1.1 Experimento Clasificación: espacio muestral de un experimento Experimento Aleatorio

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CAPITULO I

1.1 Experimento – Clasificación: espacio muestral de un experimento

– Experimento Aleatorio

1.2 Algebra de Eventos: Operaciones y propiedades; eventos mutuamente excluyentes 1.3 Técnicas de Conteo.

1.4 Probabilidad: Definición, clasificación, definición axiomática, teorema de probabilidades

1.5 Probabilidad Condicional; regla de multiplicación.

1.6 Partición del espacio muestral; teorema de la probabilidad total, teorema de Bayes 1.7 Eventos Independientes; Probabilidad de eventos independientes

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EXPERIMENTO: Es cualquier ensayo, experimento u observación

Ejemplos:

- Lanzar una moneda y observar la cara superior - Lanzar un dado y observar su cara superior

- Lanzar una pelota a la piscina y observar lo que ocurre.

- Pesar las piedritas de la orilla de un rio en una balanza electrónica. CLASIFICACION: Los experimentos se clasifican en:

a) EXPERIMENTOS DETERMINISTICOS: Cuando el resultado es posible calcular siguiendo un modelo matemático

b) EXPERIMENTO NO DETERMINISTICO: Cuando el resultado ocurre al azar.

c) EXPERIMENTOS ALEATORIOS: Aquellos experimentos no determinísticos, y que para ser aleatorios deben cumplir con las siguientes condiciones.

1.- El experimento se puede repetir un sin número de veces en las mismas condiciones.

2.- El resultado no es posible predecir con exactitud antes de realizar el experimento 3.- los resultados posibles del experimento se pueden describir con precisión. Ejemplos:

E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior. E2: Lanzar un dado y observar la cara superior.

E3: Contar el número de autos que pasan por un cruce hasta que ocurra un accidente. E4: Seleccionar un delegado estudiante de un salón de 50 alumnos.

E5: Tiempo de vida de una bombilla eléctrica. E6: Seleccionar un numero entre 0 y 1 inclusive.

E7: Escoger una bolilla de una urna, donde hay 4 blancas y 6 negras. E8: Determinar un número real que hay entre 4 y 6

E9: Extraer un artículo bueno de un almacén que contiene artículos buenos y defectuosos.

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ESPACIO MUESTRAL: Si ¨E¨ un experimento aleatorio, el espacio muestral de E denotado por

Ω es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

Ejemplo:

E1: Ω1={cara, sello} =={c, s} E2: Ω2= {1, 2, 3, 4, 5, 6} E3: Ω3= {1,2,….}

E4: Ω4= {𝐴𝑖/ i= 1,2,3,4, …..,50}

E5: Ω5 = {t / t ˃ 0} E6: Ω6 = { x/ 0 ≤ x ≤ 1 }

E7: Ω7 = {blanca, negra}

E8: Ω8 = {x/ 4 ˂ x ˂ 6} E9: Ω9 ={B, DB,DDB,….}

CLASIFICACION DEL ESPACIO MUESTRAL: De acuerdo a la forma como se determina el espacio muestral de un experimento aleatorio, entonces se clasifican en 2 tipos

1. ESPACIO MUESTRAL DISCRETO: Si el número de elementos es finito o infinito numerable.

Ejemplos.

- Ω1, Ω2, Ω3, Ω4, Ω7, Ω9

2. ESPACIO MUESTRAL CONTINUO: Cuando el número de elementos es infinito, no numerable.

- Ω5, Ω6, Ω8

ALGEBRA DE EVENTOS

Según la forma como se presenta los elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio ¨E¨ estos son conjuntos determinados en forma de extensión y compresión, por consiguiente se cumplen todas las operaciones entre conjuntos.

REUNION DE CONJUNTOS (

υ):

Si A y B son 2 conjuntos, entonces A υ B = {x/x ϵ A ó x ϵ B}

INTERSECCION DE CONJUNTOS (∩): Si A y B son 2 conjuntos, entonces A ∩ B = {x/x ϵ A i x ϵ B}

DIFERENCIA SIMETRICA (∆): Dados 2 conjuntos A y B entonces A ∆ B = { X ϵA i X ɇ B }

INCLUCION DE CONJUNTOS (ᴄ): Un conjunto A se dice que está incluido en B; Si todo elemento de A es elemento de B.

