El significado de los números reales y sus simbolizaciones

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Unidad 1

El Significado de los Números Reales y sus Operaciones

Propósito de la unidad

Al finalizar la unidad serás capaz de operar con los números racionales, (enteros y no enteros) y resolver problemas aritméticos aplicando algunas heurísticas para facilitar: su comprensión, la búsqueda de un plan de resolución y su ejecución.

PROPUESTA DIDÁCTICA

Tema 1 El significado de los números reales y sus simbolizaciones

Introducción

Posiblemente tu actividad con los números haya tenido un énfasis en la forma en que estos se operan y su aplicación en la resolución de problemas te presente dificultades.

Estas dificultades tienen su fuente en la falta de significado concreto de los números, entre otras cosas, como el aprendizaje memorístico de las reglas para operarlos.

En este tema encontrarás significado a los números a través de actividades prácticas de medición, de análisis de modelaciones de situaciones físicas y del planteamiento de convenciones necesarias para la generalización de propiedades de las operaciones básicas de la aritmética.

Planeación

Fase de

planeación de tu actividad

Tomando como documento de trabajo el archivo electrónico que el profesor te proporcionará y que aquí se te presenta: A manera de tarea extra-clase, ejecutarás las actividades prácticas y responderás a las preguntas que se hacen, registrando tus respuestas en el campo de respuesta individual del archivo enviado por el profesor.

Ya en clase, participarás en un tratamiento grupal de las actividades a fin de lograr consensos sobre la comprensión

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de las actividades y sus resultados, anotarás estos consensos en el campo de respuesta por equipo y grupal, redactarás las conclusiones a las que se lleguen a partir de la actividad, conclusiones que el profesor sintetizará o corregirá. Finalmente resolverás ejercicios que garanticen la comprensión de procedimientos y conceptos.

Si la captura de las respuestas individuales y consensuadas, en los campos que el archivo tiene reservados para esto, te presenta dificultades, entrégalas al profesor por escrito, redactando la actividad a la que se responde.

Referencias Para el alumno:

Complementaria:

Miller, Charles D., Heeren, Vern E., Hornsby, John. (2013).

Matemática: razonamiento y aplicaciones. Wesley.

Álgebra intermedia.  García, M. (2005). Matemáticas I para preuniversitarios. México: ESFINGE.

Acertijos con Dinero: desarrollo del razonamiento matemático y pensamiento lateral. México: Trillas.

Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: CENGAGE.

Smith, S., Charles R., Dossey J., Keedy M., y Bittinger M.,

(2001). Álgebra.

Sub – tema 1 El significado de los enteros y racionales positivos Aprendizajes A través de actividades de medición, comprenderás el

significado concreto de los números enteros y racionales positivos, así como sus simbolizaciones

Actividades para el aprendizaje Actividad 1 Midiendo longitudes

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la actividad: se te propone y simbolizarás el resultado a través de un entero positivo o una fracción propia y su equivalente como fracción decimal

 Serás capaz de interpretar tales símbolos en el proceso de medida y como un proceso aritmético.

Duración de la actividad

Tres horas, una de trabajo en casa y dos de trabajo en el salón.

Recursos y herramientas

 Archivo electrónico

 Compás y/o regla Evaluación  Cuestionario

Desarrollo de la actividad

Actividad 1 Midiendo longitudes (Parte 1) Objetivo (s) de la

actividad(parte 1):

Medirás diversas longitudes tomando como unidad la que se te propone y simbolizarás el resultado a través de un entero positivo o una fracción propia. Introducción:

¿Qué es medir?

Medir es determinar la cantidad de una cualidad ligada a los objetos o fenómenos, por ejemplo la cuantificación del volumen de un cuerpo o su temperatura, o el tiempo que dura el desplazamiento de un móvil, etcétera.

La medición se lleva a cabo comparando la cantidad de una cualidad tomada como unidad arbitraria y la cantidad de dicha cualidad en un objeto o fenómeno. Esta comparación se establece observando “cuantas veces” la unidad está contenida en la cantidad por medir.

