©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
1
Trabajando con fracciones
Por:
Cristina Andrade Guevara
Analiza el siguiente caso.
A Hortensia le llegaron visitas el martes por la
noche. Eran su hermana, su cuñado y sus
cuatro sobrinos. Quería preparar un delicioso
chocolate caliente, entonces se dirigió a
comprar la leche y pensó:
-Si cada uno toma aproximadamente
4
1
de
litro, ¿cuántos litros tengo que comprar
Figura 1.Make your own hot chocolate mix (Kim, 2012).
Puedes plantear la solución del problema como una suma de fracciones (conocidas comúnmente
también como quebrados). Pero también, la puedes proponer como una multiplicación, cuya operación
(no está de más mencionar) es una suma abreviada. A continuación te mostrare como resolverlo, sólo
revisa la información que aparece en la figura 2:
Figura 2. Tipos de fracciones.
Recuerda que en una fracción:
b
a
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2
Operaciones básicas con fracciones
SUMA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR
€
a
b
+
c
b
=
a
+
c
b
Retoma el problema de Hortensia acerca de la compra de la leche.
Hortensia tiene en total 6 invitados y ella también quiere tomar chocolate. Si cada uno toma un cuarto de
leche, en total tiene que comprar lo siguiente:
4
7
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
=
+
+
+
+
+
+
Suma todas las fracciones y observa que va a utilizar
4
7
de leche.
Esta fracción es impropia y también se le conoce como
número mixto
, pues el numerador es mayor
que el denominador. Dicha expresión también se puede representar como:
1
4
3
.
El número 1 (que se lee ‘un entero’) proviene de dividir el 7 entre el 4 y sobran 3 unidades, las cuales se
representan otra vez en forma fraccionaria. Entonces, Hortensia va a utilizar 1 litro de leche más tres
cuartos de litro.
Como en la tienda sólo venden envases de 1 litro, entonces Hortensia tendrá que comprar 2 litros de
leche.
Sigue practicando con las sumas de fracciones que aparecen a continuación:
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3
Ejemplos de sumas de fracciones
a)
6
5
6
1
4
6
1
6
4
=
+
=
+
b)
8
6
8
2
1
3
8
2
8
1
8
3
=
+
+
=
+
+
c)
9
8
9
2
9
1
9
2
9
3
=
+
+
+
SUMA DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR
Al sumar dos o más fracciones con diferente denominador, lo primero que debes hacer es
obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Coloca el mcm (mínimo común múltiplo) como denominador general, pero dividiendo entre el
denominador anterior y multiplicando el resultado por cada numerador para obtener un nuevo
numerador.
Realiza la suma de fracciones ya con un denominador común.
Ejemplo 1
Realiza la suma de las siguientes fracciones.
=
+
+
9
1
6
3
3
2
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4
Explicación
Los denominadores son los que complican un poco la solución, por lo tanto, tienes que calcular el
mínimo común múltiplo de ellos y, entonces, tienes:
3
6
9
2
3
3
9
3
1
1
3
3
1
1
1
El mínimo común múltiplo es el producto de todos los factores primos:
2 * 3 * 3 =
18
18
9
1
6
3
3
2
=
+
+
Coloca el 18 como denominador común y divides el 18 entre el denominador 3 de la primera fracción: 18
/ 3 = 6, y multiplica el 6 por el numerador de la primera fracción que es 2.
6 * 2 = 12
Este número 12, es el nuevo numerador.
18
12
9
1
6
3
3
2
=
+
+
Continuando, tienes 18 / 6 = 3 (segunda fracción) y multiplica 3 * 3 = 9, el cual es el otro numerador
nuevo.
18
9
12
9
1
6
3
3
2
+
=
+
+
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5
18
2
9
12
9
1
6
3
3
2
+
+
=
+
+
Finalmente, sumas la nueva fracción obtenida:
18
23
18
2
9
12
=
+
+
Si quieres puedes terminar ahí la operación y si no, divides 23 / 18 para ver su conversión en entero y
fracción:
1
18 23
5
Tienes que el 23 en el 18, cabe 1 vez y sobran 5 unidades, por lo que lo puedes representar así:
18
5
1
18
23
=
Ejemplo 2
7
6
3
2
+
Solución
Siguiendo la metodología anterior, el mcm de 3 y 7 es 21.
