Nombre Fecha Grupo Tema 1.3. Mapas de Karnaugh
Docente: Alfredo Alonso Quintana
Correo institucional: alfredo.alonso.acad011@df.conalep .edu.mx
Unidad de aprendizaje 1: Operación de circuitos lógicos combinatorios.
Resultado de aprendizaje: Simplifica funciones de circuitos lógicos combinatorios, empleando mapas de Karnaugh.
Actividad A: Realización de ejercicios acerca de circuitos de lógica combinatoria mediante la simplificación de funciones lógicas aplicando el método o mapa de Karnaugh. (NOTA: SE ENCUENTRAN EN LA ÚLTIMA HOJA)
Sugerencias para la solución y revisión de los problemas:
1. Estudiar y realizar un resumen sobre el método de mapas de karnaugh para simplicación de funciones booleanas 2. Desarrollar los ejercicios en hojas blancas o en formato digital
3. Si hay dudas enviarlas al correo institucional
4. La revisión y evaluación de los ejercicios sera cuando se reinicien las clases o por correo en formato digital
Mapa de Karnaugh
La complejidad de las compuertas de lógica digital que implementan una función booleana está relacionada directamente con la complejidad de la expresión algebraica a partir de la cual se implementa la función. Aunque la representación de una función como tabla de verdad es única, hay muchas formas de expresarla algebraicamente. Las expresiones booleanas se simplifican algebraicamente como se explicó anteriormente pero este procedimiento de minimización resulta poco práctico porque carece de reglas específicas que predigan cada paso sucesivo del proceso de manipulación. El método del mapa ofrece un procedimiento sencillo y directo para minimizar las funciones booleanas. Este método podría considerarse como una versión pictórica de la tabla de verdad. El método del mapa también se conoce como mapa de Karnaugh o mapa K.
El mapa es un diagrama hecho de cuadrados, cada uno de los cuales representa un minitérmino de la función. Puesto que cualquier función booleana se puede expresar como una suma de minitérminos, toda función booleana se reconocerá gráficamente en el mapa por el área delimitada por los cuadrados cuyos minitérminos están incluidos en la función. De hecho, el mapa presenta un diagrama visual de todas las maneras en que una función se puede expresar en forma estándar. Al reconocer diversos patrones, el usuario puede deducir expresiones algebraicas alternas para la misma función, y luego escoger la más simple.
Las expresiones simplificadas generadas por el mapa siempre están en una de las dos formas estándar: suma de productos o producto de sumas. Supondremos que la expresión algebraica más simple es la que tiene menos términos y el mínimo posible de literales en cada término. Esto produce un diagrama de circuito con el mínimo de compuertas y el mínimo de entradas a cada compuerta. Más adelante se verá que la expresión más simple no es única. Hay ocasiones en que es posible encontrar dos o más expresiones que satisfagan los criterios de minimización. En esos casos, cualquiera de las soluciones es satisfactoria.
En un mapa de Karnaugh se adopta un área igual, de forma cuadrada, para cada mintérmino; y además, estos cuadrados se disponen de tal forma que reflejen las adyacencias. Se ha superpuesto el 2-cubo, con un mapa de dos variables.
La identificación de los cuadros con el número del mintérmino, depende de la elección del orden de las variables que se haya elegido para la representación decimal equivalente. Por ejemplo, para dos variables A y B:
A
B
0
1
0
1
1
0
2
3
A
B
0
1
0
1
0
3
A
B
0
1
0
1
2
0
1
3
A
B
0
1
0
1
2
0
1
3
La representación de funciones mediante mapas, se logra marcando los mintérminos presentes con un "1"; los ceros suelen omitirse. Por ejemplo, las funciones AND y OR , de dos variables, se representan en mapas según:
Mapa para tres variables.
Para tres variables A, B y C, se ilustran los mintérminos en un diagrama de Venn y en un 3-cubo:
La siguiente figura muestra un desarrollo de un 3-cubo. Nótese que al abrir las caras del cubo, los mintérminos que están a distancia uno, quedan adyacentes (exceptuando los de la cara que no se representa en el plano). Los códigos de los mintérminos quedan ordenados según código Gray. El 3-cubo muestra también la propiedad del código Gray de ser reflejado.
