1,.;;: Continuidad de funciones:

Continuidad de funciones:

Sea f(x) una función deñnida en un cierto dominio D, y sea x.,un punto perteneciente al dominio. decimos que la función f(x) es continua en x.,si y sólo si existe ellim de f(x) cuando

x

tiende aXoY ese lim coincide con el valor de la función en :X;O

f(x) continua en Xo ~ lirn_x-Xof(x) =f(Xo) ~J(xo +h)

=

J(xo)

flX,)I---Y.'

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuando es continua en todos los puntos del interior del intervalo y es continua por la derecha en aypor la izquierda en b, es decir el limite cuando x tiende hacia a por la derecha coincide con f (a) y el límite cuando x tiende a b por la izquierda coincide con f (b).

Esta función f(x) no es continua en x=a. No tiene límite en dicho punto, los límites laterales :3pero no coinciden.

I

1, .;;:

Esta función g(x) no es continua en x=a

Tiene límite en dicho punto, pero no coincide con el valor

Principales propiedades de las funciones continuas:

1) Si f(x) y g(x) son funciones continuas en un cierto dominio, f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x),g(x) y(go1)(x) son continuas en el dominio,

2) Por ser la función f(x)=x continua en todo IRy por ser la función g(x)=k continua en todo IRde la primera propiedad se deduce que cualquier función polinórnica es continua en todo IR.

3) 'Si f(x) y g(x) son continuas en un dominio D, el cociente f(x)/g(x) es continua en todo D menos los puntos en donde se anula el denominador.

4) Toda función continua en un intervalo cerrado admite un máximo y un mínimo,

.

~;';y-

.

-~HX IvI'" I t

----~4

j---TEOREMA DE WEIERSTRASS

5) Una función continua en un intervalo cerrado está siempre acotada, .

6)

Teorema ?e Bolzano:

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y toma valores de signos distintos en los extremos del intervalo existe al menos un punto perteneciente al intervalo en el cual lafse anula.

'--,

\. h

"-! 7) Consecuencia del Teorema de Bolzano también llamado

Teorema de los

Valores Intermedios:

Sea fex) una funcióncontinua en el intervalo cerrado [a,b].Sea kunaconstante comprendida entre los valores que toman en sus extremos. Hayal menos un punto perteneciente al intervalo en el que la función toma ese valor..

Si f(x) es continua en [a.b]y f(a)::;K ::;f(b)~3c E[a.b] / f(c)

=

K

',' f(b)

-:

}<

-

:

{(a.) /' a e b

También podríamos enunciar el resultado anterior'diciendo que una función continua es un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores comprendidos entre fea) y f(b).

Tipos de discontinuidades.

Una función es continua en un puntox

=

a si,y solo si lim; ...a.•f(x) =fea)

Si esto no se cumple por alguno de los motivos apuntados anteriormente, diremos que la función es discontinua en dicho punto.

Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor que toma la función en el punto.

Discontinuidad evitable.

Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en élyno coincide con el valor de la función en el mismo.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el punto.

Discontinuidad inevitable.

Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en dicho punto.

Podemos distinguir dos casos: PRIMER CASO.

Existen los límites laterales y son finitos ydistintos

En este caso la discontinuidad evitable se denomina de salto finito, siendo el salto la diferencia en valor absoluto, entre los límites laterales de la función en el punto.

s= I

h-l¡1

SEGUNDO CASO

Que alguno o los dos límites laterales sea infinito.

En este caso la discontinuidad inevitable se denomina de salto infinito.

---_.--~.-

--Continuidad uniforme:

Se dice que una función f(x) es uniformemente continua en un intervalo 1 cuando para todo número real positivo e>O existe otro número real positivo 6>O tal que cualquiera que sea los valores x, y X2delI que verifique! XI-X2!<6 se cumple

que !f(x¡)-f(X2)!<e.

f(x) es continua uniforme en I <=>V'E>O :3B / VX¡,X2 El / IX¡-X21<B =>1f(x¡)-f(x2)/ < s

Intuitivamente esto nos. quiere decir que una función es uniformemente continua en un intervalo si al tomar 2 puntos muy próximos entre si del intervalo las imágenes de esos puntos también están muy próximos.

