Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Sistemas de Ecuaciones Lineales

de

Matemáticas Aplicadas a

las Ciencias Sociales II

Antonio Francisco Roldán López de Hierro

Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II sobre Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales. Cada uno lleva un código como el siguiente: 2008-6-B-1, que signi…ca ejercicio 1de la opción B del modelo 6de la

convocatoria de 2008.

Ejercicio 1 (2008-1-A-1) (a) (1 punto) Dada la matriz A = a 1

a 0

!

, calcule el valor dea para que A2 sea la matriz nula.

(b) (2 puntos) Dada la matriz M = 1 2 1 1

!

calcule la matriz M 1 _Mt 2_.

Solución: Apartado (a). Calculamos la matrizA2:

A2 =A A= a 1 a 0 ! a 1 a 0 ! = a 2_{+a a} a2 a ! :

Para que esta matriz sea la matriz nula, todos sus elementos deben ser cero, es decir, debemos buscar los números que cumplen: ₈

> > > < > > > : a2+a= 0; a2 _{= 0;} a= 0: Evidentemente, la única solución de este sistema es:

*_{Profesor delI.E.S. Accide Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html}

a= 0:

Apartado (b). El determinante de la matriz M es:

detM = 1 2

1 1 = 1 2 = 1:

Como este determinante es distinto de cero, sabemos queM posee inversa, y ésta es:

M 1 = 1 detM adjM t₌ 1 1 1 2 1 1 ! = 1 2 1 1 ! :

La matriz traspuesta de M es:

Mt= 1 2 1 1 !t = 1 1 2 1 ! : El producto de la matriz inversa deM por su traspuesta es:

M 1 Mt= 1 2 1 1 ! 1 1 2 1 ! = 3 1 1 0 ! :

Y el cuadrado de ésta última es:

M 1 Mt 2= 3 1 1 0 ! 3 1 1 0 ! = 8 3 3 1 ! : Por tanto, M 1 Mt 2 = 8 3 3 1 ! :

Ejercicio 2 (2008-2-A-1) a) (1’5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: 1 + 3x 2 x 1 ! 3 y ! = 5 4 ! :

b) (1’5 puntos) Calcule la matriz inversa de 0 B @ 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 C A.

Solución: Apartado (a). Multiplicando las matrices obtenemos:

1 + 3x 2 x 1 ! 3 y ! = 3 (1 + 3x) + 2y 3x y ! = 9x+ 2y+ 3 3x y ! :

Para que dos matrices sean iguales, además de ser del mismo orden, deben poseer los mismos elementos colocados en las mismas posiciones. Por tanto,

1 + 3x 2 x 1 ! 3 y ! = 5 4 ! , 9x+ 2y+ 3 3x y ! = 5 4 ! , , ( 9x+ 2y+ 3 = 5; 3x y= 4 , ( 9x+ 2y= 2; 3x y= 4 , ( 9x+ 2y= 2; 6x 2y= 8 , , ( 9x+ 2y= 2; 15x= 10:

De aquí, x= 10=15 = 2=3, y sustituyendo en la primera ecuación:

y= 2 9x 2 = 2 9 2₃ 2 = 2 6 2 = 4 2 = 2:

Por tanto, la única solución del sistema es:

x= 2

3; y = 2:

Apartado (b).Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz. Por ejemplo, vamos a aplicar el método de Gauss-Jordan por …las.

(A_jI3) = 0 B @ 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 C A F₃0 =F3 F1 0 B @ 1 0 1 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 C A F₃00 =F₃0 2F₂0 0 B @ 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 C A F₃000 = F₃00 0 B @ 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 C A F₁iv=F₁000 F₃000 0 B @ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 2 1 1 C A:

Por consiguiente, la matriz inversa de la matriz dada es: 0 B @ 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 C A 1 = 0 B @ 0 2 1 0 1 0 1 2 1 1 C A:

Ejercicio 3 (2008-3-A-1) Sean las matrices A= 0 2 3 0 ! y B = a b 6 1 ! .

a) (1’5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A B=B A.

b) (1’5 puntos) Para a= 1 y b= 0, resuelva la ecuación matricial X B A=I2.

Solución: Apartado (a). Calculemos los productosA B yB A:

A B= 0 2 3 0 ! a b 6 1 ! = 12 2 3a 3b ! ; B A= a b 6 1 ! 0 2 3 0 ! = 3b 2a 3 12 ! :

Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá únicamente si3a= 3 y3b= 12, de donde concluimos queAyB conmutan si, y sólo si, a= 1 y b= 4.

Apartado (b). Por otro lado, si a= 1 yb= 0, la matrizB es

B = 1 0

6 1

!