SUBCONJUNTO: si A es subconjunto de Ω entonces A U AC_{= Ω ; donde A}C_{Indica el}

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𝑛=1

COMPLEMENTO DE UN COJUNTO: Si A ϵΩ entonces Ω - A = AC 1. ɸ( A U B ) U C = A U (B U C) ; A ∩ ( B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C 2. A U ( B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) ; A ∩ ( B U C) = ( A ∩ B) U (A ∩ C) 3. (AC₎C_{= A} 4. ΦC₌_Ω 5. ΩC₌_ɸ 6. LEYES DE DMORGAN: (A U B)C_{= A}C_∩_BC (A ∩ B)C_{= A}C_{U B}C 7. REFLEXIBIDAD: A ᴄ A = A 8. TRANSITIVIDAD: A ᴄ B y B ᴄ C entonces A ᴄ C

CONJUNTOS DISYUNTOS: Dos conjuntos A y B se dicen que son disyuntos si no pueden ocurrir

a la vez; es decir A ∩ B = ɸ

EXTENSION DE LAS DEFINICIONES DE REUNION E INTERCECCION: Sean { A i / i ϵ I} Entonces una

extensión de conjuntos referidos al espacio muestral Ω, donde I es el conjunto de índices

cualesquiera, se define.

𝑈

_𝑖𝜖

_𝐼

A

i = { w ϵΩ / w ϵ Ai , ꓯ i ϵ I }

∩

_𝑖𝜖

_𝐼

A

i = { w ϵΩ / w ϵ Ai , ꓯ i ϵ I }

SIGMA ALGEBRA DE EVENTOS: Una colección especial

𝒜

de eventos de

Ω que cumple con las siguientes condiciones:

CONDICIONES DE σ – ALGEBRA:

1. Para todo suceso A de los que constituyen

𝒜

.

También AC _ϵ

𝒜

.

2. Si, A1, A2,…. An, ... es cualquier sucesión de eventos numerables de sucesos de A

también 𝑈∞_A

n ϵ

𝒜

.

3. ɸϵ

𝒜

.

Una colección de eventos que cumple con estas 3 condiciones se llama σ – álgebra.

Ejemplo.

Sea el experimento que consiste en lanzar una moneda 3 veces, explique si los eventos de este experimento es SIGMA ALGEBRA

(

ϭ

)

Del esquema se tiene que:

Ω = {( C;C;C),( C;C;S), (C;S;C), (S;C;C), (C;S;S), (S;C;S), (S;S;C), (S;S;S) El conjunto potencia de Ω P (Ω) = 28_{= 256 elementos}

𝒜

={ɸ, A, A

C

_{, Ω}}

CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS

Ω

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𝑘=1 𝑛 𝑛=1 𝑘=1 NOTA:

1.- En el conjunto de sub-eventos de

𝒜

necesariamente están todos los subconjuntos del espacio muestral, no puede existir una colección de subconjuntos de Ω que no sea σ – álgebra.

2.- Para cada espacio muestral Ω existe por lo menos un σ – álgebra.

3.- Si Ω es infinito, no podemos asegura que todo A ϵ

𝒜

sea

σ – álgebra.

4.- si el espacio muestral Ω es infinita numerable siempre existe un σ – álgebra. Ejemplo:

- Sea Ω =

ℤ

,

sea A una colección de subconjuntos de Ω. ¿es Ω un σ – álgebra?

Prueba 1.- ɸϵ

𝒜

2.- si A ϵΩ, entonces AC _ϵ_Ω,_{entonces A}C _ϵ

_𝒜

_.

3.- si A1, A2,…. An, ... ϵ

𝒜

Por consiguiente este ejercicio es un σ – álgebra.

CONSECUENCIAS DE LAS CONDICIONS DE σ – ÁLGEBRA:

TEOREMA 1.- Si A1, A2,…. An es cualquier sucesión de eventos finitos en

𝒜

.

Entonces:

𝑈𝑛_A_k_ϵ

_𝒜

_.

Demostración: por ɸ = An+1= An+2 =……..

Luego 𝑈∞_A_{k =}_𝑈𝑛_A_{k ;}_Lqqd.

