Método de Determinantes

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Método de Determinantes

Este método es de los más inmediatos1, además de que nos ayuda desde el principio a reconocer si un S.E.L. tiene solución única o no.

Para empezar definimos el concepto de determinante:

Definición 1 Determinante

Sean a,b,c,d números reales. El arreglo de números:

a b c d

se utiliza para denotar al determinante y su valor es igual a: a d−b c.

Entonces, por definición:

a b c d =a d−b c

Una forma de memorizar el concepto de determinante y cómo calcularlo consiste en observar que multiplicamos las diagonales del arreglo de números, primero la que va de izquierda a derecha (que es la manera como leemos) y de arriba hacia abajo (que nos arroja el primer producto: a d), y después multiplicamos los otros dos números que no habíamos considerado: bcy restamos este producto del anterior.

En un S.E.L. podemos tener, por ejemplo:

a x+b y=m c x+d y= n

el cual se puede escribir en forma matricial2:

a b m

c d n

Para obtener la forma matricial de un S.E.L. basta escribir el mismo S.E.L. sin las variables. Es decir, escribimos solamente los coeficientes.

De aquí se definen 3 determinantes: 3 Eldeterminante principal: ∆p= a b c d =a d−b c 3 Eldeterminante auxiliar en x: ∆x= m b n d =m d−b n

1_{Descubierto por Gabriel Cramer (1 704 – 1 752), matemático suizo. Hay evidencia de que esta regla fue usada}

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3 Eldeterminante auxiliar en y: ∆y= a m c n =a n−m c

Para hacer más fácil las cosas, observa que en el determinante auxiliar de x hemos sustituido los coeficientes de la variable x por el lado derecho de las ecuaciones del S.E.L., y de manera semejante, para el determinante auxiliar deyse han sustituido los coeficientes de la variableypor los númerosm,n, y el determinante se ha calculado como se definió anteriormente.

A partir de los determinantes podemos encontrar la solución del S.E.L.:

a x+b y=m c x+d y= n En este caso: x = ∆x ∆p = m b n d a b c d = m d−b n a d−b c y = ∆y ∆p = a m c n a b c d = a n−m c a d−b c

Para dar evidencia de que esto es verdad, vamos a volver a resolver el siguiente S.E.L.:

Ejemplo 1

Resuelve:

x+y=10

x−y= 2

• Primero encontramos el determinante principal: ∆p= 1 1 1 −1 = (1)(−1)−(1)(1) = (−1)−(1) =−2

• Ahora calculamos el determinante auxiliar enx: ∆x= 10 1 2 −1 = (10)(−1)−(1)(2) = (−10)−(2) =−12

• Y finalmente calculamos el determinante auxiliar eny: ∆y= 1 10 1 2 = (1)(2)−(10)(1) = (2)−(10) =−8

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x = ∆x ∆p = −12 −2 =6 y = ∆x ∆p = −8 −2 =4

• Y ya sabemos que la solución es correcta3.

Ejemplo 2 Resuelve:

2x+ y=6

x−2y=8

• Calculamos primero el determinante principal: ∆p= 2 1 1 −2 = (2)(−2)−(1)(1) = (−4)−(1) =−5

• Ahora calculamos el determinante auxiliar enx: ∆x= 6 1 8 −2 = (6)(−2)−(1)(8) = (−12)−(8) =−20

• Y finalmente calculamos el determinante auxiliar eny: ∆y= 2 6 1 8 = (2)(8)−(6)(1) = (16)−(6) =10

• Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:

x = ∆x ∆p = −20 −5 =4 y = ∆x ∆p = −10 −5 =−2

• Ahora vamos a verificar que la solución sea correcta:

2x+y=6 ⇒ 2(4) + (−2) =6

x−2y=8 ⇒ 4−2(−2) =8

La ventaja de usar este método consiste en que si el determinante principal es igual a cero, en-tonces podemos concluir inmediatamente que el S.E.L.notiene solución única. Es posible que no tenga solución, como es posible que tenga un número infinito de soluciones.

Ejemplo 3 Resuelve:

2x−3y=7 4x−6y=0

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• Para resolver este S.E.L.4vamos a calcular primero el determinante principal: ∆p= 2 −3 4 −6 = (2)(−6)−(−3)(4) = (−12)−(−12) =0

• Dado que ∆p = 0, no podremos encontrar los valores de las variables x e y, porque ten-dremos división por cero.

• De aquí se concluye que el S.E.L.notiene solución única.

