FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y.

FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO 2013

PROF. RUHL, CLAUDIA

BATÁN, ROMINA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FORMA CANÓNICA FORMA POLINÓMICA FORMA FACTORIZADA

Y = a . ( x – h )

_{+ k Y = a . x}

_{+ b . x + c y = a . ( x – x}

1

) . ( x – x

FORMA CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

En todos los casos hallaremos el eje, el vértice, las raíces y haremos un estudio de la función

cuadrática dada con su correspondiente gráfica.

ACTIVIDAD: Dada la función f(x) = x

_{donde a = 1 Grafícala en tu carpeta para valores}

h = 0 de x = 1,2,3,-1,-2.-3.1/2,-1/2

k = 0



En esta función el cuadrado de todo número es la imagen de la función cuyos valores pueden ser “0” o mayor que “0”.

Por lo tanto, el conjunto imagen de f (x) es ...



Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje “y”.



Marcar en rojo el punto en que la parábola corta el eje de simetría. Ese punto es el vértice . En este caso las coordenadas

del vértice son V = ( ...,...)

IMPORTANTE: EL EJE DE SIMETRÍA ES x = h

EL VÉRTICE ES v = ( h ; k )

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL

Completa con lo que se pide en cada caso.

a = ….. a = …. a = …..

f(x) = x

_{h = ….. j (x) = ( x – 2)}

_{h = ….}

_{t (x) = (x + 1)}

_{h = …..}

k = …..

k = …. k = …..

eje de simetría x= .... eje de simetría x = ... eje de simetría x = ...

vértice V ( ....,...) vértice V (...,…….) vértice V (……..,…….)

ACTIVIDAD :

Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego

realiza la tabla de valores tomando los valores de « x » convenientemente.



Completa el cuadro observando cada gráfica

f(x) j(x) t(x)

Intervalo de crecimiento

Intervalo de decrecimiento

DOMINIO:

Son todos los valores de “x” que puede tomar la función, en este caso es

r

IMAGEN:

Son todos los valores de “y” que toma la función, en este caso

r≥0

ORDENADA AL ORIGEN:

Es el valor que toma “Y” cuando x = 0. Cualquiera sea la

función para calcular la ordenada al origen siempre reemplazamos a x = 0

Calcularemos la ordenada al origen en cada una de las funciones anteriores

f (x) = x

_{j (x) =}

_{( x – 2 )}

_{t (x) = ( x + 1)}

y = x

_{y = ( x – 2 )}

_{y = ( x + 1)}

_{y = 0}

_{y = ( 0 – 2 )}

_{y = ( 0 + 1 )}

_{y = 0 y = (-2)}

_{y = 1}

_{y = 4 y = 1}

Marca en las gráficas con naranja las tres ordenadas al origen.

DESPLAZAMIENTO VERTICAL:

Observamos las gráficas de las siguiente funciones completando en cada caso lo que se pide.

a = ….. a = …. a = …..

f(x) = x

_{h = ….. g (x) = x}

_{– 1}

_{h = ….}

_{r (x) = x}

_{+ 2}

_{h = …..}

k = …..

k = …. k = …..

eje de simetría x= .... eje de simetría x = ... eje de simetría x = ...

vértice V ( ....,...) vértice V (...,…….) vértice V (……..,…….)

ACTIVIDAD :*

Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego

realiza la tabla de valores tomando los valores de « x » convenientemente.

*Calcula la ordenada al orígen



Completa el cuadro observando las gráficas y releyendo lo anterior

intervalo de crecimiento intervalo de decrecimiento ordenada al orígen

f(x)

g(x)

r(x)

CONJUNTO DE POSITIVIDAD: Son

todos los valores de “x” para los cuales los valores

de “y” son positivos. El símbolo correspondiente es C

En f(x) el C

_=(0,+



_{) en g(x) el C}

_{= (-}



_{; -1)}



_{(1 ; +}



_{) en r(x) el C}

₌



CONJUNTO DE NEGATIVIDAD: Son

todos los valores de “x” para los cuales los valores

de “y” son negativos. El símbolo correspondiente el C

_.

En f(x) el C

₌



_{en g(x) el C}

_{= (1 ; -1) en r(x) el C}

₌



RAÍCES:

Las raíces son los puntos donde la parábola corta al eje “y”. Para

calcular las raíces para cualquier función, siempre, reemplazamos a y = 0,

despejamos para hallar el los valores de “x”

F(x) = x

_{g (x) =}

_x

_{- 1 r (x) = x}

_{+ 2}

y = x

_{y = x}

_{- 1 y = x}

_{+ 2}

_{0 = x}

_{0 =}

_x

_{- 1}

_{0 =}

_x

_{+ 2}



_{0 = x 0 + 1= x}

_{0 – 2 = x}

_{0 = x}

±



_{1 = x}



_{-2 = x}

Como hay una sola



= x

solución x

= +1 x

= -1 indica que la función no tiene raíces

hay

una sola

en este caso la función

en

r

porque no hay solución

raíz

tiene

dos raíces

Ejemplo:

hallaremos el eje de simetría, el vértice, las raíces, graficaremos la función y haremos el estudio de la

misma. Ayuda: antes de ver este ejercicio resuelto tienes que haber estudiado todo lo que se encuentra en las

páginas anteriores y tener las hojas siempre a mano para consultarlas hasta que lo sepas sin necesidad de

recurrir a ellas

y = ( x – 3 )

