Sucesiones parte 5. a r = a m p < a. por lo tanto f es esctrictamente creciente Si 0 < a < 1, denimos f(r) = a r = 1 ( 1. = a.

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(1)

Sucesiones parte 5

Lema 1. Sea a > 1. La función f : QR dada por f(r) = ar es estrictamente creciente en

Q y si 0< a <1. La funciónf :Q→Rdada porf(r) =ar es estrictamente decreciente enQ

Demostración. Supongamos quea >1. Sear < s ∈Q. Entonces existenm, n ∈Zyp∈ Ntal que

r= m

p ys= n

p conm < n. Se tiene entonces que

an−m≥a >1 ⇒ an=aman−m> am Como la funciónf(x) =√xes estrictamente creciente en[0,+∞)se tiene que

(am)p1 <(an)

1

p ar=amp < anp =as por lo tanto f es esctrictamente creciente

Si0< a <1, denimosf(r) =ar= 11 a r por lo que a <1 ⇒ 1<1 a ⇒ ∃m, n ∈Z y p∈ N, tal que r= m p y s= n p tal que 1 a n−m ≥ 1 a >1 ⇒ 1 a n = 1 a m1 a n−m > 1 a m

Como la funciónf(x) =√xes estrictamente creciente en[0,+∞)se tiene que

1 a m1p < 1 a np1 1 1 a np < 1 1 a mp ⇒ as= 1 1 a np < 1 1 a mp =ar por lo tanto f es esctrictamente decreciente

Lema 2. Dado un x∈R, existe una sucesión monotona decreciente (rn)n∈N de números racionales tal

que

l´ım

n→∞rn=x

Demostración. Seax∈R, por la densidad deQenR, exister1∈Qtal quex−1< r1< x.

Existe tambiénr2∈Qtal que

m´ax{x−1

2, r1}< r2< x

. Existe tambiénr3∈Qtal que

m´ax{x−1

3, r2}< r3< x

. Continuando este proceso Existe tambiénrk+1∈Qtal que m´ax{x− 1

k+ 1, rk}< rk+1< x

. Se tiene que por construcción, (rn)n∈N es una sucesión de números racionales estrictamente creciente

(2)

Lema 3. Sea a≥1y x∈R. Si(rn)n∈Nes una sucesión monotona creciente de números racionales que

convergen a x, entonces(arn)

n∈N converge

Demostración. Seaa≥1yx∈R. Supongamos que l´ım

n→∞rn=x

Como f :Q→Rdada porf(r) =ar es estrictamente creciente, entonces(arn)

n∈Nes monotona

estric-tamente creciente.

Sir∈Qes un número racional tal que

rn≤x < r entonces arn< ar (arn) n∈N es acotada superiormente ⇒ (a rn) n∈N es convergente

Denición 1. Sea a≥1. Entonces∀x∈Rdenimos

ax= l´ım

n→∞a

rn

donde(rn)n∈Nes una sucesión monotona estrictamente creciente de números racionales que convergen a

x.

Si0< a <1, entonces a−1>1y por tanto ∀ x∈R denimos

ax= 1 (a−1)x De manera que l´ım n→∞a rn= l´ım n→∞ 1 (a−1)rn = 1 l´ımn→∞(a−1) rn = 1 (a−1)x =a x Por lo tanto∀ a≥0y ∀ x∈R ax= l´ım n→∞a rn

Teorema 1. Sea a >1. Entonces la función exponencial f(x) =ax es estrictamente creciente x

R

Demostración. Seanx, y∈R, tal quex < y, existen un racionalqtal quex < q < y.

