M´
etodos Num´
ericos:
Integraci´
on Num´
erica
Eduardo P. Serrano Versi´on previa abr 2012
1.
La integral.
Consideramos el problema de calcular la integral:
I(f) =
Z b
a
f(x)dx
donde f es una funci´on continua.
El valorI(f) puede calcularse, en teor´ıa, utilizando la Regla de Barrow:
Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
siendoF una primitiva de f, esto es, una funci´on diferenciable tal que:
F0(x) =f(x)
Si bien las primitivas def simpre existen, en general, no es f´acil o posible expresarla exactamente mediante f´ormulas aritm´eticas.
Para hallar primitivas ointegrales indefinidas, existen diversos m´etodos y t´ecnicas. Por ejemplo, los cambios de variable, la integraci´on por partes, las substituciones trigonom´etricas o el uso de tablas. Sin embargo, s´olo pueden resolverse forma directa y sencilla casos muy particulares. Ej:
- Son inmediatas las primitivas de los polinomios, las exponenciales o las funciones trigonom´ etri-cas.
- Para calcular: Z
1
0
xne−x dx
en necesario aplicar partesnveces.
- No contamos con una f´ormula para integrar:
Z 1
0
e−x2 dx
2.
M´
etodos aproximados
Consisten en reemplazar el integrando por una funci´on aproximada, m´as sencilla:
Z b a f(x)dx∼= Z b a ˜ f(x)dx .
Se procura que la f´ormula aproximada pueda expresarse como una suma de integrales elemen-tales.
Ej: - Truncando desarrollos en serie, pueden obtenerse aproximaciones polinomiales:
Z 1 0 e−x2 dx∼= Z 1 0 1−x2+x 4 2 dx= 0.7667 siendo el verdadero valor 0.7468...
Z π 0 sinx x dx ∼ = Z π 0 1−x 2 6 + x4 120 dx= 1.9291 y el verdadero valor es 1.8519...
3.
M´
etodos num´
ericos.
Consisten en reemplazar las integrales mediante un n´umero finito de sumas:
Z b a f(x)dx∼= N X k=1 sk
Generalmente, las sumas son de la forma:
Z b a f(x)dx∼= N X k=1 wkf(xk)
para una red apropiada de nodosxk y de pesoswk.
Los nodos y pesos de esta sumas se dise˜na de modo que la integral de polinomios de grado
gr≤m, sea exacta. En tal caso, el m´etodo se dice de orden m. Existen diversas reglas de dise˜no.
4.
M´
etodo de los trapecios.
Laregla simple del trapecioconsisten en aproximar la funci´on integrando por el polinomiop1(x), de primer grado, que interpola los datos de los extremos, (a, f(a)) y (b, f(b)):
Z b a f(x)dx∼= Z b a p1(x)dx
El polinomio de primer orden, en la forma de Newton, que interpola estos datos es: p1(x) =f(a) + f(b)−f(a) b−a (x−a) Integrando: Z b a p1(x)dx = Z b a f(a) +f(b)−f(a) b−a (x−a) dx = Z b−a 0 f(a) + f(b)−f(a) (b−a) t dt= (b−a) f(a) +f(b) 2 y por tanto, denotandoh=b−a, la regla simple de trapecios se expresa:
Z b
a
p1(x)dx∼=h
f(a) +f(b) 2
La regla compuesta de los trapeciosse dise˜na, tomando una red de nodos:
a=x1 < x2< . . . < xN−1 < xN =b y aplicando la regla simple en cada intervalo [xk, xk+1]:
Z b a f(x)dx∼= NX−1 k=1 hk f(xk) +f(xk+1) 2 siendokk =xk+1−xk.
En el caso especial de nodos equi-espaciados:
xk+1−xk =h para todok la f´ormula es: Z b a f(x)dx∼=h f(x1) +f(xN) 2 + NX−1 k=2 f(xk) !
Ej: - Tomandoh= 0.25, integramos usando trapecios. La red de nodos es:
xk = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 y aplicando la regla: Z 1 0 e−x2 dx∼= 0.25 e0+e−1 2 +e −(0.252) +e−(0.52)+ +e−(0.752) = 0.7430 El verdadero valor es Z 1 0 e−x2 dx= 0.7468... .
5.
M´
etodo de Simpson.