Ejemplo: I u , i In

1

2-¡

1

f(x)=tg(x) en ( -; I ~) es continua; sin embargo no es uniformemente continua.

puesto que al acercamos a n/20 a -n/2 para valores muy próximos que tome la variable (x) las imagenes de estos valores están muy separados.

Aproximación de las raíces de una ecuación:

Veíamos en el Teorema de Bolzano que se puede utilizar para calcular las raíces de una ecuación; vamos a ver a continuación algunos enunciados que nos van a ayudar a dicho cálculo.

En el problema que se nos presenta podemos distinguir 3 fases: 1) Acotación de las raíces.

2) Separación de las raíces. 3) Aproximación de las raíces.

1

1) Acotación de las raíces:

Se trata de encontrar 2 cotas, superior e inferior que nos permitan. asegurar que entre ellas están todas las raíces de la ecuación.

Para ello vamos a aplicar el método de LAGUERRE:11 Si al dividir el polinomio P(x)

por X-L todos los coeficientes y el resto son positivos, L es cota superior de las raíces de la ecuación".

Aplicando el mismo método a la función transformada X1=-X obtendríamos la cota inferior de las raíces.

2) Separación de las raíces:

Para separar las raíces tenemos los siguientes enunciados:

"Si en un intervalo la función toma valores de signos opuestos en sus extremos tiene un numero impar de raíces en ese intervalo",

Metodo de ROLLE: "Entre dos raíces consecutivas de f(x) haya lo sumo una raíz de f(x)".

3)Aproximación de las raíces:

Existen varios métodos para apróximar las raíces. Nosotros vamos a emplear el más elemental que se deduce del Teorema de Bolzano:

Estudio de la derivada de una función.

Función derivables.

Derivada de una función en un punto:

Definimos la derivada de una función f(x) en el punto a con a E D como el

siguiente limite si existe:

f' ea)

=

lim f(a+h)-f(a)

~o h

, . t"y

yx=hrn A •• I1x~OLL'l

_--" Interpretación geométrica de la derivada: f'(a)-=lim1(a+h)-1(a) h-+-Q jJ-+-a limtgjf=tga

11->0 h /¡-.o

1, 1(a+ h) -1(a)

lIT1 .

=

tga'

s-o h ' t(a)

=

tgd

=

'1ll

Por lo tanto la derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tg a la curva en dicho punto.

Derivadas Laterales:

_Derivada Lateral por la derecha: f' (a .)

=

lirn1(a+h)-1(a) I 11->0+ h

- Derivada Lateral por la izquierda: f' (a.-) =lirn1(a+h

h

-1(a)

. p b->~

Para que una función f sea derivable en un punto tienen que existir las derivadas laterales ycoincidir. Una función derivable será en [a,b] cuando derivable es en el intervalo (a,b) y existe la derivada por la derecha en ay la derivada lateral por la izquierda en b.

Función derivada:

Si la función f(x) es derivable en un cierto D a la función que asigna a cada punto D la derivada de la función en el punto llamaremos función derivada,

ContinUidad de las funciones derivables:

Sea f(x) una función definida en cierto D. Si f(x) es derivable en a siendo a ED

podemos afirma que f(x) es continua en a

Demostración: Si la función f(x) es derivable en a el siguiente limite existe y es un número real f' (a)=liml~a+h)-1(a)

.-\ En este limite el denominador tiende hacia Oy para que nos de un numero real el numerador tiene que tender también hacia O:

llln[f(a+ h) -1{a) ]

=

O =>lirnf(a +h)-lirnf(a)

=

O lirnf(a +h)

=

i{a)

b-+O h~O h~O n-o

f(x) es continua en a.