Actividades prácticas Instrucciones:

o En cada uno de los siguientes casos, deberás medir la longitud del segmento AB, tomando como unidad la longitud del segmento PQ

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auxiliándote de un compás o cuadriculando el espacio donde se encuentran dichas longitudes,

o En cada caso deberás anotar tu respuesta en el espacio de respuesta individual,

o Anota en el espacio de respuesta grupal, la medida comentada en el grupo

Caso 1

Respuestas:

Individual: _________ Equipo: __________ Consensuada:_________

Caso 2

Respuestas:

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Cuando la unidad cabe un número exacto de veces se dice que su medida está dada por un número entero positivo. Así son enteros positivos: 1, 2, 3, 4,…,etc.

Caso 3

Respuestas:

Sugerencia:

Dividamos la unidad PQ en cinco partes iguales (cada una de estas partes será la quinta parte de la unidad, lo cual simbolizaremos como 1/5 de la unidad). Ahora mide el segmento AB con una de estas partes.

Respuestas:

Convención:

En este caso se dice que la medida del segmento AB es “13 veces la quinta parte de la unidad”. Este hecho, se simboliza como: 13/5 de la unidad

P Q

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Caso 4

Respuestas:

Sugerencia

Dividamos la unidad PQ en cuatro partes iguales (cada una de estas partes será 1/4 de la unidad). Ahora mide el segmento AB con una de estas partes.

Respuestas:

Retroalimentación

En este caso se dice que la medida del segmento AB es “14 veces 1/4 de la unidad”, lo cual se simboliza como: “14/4 de la unidad". La equivalencia de tales expresiones la estableceremos posteriormente.

Conclusión general:

Cuando al medir la cantidad de una cualidad, la unidad cabe un número exacto de veces, su medida estará dada por un número entero positivo, son números enteros 1, 2, 3, etcétera. Cuando la unidad no cabe un número exacto de veces en la cantidad por medir, pero al dividir la unidad un número q de partes iguales, una de esas partes cabe un número p exacto de veces,

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se dice que la medida está dada por un número racional positivo que se simboliza por p/q. Así son números racionales: 3/4, 25/83, 1/5, 1/3, etcétera. Estos símbolos reciben el nombre genérico de “fracciones” o “quebrados” Cierre de la actividad

Esta primera parte de la actividad 1 debe cerrarse con la ejercitación que el profesor te proponga

Actividad 1 Midiendo longitudes (Parte 2) Objetivo (s) de

la actividad1 parte 2:

Serás capaz de interpretar aritméticamente y en el proceso de medida los símbolos .

Desarrollo de la actividad 1 (parte 2)

Introducción

Uno puede preguntarse si y son simples abreviaciones de expresiones: “la q-ésima parte de la unidad” y “p veces la q-ésima parte de la unidad” o tienen un significado aritmético que les justifica su capacidad de ser operados.

Para entender el significado aritmético de y se sugiere realizar las actividades siguientes retomado los dos últimos ejercicios de medición

Actividades sugeridas para el aprendizaje Instrucciones

o Deberás leer con cuidado las reflexiones que se hacen sobre las

actividades de medición en los casos 3 y 4 de la parte 1 y responder a las preguntas que se te hacen, como tarea extra - clase, en el espacio de respuesta individual

o Una vez en clase, consensuarás las respuestas con el equipo al que te asigne el profesor anotando este consenso en el espacio correspondiente o Hecho lo anterior, anotarás en el espacio correspondiente a consensuada

las respuestas a las que finalmente se llegue en una discusión grupal 1

qy p q

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Retomemos el caso 3 de medición:

Se midió el segmento AB con la unidad PQ, encontrando que ésta es 13 veces la quinta parte de la unidad, lo cual simbolizamos como 13/5

Reflexión

Si hemos dividido la unidad en cinco partes iguales. ¿Cuál es la medida de cada una de esas partes?

Respuestas:

¿Qué significa la anterior respuesta en términos de medición?

Para encontrar la respuesta, divida la unidad PQ en 5 partes iguales y posteriormente en 10 partes iguales y tome 2 de estas últimas partes.

¿Qué encuentra?

Respuestas:

Hemos encontrado que la cantidad de la quinta parte de la unidad es equivalente a 2 partes de la unidad cuando esta es dividida en 10 partes iguales y este hecho se encuentra dividiendo 1 entre 5.

¿Cuánto es 13 veces la medida de la quinta parte de la unidad, que es la medida del segmento AB?

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Respuestas:

Sugerencia:

Intentemos otra forma de encontrar las anteriores respuestas pensando en la forma siguiente:

Se trata de medir AB tomando como unidad PQ. Si tomamos 1/5 de PQ como una nueva unidad:

¿Cuánto mide PQ?

