TALLER 1 DE ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA INGENIERÍA AMBIENTAL - UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FACTORIZACIÓN LU Y CADENAS DE MARKOV
DESCRIPCIÓN: En el siguiente trabajo se mostrarán algunos métodos para encontrar sistemas de ecuaciones lineales por medio de matrices y un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de
que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior, aplicaciones y demostraciones con ejemplos claros de estos.
INTEGRANTES: PAULA DIAZ DIAZ
Ejercicio 1 Para una matriz A n x n, ¿En qué consiste la factorización o descomposición LU? Explique.
El método de factorización LU. Es un método de factorización de matrices por medio del cual podemos encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Para poder realizar este método en primera instancia debemos observar que la matriz sea simétrica, si no es simétrica no se puede usar este método, luego de esta restricción debemos observar que la matriz también sea positiva y definida y al escribir la matriz de coeficientes [A] debe ser cuadrada, en caso contrario al desarrollar este método obtendremos como resultado raíces cuadradas de números negativos, por ende el método falla.
Ejercicio 2 Determina una factorización LU de la matriz de coeficientes asociada al sistema Ax = b, y resuelva dicho sistema (si existe solución) usando sustitución regresiva o bien sustitución progresiva.
1) A= ( ) b= ( ) A= ( ) = ( ) = ( ) A= ( ) =( ) => a = 4 => x= 6 3b= 15 => b= -5
Así A= ( ) =( ) =( ) L U ( ) ( ) = ( ) (1) (2) (3) De (1) tenemos que: De (2) tenemos que: ( ) De (3) tenemos que: ( ) ( ) Así: Y: ( ) ( ) ( ) = ( )
( ) (2) (3) De (3) tenemos que: De (2) tenemos que: De (1) tenemos que: Así: X=( ) 2) A=( ) b: ( ) A= ( ) =( ) ( ) A= ( ) = ( )
( ) ( ) Así A= ( ) = ( ) = ( ) L U ( ) ( ) = ( ) (1) (2) (3) De (1) decimos que: De (2) decimos que: De (3) decimos que: => ( ) ( )
Así: Y = ( ) Luego ( ) ( )= ( ) (1) (2) (3) De (3) decimos que: De (2) decimos que: => De (1) decimos que: => ( ) => X= ( ⁄ ⁄ ⁄ )
Ejercicio 3 ¿En qué consiste una cadena de Markov o proceso de Markov? Explicar y mostrar al menos dos ejemplos (al menos una aplicación). Cadenas de Markov
Definición: Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un
ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.
MATRIZ DE TRANSICIÓN:
Una matriz de transición para una cadena de Markov de n estado es una matriz de n X n con todos los registros no negativos y con la propiedad adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1. Por ejemplo: las siguientes son matrices de transición.
PROPIEDADES:
1- la suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1. 2- la matriz de transición debe ser cuadrada.
3- las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1
Ejemplo 1.
En un país como Colombia existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son tigo, Comcel y movistar (estados).
Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para tigo 0.4 para Comcel 0.25 y para movistar 0.35. (estado inicial)
Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de tigo tiene una probabilidad de permanecer en tigo de 0.60, de pasar a Comcel 0.2 y de pasarse a movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Comcel tiene una probabilidad de mantenerse en Comcel del 0.5 de que esta
cliente en la actualidad de movistar la probabilidad que permanezca en movistar es de 0.4 de que se cambie a tigo de 0.3 y a Comcel de 0.3.
Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición.
=1 =1 =1
La suma de las probabilidades de cada estado en este caso operador deben ser iguales a 1
Po= (0.4 0.25 0.35) → estado inicial
Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la matriz de transición por el estado inicial y asísucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente anterior. P0 0.4 0.25 0.35 P0*T P1*T=P0*T*T=P0* T2 P0*T3
TIGO COMCEL MOVISTAR
E1 TIGO 0.6 0.2 02
E2 COMCEL 0.3 0.5 0.2
E3 MOVISTAR 0.3 0.3 0.4
TIGO COMCEL MOVISTAR
E1 TIGO 0.6 0.2 0.2 E2 COMCEL 0.3 0.5 0.2 E3 MOVISTAR 0.3 0.3 0.4 P1 0.42 0.31 0.27 P2 0.426 0.32 0.254 P3 0.4278 0.3214 0.258
P0*T4 P0*T5
Como podemos ver la variación en el periodo 4 al 5 es muy mínima casi insignificante podemos decir que ya se a llegado al vector o estado estable.
Ejemplo 2.
Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi cola y big cola cuando una persona a comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo de el 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre big cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% big cola; si en la actualidad consuma big cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 pepsi cola. En la actualidad cada marca cocacola, Pepsi y big cola tienen los siguientes porcentajes en participación en el mercado respectivamente (60% 30% 10%)
Elaborar la matriz de transición
Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el periodo 5
Respuesta
Matriz de transición
P4 0.42834 0.3215 0.2516 P5 0.42852 0.321466 0.2532
COCACOLA PEPSI BIGCOLA
E1 COCACOLA 0.75 0.15 0.1 E2 PEPSI 0.25 0.6 0.15 E3 BIGCOLA 0.3 0.2 0.5 P0 0.6 0.3 0.2 P1 0.555 0.25 0.155 P2 0.53525 0.26825 0.1765
Ejercicio 4 ¿Es la transpuesta de una matriz de transición de una cadena de Markov una matriz de transición de una cadena de Markov? Explique.
La transpuesta de una matriz de transición de una cadena de Markov no es una matriz de transición para una cadena de Markov. Para esto
consideramos la matriz de transición dada por:
A=( )
La cual claramente es una matriz de transición puesto que la suma de cada fila es igual a 1.
Ahora hallando la transpuesta tenemos que:
=( ) Así tenemos que para F1= 0,6 + 0,2 +0,3 = 1,1 F2= 0,2 +0,5 +0,3 = 1 F3= 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9
Lo cual es contradictorio con la definición de matriz de transición que plantea que la suma de los datos de la fila debe ser igual a 1.
P3 0.52645 0.2835375 0.2850125 P4 0.52247563 0.2890925 0.18843188 P5 0.52065941 0.26951322 0.19882708
Ejercicio 5 Una planta que puede tener flores rojas (R), rosadas (P) o
blancas (W), según los genotipos RR, RW y WW. Al cruzar cada uno de estos
genotipos con un genotipo RW, obtenemos la matriz de transición. Flores de la planta
R P W
Flores de la planta hija ( )
Suponga que cada generación posterior se produce cruzando sólo con
plantas de genotipo RW. ¿En qué momento alcanza el equilibrio el proceso?, ¿qué porcentaje de las plantas será de flores rojas, rosadas o blancas?
A= ( ) - ( ) A= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )
( ) ( )
El procedimiento alcanza el equilibrio cuando se tienen los mismos porcentajes en este caso, las flores rojas y blancas cuentan con el mismo porcentaje de 25%.
Así a largo plazo se tendrá que:
El 25% de las plantas será flores rojas (R). El 50% de las plantas será flores rosadas (P). El 25% de las plantas será flores blancas (W).