Sin embargo lo contrario no es siempre cierto. No podemos afirmar que una función continua en un punto sea derivable en dicho punto.

Diferencial de una función:

Diferencial de una función en un punto como el producto de la derivada de la función en ese punto por el incremento de la variable;

Interpretación geométrica:

'".;..•...;

PO

19a= L\x: PO= tga·!!ix=f'(x).!!ix dy= f (x)dx

dy =f'(x) (jx

x

Xt.6X

Teorema de Ralle:

Si una función es continua en [a,b] y derivablé en el (a,b) y además f(a)=f(b) existe al menos un a perteneciente al (a,b) donde la derivada de la función se anula: f'(a)=O.

--t---t----___j_

D

CUADRO DE LAS DERNADAS y=k y'=O y=x y'=l y=kf(x) y'=kf(x) y=y;!l _y'<nx":' y=f(x)±g(x) y' =f'(x)±g' (x) y=f(x) 'g(x) y' =f (x)· g(x) +f(x)' g' ex) f(x) y'= ['(x)· g(x) -f(x)· g'(x) y= g(x) fq(x)12 y= [f(x)] n y' =n[f (x)]n-l[' (x) 1 , -I'tx) y= [(x) _{y = U(x)12} y= éf(Xl Y ,=af(x)¡I '(x) .Lna y= ef(x) _{y' =}ef(x). ['(x) y= logb[(x) _y,₌ [_[('(_xx)_{) logbe} y= Lnf(x) _y,

₌

I' (x) [(x) y=senf(x) y' =f'(x) cosf(x) y= cos [(x) y' =-f'(x) senitx) y= tg f(x) y' =

[1

+tif f(x) J['(x) y'

=

;f( /'(x) cos x y'

=

sec2f(x) ['(x) y =arcsen f(x) y'

=

f'(x)

h -

[f(x)] 2 y= arccos [(x) y'

=

-['(x)

h -

[[(x)]z , ['(x)

~=

arctan [(x) y

=

1+f[(x) 12

Aplicación de las derivadas :

Al calculo de funciones y problemas de los máximos y mínimos condicionados.

Función creciente en un punto:

Decimos que una función f(x) es creciente en un punto ,\a'<cuando fea-h)<fea)<fea+h)

Para h suficientemente pequeño ypositivo.

Por la interpretación geométrica de la derivada, (I.G.D.) si en un punto la derivada de la función es positiva, la función es creciente en ese punto.

--- ---~-~~--~. -- ---

-Función decreciente en un punto:

Decimos que una función es decreciente en un punto a cuando se cumple fea-h)>fea)>f(a+h)

Para h suficientemente pequeño ypositivo.

r1-.) 1 (U I---~

a

Por la interpretación geométrica de la derivada, (I.G.D.) si en un punto la derivada de la función es negativa, la función es decreciente en ese punto.

-Máximosynúnimos relativos:

*

Máximo relativo

Decimos que una función f(x), alcanza un máximo relativo en un punto a cuando para cualquier punto perteneciente al entorno reducido de centro ay radio suficientemente pequeño, los valores que toma la función en dichos puntos, son menores o iguales que el valor que toma la función en el punto a.

<=) 3e / VXE E*(a.s) ~ f(x) -:;fea)

*

Mínimo relativo de una función, en un punto:

Decimos que una función en un punto f(x) alcanza un mínimo relativo en un

,

punto a cuando para cualquier punto perteneciente al entorno reducido de centro a y radio suficientemente pequeño los valores que toma la función en dichos puntos son mayores o iguales que el valor que toma la función en el punto a.

<=) 3si VXE E"(a, s) ~ [(x) ~ fea) Conclusión:

Por la interpretación geométrica de la derivada, si una funciónf ~ derivable en a, es condición necesaria para que tenga un máximo o un mínimo relativo en ael que la primera derivada en el punto a sea nula.