𝑘=1 𝑘=1

TEOREMA 2.- Un suceso seguro de Ω siempre ϵ

𝒜

, es decir Ω ϵ

𝒜

Demostración: Por la condición 3 ɸϵ

𝒜

;

entonces ɸC ₌_{Ω ϵ}

_𝒜

_.

_Lqqd.

TEOREMA 3.- Si A1, A2,…. An, ... ; es una sucesión numerable cualesquiera de sucesos de A,

también: ∩∞_A_n_ϵ

_𝒜

_.

Demostración: An ϵ

𝒜

,

entonces 𝐴𝐶ϵ

, ;

ꓯn= 1,2,3,…..

Por la condición 2 se tiene 𝑈∞_𝐴𝐶_ϵ

_𝒜

_.

𝑛=1 𝑛

Por la condición 1 (𝑈∞_𝐴𝐶₎C _ϵ

_𝒜

𝑛=1 𝑛

Por las leyes de D´ Morgan (𝑈∞_𝐴𝐶_{) = ∩}∞_A_n_{; lqqd.}

𝑛=1 𝑛 𝑛=1

COROLARIO DEL TEOREMA 3.- Si A1, A2,…. An es una sucesión finita de sucesos

cualesquiera en

𝒜

.

Entonces ∩𝑛_A_k_ϵ

_𝒜

_.

TECNICAS DE CONTEO

PERMUTACION: Son arreglos de los elementos de un conjunto finito, considerando el orden en el que se presentan.

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𝑛 4 𝑛𝑐𝑖𝑟 6(𝑐𝑖𝑟) 3 (𝑟𝑒𝑝) 𝑘 (𝑟𝑒𝑝) Ejemplo:

- Permutar los elementos del conjunto A= {a,b,c} tomados todos los elementos a la vez.

Solución:

(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a) CASOS DE PERMUTACIONES:

1. El número de permutaciones diferentes de ¨n¨ elementos diferentes, tomados todos los elementos a la vez denotado por: 𝑃𝑛_{= n!}

Donde n! = 1x2x3…..x (n-1) x n

n! = (n)(n-1)……(n-k)! se considera que 0! =1

Ejemplo: De cuantas maneras se puede permutar las letras de la palabra ¨Omar¨ Solución:

n=4; 𝑃4_{=4!=4x3x2x1=24 formas}

2. El número de permutaciones diferentes de ¨n¨ elementos diferentes tomadas de ¨n¨ en ¨n¨ en forma circular denotado por 𝑃𝑛 _{= (n-1)!}

Ejemplo: De cuantas formas pueden sentarse alrededor de una meza los 6 delegados del centro federado de Matemáticas?

Solución:

n=6; 𝑃6 _{= (6-1)!= 120 formas}

3. El número de permutaciones diferentes de ¨n¨ elementos diferentes tomadas de ¨k¨ en ¨k¨ denotado por 𝑃𝑛₌ 𝑛!

𝑘 ₍_𝑛−𝑘_)!

Ejemplo: Con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5}, ¿cuántos números diferentes de 3 cifras se pueden escribir si no se admiten que los dígitos se repitan?

Solución:

n=5; k=3; 𝑃5= 5! = 60 formas

3 ₍₅₋₃_)!

4. El número de permutaciones diferentes de ¨n¨ elementos diferentes tomadas de ¨k¨ en ¨k¨ con reposición denotado por 𝑃𝑛 _{= n}_k

Ejemplo: cuantos número diferentes de 3 cifras se pueden escribir con los dígitos {1,2,3,4,5} si se admiten que pueden repetirse los dígitos.

Solución:

n=5; k=3; 𝑃5 _{= 5}3_{=125 números}

5. El número de permutaciones diferentes de ¨n¨ elementos divididos en K clases tales que elementos iguales pertenecen a la misma clase, elementos diferentes a

clases diferentes, denotado por 𝑃𝑛 ₌ _𝑛_!

𝑛1𝑛2…..𝑛𝑘 _𝑛_1!_𝑛₂_!….𝑛_𝑘_!