21
11
1
21
32
21
18
14
7
6
3
2
=
=
+
=
+
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6
Ejemplo 3
+
=
5
2
3
Solución
Es este caso, puedes obtener el mcm de los denominadores de las fracciones. Sin embargo, como el 3
es un número entero, se escribe el número 1 como denominador para formar la fracción y entonces se
procede a calcular el mcm.
¿Estás de acuerdo en que no se alteró el valor original del 3? Claro que no, pues 3/1 = 3
5
17
5
2
15
5
2
1
3
=
+
=
+
RESTA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR
b
c
a
b
c
b
a
−
=
−
Procede a realizar la resta de los numeradores de forma normal, sólo debes tener cuidado de asignar el
signo correspondiente (positivo o negativo) al resultado de la resta.
Ejemplo
Encuentra el valor de la resta de las siguientes fracciones:
a)
12
3
12
2
12
5
=
−
b)
4
9
4
9
4
12
3
4
12
4
3
−
=
−
=
−
=
−
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7
c)
8
8
8
8
=
−
=
−
RESTA DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR
Al restar dos o más fracciones con diferente denominador, lo primero que debes hacer, es
obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Coloca el mcm como denominador general, pero dividiendo entre el denominador anterior y
multiplicando el resultado por cada numerador para obtener un nuevo numerador.
Realiza la resta de fracciones ya con un denominador común.
Por ejemplo
Realiza la resta de las siguientes fracciones:
=
−
4
1
12
5
Analiza la siguiente explicación.
Debes obtener el mcm de los números 12 y 4.
12
4
2
6
2
2
3
1
3
1
1
12
2
12
3
5
4
1
12
5
=
−
=
−
El mínimo común múltiplo de
dichos números es:
2 * 2 * 3 = 12
Por lo que el denominador
común es 12.
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8
Otros ejemplos
a)
24
11
24
10
21
12
5
8
7
=
−
=
−
d) 10 -
3
29
3
1
30
3
1
=
−
=
b)
40
3
40
7
10
40
7
20
5
=
−
=
−
e)
20
11
20
15
4
4
3
5
1
−
=
−
=
−
c)
6
1
6
1
2
6
1
3
1
=
−
=
−
f)
4
9
4
12
3
3
4
3
−
=
−
=
−
¿Te acuerdas de Hortensia?
Ella compró dos litros de leche, pero solo necesitaba
4
3
1
o lo que es lo mismo
4
7
¿Cuánta leche le
sobró?
4
1
4
7
8
4
7
1
2
4
7
2
−
=
−
=
−
=
A Hortensia le sobró
4
1
de leche.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar dos fracciones, se multiplica numerador por numerador y
denominador por denominador.
( )( )
( )( )
b
d
c
a
d
c
b
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
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9
Ejemplo 1
Realiza la multiplicación de las siguientes fracciones:
=
3
2
*
2
5
Como numerador tienes al 5 y al 2, así que multiplica 5 * 2 = 10, el cual es el resultado y se coloca en el
numerador.
10
2
*
5
3
2
*
2
5
=
=
2 y 3 son los denominadores, los que multiplicas 2 * 3 = 6, el cual es el resultado y lo colocas en el
denominador.
6
10
3
*
2
2
*
5
3
2
*
2
5
=
=
Ejemplo 2
a)
32
21
8
*
4
7
*
3
8
7
*
4
3
=
=
b)
5
6
1
*
5
3
*
2
1
3
*
5
2
3
*
5
2
=
=
=
Escribir un 1 como denominador del 3
c)
54
2
3
*
2
*
9
1
*
1
*
2
3
1
*
2
1
*
9
2
=
=
En los ejemplos anteriores te pudiste dar cuenta de que no importa la cantidad de fracciones, ya que
siempre se multiplicarán los numeradores para colocar el resultado en el numerador y los
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10
Ejemplo 3
360
56
3
*
2
*
5
*
4
*
3
7
*
1
*
4
*
2
*
1
3
7
*
2
1
*
5
4
*
4
2
*
3
1
=
=
DIVISIÓN DE FRACCIONES
El numerador de la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda
fracción, y el resultado se coloca en el numerador.
c
d
b
a
d
c
b
a
×
=
÷
Ejemplo 1
Realiza la división de las siguientes fracciones:
=
÷
4
1
5
3
Explicación
El numerador de la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda fracción, y el
resultado se coloca en el numerador.