111:0: ((a,)

( . 'TI 00'

í'(

a

:,

l

--:::-.,r-"

Determinación de máximos y mínimos relativos:

Para determinar los máximos y los mínimos de una función y,comenzaremos a hallar los valores de x en las que se anula la primera derivada, resolviendo la ecuación f(x)=e

Tendremos asi un cierto número de raíces x.. X2, ...que llamaremos valores

criticos.

En cada uno de ellos la tangente es horizontal y puede haber máximo y mínimo.

Para ver si en cada uno de los valores críticos hay un máximo o un mínimo tenemos tres criterios.

l. - Estudiar directamente la variación de la función en un entorno del punto crítico.

2.- Estudiar la variación de la primera derivada en un entorno del punto-critico.

3.- Calcular la segunda derivada (en un G(!ntorno del punto crítico) de f.

Cuando existe y no se anula para el valor crítico, entonces el problema queda resuelto.

Primer Criterio: Variación de la función

Si a es un punto en que f(a)=O para ver si corresponde a máximo o a mínimo daremos aXvalores (a-h) y (a+h) próximos a a. Entonces:

Sif(a- h) 2fea) y f(a+h) 2fea) En a hay mínimo Si f(a-h)5J(a)y f(a+h)s.f(a) Enahaymáximo

Segundo Criterio: Variación de laprimera derivada

Sea f una función cuya derivada primera en x=a sea O [f(a)=O].~Sial crecer X

pasando por el valor tia derivada f(x) pasa en un entorno de~a'de: l. Negativa a positiva: hay mínimo en x=a

2. Positiva a negativa: hay máximo en x=O,;

3. Positiva a positiva: no hay ni máximo ni mínimo

I I I I 1 1 _L di

a

3

a~

2 1 3 ~

Tercer Criterio: Valor de la segunda derivada Si f(a)=O y f'(a)<O entonces f(x) tiene máximo en a

*

fea) =0 f' (a) <O entonces en a hay máximo

*

fea) =0 f' ea) >0 entonces en a hay mínimo Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión:

Decimos que una función es cóncava en un punto cuando la tancente a la

función en ese punto permanece por .'. "_de la gráfica de la función en un entorno

de ese punto.

Es convexa en un punto cuando un entorno de ese punto al tangente

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Pasos a seguir

Para representar gráficamente funciones explícitas (es decir del tipo y=f(x)), deben seguirse los siguientes pasos.

1. Estudio de la función:

a) Dominio de definición:

Recordemos que el dominio de f(x) era el conjunto de valores de la variable independiente ( x ) que tenían imágenes reales.

Si hay cocientes, donde sea cero el denominador la función no estará definida; si hay raíces de índice par, no lo estará cuando el radicando sea negativo; si hay logaritmos, tampoco lo estará cuando el argumento de estos sea menor o igual que cero.

b) Continuidad:

Recordemos que una función es continua en un punto, cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función en dicho punto. Para funciones definidas con un solo criterio, suele coincidir con el dominio.

c) Intersecciones con los ejes:

Con el eje OY, haciendo x=0 (como máximo hay una)

Con el eje OX haciendo y=0 (puede haber muchas y en ocasiones no son fáciles de hallar)

d) Signos de la función:

Es averiguar en que intervalos la función es positiva y en que intervalos la función es negativa. Para ello debemos de tener en cuenta los puntos de

cortes con los ejes

así como los valores en los que no esta definida la función. Con ellos iremos formando los distintos intervalos. Daremos después valores a la X en estos intervalos y veremos en cuales la función es positiva y en cuales es negativa

Los signos de la función nos va a permitir saber de antemano muchas cosas de la función como por ejemplo ver las funciones que no pueden tener simetrías. También nos va a servir

para en caso de asíntotas saber a que lado de dicha asíntota está la gráfica de la función.

