4ºESO SAA TRIANGULEANDO
ACTIVIDADES
1.- ¿Son semejantes las siguientes figuras? Explica tu respuesta.
2.- Explica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Todos los cuadrados son semejantes.
b) Todos los paralelogramos son semejantes. c) Todos los triángulos son semejantes.
3.- ¿Cuál es la razón de semejanza entre las siguientes figuras?
4.- Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la razón de semejanza y los valores de los lados desconocidos:
a) 3, 4, 5 6, x, y, b) 6, 6, 6, 24, x, y c) x, 5, 8 12, y, 28 d) 3, 4, 5, 13´5, x, y 5.- Esta es la fotografía de un microorganismo llamado
paramecio. Fíjate en la escala gráfica y contesta: a) Indica el factor de escala
b) Calcula la longitud real del paramecio. 6.- La fotocopiadora es una máquina que construye figuras planas semejantes. Si necesitamos ampliar el original, la razón de semejanza deberá ser mayor que 1; si queremos reducirlo, la razón de semejanza será menor que 1. Como las fotocopiadoras trabajan con tantos por ciento, tendremos que expresar la razón de semejanza o factor de escala con un porcentaje.
Laurimar y Telva están preparando una
exposición de sellos matemáticos. Han decidido hacer fotocopias ampliadas de los sellos para los carteles y reducidas para los catálogos.
a) Si el ancho del sello original es de 4 cm y quieren hacer una ampliación a 6 cm, ¿qué porcentaje tienen que utilizar en la fotocopiadora?
b) Si quieren reducir el tamaño a 3 cm, ¿qué porcentaje deben utilizar?
c) Uno de los sellos mide 5 centímetros de ancho por 12 cm de alto. Calcula el tamaño de la fotocopia si han introducido los siguientes porcentajes:
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d) Hicieron una ampliación del sello de Azarquiel pero olvidaron qué porcentaje aplicaron. A continuación tienes el tamaño original y dicha ampliación. Ayuda a tus compañeras y averigua el porcentaje.
7.- A continuación tienes un mapa de carreteras de Polonia. Utilízalo para calcular la distancia entre:
a) Gdansk – Poznan b) Warszawa - Kielce c) Warszawa – Lublin d) Opole – Kielce
8.- Imagina que tenemos un cuadrado de 1 cm de arista. Si duplicamos, sucesivamente sus aristas, ¿cuál es la razón de semejanza que existe entre los nuevos cuadrados y el original? ¿Ocurre lo mismo con sus perímetros?
Para responder a esta pregunta ayúdate de la siguiente tabla y calcula la razón de semejanza entre los perímetros.
Arista 1 2 3 4 5 6 Perímetro
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Representa gráficamente el perímetro en función de la arista. ¿Qué clase de función has obtenido? 9.- Continuando con el ejemplo anterior, comprueba que ocurre con las áreas de los sucesivos cuadrados. ¿Se mantiene la razón de semejanza? Para responder a esta pregunta ayúdate de la siguiente tabla.
Arista 1 2 3 4 5 6 Área
Representa gráficamente el área en función de la arista. ¿Qué clase de función has obtenido? 10.- Imagina ahora que partimos de un cubo de 1 cm de arista. ¿Qué ocurre con la razón de semejanza entre los volúmenes?
Arista 1 2 3 4 5 6 Volumen
Representa gráficamente el volumen en función de la arista. 11.- Corrige las frases que sean falsas:
a) Si la razón de semejanza entre dos figuras es 3, el área de la segunda es el doble del área de la primera.
b) Si la razón de semejanza entre dos figuras es 2, el volumen de la segunda es 8 veces superior al volumen de la primera.
c) Si dos polígonos tienen sus ángulos iguales, sus lados son proporcionales.
12.- Un rectángulo de dimensiones 6 x 8 cm y otro semejante a él tienen una razón de semejanza de 2,8. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus áreas?
13.- Calcula la razón de semejanza entre las superficies de los sellos de Azarquiel del ejercicio 6.
14.- Las dimensiones de un campo de fútbol son 70 y 100 m, respectivamente. ¿Cuál es la superficie de un futbolín hecho a escala 1:75?
15.- El área de la base de una torre es de 325 m2, calcula el área de la misma en una maqueta de escala 1: 350.
16.- Calcula cuántas veces es más grande una pizza familiar que una pequeña si el radio de la familiar es de 40 cm y el de la pequeña es de 25 cm.
17.- En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando?
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18.- El precio de las tartas circulares en una pastelería depende de la superficie superior. La tarta más pequeña tiene 10 cm de radio y cuesta 12, 50 €. Calcula el precio de las siguientes tartas:
a) tarta circular de 20 cm de radio b) tarta circular de 15 cm de radio.
19.- El volumen de una torre es de 1325 m3, calcula el volumen de la misma en una maqueta de escala 1: 300.
20.- La torre Eiffel fue construida con 18000 piezas de hierro forjado y originalmente medía 300 m y pesaba 7300 toneladas. Una maqueta exacta de la torre, también de hierro, de 2 m de altura, ¿cuánto pesaría?