:

De esta forma, el determinante de la matrizB es distinto de cero (de hecho,detB = 1), lo que signi…ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:

B 1= 1 detB Be T ₌ 1 1 1 0 6 1 ! = 1 0 6 1 ! : Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrixX:

X B A=I2 , X B =A+I2 , X= (A+I2) B 1 , , X = " 0 2 3 0 ! + 1 0 0 1 ! # B 1= 1 2 3 1 ! 1 0 6 1 ! = = 11 2 3 1 ! :

La matriz

X = 11 2

3 1

!

es la única solución de la ecuación matricial dada.

Ejercicio 4 (2008-4-B-1) (a) (1 punto) Dadas las matrices F = 2 1 3 y C =

0 B @ 1 5 2 1 C

A, calcule los productos C F y F C.

(b) (2 puntos) Dadas las matrices A= 2 0 1 1 ! , B = 1 3 2 1 ! y C = 1 1 1 0 ! , calcule la matriz X que veri…que la ecuación X A 1 _{B =C.}

Solución: Apartado (a). Los productos que se piden son:

C F = 0 B @ 1 5 2 1 C A 2 1 3 = 0 B @ 2 1 3 10 5 15 4 2 6 1 C A; F C = 2 1 3 0 B @ 1 5 2 1 C A= 9 : C F = 0 B @ 2 1 3 10 5 15 4 2 6 1 C A y F C = 9

Apartado (b). Despejamos la matriz X observando que la matriz A tiene inversa ya que su determinante es distinto de cero (es importante el lado por el que multiplicamos por Apara que se obtenga la matriz identidad):

X A 1 B =C _, X A 1 =B+C _, X A 1 A= (B+C) A _, , X I2= (B+C) A , X= (B+C) A: Como: B+C = 1 3 2 1 ! + 1 1 1 0 ! = 2 4 1 1 ! ; obtenemos: X= (B+C) A= 2 4 1 1 ! 2 0 1 1 ! = 0 4 1 1 ! :

Por consiguiente, la matriz buscada es:

X= 0 4

1 1

!

:

Ejercicio 5 (2008-5-B-1) (a) (2 puntos) Halle la matriz X que veri…ca la ecuación

X 2 5 1 3 ! = 1 2 ! 3 4 :

(b) (1 punto) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad:

1 0 3 1 ! x y ! = 2 1 x y ! 1 1 ! :

Solución: Apartado (a). El segundo miembro de la ecuación es:

1 2 ! 3 4 = 3 4 6 8 ! : Como: det 2 5 1 3 ! = 6 5 = 1₆= 0;

esta matriz posee inversa, y es:

2 5 1 3 ! 1 = 1 1 3 5 1 2 ! = 3 5 1 2 ! :

Por tanto, sólo hay que despejarX:

X = " 1 2 ! 3 4 # 2 5 1 3 ! 1 = 3 5 1 2 ! 3 5 1 2 ! = 14 25 5 9 ! : X = 14 25 5 9 ! :

Apartado (b). Calculamos los productos:

1 0 3 1 ! x y ! = x 3x y ! ; 2 1 x y ! 1 1 ! = 3 y x ! :

Si los igualamos, tenemos el sistema: ( x= 3; 3x y=y x , ( x= 3; 4x= 2y , ( x= 3; y = 2x , ( x= 3; y= 6: Por consiguiente, los números buscados son:

x= 3; y= 6:

Ejercicio 6 (2008-6-B-1) Sean A y B las matrices siguientes:

A= 1 2 0 1 ! ; B= 0 1 2 4 ! :

(a) (1 punto) Calcule (A+B) (A B).

(b) (2 puntos) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial

(A+ 2B) X= 3I2:

Solución: Apartado (a). Es inmediato que:

(A+B) (A B) = " 1 2 0 1 ! + 0 1 2 4 ! # " 1 2 0 1 ! 0 1 2 4 ! # = = 1 1 2 5 ! 1 3 2 3 ! = 1 0 8 9 ! :

Apartado (b). Calculamos la matriz:

A+ 2B = 1 2 0 1 ! + 2 0 1 2 4 ! = 1 2 0 1 ! + 0 2 4 8 ! = 1 0 4 9 ! : El determinante de esta matriz es9 (distinto de cero), por lo que posee inversa, y ésta es:

(A+ 2B) 1= 1 0 4 9 ! 1 = 1 9 9 0 4 1 ! : Podemos entonces despejarX como:

(A+ 2B)X = 3I2 , X= (A+ 2B) 1(3I2) , X= 3 (A+ 2B) 1 I2= 3 (A+ 2B) 1: Por tanto: X= 3 (A+ 2B) 1 = 3 1 9 9 0 4 1 ! = 1 3 9 0 4 1 ! = 3₄ 0 3 1 3 ! :

Así, la matriz buscada es: X= 3₄ 0 3 1 3 ! :