e) Simetrías:

Simétrica respecto al eje OY ó función par si f(x)=f(-x) Simétrica respecto al origen ó función impar si f(x)=-f(-x)

No tiene porque haber simetrías, pero su existencia nos facilita el trazado de la gráfica.

f) Periodicidad:

Una función es periódica de periodo T, si T es el mínimo valor que cumple: f(x) = f ( x + T )  x  Df

i) Verticales: Si se tiene que   = f(x) a x

lim

, entonces la recta x=a es una asíntota vertical. El límite puede ser tanto por la izda. ó por la dcha. y puede dar mas o menos infinito.

ii) Horizontales: Si f(x)=k

x

lim

_ , entonces la recta y=k es una asíntota horizontal. Este límite también puede ser cuando x tiende a menos infinito. iii) Oblicuas: Si =m x f(x) x

lim

_ (m finito y  0), y (f(x)-mx)=n x

lim

_ ,

entonces la recta y = mx+n es una asíntota oblicua.

Nota: Si hay asíntota horizontal, no puede haberla oblicua y viceversa. Si la función es polinómica, no tiene asíntotas. Si es racional, las asíntotas horizontales u oblicuas que tenga, lo son para x tendiendo a más infinito y a menos infinito. Si se trata de otro tipo de función (irracional, trascendente, definida a intervalos, ...) las asíntotas para x tendiendo a más infinito y a menos infinito pueden ser distintas.

Las asíntotas horizontales y oblicuas pueden cortar a la gráfica de la función en uno o mas puntos, dato este necesario para representarla correctamente. Para hallar los puntos de intersección se resuelve el sistema formado por la ecuación de la función y de la asíntota.

2. Estudio de la derivada 1ª:

Obtención, simplificación y factorización al máximo. Podemos transformar la expresión de la función para derivarla más cómodamente. Una vez derivada, debemos simplificarla al máximo y sacar factor común todo lo posible.

Calcularemos los valores que anulan la primera derivada. Con estos puntos ( valores críticos ) y los puntos en los que no está definida la función formamos los distintos intervalos donde estudiaremos los signos de la primera derivada.

Máximos, mínimos y regiones de crecimiento y decrecimiento: Donde la derivada primera sea positiva la función es creciente; donde sea negativa, decreciente; y cuando cambie de una cosa a otra (si esta definida) habrá un máximo (primero creciente, luego decreciente) o un mínimo (primero decreciente, luego creciente). Conviene determinar cuanto vale la función en los máximos y mínimos.

3. Estudio de la derivada 2ª:

Obtención, simplificación y factorización al máximo.

Actuamos igual que en el apartado anterior pero ahora con la segunda derivada sin olvidar los puntos donde no existe la función.

Puntos de inflexión y regiones de concavidad y convexidad: Donde la derivada segunda sea positiva la función es convexa (); donde sea negativa,

cóncava (); y cuando cambie de una cosa a otra (si esta definida) habrá un punto de inflexión (en el que la tangente en ese punto atraviesa a la gráfica). Conviene determinar cuanto vale la función en los puntos de inflexión, así como la derivada 1ª, para tener una idea de la pendiente de la gráfica en esos puntos.

Nota: la definición de concavidad y convexidad no esta totalmente normalizada. En ocasiones son justo las contrarias. También podemos indicar dentro de los signos  ,  que nos da la curvatura un mas ( + ) ó un menos ( - ) respectivamente.

Valores auxiliares:

Si a pesar de todos los datos anteriormente obtenidos, hay zonas en las que no sabemos el comportamiento de la función, podemos darles valores a la “x” y obtener sus correspondientes imágenes que nos ayudaran a completar la

gráfica de la función. EJEMPLO

Apliquemos todo lo anterior para representar la función

) 1 -(x x = y ₂ 3 .