_{- 4 a = 1 eje x = h x = 3}

h = 3 vértice (h;k) V = ( 3 ; -4)

k = - 4

En caso de que la función

no

tenga

raíces

en la gráfica marcar el eje de simetría, el vértice, la ordenada

Raíces y = ( x – 3 ) 2 _{- 4 (siempre reemplazamos y=0=}

0 = ( x – 3 ) 2 _{- 4}

0 + 4 = ( x – 3 ) 2

± √ 4 = x – 3 ± 2 + 3 = x + 2 + 3 = x 1 +5 = x 1 - 2 + 3 = x 2 +1 = x 2

Ordenada al origen : y = ( x – 3 )

_{+ 4 y = ( 0 – 3 )}

_{+ 4 (siempre reemplazamos x=0)}

y = 9 + 4 y = 13

Ubica en ejes cartesianos, el eje de simetría, el vértice, la ordenada al origen y las raíces, une los puntos y ya tendrás la

parábola. Si no hay raíces deberás hacer una tabla de valores eligiendo valores cercanos al eje.

Observa en dicha gráfica:

C

_{= (-}



_{; 1 )}



_{( 5 ; +}



_{) C}

_{= ( 1 ; 5 ) (recordar que aquí intervienen las raíces)}

Intervalo de crecimiento (3 ; +



) (recordar que aquí interviene el eje de simetría)

Intervalo de decrecimiento ( -



; 3)

El vértice (3 ; -4) es un mínimo

Dm. = R I

m=

r ≥

-4

Ejercicio Nº 1: De cada función hallar el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarla y hacer el estudio de la misma. 1) y = 2 ( x – 4)2 _{– 3 2) y = ( x + 2 )} 2 _{–4 3) y = x} 2 ₊₁

4) y = - ( x + 3 ) 2 _{+ 2 5) y = - x} 2 _{+ 4 6) y = ( x – 5 )}2

7) y = ( x + 3) 2 – _{3/2 8) y = x} 2 _{– 25/4 9) y = ( x + 3/2)} 2

Ejercicio Nº 2: Si el gráfico de una función cuadrática pasa por los puntos A = (3 ; 7) y B = (-5 ; 7) la ecuación del eje de simetría es: a) x = -1 b) x = 1 c) y = -1 d) x = 0 Justifica tu respuesta

Ejercicio Nº 3: Si una parábola pasa por el punto A = ( 1;6) y el vértice es V = (3;2), el punto simétrico de A es: a) B = (5;6) b) B = (-1;6) c) B = (0;6) d) D = ( -1; -6) Justifica tu respuesta

Ejercicio Nº 4: El vértice del gráfico de la función f(x) = (x+5) 2 _{-9 es:}

a) V = (-9;5) b) V = (-5;-9) c) V = (5; -9) d) V = (9;-5) e) V = (5;9) Justifica

Ejercicio Nº5: Si se quiere que la función f(x) = x 2 _{se desplace de manera que el nuevo vértice sea el punto V = ( -4 ; 9 ). La nueva}

fórmula es: a) h(x) = ( x-4)2 _{+ 9 b) h(x) = (x+4)}2 _{–9 c) h(x) = (x+4)}2 _{+9 d) h(x) = (x-4)}2 _–9

Ejercicio Nº 6: El desplazamiento de h(x) = (x+1)2 _{-2 respecto de f(x) = x}2 _es:

a) Dos unidades a la izquierda y una unidad hacia arriba b) Una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba c) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia arriba d) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo

Ejercicio Nº 7: Dados los siguientes vértices escribe en cada caso la fórmula de la función cuadrática correspondiente a cada una de ellas.a) V = ( -3;2) b) V = ( 0; ½) c) V = ( ¾ ; 0) d) V = ( 0;0) e) V = (5; - 8) Prof. Ruhl, Claudia ( 3 )

FORMA POLINÓMICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

La fórmula general de una función cuadrática en forma polinómica es:

y = a x 2 _{+ b x + c}

Tomemos la siguiente función para calcular el eje, el vértice, las raíces y graficarla junto con el estudio de la misma: f(x) = x 2 _{– 2x -3 a= 1}

b=-2 c = -3

EJE: Para calcularlo deberemos utilizar la siguiente fórmula y reemplazarla por los valores correspondiente