A
B
0
1
0
1
0
0
0
2
0
1
3
A
B
0
1
0
1
2
1
0
1
3
f1(A,B)=A
B
B
0
1
0
1
0
1
1
2
1
0
1
3
f2(A,B)=A + B
A
7
B
A
C
2
1
4
0
3
5
6
A
0
2
6
7
4
5
1
3
C
B
6
2
7
5
0
1
4
3
C
B
A
f(A, B, C)
C = 1
2
6
4
3
5
7
f(A, B, C)
B = 1
A = 1
0
1
A = 0
C = 0
El siguiente diagrama muestra el desarrollo de un 3-cubo sobre el mapa de Karnaugh de tres variables:
Nótese que m0 es adyacente a m1, m2 y m4. Entonces, en un mapa de Karnaugh se considera que los bordes son coincidentes, lo cual también refleja que la propiedad del código Gray de ser cíclico.
Formas de Mapas
A continuación se ilustran mapas, para 3, 4 y 5 variables. Los valores de columnas y renglones se ordenan empleando código Gray, para reflejar mejor las adyacencias. El orden de las variables, para la representación decimal equivalente del mintérmino, figura en la base del mapa.
f(
A
, B, C)
C
A
B
0
0
0
1
0
1
1
0
2
3
1
1
1
0
7
6
4
5
C
AB
00
01
0
1
1
0
2
3
11
10
7
6
4
5
f(A, B, C)
CD
AB
00
01
00
01
1
0
4
5
11
10
13
12
8
9
11
10
2
3
7
6
14
15
11
10
f(A, B, C, D)
DE
A
BC
0
00
0
01
00
01
1
0
4
5
0
11
0
10
13
12
8
9
11
10
2
3
7
6
14
15
11
10
f(
A
, B, C, D, E)
1
10
1
11
25
24
28
2
1
01
1
0
0
21
20
16
17
26
27
3
3
22
23
19
18
Sin embargo esta forma de generar mapas, no refleja bien las adyacencias. Otra forma es una representación en el espacio
Los siguientes conceptos son útiles en la manipulación de mapas: Un mapa de n variables tiene 2n cuadros.
Cada bloque o casillero de un mapa de n variables, tiene n bloques adyacentes; es decir, los códigos binarios de los mintérminos están a distancia uno.
Un bloque está asociado a un producto que contiene las n variables, pudiendo éstas estar o no complementadas. Agrupando dos bloques adyacentes, se logra una expresión tipo producto de (n-1) variables. Empleando:
esto, considerando que dos bloques adyacentes difieren en sólo una variable, ya que están a distancia 1. Los bloques pueden agruparse en un número que es una potencia de dos; es decir: 2, 4, 8, 16...
Agrupando 2k bloques, que forman un k-cubo, la expresión booleana asociada es la que resulta de eliminar k variables de las n correspondientes a un mintérmino.
f(
A
, B, C, D, E)
DE
ABC
0
00
0
01
00
01
1
0
4
5
0
11
0
10
13
12
8
9
11
10
2
3
7
6
14
15
11
10
1
00
1
01
17
16
20
21
1
11
1
10
29
28
24
25
18
19
23
22
30
31
27
26
A=
0
A=
1
b
a
ab
a
Ejemplo: Los siguientes mapas ilustran el concepto de agrupaciones.