Ejemplo: De cuantas formas se pueden permutar las letras de la palabra ¨estadísticas¨

Solución:

Clase 1-letra ¨e¨ entonces n1=1

Clase 2-letra ¨s¨ entonces n2=3

Clase 3-letra ¨t¨ entonces n3=2

Clase 4-letra ¨a¨ entonces n4=2

Clase 5-letra ¨d¨ entonces n5=1

Clase 6-letra ¨i¨ entonces n6=2

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0 1 𝑛 TOTAL = 12 𝑃12 ₌ 12! ₌ 1,3,2,2,1,2,1 _{1!3!2!2!1!2!1!} COMBINACION

Es un arreglo de los elementos de un conjunto finito sin considerar el orden en el que se presenten.

Ejemplo: ¿Cuales son las combinaciones que se pueden establecer con los elementos del conjunto A = {a,b,c,d} de 2 en 2?

Solución:

(a,b)(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)

Definicion: El número de combinaciones diferentes de ¨n¨ elementos tomadas de ¨k¨ en ¨k¨ denotada por n ck= 𝑐𝑛= (𝑛)= 𝑛! PROPIEDADES 1.- 𝑐𝑛₌₁ 2.- 𝑐𝑛₌₁ 3.- 𝑐𝑛_{= n} 4.- 𝑐𝑛₌_𝑐𝑛 𝑘 𝑘 𝑘!(𝑛−𝑘)! 𝑘 𝑛−𝑘 5.- 𝑐𝑛₊_𝑐𝑛₌_𝑐𝑛+1 𝑘 𝑘−1 𝑘 𝑛𝑛 𝑛−1 6.- 𝑐𝑘=_𝑘𝑐𝑘−1 7.- 𝑐𝑛₌𝑛 𝑐𝑛−1 𝑘_𝑛−𝑘𝑘 8.- 𝑐𝑛=𝑛−𝑘+1 𝑐𝑛 𝑘 _𝑘 𝑘−1 𝑥 = 𝑦 9.- 𝑐𝑛₌_𝑐𝑛_entonces

{

𝑥 𝑦 _𝑥₊_𝑦₌_𝑛 PROBABILIDAD

DEFINICION CLASICA: si A es un evento del espacio muestral Ω asociado a un experimento aleatorio “E”, la probabilidad de A es la razón entre el número de casos favorables y el

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número de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que algún evento tenga preferencia de ocurrir, estando todos los eventos igualmente posibles de ocurrir. P(A) = 𝑛(𝐴)=𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

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Ejemplo:

- Se lanza un par de dados .¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 9? Solucion:

Suma 9:

n(A)= número de casos favorables = 4 n = número de casos posibles = 36

4 p(suma 9) =

36

.

DEFINICION AXIOMATICA: si A es un evento del espacio muestral Ω asociado a un exp. Aleatorio ¨E¨, la probabilidad de A es una función que hace corresponder un número real y solamente un número P(x) que cumple los siguientes axiomas

1.- P(x)> 0 2.- P (Ω) = 1

3.- Si A y B son eventos disyuntos, es decir A∩B=ɸ entonces P(AUB)= P(A)+ P(B)

En general para una sucesión de eventos disyuntos A1, A2, …….An ; se cumple que

P (𝑈𝑛_A_i_{) = P(A}₁_{U A}₂_{U……U A}_n_{) =}∑𝑛 𝑃(Ai)

𝑖=1

TEOREMAS DE PROBABILIDAD

𝑖=1

TEOREMA 1: Si ɸ es un evento imposible, entonces P(ɸ)= 0

DEMOSTRACION: Sabemos que Ω=Ω U ɸ (1)

Ω ∩ɸ= ɸ (2)

Se puede afirmar que Ω y ɸ son eventos disyuntos

- Entonces por el axioma número 3 se tiene: P(Ω)= P( Ω Uɸ)

P(Ω)= P(Ω)+ P(ɸ)

Por el axioma número 2 se tiene: 1= 1+ P(ɸ) entonces P(ɸ)= 0 Lqqd. TEOREMA 2: Si A ⊂ B tal que A y B ∈ Ω entonces P(A) ≤ P(B)

DEMOSTRACION: B A A⧵B 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

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Del esquema se tiene que:

B= A U (AC_∩B)…_....(1)

Aplicando una función de probabilidad en (1) se tiene: P(B)= P(A U (AC_{∩B))… (2)}

De (2) se tiene que:

A ∩ (AC_{∩B) = ɸ}

por consiguiente: A y (AC_{∩B) son eventos disyuntos,} por consiguiente por el axioma 3 se tiene en (2) P(B)= P(A)+P(AC_∩B)

Si P(AC_∩B)=0_⇒_P(B)=P(A)…_{.... (3)} Si P(AC_∩B)_>₀_⇒_P(B)_>_{P(A)……(4)}

De 3 y 4 se tiene que P(B)≥P(A) ó P(A)≤P(B) Lqqd.

