Matemáticas. Sesión #7. Sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas

Contextualización



En un principio debemos de saber que en realidad para

resolver adecuadamente un sistema de ecuaciones lineales

consideremos que esto es un proceso que consta de dos

fases: discusión y resolución.



La discusión que es antes que la resolución se basa en saber

y analizar si el sistema tiene solución o no, y si la tiene

iniciaremos el proceso de decidir por cuál de los métodos lo

realizaremos.



Los métodos que se tienen pueden ser analíticos o gráficos, en

esta sesión aprenderemos a resolver un sistema a través de

los analíticos, que iremos conociendo uno por uno, los cuales

son los mayormente utilizados: sustitución e igualación.

Introducción.

 ¿Podre conocer la base y la altura de un rectángulo si

solamente conozco su área y su perímetro?

La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es comúnmente utilizado al tener dos conceptos que tienen relación entre sí, tal es el caso del área y el perímetro de un rectángulo, en los dos se utiliza la base y la altura para el cálculo de ellos, si estos valores llegaran a no ser conocidos pero se conoce el área y perímetro podemos encontrar estos valores desconocidos tomándolos como las incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones y dar solución a través de cualquiera de sus métodos.

Explicación

Sistemas de ecuaciones lineales

 Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones

con 2 o más incógnitas y se requiere de encontrar los valores de estas incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas.

 Existen algunos métodos para la solución de este tipo de sistemas, a

Explicación

Método de sustitución.

Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas se siguen los siguientes pasos:

 Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.

 Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación

de que resulta de esta sustitución.

 Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra

en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

Explicación

Paso 1: y= 7-2x

Paso 2: x+ 3(7-2x) = 11 Se multiplica el 3.

x + 21 -6x = 11

x -6x = 11- 21 Se juntan términos semejantes.

-5x = -10 El -5 pasa dividiendo al otro lado de la

igualdad x= 2

Paso 3. y= 7-2x y= 7 -2(2) = 7- 4 -- y = 3

Explicación

 Método de igualación.

Para utilizar este método hay que despejar una variable, la misma, en las dos ecuaciones y se igualan ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Los pasos a seguir son:

 Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.

 Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal.

 Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que

ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

Explicación

3𝑦 − 𝑦₂ = 11 −7₂ Se juntan términos semejantes

5𝑦 2 =

15

2 Se saca factor común en 2 y se resuelve la resta 10𝑦 = 30 Se multiplica por 2 cada lado

y = 3

Paso 3. x = 11 – 3y  x = 11 – 3(3)  X = 2

Explicación

Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas

 Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos

variables también pueden ser utilizados para resolver sistemas de tres variables. Una ecuación lineal general con tres variables x, y y z tiene la forma:

Ax + By + Cz = D

Ejemplo Resolución de un sistema lineal con tres variables 2x + y + z = 3

-x + 2y + 2z = 1 x – y - 3z = -6

Explicación

De la tercera ecuación se despeja x quedando x = y+3z-6 y se sustituye en las otras dos ecuaciones:

2(y + 3z - 6) + y + z = 3 -(y + 3z – 6) + 2y + 2z = 1 Simplificando nos queda:

3y + 7z = 15 y – z = - 5

De la segunda ecuación se despeja y quedando y = z – 5 y se sustituye en la otra ecuación:

3( z – 5) + 7z = 15

Explicación

Sustituimos en y = z – 5 = 3 – 5 = -2, por lo tanto z = 3, y = -2. Ahora estos dos valores los sustituimos en nuestro primer despeje en x = y + 3z – 6 dando como resultado x = 1. Podrás comparar en cada ecuación para verificar que se cumpla la igualdad en cada caso.

Solución: X = 1, y = -2 y z = 3

2x + y + z = 3  2(1) +(-2) + 3 = 3

2 -2 +3 = 3 por lo tanto la igualdad nos queda: 3 = 3

-x + 2y + 2z = 1  -(1) + 2(-2) +2(3) = 1

-1 -4 + 6 = 1 por lo tanto la igualdad nos queda: 1 = 1

x – y - 3z = -6  (1) – (-2) -3(3) = -6

1 + 2 – 9 = -6 por lo tanto la igualdad nos queda: -6 = -6  En las tres ecuaciones se cumplió la igualdad, la solución es correcta.

Conclusión

 Como nos habremos dado cuenta no importa el método que se utilice para la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, todos nos llevaran a la misma solución pero con diferentes procedimientos es de elección particular el elegir cual método utilizar.

 La siguiente sesión iniciaremos el uso de los determinantes los cuales representan un sistema de ecuaciones y aprenderemos a dar solución a los sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas.

Extraído de: http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/algebralineal/determinante1.GIF

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

 Vitutor. (2010). Sistemas de dos ecuaciones. Recuperado de:

http://www.vitutor.net/1/36.html

 Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Sustitución.

Recuperado de:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/sustitucion.html

 Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Igualación.

Recuperado de:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/igualacion.html

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

 Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias

sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.