Guanys nets per l’empresa ($ per tona
transportada)
1 20. 500 320
2 16 700 400
3 25 600 360
4 13 400 290
L’empresa pot acceptar qualsevol porció d’aquestes càrregues (és a dir, hom pot transportar qualsevol quantitat de tones entre zero i el màxim ofert). L’objectiu seria determinar quantes tones de cada tipus de càrrega ha de transportar l’avió, i com s’haurien de distribuir aquestes quantitats entre els tres compartiments, per tal de maximitzar els guanys de l’empresa. Escriu el corresponent model matemàtic de programació lineal, indicant quines són les variables i què signifiquen, i escrivint una funció objectiu i (totes) les restriccions que s’escaiguin (on hi apareguin, és clar, aquestes variables).
3.25 (E) Donat el següent model de programació lineal,
3 2
1 4 7
10
Z x x x
Maximitzar = − +
sota les restriccions:
0 0 0
20 2
90 40 2
5
25 3
2
25 2
3
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
≥
≥
≥
≤ +
−
≤ + +
≤ + +
≤ +
−
≤ +
−
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
escriu el corresponent model dual, tot indicant quines són les variables i explicant-ne el seu significat, i escrivint la corresponent funció objectiu i les restriccions que pertoquin.
3.26 (E) Resol el següent problema de programació lineal (pots fer-ho mitjançant l’ajut d’una gràfica):
:
2 3 2
1 2 3 4 5
ns restriccio les
sota
x x x x x f
Minimitzar = + + − +
5 , 4 , 3 , 2 , 1 0
2 3
0 2
4 3 3
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
=
≥
= + + + +
=
− + +
− i x
x x x x x
x x x x x
i
Ajut: Recorda la teoria de la dualitat en programació lineal (si no tens en compte aquesta dada, el problema seria difícil de resoldre sense l’ajut de l’ordinador). És a dir, primer pots escriure el model dual, i desprès resoldre aquest model dual (utilitzar una gràfica en facilita la resolució).
Dóna el resultat del problema, és a dir, la localització del mínim (en termes de les x’s) i valor mínim de la funció, amb dues xifres significatives.
3.27- (E) L’empresa FustaForta S.A. fabrica palettes de fusta, els quals ven a diferents clients.
Hom fabriquen dos diferents tipus de palette, l’Estàndard i el Superllarg. En tots dos models hi ha tres taulons llargs i gruixuts de fusta, anomenats separadors, el quals estan units per un cert nombre de taulons transversals. Al model Estàndard hi ha 5 taulons transversals a la part de dalt i 5 taulons transversals a la part de baix, i costa 0.25 hores de muntar-lo. Al model Superllarg hi ha 9 taulons transversals a dalt i 9 taulons transversals a baix, i costa 0.30 hores de muntatge. L’empresa disposa d’un subministrament il·limitat de fusta, però calen 0.0050 hores per a fabricar un separador Estàndard, 0.0070 hores per a fabricar un separador Superllarg, i 0.0020 hores per a fabricar un tauló transversal. Assumint que hom pot vendre tots els models Estàndard que hom fabriqui amb un guany de 5.0 € per unitat, i tots els models Superllarg que hom fabriqui amb un guany de 7.0 € per unitat, FustaForta vol saber què ha de produir amb les 200. hores de temps de muntatge i les 40. hores de temps fabricació disponibles.
a) Escriu el model de programació lineal, indicant quines són les variables, la funció objectiu i totes les restriccions que s’escaiguin.
b) Amb l’ajut de la representació gràfica del problema, determina la política de producció òptima de l’empresa FustaForta S.A..
c) Escriu el corresponent programa de GAMS. Compara els resultats de l’execució del programa amb els que has obtingut a l’apartat anterior.
3.28 (E) Un estudi ven fotografies i gravats. Comprar una fotografia costa 20. € i calen 2.0 hores de feina per a emmarcar-la. Comprar un gravat costa 25 € i calen 5.0 hores per a emmarcar-lo. La tenda disposa d’un màxim de 400 € per a gastar, i d’un màxim de 60. hores de feina per a emmarcar. Si la tenda guanya (guanys nets, un cop descomptades totes les despeses i impostos) 30. € per cada fotografia venuda i 50. € per cada gravat venut, el teu objectiu és determinar el nombre de fotografies i de gravats que l’estudi hauria de comprar per a maximitzar els guanys (assumint que totes les fotografies i gravats emmarcats es vendran).
a) Escriu un model de programació lineal, indicant quines són les variables, la funció objectiu i totes les restriccions que s’escaiguin.
b) Escriu el corresponent model dual.
c) Determina, amb l’ajut d’una gràfica, l’òptim del problema de programació lineal (és a dir, digues quantes fotografies i quan gravats cal comprar, i quins seran els guanys de l’empresa). Mostra que la solució proposada compleix les condicions d’optimalitat.