Laregla simple de Simpsonconsiste en aproximar la funci´on integrando por el polinomiop2(x), de segundo grado, que interpola los datos de los extremos y el punto medio, (a, f(a)),
((a+b)/2, f((a+b)/2) y (b, f(b)): Z b a f(x)dx∼= Z b a p2(x)dx Denotando el paso: h= b−a 2 y el punto medio: m= a+b 2 =a+h
El polinomio de segundo orden, en la forma de Newton, que interpola los datos es:
p2(x) = f(a) + f(m)−f(a) (m−a) (x−a) + f(b)−2f(m) +f(a) (m−a)(b−a) (x−a)(x−m) = f(a) + f(m)−f(a) h (x−a) + f(b)−2f(m) +f(a) 2h2 (x−a)(x−m) Integrando: Z b a p2(x)dx = Z b a f(a) + f(m)−f(a) h (x−a) + f(b)−2f(m) +f(a) 2h2 (x−a)(x−m)dx = Z 2h 0 f(a) +f(m)−f(a) h t+ f(b)−2f(m) +f(a) 2h2 t(t−h) dt = h 3 (f(a) + 4f(m) +f(b)) y la regla de aproximaci´on de Simpson es:
Z b
a
f(x)dx∼= h
3(f(a) + 4f(m) +f(b))
La regla compuesta de Simpsonse tambi´en dise˜na tomando una red de nodos:
a=x1 < x2< . . . < xN−1 < xN =b
y aplicando la regla simple en cada intervalo [x2m−1, x2m+1], con 2m+ 1< N En el caso especial de nodos equi-espaciados:
xk+1−xk =h para todok la f´ormula compuesta de Simpson es:
Z b a f(x)dx∼= h 3 f(x1) +f(xN) + 2 X 2m−1<N f(x2m−1) + 4 X 2m<N f(x2m) !
Ej: - Tomandoh= 0.25, integramos usando Simpson. La red de nodos es: xk = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 y aplicando la regla: Z 1 0 e−x2 dx∼= 0.25 3 (e0+e−1) + +2e−(0.52)+ 4 e−(0.252)+e−(0.752) = 0.7469 El verdadero valor es Z 1 0 e−x2 dx= 0.7468... .
6.
Error de integraci´
on.
El error de integraci´on que resulta de aplicar la regla simple de trapecios,siendo el integrando dos veces derivable se deduce, a partir del desarrollo de Taylor:
f(x) ∼= f(a) +f0(a)(x−a) f(x) ∼= f(b) +f0(b)(x−b) Sumando: 2f(x) ∼= (f(a) +f(b)) + (f0(a)(x−a) +f0(b)(x−b)) Integrando: 2 Z b a f(x)dx ∼= Z b a (f(a) +f(b)) + (f0(a)(x−a) +f0(b)(x−b))dx = h(f(a) +f(b)) +1 2(f 0 (a)−f0(b))h2
De modo que, teniendo en cuenta que
f0(b)−f0(a) = f00(α)h
para alg´un valor intermedioa≤α≤b. Finalmente se deduce:
Z b a f(x) dx = hf(a) +f(b) 2 − 1 12f 00 (α)h3
Es decir, el error de la regla de trapecios simple es:
ET(h) =−f00(α)h 3 12
dependiendo de los valores de la segunda derivada en el intervalo.
El error de integraci´on que resulta de aplicar la regla simple de Simpson, siendo el integrando cuatro veces derivable, se deduce en forma an´aloga:
ES(h) =−f(4)(α)
h5 90h
5
Lo errores de las regla compuestas pueden acotarse poor la suma de los valores absolutos de los errores simples, en cada intervalo. Teniendo en cuanta que sumamos aproximadamenteN = 1h intervalos, los errores totales disminuyen en un orden deh.
Una cota del error de trapecios es es:
ET(h)≤ m´ax a≤α≤b |f00(α)|h 2 12 y para Simpson: ES(h)≤ m´ax a≤α≤b |f(4)|h 4 90
A partir de estas cotas, se deduce que la regla de trapecios compuesta es exacta para polinomios de gradog≤1, y Simpson lo es polinomios de grado g≤3. Es decir, son de m´etodos de orden 1 y 3 respectivamente. Ej: - Aproximamos: I = Z 1 0 ex+ cos(πx)dx
Utilizando trapecios, com pasoh= 0.1. Acotamos el error: La segunda derivada del integrando es:
(ex+ cos(πx))00= (ex−π2 cos(πx)) cuya valor m´aximo es:
|ex−π2 cos(πx)| ≤e+π2
Luego la cota de error es:
E ≤(e+π2)(0.1) 2
12 = 0.0105
Podemos ver que la integral exacta esI = 1.7183...y la aproximaci´on de trapecios,IT = 1.7197, con un error realE =−0.0014.
7.
Otros m´
etodos.
Los m´etodos basados en la interpolaci´on polinomial pueden extenderse para obtener reglas de mayor orden.
Existen m´etodos m´as precisos que resultan de combinar trapecios con pasos distintos.
Los m´etodos de cuadratura de Gauss se basan en una selecci´on paticular de los nodos de integraci´on.
Las funciones de interpolaci´on pueden ser funciones trigonom´etricas, spline u otras. Existen m´etodos basados en t´ecnicas estad´ısticas, como el de Montecarlo.