Sean(rn)y(sn)sucesiones de números reales tales que

l´ım

n→∞rn=x y nl´ım→∞sn =x Por otro lado

rn ≤x < q < sn≤y

comof(x) =axes estrictamente creciente en

Qentonces arn< aq < asn tomando limites ax= l´ım n→∞a rn< aq < l´ım n→∞a sn=ay por lo tantoax< ay por lo tanto la función es estrictamente creciente

(3)

Teorema 2. Seana, b >0. La función exponencial satisface: (a)a0= 1 (b)axay=ax+y (c) ax ay =a x−y (d)(ab)x=axbx (e)a−x= (ax)−1= (a−1)x (f) a b x =a x bx

Demostración. Para el inciso (a) consideramos la sucesión de término generalrn = 0,∀ ∈ Ny se tiene

entonces que:

a0= l´ım

n→∞a

rn= 1

Para el inciso (b) consideramos sucesiones monotonas crecientes(rn)n∈N y(sn)n∈Ntales que

l´ım

n→∞rn=x y nl´ım→∞sn=y se tiene entonces que

l´ım n→∞rn+sn=x+y por lo tanto axay = l´ım n→∞a rn l´ım n→∞a sn = l´ım n→∞a rnasn= l´ım n→∞a rn+sn =ax+y Para el inciso (c) tenemos que

ax−yay =ax ⇒ ax−y= a x ay, a y 6 = 0

Para el inciso (d) consideremos a, b ∈ R. Sea (rn)n∈N una sucesión monotona creciente de números

racionales que convegren a x. Entonces

(ab)x= l´ım n→∞(ab) rn= l´ım n→∞a rn l´ım n→∞b rn=axbx

Para el inciso (e) consideremos a, b ∈ R. Sea (rn)n∈N una sucesión monotona creciente de números

racionales que convegren a x. Entonces a−1x = l´ım n→∞ a −1rn = l´ım n→∞(a rn)−1= 1 l´ımn→∞arn = a0 ax =a 0−x=a−x (ax)−1= l´ım n→∞(a rn)−1= 1 l´ımn→∞arn = a 0 ax =a 0−x=a−x

Para el inciso (f) consideremos a, b ∈ R. Sea (rn)n∈N una sucesión monotona creciente de números

racionales que convegren a x. Entonces

a b x = (ab−1)x=ax(b−1)x=ax(bx)−1= a x bx

(4)

Teorema 3. Seaa≥1 yx∈R. Si(tn)n∈Nes una sucesión monotona decreciente de números racionales

que convergen a x, entonces

l´ım

n→∞a

tn=ax

Demostración. Denimos la sucesión

rn= 2x−tn

Se tiene entonces quern →xyrn es monotona creciente, por lo tanto

l´ım n→∞a tn= l´ım n→∞a 2x−rn= l´ım n→∞ a2x arn = a2x l´ımn→∞arn = a 2x ax =a x

Teorema 4. Sea a ≥ 1 y x ∈ R. Si (xn)n∈N es una sucesión de números reales que convergen a x,

entonces

l´ım

n→∞a

xn=ax

Demostración. Tenemos que existen sucesiones(rn)n∈N y (sn)n∈N monotona creciente y decreciente de

números racionales respectivamente tal que

l´ım

n→∞a

rn =ax y l´ım

n→∞b

rn=ax

Como la funciónf(x) =ax es estrictamente creciente, sea >0 entonces existen

1∈Ntal que

ax− < arn1 < ax< ars1 < ax+

Por otro lado

rn1< x < sn1, y como xn →x entonces ∃ n0∈N tal que n≥n0 ⇒ rn1 < xn< sn1

Como la funciónf(x) =ax es estrictamente creciente

n≥n0 → ax− < arn1 < axn< ars1 < ax+ → |axn−ax|<

por lo tanto

l´ım

n→∞a

xn=ax Si0< a <1se tiene quea−1>1y aplicando lo anterior se tiene

l´ım n→∞a xn= l´ım n→∞ 1 (a−1)xn = 1 l´ımn→∞(a−1)xn = 1 (a−1)x =a x

Ejemplo Use lo anterior para mostrar que la sucesión √ 2, q 2√2, r 2 q 2√2, ... tiene limite

(5)

Demostración. Para esto se tiene que: a1= 2 1 2,a2= 2·212 12 = 234,a3= 2 7 8,...,an= 2 2n−1 2n por tanto l´ım n→∞an = l´ımn→∞2 2n−1 2n = 2l´ımn→∞2 n1 2n = 21= 2

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