21.- La sandía superior cuesta 2,50 €. La sandía inferior es justamente el doble de ancha que la superior. ¿Costará 5€ o será más cara?
22.- El siguiente fragmento está tomado del libro Viajes de Gulliver de Jonathan Swift.
“Seiscientos colchones de dimensiones liliputienses ordinarias fueron traídos en carretas a mi local, donde los sastres iniciaron su trabajo. De un centenar y medio de colchones, cosidos entre sí, salió uno en el que cabía libremente a lo largo y a lo ancho. Pusieron, uno encima de otro, cuatro colchones como éste, pero aún así, este lecho era tan duro para mí como el suelo de piedra.”
En el libro se menciona que las dimensiones –anchura, altura y grosor- de los liliputienses eran doce veces menores que las de Gulliver. La estatura de los liliputienses era de aproximadamente 25,4 mm.
Suponiendo que los colchones de los liliputienses eran de su misma altura, por lo menos, y lo mismo ocurriría con el colchón de Gulliver, ¿cuántos colchones tendrían que poner de largo para hacer el de Gulliver?, ¿y de ancho?, ¿cuántos hacen falta en total?, ¿cuántos pusieron los liliputienses?
¿Resultaba bien el espesor del colchón?, ¿cuántos tendrían que haber puesto para que Gulliver hubiera dormido cómodo?, ¿puedes razonar por qué se quejaba Gulliver de la dureza del suelo?
23.- Halla la longitud del segmento que falta en la siguiente figura: 24.- Halla la medida de los segmentos a y b en el siguiente triángulo:
24.- La figura muestra las escaleras mecánicas de un centro comercial. Calcula la distancia x que se indica:
60 cm
48 cm 20 cm
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25.- (PROBLEMA PRUEBAS PISA)
Rodea con un círculo la figura que se ajusta a la siguiente
descripción
.El triángulo PQR es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en R. El lado RQ es
menor que el lado PR. M es el punto medio del lado PQ y N es el punto medio del lado
QR. S es un punto del interior del triángulo. El segmento MN es mayor que el segmento
MS.
26.- Los peldaños de esta escalera son paralelos y se ha roto uno de ellos. ¿Cuánto miden los tramos x e y?
27.- A la izquierda tienes la fotografía de una antigua pintadera canaria, incompleta por uno de sus bordes. Explica cómo hallarías, basándote en el teorema de Tales, la longitud del segmento señalado en la imagen
28.- Comprueba si son semejantes dos triángulos ABC y A´B´C´que cumplen las siguientes condiciones y explica en qué criterio te basas para dar tu respuesta:
a) 𝐴𝐵 = 12 cm; 𝐵𝐶 = 18 cm; 𝐴𝐶 = 24cm 𝐴´𝐵´ = 16 cm; 𝐵´𝐶´ = 24 cm ; 𝐴´𝐶´ = 30 cm b) 𝐶𝐴 = 6 cm; 𝐶𝐵 = 8 cm 𝐶 = 32º 𝐶´𝐴´ =9 cm; 𝐶´𝐵´ = 12 cm 𝐶´= 32º
c) 𝐴 = 45º 𝐵 = 24º 𝐴´= 45º 𝐶´= 108º
29.- Halla la altura del árbol de la figura:
h
1 m
1,25 m
6 m
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30.-
(MÉTODO DE LAS SOMBRAS)
Se cuenta que Thales de Mileto
calculó la altura de la gran pirámide de Keops a partir de su sombra
con la ayuda de una vara de longitud conocida y la sombra que
proyectaba. Utiliza ese método para resolver el siguiente ejercicio:
Si un edificio de 100 metros de altura proyecta una sombra de 24 metros, ¿qué altura tendrá otro edificio que en ese mismo instante deje una sombra de 15 metros?
31.- Una escultura, a una determinada hora del día, proyecta una sombra de 2,5 m. Irina (1,68 cm) y Ainoa quieren conocer la altura del árbol. Para averiguarlo, Irina se sitúa de forma que su sombra sea paralela a la del árbol y Ainoa la mide, resultando ser de 60 cm. ¿En qué se basan para calcular la altura del árbol? ¿Cuánto mide?
32.- La estatura del niño de la ilustración es de 1,5 metros, y la altura de la farola es de 6 metros. Calcula el valor de x.
33.- Utiliza los criterios de semejanza de triángulos para calcular la anchura del río de la figura.
34.- ¿En qué punto debe golpear la bola blanca a la banda del billar para que el rebote dé a la bola roja?
35.- Calcula dónde debe golpear la bola blanca a la banda del billar para que el rebote alcance a la bola roja. Si jugáramos con la bola roja para alcanzar a la blanca, ¿en qué punto de la banda tendría que golpear?
36.-
(MÉTODO DEL ESPEJO)
Euclides de Alejandría ingenió un método para medir la
altura de un objeto, como una torre, cuyo pie es accesible, con ayuda de un espejo.
Utiliza ese método para resolver el siguiente ejercicio:
Halla la altura de una torre que se ve reflejada en un estanque según se muestra en el dibujo.