3.29 (E) Una empresa produeix una quantitat x1 d’un producte P1 i una quantitat x2 d’un altre producte, P2; els beneficis respectius dels dos productes són de 4.0 €/unitat i 3.0 €/unitat. La fabricació de tots dos productes passa per dos processos diferents, A i B. El producte P1
requereix 1.0 hores del procés A i 3.0 hores del procés B per cada unitat fabricada. El producte P2 requereix 3.0 hores del procés A i 2.0 hores del procés B per unitat fabricada. El nombre total d’hores setmanals disponibles per cada procés és de 200 pel procés A i 300 pel procés B. L’objectiu és determinar les produccions setmanals de P1 i de P2 que maximitzen els guanys de l’empresa.
a) Escriu un model de programació lineal, indicant quines són les variables, la funció objectiu i totes les restriccions que s’escaiguin.
b) Escriu el corresponent model dual.
c) Determina, amb l’ajut d’una gràfica, l’òptim del problema de programació lineal
d) Mostra que la solució proposada compleix les condicions d’optimalitat (és a dir, que la solució proposada també és factible en el model dual).
4.1 Minimitza,
(((( ))))
((((
1075))))
065 1 0 x 365
0 2 1 ≤≤≤≤ ≤≤≤≤
−
−
−
−
++ ++
−
−
−
−
=
=
=
= . . −−−− ;
. xtan x
x x f 4.2 (E) Minimitza,
(((( ))))
====3 2 ++++123 −−−−5 ; 0.5≤≤≤≤x≤≤≤≤2.5x x x f
d) Escriu les condicions de mínim local, i utilitza aquestes condicions per a determinar la posició (x) dels mínims Escriu les condicions necessàries i suficients de mínim local, i utilitza aquestes condicions per a determinar la posició (x) dels mínims del problema i els corresponents valors de la funció.
e) (3 punts) Resol el problema numèricament tot utilitzant el mètode de Newton amb el punt inicial xo = 2.00. Has de determinar la situació del mínim amb una precisió de quatre xifres significatives. Ves omplint la següent taula amb la informació corresponent a cada iteració que portis a terme:
Iteració (k) xk f (xk) f’ (xk) f’’ (xk) xk+1 4.3 En una planta química el cost de les canonades, les juntes, i les bombes és un factor important en els costs d’inversió i de manteniment. Considera el disseny d’una canonada de llargària L (ft) que ha de transportar un cabal Q (galons/min) d’un fluid. La selecció del diàmetre de canonada, D, està basada en la minimització del cost. Suposa que el cost anual d’un sistema format per una canonada d’acer al carbó i la corresponent bomba centrífuga es pot expressar com,
(((( ))))
hp 616(((( ))))
hp 102325 245
0 45
0 ++++ 15++++ 12++++ 0925++++
=
==
= . L . LD. . .
f
68 4
68 2 9 5
3
8 192 10
10 4
4 .
.
.
. D
LQ D
hp==== ×××× −−−− LQ ++++ ×××× −−−−
on D ve donat en polzades. Quin serà el diàmetre òptim d’una canonada amb llargària L = 1000 ft la qual ha de transportar un cabal de Q = 20. galons/min?. El diàmetre no pot ser inferior a 0.25 polzades ni superior a 0.50 ft.
4.4 Minimitza
(((( )))) (((( )))) ((((
12))))
2 2 1 2 2
1 x 100 x x 1 x
x
f , ==== −−−− ++++ −−−− 4.5 Minimitza
(((( )))) {{{{ [[[[ (((( )))) ]]]] }}}} {{{{
1[[[[ ((((
2))))
2]]]]
2}}}}
22 2 2 2 1
2
1 x 13 x 5 x x 2 x 29 x x 1x 14x
x
f , ==== −−−− ++++ ++++ −−−− −−−− ++++ −−−− ++++ ++++ ++++ −−−− 4.6 Minimitza
(((( )))) [[[[ (((( )))) ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) ((((
2 4))))
2 4 2 2 3 2 2
3 4 2
1 2 2
1 2 4
3 2
1 x x x 10x x 1 x 90x x 1 x 10 x x 2 01x x
x
f , , , ==== −−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ++++ ++++ −−−− ++++ . −−−− 4.7 Localitza els mínims de la funció:
(((( )))) (((( )))) ((((
1 22))))
22 2 2 1 2
1 x ==== x ++++x −−−−11 ++++ x ++++x −−−−7 x
f ,
4.8 Una aplicació comuna de la programació no lineal és l’ajust de distribucions de probabilitat contínues a les dades mesurades. Imagina que en una determinat experiment tenim tres variables aleatòries independents, x1, x2, x3, i que les tres variables tenen la mateixa distribució de probabilitat,
e x
) x (
d ====α −−−−α
Determina el valor del paràmetre α que maximitzi la probabilitat de que es produeixi, d’acord amb el model establert, l’observació (x1, x2, x3) = (4, 9, 8), és a dir,
((((
α 4α))))((((
α 9α))))((((
α 8α))))
8 9
4, , )==== e−−−− e−−−− e−−−− (
P
4.9 (E, excepte d) Donat el següent problema d’optimització:
(((( ))))
0 0
2
8 2
10
2 1
2 1
2 2 2 3 1 2 1 1 2
1
≥
≥
≥
≥
≥≥
≥≥
≤
≤
≤
≤ + ++ +
−−
−− ++ ++
−−−
−
−−
−−
==
==
x x
x x
x x x x x x
x f
Maximitza ,
a) Considera primer el problema sense restriccions (és a dir, només la funció f). Determina analíticament el punt (o punts) que compleix (o compleixen) les condicions necessàries per a ser òptim (o òptims) del problema sense restriccions.