TEOREMA 3: Si A ∈ Ω entonces: P(A) = 1 - P(AC_{) ó P(A}C_{) = 1}_–_P(A) DEMOSTRACION:

Ω

Del esquema se tiene Ω = A U AC ... (1)

Aplicando una función de probabilidades en (1) se

tiene: P(Ω) =P( A U AC_{) ... (2)}

A∩AC₌_ɸ_{Por consiguiente A y A}C_{son eventos} disyuntos; luego por el axioma 3 se tiene en (2)

P(Ω) = P(A) + P(AC_{) ... (3)} Por el axioma 2 se tiene en (3)

1= P(A) + P(AC_{) de lo cual se tiene que:} P(A) = 1- P(AC_{) ó P(A}C_{) = 1}_–_{P(A) Lqqd.}

TEOREMA DE 4: Si A y B son 2 eventos cualesquiera en Ω, asociado a un experimento

aleatorio, entonces P(A U B)=P(A)+P(B) –P(A ∩ B)

2).

A

DEMOSTRACION:

Del esquema 1 se tiene: A U B = A U (AC_{∩B)……(1)} Aplicando una función de probabilidades en (1) se tiene: P (A U B) = P(A U (AC_{∩B)) (2)}

A ∩ (AC_{∩B) = ɸ}_⇒_{A y (A}C_{∩B) son eventos disyuntos;}

por el axioma 3 se tiene en (2) P (A U B) = P(A) + P(AC_{∩B)… (3)}

Del esquema 2 se tiene: B = (A∩B) U (AC_{∩B)… (4)}

A

1).

B AC_∩B A∩B B AC_∩B AC

A

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A p l i c a n d o l a f u n c i ó n d e p r o b a b i l i d a d e s e n ( 4 ) s e t i e n e : P ( B) = P((A ∩B) U (AC_∩ B)) ... (5) Pero: (A∩B) ∩ (AC_{∩B)= ɸ}_⇒ (A∩B) y (AC_∩B) son eventos disyunto s ⇒ por el axioma 3 se tiene en (5) P(B)=P(A ∩B)+P(AC ∩B) ⇒P(AC_∩B ) = P(B)-P(A∩B)… (6)

(12)

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𝑖=1 𝑖<𝑗=2

𝑖=1

TEOREMA 5: Si A,B,

C son eventos cuales quiera en Ω entonces:

P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)

–

P(A∩B) –

P(A∩C) –

P(B∩C) + P(A∩B∩C)……. (Ejercicio)

TEOREMA 6: Si A1, A2, ... AK son una colección de eventos cualesquiera de eventos en

Ω, entonces:

P(A1UA2

U…..A

3)=

∑

𝐾

𝑃

(Ai)-

∑

𝐾

𝑃

(Ai

∩A

j

)+……+(

-1)

k+1

P(A1

∩A

2 ……

∩A

K

)… (Ejercicio)

PROBABILIDAD CONDICIONAL Y REGLA DE MULTIPLICACION: Si A y B son 2 eventos en

Ω; Asociados a un experimento aleatorio ``E``, la

probabilidad condicional del evento A

𝑃(𝐴∩𝐵)

dado que ha ocurrido el evento B denotado por: P(A/B)=

_𝑃₍_𝐵₎

; ꓯ P(B) ≠ 0

similarmente, la probabilidad condicional del evento B dado que a ocurrido el evento A

denotado por:

P(B/A)=

𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴)

; ꓯ P(A) ≠ 0

LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN O REGLA DE MULTIPLICACIÓN

De las probabilidades condicionales tenemos P(A

∩ B

)=P(A)P(B/A)= P(B)P(A/B)

PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL : Si A1, A2, ... AK es una colección de eventos

en Ω asociados a un experimento aleatorio ``E`` se dice que

A1, A2, ... AK representa

una partición de Ω si cumple las siguientes condiciones:

1.- Ai

∩

Aj =

ɸ; 2 a 2 ꓯ i ≠ j

=

1,2,3,…

.. k

2.-

𝑈

𝑘

_{Ai =}

_Ω

3.- P(Ai)

> 0

;

ꓯ i

=

1,2,3,…

... ,k.

EJEMPLO:

- Se lanza un dado y se tiene los siguientes grupos de eventos:

Grupo 1: A= {resulta un número menor que 5}

B= {resulta el número 3}

C= {resulta un número mayor que 3}

Grupo 2: P= {resulta un número menor que 3}

Q= {resulta EL número 3}

R= {resulta un número mayor que 3}

¿Cuál de los 2 grupos de eventos representa una partición?

SOLUCION:

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(14)

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Del esquema se tiene B=Ω∩B ... (1)

Por la condición de partición de Ω se tiene que 𝑈𝑘 _A_i_…(2)

(2) en (1) se tiene B= 𝑈𝑘 _A_i_{∩ B}_⇒_B=(

A1, A2,...AK

)∩B….(3)

Aplicando una función de probabilidad en 3 se tiene:

P(B)=P((A1 U A2 U,.. U.AK)∩B)⇒

P(B)=P(A1∩B)UP(A2∩B)U… U P(AK∩B)………(4)

Pero: P(A1∩B)∩P(A2∩B)∩…∩P(AK∩B)=ɸpor consiguiente son mutuamente excluyentes entonces en 4 se tiene:

P(B)=P(A1∩B)+ P(A2∩B)+…+P(AK∩B) por la regla de multiplicación se tiene:

P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+…+P(AK)P(B/AK) P(B)=∑𝑘 _𝑃_(A_i_)P(B/A_i_{) Lqqd.}

𝑖=1

AUBUC= {1,2,3,4,5,6} Cumple la segunda condición

P(A)= 4/6

>

0 ; P(B) = 1/6

>

0 ; P(C) = 3/6

>

0 Cumple tercera condición

CONCLUCION: No cumple la totalidad de la primera condición por

consiguiente este grupo de eventos no representa una partición.

Grupo 2: P = {1,2}; Q = {3}; R= {4,5,6}

P∩Q = ɸ; P∩R = ɸ; Q∩R=ɸ

Cumple con la primera condición

PUQUR= {1,2,3,4,5,6} Cumple con la segunda condición

P(P)= 2/6

>

0; P(Q)= 1/6

>

0; P(R)= 3/6

>

0 Cumple condición 3

CONCLUCION: Este grupo de eventos representa una partición de Ω

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: Si A1, A2, ... AK

son eventos de Ω asociado

a

un experimento aleatorio ``E``; si A1, A2, ... AK

representa una partición de Ω y B

un

evento cualesquiera en

Ω

entonces: P(B)=

∑

𝐾

_𝑃

_{(Ai) P(B/Ai}

₎

DEMOSTRACION:

Ω

TEOREMA DE BAYES: Si A1, A2, ... AK

son eventos de Ω asociado a un

experimento

aleatorio ``E``; si A1, A2, ... AK

representa una partición de Ω y B un evento

cuales_

quiera en

Ω

entonces: P(A /B)=

𝑃(𝐴𝑟∩𝐵)

;

ꓯ A

∈

Ω.

r

𝑃(𝐵) r

Este teorema no requiere demostración puesto que el numerador es la probabilidad

de la intersección y el denominador es la probabilidad total.

EVENTOS INDEPENDIENTES: Dos eventos A y B se dice que son independientes si: la

ocurrencia de uno de los eventos no afecta la ocurrencia del otro.

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES:

1.- P(A/B)= P(A);

P(B/A)=P(B)

A6 A7 A8 A5 B A4 A3 A2 A1

(15)

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2.-

P(A∩B)= P(A)P(B)

Ejemplo:

- Se lanza una moneda y un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la

moneda y numero par en el dado?

Moneda

⧵

Dado

1

2

3

4

5

6 CARA (C)

(C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6)

SELLO(S)

(S,1) (S,2) (S,3) (S,4) (S,5) (S,6)

3 1

SOLUCION: por definición clásica de Probabilidades = P(C, par) =

=

12 4

El Experimento con dado y la moneda son eventos independientes entonces:

3

P(num. Par en el dado)=

6 1

P(Cara en la moneda)=

2

3 1 1

P(num. Par en el dado y cara en la moneda) = x =

6 2 4

DIAGRAMA DE DOBLE ENTRADA: Sirve para visualizar problemas de probabilidades con

2 características; este diagrama es de la forma:

Caract. A

⧵

Caract. B B1

B2

……

Br

Total

A1

A2

…..

AK

Total

DIAGRAMA DE ARBOL: Este diagrama toma la forma de un árbol y sirve para visualizar

problemas de probabilidades con más de 2 características con la particularidad de que

la suma de las probabilidades que sale de un punto o nudo suman uno; las

probabilidades en una dirección se multiplican; y las probabilidades en diferentes

direcciones se suman.

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C A L C U L O D E P R O B A B I L I D A D E S P á g i n a

16 | 18

Ejemplo:

- Se tiene 3 máquinas que producen el mismo autoparte; la primera máquina

Requiere de 3 minutos para terminar un autoparte; la segunda máquina. 3

minutos y la tercera máquina. 5 minutos; las maquinas producen

respectivamente 5%, 4% y 2% de productos defectuosos. De la producción de

una hora de las Maquinas se selecciona al azar un autoparte:

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

2.- Si el producto seleccionado resulta defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de

que haya sido fabricada por la segunda máquina?

SOLUCION:

Maq. 1

⇒

1 Hr. = 30 autopartes con 5% de defectuosos

Maq. 2

⇒

1 Hr.= 20 autopartes con 4% de defectuosos

Maq. 3

⇒

1 Hr = 12 autopartes con 2 % de defectuosos

Esquematizando con el diagrama de árbol se tiene:

P(D/A) D P(A) A P(DC_/A DC Punto de partida P(D/B) _D P(B) _B P(DC_/B) _D_C P(D/M1)= 5/100

M1

P(M1)= 30/62 _P(DC_{/M1)= 95/100} P(D/M2)= 4/100 P(M2)= 20/62

M2

P(DC_{/M2)= 96/100} P(M3)= 12/62 P(D/M3)= 2/100

M3

P(DC_{/M3)= 98/100}

D

C

D

C

D

C

(17)

C A L C U L O D E P R O B A B I L I D A D E S P á g i n a

17 | 18

A I L

1.- P(D)= P(M1)P(D/M1)+ P(M2)P(D/M2)+ P(M3)P(D/M3)

= (30/62)(5/100)+ (20/62)(4/100)+ (12/62)(2/100)

254

=

6200 𝑃(𝑀2)𝑃(𝐷/𝑀2) (20/62)(4/100) 80

2.- P(M2/D)=

_𝑃₍_𝐷₎

=

_254/6200

=

₂₅₄

APLICACIONES DE LAS PROBABILIDADES INDEPENDIENTES EN RELES: Si el relé está dado

en paralelo, por ejemplo

La probabilidad de que la corriente pase de I a L es igual P(A ò B) = P(A U B) = P (A)+ P(B) –P(A∩B)

B

Si el relé está dado en serie; por ejemplo

La probabilidad de que la corriente pase de I a L

es igual P(A ì B Ì C) = P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C)

Ejemplo: Se tiene el siguiente rele:

1 2

I L

3 4 5

¿Cuál es la probabilidad de que la corriente pase de I a L, si las llaves se abren o

se cierran con probabilidad (q)?

SOLUCION:

Considerando el evento ``A`` = pasa la corriente por las llaves 1 y 2

Considerando el evento ``B`` = pasa la corriente por las llaves 3, 4 y 5

Entonces P(A)=P(1)P(2)= (q)(q) = q2

P(B)=P(3)P(4)P(5)= (q) (q) (q) = q

3

_{Luego la probabilidad de que la}

corriente pase de I a L es:

P(A U B)= P(A)+P(B) -

P(A∩B)= q

2

_{+ q}

3

_–

_q

₅

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