Respuestas:

¿Cuánto mide AB?

Respuestas:

En este contexto, ¿cuánto mide AB cuando se mide con PQ?

Respuestas:

Conclusión:

Luego la medida de AB con respecto a PQ, se encuentra dividiendo ÷ y esto lo hemos representado como con lo cual, “13 veces la quinta parte de PQ”, es equivalente a dividir ÷ = . . Lo que quiere decir que la medida de AB es 2 unidades PQ más 6 décimas de la unidad PQ, esto es, medida de AB=2.6

Por otro lado, 2.6 en términos de medición, es equivalente al resultado de medir AB cuando la unidad PQ es dividida en 10 partes iguales, o sea el racional .

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Este tipo de representación de un racional (2.6) se le conoce como “fracción decimal”.

Luego hemos encontrado las equivalencias siguientes: La medida de AB con respecto a la unidad PQ es:

Retomemos el caso 4 de medición:

Se midió el segmento AB con la unidad PQ, encontrando que ésta es 14 veces la cuarta parte de la unidad, lo cual simbolizamos como 14/4

Reflexiona sobre lo siguiente:

Si hemos dividido la unidad en cuatro partes iguales ¿Cuál es la medida de cada una de esas partes?

Respuestas:

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¿qué significa la anterior respuesta en términos de medición?

Para encontrar la respuesta, divida la unidad PQ en 4 partes iguales, luego en 10 partes iguales y posteriormente cada una de estas últimas partes en 10 partes iguales, ahora tome 25 de estas últimas partes.

¿Qué encuentra?

Respuestas:

Conclusión:

Hemos encontrado que la cantidad de la cuarta parte de la unidad es equivalente a 25 partes de la unidad cuando ésta es dividida en 100 partes iguales y este hecho se encuentra dividiendo 1 entre 4.

¿Cuánto es 14 veces la medida de la cuarta parte de la unidad, que es la medida del segmento AB?

Respuestas:

Sugerencia:

Pensemos ahora en otra forma de encontrar la respuesta: Se trata de medir AB tomando como unidad PQ.

Si tomamos 1/4 de PQ como una nueva unidad: ¿Cuánto mide PQ?

Respuestas:

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¿Cuánto mide AB?

Respuestas:

En este contexto, ¿cuánto mide AB cuando se mide con PQ?

Respuestas:

Conclusión:

Luego la medida de AB con PQ, se encuentra dividiendo ÷ y esto lo hemos representado como con lo cual, “14 veces la cuarta parte de PQ”, es equivalente a dividir ÷ = . Lo que quiere decir que la medida de AB es 3 unidades PQ más 5 décimas de la unidad PQ, esto es, medida de AB = 3.5

Por otro lado, 3.5 en términos de medición, es equivalente al resultado de medir AB cuando la unidad PQ es dividida en 10 parte iguales, encontrando que la medida AB es 35 veces la décima parte de la unidad o sea el racional . Este tipo de representación de un racional (3.5) se le conoce como “fracción decimal”. Luego hemos encontrado las equivalencias siguientes:

Conclusiones sobre la actividad 1:

Un número racional positivo es todo número expresado como el cociente de dos números enteros positivos, esto es, si p y q son dos números enteros positivos,

Racional en su representación comofracción Racional como un proceso operativo operativo Racional en su representación como fracción decimal Racional en su representación alternativa como fracción 14/4 = 14÷4 = 3.5 = 35/10

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es un número racional positivo.

En términos de medición el racional mencionado significa tomar la q – ésima parte de la unidad y tomar p veces ésta.

Cuando se realiza la división p entre q lo que se obtiene es la representación del racional en su forma de “fracción decimal”. En términos de medición esta fracción decimal significa medir p veces la q-ésima parte de la unidad, siguiendo el proceso de dividir la unidad en 10 partes iguales y dividir cada una de estas partes en 10 iguales y dividir cada una de estas partes en 10 y así sucesivamente hasta cubrir el número de cifras decimales.

Ejemplo: / = .