1. Dominio. Se trata de una función racional (cociente de dos funciones polinómicas), por lo que únicamente no estará definida donde sea cero el denominador, es decir en x=1 (doble); D(f(x))=R-{1}.

Puntos de corte. Haciendo x=0, se obtiene y=0; haciendo y=0 solo se obtiene nueva-mente x=0. En este caso hay un solo punto de corte con ambos ejes: el origen. Veamos los signos de la función.

( , 0 ) Dando un valor vemos que la función es negativa ( 0, 1 ) Dando un valor vemos que la función es positiva ( 1,  ) Dando un valor vemos que la función es positiva Simetrías.

Observando las regiones en donde hay y no hay función calculadas en el apartado anterior vemos que no pueden haber simetrías.

Hemos calculado como ejercicio f(-x) pero no seria necesario.

) 1 + (x x -= ) 1 -(-x x -= ) 1 -((-x) ) (-x = f(-x) ₂ 3 2 3 2 3

, Como vemos no puede haber simetrías .

Asintotas

i) En x=1 el denominador vale cero y el numerador no, por lo

tan-to   + = ) 1 -(x x 2 3 1 x

lim

(positivo, pues tanto numerador como

denominador son positivos a la izquierda y derecha de 1). Por tanto la recta x=1 es una A.V.

Observando una vez mas los signos de la función, podemos ver si al acércanos a 1 la función tiende a mas o menos infinito.

ii) El grado del numerador es mayor que el del denominador, luego     = ) 1 -(x x 2 3 x

lim

y no hay asíntotas horizontales.

iii) El que el grado del numerador sea uno mayor que el del denominador, nos indica que hay una asíntota oblicua, y = mx+n.

Su ecuación es por tanto y = x+2. Resolviendo el sistema de ecuaciones que formado por la de la función y la de la asíntota, obtenemos un único punto de corte (2/3,8/3). 2 = 1 + 2x -x x -x 2 + x -x = x -1 + 2x -x x = mx -f(x) = n 1 = 1 + 2x -x x = x ) 1 -(x x = m 2 2 3 3 x 2 3 x x 2 2 x 2 3 x

lim

lim

lim

lim

lim

               

2. Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento La derivada primera será:

) 1 -(x 3) -(x x = ) 1 -(x x 3 -x = = ) 1 -(x x 2 -1) -(x x 3 = ) 1 -(x 1) -2(x x -) 1 -(x x 3 = y 3 2 3 2 3 3 3 2 4 3 2 2 

Es cero en x=0 (raíz doble) y en x=3, y no esta definida en x=1.

Estudiemos el signo de la derivada en cada una de las regiones delimitadas por estos puntos: x (-∞,0) x=0 (0, 1) x=1 (1, 3) x=3 (3, ∞) y' + 0 + N.D. - 0 + y Crec. P.I. 0 Crec. N.D. Decr. Mín. 27/4 Crec.

3. Concavidad, convexidad, puntos de inflexión.

Partiendo de la penúltima expresión de la derivada primera, tenemos:

)

1

-(x

6x

=

)

1

-(x

x

9

+

x

3

-6x

+

x

9

-x

3

=

=

)

1

-(x

3)

-(x

x

3

-1)

-2)(x

-3x(x

=

)

1

-(x

)

1

-)3(x

x

3

-x

(

-)

1

-6x)(x

-x

(3

=

y

4 4 2 3 2 3 4 2 6 2 2 3 3 2



La derivada segunda se anula en x=0 y no esta definida en x=1. Estudiemos su signo en las regiones delimitadas por estos puntos:

x (-∞, 0) x=0 (0, 1) x=1 (1, ∞) y'' - 0 + N.D. + y Conc.  P.I. x=0 y=0 Conv.  N.D. Conv 

Si se ha ido representando toda la información obtenida, podremos completar ya fácilmente la gráfica de la función: Gráfica de la función ) 1 -(x x = y ₂ 3

y de sus asíntotas y=x+2 e x=1