b) Utilitza el mètode de Newton per a determinar un òptim del problema sense restriccions (considerant només la funció objectiu). Comença a iterar en el punt (0, 0) i construeix una taula on a cada iteració hi figurin els valors de la funció, de la matriu Hessiana, i dels vectors gradient, x, i ∆∆∆∆x.
c) Utilitza les condicions de Karush-Kuhn-Tucker per a determinar si els següents punts poden ser òptims locals (és a dir, si compleixen les condicions necessàries): (-2.61, 4.00), (-2.73,4.73), (0.732, 1.268), (0.00, 4.00).
d) Si algun dels punts de l’apartat anterior compleix les condicions necessàries de Karush- Kuhn-Tucker, comprova si també compleix les condicions suficients (de segon ordre) d’òptim local.
Nota: Cal donar els resultats amb precisió d’una centèsima per als valors d’x i d’una dècima per a la funció objectiu (això no vol dir que no puguis utilitzar, si convé, més precisió en els càlculs intermedis).
4.10 (E) Donada la funció de dues variables,
(
x1,x2)
= x1x2 −5(
x1 −2)
4 −3(
x2 −5)
4f
determina numèricament la localització d’un màxim de la funció, tot utilitzant el mètode de Newton amb el punt inicial (x1, x2) = (3, 7). Resumeix el procés iteratiu en forma de taula, on hi aparegui tota la informació rellevant. Cal localitzar el màxim amb una precisió de com a mínim dues xifres significatives per a les coordinades x1, x2.
4.11 Hom vol utilitzar un compressor de tres etapes per a comprimir un gas des de P = 1.0 atm fins a P = 64 atm. Assumint que la compressió és adiabàtica i reversible, i que al final de cada etapa de compressió el gas es refreda fins a la seva temperatura inicial, T1, el treball donat pel compressor per cada mol de gas ve donat per
Determina els valors de les pressions intermèdies, p2 i p3, que minimitzin el consum d’energia del compressor per un gas amb α = (k-1)/k = 0.5.
4.12 Imagina que vols dissenyar el servei de distribució de correu en un territori de gran extensió. El correu el reparteixen els carters, que poden anar caminant, o bé desplaçar-se amb un vehicle de l’empresa. Cada dia el carter ha d’anar a la central de correu més propera, recollir la correspondència de la seva zona, repartir-la, i tornar a la central. El problema és trobar el nombre òptim de centrals de correu repartides per tot el territori. Un nombre gran de centrals representa per una banda un elevat cost, però a la vegada també redueix altres despeses ja que es necessitaran menys carters, i aquests hauran d’utilitzar menys els vehicles.
Un dels models existents considera les següents variables:
a = àrea del territori
m = nombre de clients al territori
t = temps mitjà que necessita un carter per portar el correu a un client d = distància mitjana recorreguda pel carter en un dia
c = cost anual de cada carter
u = cost anual d’operació de cada central de correu
La variable de disseny és x, el nombre de centrals de correu que hi haurà al territori. Si les centrals de correu es distribueixen uniformement pel territori, aleshores el cost d’operació anual del servei de correus vindrà donat per
(((( ))))
−−−
− + ++ + +
++ +
=
==
= d k a x
am k c tm ux x f
1 2
on k1 i k2 són constants de proporcionalitat. A tall d’exemple, determina el valor òptim d’x pel següent cas (valors amb unitats arbitràries): a = 400., m = 200000, d = 8.0, t = 0.050, c = 0.10, u = 0.75, k1 = 0.20, k2 = 0.10.
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
−
−
−
− +
+ + + +
+ +
+
−−−
= −
==
=
−−−
−
−−−
−
−−−
−
1 3
1
3 4 1
2 3 1
1
1 2
k k k
k k
k
p p p
p p
p
k RT k W