Ésta fracción decimal significa que 45 veces la octava parte de la unidad, puede medirse dividiendo la unidad en 1000 partes iguales y tomando 5625 de estas partes, en términos de fracción 45/8 es equivalente a /

Cierre de la actividad

Esta actividad debe cerrarse con la ejercitación que te proponga el profesor

Sub-tema 2 Características de la simbolización de un racional positivo como fracción decimal

Aprendizajes

El alumno:

 A través de la lectura o exposición del profesor, conocerás la característica que define la expresión de un racional como fracción decimal y el proceso para convertir esta última en una fracción o quebrado.

 Serás capaz de convertir una fracción decimal de un racional a su expresión como fracción o quebrado

Introducción:

Hemos visto que una fracción p/q tiene una simbolización equivalente como fracción decimal, la cual se obtiene dividiendo p entre q. Pero existen casos en que al realizar la división la expresión decimal resulta con una extensión infinita.

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A través de casos concretos conocerás la característica de la expresión como fracción decimal de un racional y dada una expresión de este tipo, la manera de convertirla en una fracción.

Actividad 1 Lectura y comprensión

Desarrollo de la actividad Transforma las fracciones siguientes a su expresión decimal

a) 2/3

respuesta individual____________ respuesta por equipo____________ respuesta grupal

_____________________________________________________ b) 5/7

respuesta individual____________ respuesta por equipo ____________________

respuesta grupal

_____________________________________________________ c) 45/108

respuesta individual____________ respuesta por equipo____________________

respuesta

grupal_____________________________________________________ d) 18/13

respuesta

grupal_____________________________________________________ e) 29/4

respuesta

grupal_____________________________________________________

Como podrás darte cuenta, en todas estas transformaciones las expresiones decimales, a partir de cierto momento, una o un grupo de cifras se repite indefinidamente, así:

2/3 = .66666666…, el 6 se repite indefinidamente.

5/7 = .714285714285714285714…el grupo de cifras 142857 se repite indefinidamente.

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45/108 = .4166666666…, el 6 se repite indefinidamente.

18/13 = 1.384615384615384…, el grupo 384615 se repite indefinidamente.

29/4 = 7.25 lo cual es equivalente a: 29/4 = 7.250000…, el grupo 0 se repite indefinidamente

Ahora piensa al azar cualquier fracción y transfórmala en su expresión decimal

¿pasa lo mismo que en los casos anteriores? Respuesta individual____________________

Compara lo que obtuviste con las respuestas de tus demás compañeros

¿qué sucede?

Todas estas expresiones decimales se llaman “periódicas”

Conclusión:

Toda expresión de un racional como fracción, en su expresión decimal es periódica.

Reflexión:

Uno puede preguntarse si toda expresión decimal periódica es la expresión de un racional como una fracción.

La respuesta es afirmativa, veamos esto con algunos ejemplos:

a) 2.46 787878…

simbolicemos esta expresión como S, y multipliquémosla primero por 100 y luego por 10000, esto es: 100S y 10000S

los resultados son: 100S = 246.787878… y 10000S = 24678.787878…

Ahora restemos 10000S –100 S El resultado es 9900S = 24432

luego S = 24432/9900. Esto es: 2.46787878… es equivalente a la fracción: 24432/9900

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b) 1.6573563563563563…

Repite lo que hicimos en el caso anterior representando la fracción decimal 1.657356356356…con S y multiplícala por una potencia de 10de tal manera que el punto decimal se recorra hasta que empieza el periodo y por una potencia de 10 de tal manera que el punto decimal se recorra hasta que empiece el segundo periodo.

Respuesta individual:

c) Considera las fracciones decimales periódicas siguientes y transfórmalas, si es posible, a fracciones

d) .3575757575… e) 3.4251671671671…

f) considera al azar una fracción decimal periódica y encuentra, si es posible, una fracción que le sea equivalente.

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Respuestas consensuadas:

Conclusión:

Toda fracción decimal periódica tiene como equivalente una fracción, esto es, representa un racional

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Sub-tema 3 Fracciones equivalentes

Aprendizajes

 A través de la lectura o exposición del profesor, conocerás que una fracción tiene como equivalentes una infinidad de fracciones.

 Dada una fracción, obtendrás fracciones equivalentes a ella.

 Comprenderás el concepto de fracción irreducible Introducción:

En la actividad 1 del subtema 1, hemos encontrado que las fracciones 13/5 y 14/4 tienen fracciones equivalentes respectivamente a 26/10 y 35/10. Podemos observar que 26/10 se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador de 13/5 por 2 y que 35/10 se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador de 14/4 por 25 y la fracción resultante dividiendo su numerador y denominador entre 10.

En este subtema se pretende que, básicamente en una actividad de ejercitación, conozcas la manera de obtener fracciones equivalentes a una dada.

Actividad 1, para el Sub – tema 3

Lectura y comprensión

Considera la fracción siguiente 25/15

Multiplica el numerador y el denominador de ella por cualquier número entero y obtén la expresión decimal de la fracción original y de las que generaste.

¿Qué ocurre?

Respuesta individual_______________________________________________ Respuesta por equipo______________________________________________ Respuesta consensuada____________________________________________ Ahora divide el numerador y el denominador de 25/15 por un número entero de tal manera que los resultados también sean enteros y obtén sus respectivas expresiones como fracciones decimales

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Respuesta individual______________________________________________ Respuesta por equipo _____________________________________________ Respuesta consensuada____________________________________________ Conclusión: Cuando una fracción p/q es multiplicada en su numerador y denominador por un mismo número entero, la fracción resultante es equivalente a la original. También, cuando una fracción p/q es dividida en su numerador y denominador por un mismo número entero, de tal forma que los resultados sean también números enteros, la fracción resultante es equivalente a la original.

Introspección sobre lo hecho anteriormente en esta actividad

Se sabe que un número primo es aquél cuyos divisores son únicamente él mismo y la unidad.

En base a la anterior definición obtén fracciones equivalentes a 75/30 dividiendo sucesivamente entre los primos que nos den como resultados números enteros, a estos se les llama divisores primos comunes del numerador como del denominador.

¿es posible seguir dividiendo el último resultado entre

otros primos?

Cuando sucede esto se dice que la fracción 75/30 se ha reducido a su mínima expresión 5/2 o se ha obtenido su fracción equivalente irreducible.

Ejercicios:

Obtén las fracciones equivalentes irreducibles de las fracciones siguientes:

270/80 = 35/5 = 75 30= 75 3 30 3 =25 10= 25 5 10 5 =5 2

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46/25 =

170/70 =

Sub-tema 4 Números Irracionales

Aprendizajes

 Comprenderás el concepto de número irracional a través de las exposiciones del profesor y la lectura de este apartado que implica una mínima participación de tu parte.

Introducción:

Hasta este momento uno puede preguntarse si toda longitud, una vez que se ha escogido una unidad de medida, tiene por medida un número racional de la forma p/q. Esto es, ¿siempre es posible encontrar una sub – unidad de la unidad que mida exactamente a la longitud por medir?.

Actividad 1, para el Sub – tema 4

Lectura y comprensión

Instrucciones

o Lee con cuidado el texto siguiente contestando a las preguntas que se te hacen.

o Cualquier duda consúltala con tu profesor Desarrollo de la actividad

La recta numérica

Uno puede representar en una recta los números que representan las medidas de longitud de cualquier segmento en la forma siguiente:

Primero tome un punto P cualquiera de la recta como el origen para medir las longitudes y tome otro punto P1 a su derecha de tal suerte que la medida del segmento que empieza en P y termina P1, sea la unidad. Ahora repita sucesivamente esta unidad hacia la derecha determinando los puntos P2 , P3, …

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Ello determinará los números enteros 1, 2, 3, 4,…etc. los cuales serán las medidas de los segmentos PP1, PP2, PP3,PP4, etc.

Ilustración:

Con ello, a cualquier otro punto Q de la recta se le asignará un número que será la medida del segmento PQ. La pregunta es: ¿a Q siempre le corresponderá un racional p/q? o ¿la longitud PQ siempre será medible con la unidad PP1 o con una fracción de ella?

Para contestar esta pregunta construyamos un segmento de la manera siguiente: Tomemos el segmento unidad y reproduzcámoslo sobre el punto que representa al 1 y perpendicular a él.

Con ello formamos un triángulo rectángulo con medida de catetos iguales a 1 e hipotenusa que por el teorema de Pitágoras será: . Con un compás con eje de giro en 0 y amplitud AB, trazamos una circunferencia que corte a la recta en un punto D, al cual asignaremos el número _{que será la longitud del} segmento AD 12₊₁2 ₌ ₂ 2 1 2 ₃ ₄ ₅ 0 P P1 P2 P3 1 2 3 ₄ 5 0 A B