EJE x = - b

2 . a 2 . 1 1

VÉRTICE: como el vértice es el par ordenado (x,y) estando el mismo sobre el eje de simetría, para hallar “y” reemplazamos en la función dada a la “x” por 1 ….. x=1 f (x) = x 2 _{- 2 x –3}

y = 1 2 _{- 2 . 1 – 3 y = 1 – 2 – 3 y = - 4}

Vértice: V = ( x ; y ) V = ( 1 ; -4 )

RAÍCES: Para calcular las raíces en forma polinómica deberemos reemplazar en la siguiente fórmula

x

x

= -b

±



b

- 4 . a . c

2 . a

Reemplazamos por los valores que tiene la función f(x)

x1 x2 = - (-2) ± ( -2)2 - 4 . 1 . (-3) x1 x2 = 2 ± 4 + 12 x1 x2 = 2± 16 2 . 1 2 2 x1x2 = 2± 4 x1 = 2 + 4 x1 = 6 x1 = 3 2 2 RAÍCES x2 = 2 – 4 x2 = -2 x2 = -1

ORDENADA AL ORIGEN: Se calcula igual que en la forma canónica, se reemplaza a x = 0 calculando “y” f(x) = x 2 _{– 2x -3 ordenada al origen}

y = 0 2 _{– 2.0 -3}

y = - 3 Ordenada al origen

Con el eje, el vértice, las raíces, y la ordenada al origen que acabamos de calcular grafica la función cuadrática correspondiente a f(x) En tu carpeta y realiza el estudio de la misma

El vértice puede ser máximo o mínimo

MÁXIMO: Cuando la función pasa de ser

cresciente a decresciente

MÍNIMO: Cuando la función pasa de se

decresciente a cresciente

Ejercicio Nº8: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes funciones cuadráticas en forma polinómica.(C+_{, C}-_{, máximo o mínimo, intervalo de crecimiento, intervalo de decrecimiento, dominio,}

imagen) a) y = x 2 _{– 6 x + 10 b) y = x} 2 _{–2 c) y = x} 2 _{-8.x + 4} d) y = x 2 _{– 2 . x + 5 e) y = x} 2 _{– 2 . x + 5 f) y = ½ . x} 2 _{+ 3} g) y = 6 x 2 _{- 2/3 h) y = - 4/3 x}2 _{i) y = ½ x} 2 _{+ 3 x} j) y =3/2 x 2 _{– 1/3 k) y = x}2 _{– ½ x – 5 l) y = 2 x} 2 _{– 1/3 x} m) y = 4 x2 _{– 12 x + 5 n) y = x}2 _{– x – 12 ñ) y = 2 x} 2 _{+2 x + 5}

FORMA FACTORIZADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

La formula general de una función cuadrática escrita en forma factorizada es la siguiente:

y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 )

donde “ x 1 “ y “ x 2 “ son las raíces de la función.

Tomemos la siguiente función escrita en forma factorizada y hallemos el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, la gráfica y hagamos un estudio de la misma.

En forma factorizada tenemos automáticamente las raíces de la función que en nuestro ejemplo son f (x) = ( x + 4) . ( x – 2 ) x1 = -4

x 2 = 2

Por lo tanto solamente deberemos hallar el eje, el vértice y la ordenada al origen.

Ordenada al origen: como hemos dicho anteriormente, reemplazamos a x = 0 y obtenemos el valor de “y”. y = ( 0 + 4 ) . ( 0 – 2 ) y = 4 . (– 2 ) y = - 8

Eje de simetría: Para hallarlo utilizaremos las raíces y como el eje se simetría se encuentra en el punto medio de ambas aplicamos la siguiente fórmula

Eje de simetría = x1 + x2 En nuestro ejemplo lo calculamos así:

2

Eje de simetría = - 4 + 2 eje de simetría x = 1 2

Como dijimos antes, para hallar el vértice reemplazamos el valor del eje en la función original f(x) = ( x + 4 ) . ( x – 2 ) y = ( -1 + 4 ) . ( - 1 – 2 ) y = 3 . ( - 3) y = - 9

Por lo tanto el vértice será V = ( -1; -9 )

Con los datos anteriores grafica la función en tu carpeta y realiza el estudio de la misma

Ejercicio Nº 9: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes funciones cuadráticas en forma factorizada.

a) y = ( x – 5 ) . ( x + 1 ) b) y = ( x + 7 ) . ( x + 1 ) c) y = ( x – 4 ) . ( x – 8) d) y = ( x – 1 ) . ( x – 6 ) e) y = ( x + 10 ) . ( x + 3) f) y = ( x – 4 ) . ( x + 3)

Ejercicio Nº 10: Con los siguientes datos escribe la función cuadrática correspondiente, grafícala y realiza el estudio de la misma.( en todas las funciones el valor de a = 1)

a) V = ( 5; - 3) b) x1 = 3 x2 = -1 c) V = ( 2 ; 3 )

d) x1 = 0 x2 = 5 e) V = ( - 4 ; 2 ) d) V = ( 0 ; 4 )