CD
AB
00
01
00
01
0
0
0
1
0
0
4
5
11
10
1
1
1
13
1
12
8
9
11
10
0
0
0
2
0
3
7
6
1
1
1
14
1
15
11
10
f(A, B, C, D)=A
CD
AB
00
01
00
01
0
0
0
1
0
0
4
5
11
10
1
0
1
13
0
12
8
9
11
10
0
0
0
2
0
3
7
6
1
0
1
14
0
15
11
10
f(A, B, C, D)=AB
CD
AB
00
01
00
01
0
0
0
1
0
0
4
5
11
10
0
0
0
13
0
12
8
9
11
10
0
0
0
2
0
3
7
6
1
0
1
14
0
15
11
10
f(A, B, C, D)=ABC
CD
AB
00
01
00
01
0
0
0
1
0
0
4
5
11
10
0
0
0
13
0
12
8
9
11
10
0
0
0
2
0
3
7
6
1
0
0
14
0
15
11
10
f(A, B, C, D)=ABCD
Grupo de dos mintérminos
Donde x es la salida y A,B ,C ,D son las entrada. En el inciso a, b, c son mapas de dos entradas y en el (d) de cuatro entradas
Grupo de ocho mintérminos
Uso de mapas y ejemplos
La obtención del mapa, a partir de una forma canónica es asunto trivial, si los casilleros han sido rotulados con los números decimales de los mintérminos.
Ejemplo 1: obtener el mapa de Karnaugh y la función booleana de la siguiente tabla de verdad:
Entradas Salida Decimal A B C F(A,B,C) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0 Se tiene:
C
AB
00
01
0
1
0
0
0
1
1
0
2
3
11
10
0
0
0
7
1
6
4
5
f(A, B, C)=
(3,5)
Mediante la aplicación del método de suma de productos se deben de agrupar los “Unos” lógicos de las salidas (en grupos adyacentes de 1, 2, 4, 8,16...).
A) Primer grupo del siguiente minitérmino 011= 𝐴̅ ∗ 𝐵 ∗ 𝐶
B) Segundo grupo del siguiente minitérmino 101= 𝐴 ∗ 𝐵̅ ∗ 𝐶
C) La función lógica de salida es la suma de productos anteriores𝐹(𝐴, 𝐵, 𝐶) = 𝐴̅ ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 + 𝐴 ∗ 𝐵̅ ∗ 𝐶 de forma simplificada
Ejemplo 2: obtener el mapa de Karnaugh y la función simplificada de la siguiente tabla de verdad:
El mapa de Karnaugh que da de la siguiente forma, donde la f es la salida
Mediante la aplicación del método de suma de productos se deben de agrupar los “Unos” lógicos de las salidas (en grupos adyacentes de 1, 2, 4, 8,16...), como se muestra en la figura
A) Primer grupo del siguiente minitérmino en la posesión del cuadro 2: 𝑋̅ ∗ 𝐵 ∗ 𝑍̅
B) Segundo grupo de “unos” en la posición del cuadro 1 y 5: 𝑍 ∗ 𝑌̅
C) Tercer grupo de “unos” en la posición del cuadro 5 y 7: 𝑋 ∗ 𝑍
D) La función lógica de salida es la suma de productos anteriores 𝐹(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝑋̅ ∗ 𝐵 ∗ 𝑍̅ + 𝑍 ∗ 𝑌̅ + 𝑋 ∗ 𝑍
Solución:
A) Primer grupo de unos es de cuatro cuadros el 0,1,4,y 5 por lo tanto 𝑌̅
B) Segundo grupo de “unos” es de dos cuadros 4 y 6: 𝑋 ∗ 𝑍̅
C) La función lógica de salida es la suma de productos anteriores 𝐹(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝑌̅ + 𝑋 ∗ 𝑍̅
Ejemplo 5: obtener el mapa de Karnaugh, el circuito de lógica combinacional y la función booleana de la siguiente tabla de verdad: Entradas Salida Decimal w X Y Z F(W,X,Y,Z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 1
Solución mapa de Karnaugh:
Grupos adyacentes de unos:
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES DE CIRCUITOS LÓGICA COMBINATORIA, EMPLEANDO MAPAS DE KARNAUGH.
Obtener la función booleana, mapa de karnaugh y el circuito combinacional dependiendo de cada ejerccicio propuesto: 1. 2. Entradas Salida Decimal A B C F(A,B,C) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0 3.
4. Entradas Salida Decimal A B C D F(A,B,C,D) 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 1