Es decir, 3 * 4 = 12, escribiendo en el numerador y 5 * 1 = 5 colocado en el denominador.
5
12
1
5
4
3
4
1
5
3
=
×
×
=
÷
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11
Ejemplos adicionales
a)
8
24
1
8
8
3
8
1
8
3
=
×
×
=
÷
b)
35
2
5
7
1
2
1
5
7
2
5
7
2
=
×
×
=
÷
=
÷
c)
9
20
1
9
5
4
5
1
9
4
=
×
×
=
÷
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Para reducir una fracción a su mínima expresión (simplificación), se divide tanto el numerador como el denominador
entre el mayor número natural que lo divida con exactitud.
Dividirlos con exactitud significa que el cociente (resultado) de las divisiones sean números naturales.
Ejemplo 1
Simplifica la siguiente fracción:
30
12
Divide tanto el numerador como el denominador entre 6, ya que es el mayor número natural que divide a
12 y 30 exactamente (también lo conoces como máximo común divisor).
Por lo tanto, tienes:
5
2
6
30
6
12
30
12
=
÷
÷
=
La fracción simplificada es:
5
2
Ahora, simplifica la fracción:
48
60
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
12
El mayor número natural que divide a 60 y 48 exactamente es el 12 (MCD). Por lo que, procede a dividir
tanto numerador como denominador.
4
5
12
48
12
60
=
÷
÷
La fracción simplificada es
4
5
Ejemplo 2
Los huesos humanos están compuestos por
4
1
de agua,
10
3
de tejido vivo y el resto por minerales.
Encuentra la fracción del hueso compuesta por minerales.
10
3
4
1
1
−
−
Solución
10
3
4
1
1
1
10
3
4
1
1
−
−
=
−
−
20
6
5
20
10
3
4
1
1
1
−
−
=
−
−
20
9
20
11
20
10
3
4
1
1
1
=
−
=
−
−
Resultado:
la fracción del hueso formada por minerales es
20
9
.
No olvides que el entero lo conviertes en fracción,
poniendo un 1 en el denominador.
Saca el mínimo común múltiplo de
los denominadores.
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13
Ejemplo 3
Leonor va de compras al centro comercial y lleva consigo $ 5,000 pesos. Si gasta
4
1
en libros y después
5
3
de lo que le queda, lo gasta en ropa. ¿Cuánto dinero le sobra al final de las compras?
Solución
Para determinar cuánto gasta en libros tienes que multiplicar por la fracción que se gastó y en este caso
es
4
1
. Cuando multiplicas cualquier fracción por un entero lo que obtienes es la fracción de ese entero.
Así, al multiplicar $ 5000.00 por
4
1
obtienes la cuarta parte de $ 5000.00
5000
1250
4
5000
4
1
1
5000
4
1
=
=
×
=
×
,
Como le sobraron $ 3,750.00, los multiplicas por
5
3
para determinar lo que gastó en ropa.
2250
5
11250
5
3
1
3750
5
3
3750
×
=
×
=
=
Tenía $ 3,750.00 y gastó $ 2,250.00 en ropa, entonces al final de las compras, le quedan: $
1,500.00
Resultado:
le sobran
$ 1,500.00
$ 1,250.00 es la cantidad de dinero
que gasta en libros. Le quedan:
$ 5,000 – $ 1,250 = $ 3,750.00
$ 2,250.00 pesos es lo
que gastó en ropa.
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Referencias
Kim. (2012). Make your own hot chocolate mix. Recuperada de
http://www.flickr.com/photos/mommyknows/8231985473/ (imagen publicada bajo licencia Creative Commons de Atribución 2.0 Genérica de acuerdo a http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/deed.es).