• Para saber si el S.E.L. tiene un número infinito de soluciones o no tiene solución, calculamos los otros dos determinantes auxiliares:

• Empezamos calculando el valor del determinante auxiliar dex: ∆x= 7 −3 0 −6 = (7)(−6)−(−3)(0) = (−42)−(0) =−42

• Y ahora calcumamos el determinante auxiliar eny: ∆y= 2 7 4 0 = (2)(0)−(7)(4) = (0)−(28) =−28

• En este caso tanto∆xcomo∆yson distintos de cero, indicando que el S.E.L.notiene solución.

• ¿Por qué? Observa que si multiplicamos la primera ecuación del S.E.L. por 2 obtenemos: 2x−3y=7 ⇒ 4x−6y=14

• Y al compararla con la segunda ecuación del S.E.L. podemos concluir que se trata de un S.E.L. formado por dos rectas paralelas distintas.

• En caso de que los determinantes auxiliares hubieran resultado ser iguales a cero, ten-dríamos que las dos ecuaciones que forman el S.E.L. serían la misma recta, y el S.E.L. tendría en ese caso un número infinito de soluciones.

• Entonces, este S.E.L.notiene solución.

Ejemplo 4

En la oficina municipal utilizan dos fotocopiadoras para preparar invitaciones para el día de las madres. La máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X. Cuando trabajan juntas producen 19 800 fotocopias en 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de fotocopiado de cada máquina?

• Sabemos que la máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X.

• Es decir, six es la velocidad de fotocopiado de la máquina X yyes la velocidad de fotoco-piado de la máquina Y, tenemos que:

y=x+600 ⇒ −x+y=600

• Por otra parte, sabemos que en 3 horas las dos máquinas trabajando juntas producen 19 800 fotocopias:

3x+3y=19 800

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• Entonces, el S.E.L. que modela nuestro problema es: −x+y = 600 3x+3y = 19 800

• Primero lo escribimos en forma matricial:

−1 1 600 3 3 19 800

• Ahora es más fácil encontrar los determinantes: ∆p= −1 1 3 3 = (−1)(3)−(1)(3) = (−3)−(3) =−6

• Dado que∆p6=0 sabemos que el S.E.L. tiene solución única.

• Ahora encontramos el determinante auxiliar enx: ∆x= 600 1 19800 3 = (600)(3)−(1)(19800) = (1800)−(19800) =−18000 • Y el determinante auxiliar eny: ∆y= −1 600 3 19800 = (−1)(19800)−(600)(3) = (−19800)−(1800) =−21600

• Y la solución de este S.E.L. es:

x = ∆x ∆p = −18 000 −6 =3 000 y = ∆x ∆p = −21 600 −6 =3 600

• Ahora comprobamos que la solución esté correcta:

• Es evidente que la solución satisface la primera ecuación:

y=x+600 ⇒ 3 600=3 000+600

• Ahora verificamos que satisfaga la segunda ecuación:

3x+3y=19 800 ⇒ 3(3 000) +3(3 600) =19 800

• Con lo que probamos que la velocidad de la fotocopiadora X es de 3 000 fotocopias por hora y la fotocopiadora Y tiene una velocidad de 3 600 fotocopias por hora.

Ejemplo 5 En la biblioteca de una primaria encontraron que hay 3 libros de química más que de física y la

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• Sabemos que si a los libros de física le sumamos 3, obtenemos el número de libros de química:

q= f +3 ⇒ −f +q=3

• Por otra parte, sabemos que sumamdos los libros de física y los de química en total son 27:

f+q=27

• Nuestro S.E.L. es:

−f+q= 3

f+q=27

• Es evidente que este S.E.L. se puede resolver rápidamente por el método de eliminación, pero vamos a probar la solución por el método de determinantes.

• Ahora escribimos el S.E.L. en su forma matricial:

−1 1 3 1 1 27

• Para resolver este S.E.L., empezamos calculamos los determinantes: ∆p = −1 1 1 1 = (−1)(1)−(1)(1) = (−1)−(1) =−2 ∆f = 3 1 27 1 = (3)(1)−(1)(27) = (3)−(27) =−24 ∆q = −1 3 1 27 = (−1)(27)−(3)(1) = (−27)−(3) =−30

• Entonces, la solución de este problema es:

f = ∆f ∆p = −24 −2 =12 q = ∆q ∆p = −30 −2 =15

• Ahora vamos a verificar que esta solución satisface las condiciones del problema:

3 La primera condición: «...hay 3 libros de química más que de física», se cumple: 15=12+3 3 La segunda condición: «...la suma de esos libros es 27», también se cumple: 12+15=27

Cuando encuentres un S.E.L., primero observa qué método de solución te ayuda a resolverlo con el mínimo esfuerzo.

Una buena idea consiste en calcular primero el determinante principal del S.E.L., porque esta información te dirá si tiene solución única (en caso de que∆p6=0).

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Créditos

Albert

Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas Iescrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es com-partir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar.

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010

Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 22 de agosto de 2010.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx