II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA

II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS

DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE

LA PARTÍCULA

En este capítulo y el siguiente estudiaremos exclusivamente sistemas de fuerzas en el plano, es decir, en dos dimensiones. Una vez comprendido cabalmente será muy fácil entender los sistemas de fuerzas en tres dimensiones, llamadas también fuerzas en el espacio. Seguiremos la divi-sión que señalamos en el capítulo anterior: fuerzas colineales y fuerzas concurrentes en este capítulo, y fuerzas paralelas y fuerzas no concu-rrentes ni paralelas, en el siguiente

Resultantes de los sistemas de fuerzas colineales

Consideremos dos fuerzas concurrentes en el punto A. Por la ley del paralelogramo sabemos que su resultante se encuentra en la diagonal del paralelogramo formado por ellas.

Sielánguloqueforman dichas ac-ciones es muy pequeño, la magnitud de la diagonal se aproxima a la suma de los lados. Podemos deducir que si dos fuerzas son colineales, la resul-tante es otra fuerza colineal cuya

mag-F2

F1

20

15°

x

nitud es igual a la suma de las mag-nitudes de las dos fuerzas.

En el caso en que las dos fuerzas colineales tengan sentidos contrarios, el razonamiento anterior nos lleva a concluir que entonces la resultante tiene el sentido de la fuerza más grande y su magnitud es la diferencia entre las magnitudes de las dos fuer-zas.

Si un sistema, en vez de ser de dos fuerzas, está formado por mil, el procedimiento se podría repetir mil veces para obtener la magnitud y el sentido de la resultante. O sea, que podemos generalizar y afirmar que la obtención de la resultante de un sistema de fuerzas colineales se logra mediante la siguiente ecuación:

𝑅 = ∑ 𝐹

es decir, que la magnitud es la resultante es igual a la suma algebraica de las fuerzas del sistema, su sentido queda determinado por el signo de esa suma, y su línea de acción es la misma que la de las fuerzas del sistema.

Elegimos un sistema de referencia así

15° 28 kg

16kg 10 kg

24 kg Ejemplo. Determine la magnitud y la

dirección de la resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura. R F2 F1 F2 F1 R

21

R = ∑ 𝐹_𝑥

R = 10 + 24 − 28 − 16 = −10

El signo negativo significa que la fuerza resultante tiene sentido con-trario del eje de las equis

R = 10 kg 15°

Resultantes de los sistemas de fuerzas concurrentes

Dividiremos nuestro estudio en dos casos: resultante de sólo dos fuer-zas concurrentes, y resultantes de más de dos fuerfuer-zas concurrentes.

A) Dos fuerzas concurrentes

La ley del paralelogramo establece claramente como hallar gráfica-mente la magnitud y la dirección de la resultante de dos fuerzas que con-curren en un punto.

Dibujamos un paralelogramo cuyos lados sean proporcionales a las magnitudes de las fuerzas. Por cada 10 kg daremos a los lados una longitud de 1 cm y con el transportador medimos los ángulos que los lados forman con la horizontal. Una vez dibujado el cuadrilátero, trazamos la diagonal que pasa por el punto de concurrencia de las fuerzas y medimos tanto su

30° 45° 40 kg

50 kg Ejemplo. Determine gráficamente la

resultante de las dos tensiones que jalan la argolla de la figura.

40

50 R

75°

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longitud como el ángulo que forma con la horizontal. Como a cada cm co-rrespondieron 10 kg, la resultante de estas dos fuerzas es

R = 71 kg 12°

Puesto que el método gráfico es poco preciso e impráctico, intentare-mos deducir un método analítico o trigonométrico.

Observemos que el paralelogramo del ejemplo está contiene dos tri-ángulos, dos de cuyos lados son las fuerzas y el tercero, la resultante. Por tanto, en vez de construir un paralelogramo, dibujaremos una fuerza a continuación de la otra; y la resultante unirá el origen de la primera con la punta de la segunda. Del triángulo conocemos, por tanto, dos lados y el ángulo que forman entre sí. Y mediante cualquier ley del triángulo podemos hallar la magnitud de R y su dirección.

Dibujamos esquemáticamente una fuerza a continuación de la otra y unimos el origen de la primera con la punta de la segunda: este lado co-rresponde a la resultante. Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos dos lados y el ángulo que forman entre sí. Conforme la ley de cosenos,

𝑅2 _{= 𝐹} 12+ 𝐹12− 2𝐹1𝐹2cos 𝛳 𝑅2 _{= 40}2 _{+ 50}2_{− 2(40)50 cos 105° = 71.7} 30° 45° 40 kg 50 kg Ejemplo. Halle analíticamente,

me-diante la ley del triángulo, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura. 50 40 R 105° θ

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y, por la ley de senos,

sen 𝛳

40 =

sen 105° 71.7

por tanto  = 32.6°. Y el ángulo que R forma con la horizontal es 45 – 32.6 = 12.4. Por fin

R = 71.7 kg 12.4°

Resolución de fuerzas

Una vez que sabemos cómo hallar la resultante de dos fuerzas concu-rrentes, trataremos de realizar el proceso contrario, es decir, resolver o descomponer una fuerza dada en dos componentes que constituyan un sis-tema equivalente. Ilustraremos el procedimiento de los tres casos princi-pales mediante cuatro ejemplos. El primer caso consiste en resolver una fuerza en dos componentes que tengan ciertas direcciones; el segundo, descomponer la fuerza en dos componentes de cierta magnitud; y el últi-mo, en resolver la fuerza en una componente en cierta dirección y otra de cierta magnitud.

Comenzamos dibujando la fuerza que ha de descomponerse, y en ca-da uno de sus extremos líneas paralelas a las direcciones de las compo-nentes B A 75° 60° 120 kg Ejemplo. Resuelva la tensión

hori-zontal de 120 kg en dos componentes: C1

en la dirección de las barra AB, y C2, en la

24 60° 120 75° 15° 30° 135° 120 C1 C2 Ley de senos: 120 sen 135°= 𝐶₁ sen 30° = 𝐶₂ sen 15° 𝐶1 = 120 sen 135°(sen 30°) 𝐶₂ = 120 sen 135°(sen 15°) 𝐶₁ = 84.9 kg 𝐶₂ = 43.9 kg

Dibujamos la fuerza que deseamos descomponer y, con centro en sus extremos, trazamos dos arcos de circunferencia correspondientes a las fuerzas de 600 y 500 lb. Ley de cosenos 5002 _{= 750}2_{+ 600}2_{− 2(750)600 cos 𝛼} cos 𝛼 =7502+ 6002 − 5002 2(750)600 𝛼 = 41.6 Ejemplo. Diga cuáles deben ser las

direcciones 1 y 2 de modo que la

resul-tante de las dos tensiones ejercidas sobre la argolla sea una fuerza vertical de 750 lb. θ2 θ1 600# _B 500# A 600 500 750 β α

25 Ley de senos sen 𝛽 600 = sen 41.6° 500 sen 𝛽 =600 sen 41.6° 500 𝛽 = 52.9

Puesto que α y β son los ángulos complementarios de θ2 y θ 1, res-pectivamente,

𝛳₁ = 37.1°

𝛳₂ = 48.4°

Dibujamos la fuerza vertical que vamos a descomponer. En un extre-mo, una línea a 30°, y con centro en el otro, trazamos un arco de circun-ferencia que corresponde a la fuerza de 110 N

θ 30°

C2=1100 N

C1

2000 N Ejemplo. Descomponga el peso de

2000 N en dos componentes: C1 que

for-me un ángulo de 30° con la vertical, y C2

cuya magnitud sea de 1100 N. θ2 β α θ1 2000 30° 2000 30° θ _α 1100 C1 θ’ α’ 2000 30° 1100 C1’

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Como se pueden formar dos triángulos, hay dos soluciones. Primera solución Ley de senos sen 𝛼 2000= sen 30° 1100 sen 𝛼 =2000 sen 30° 1100 = 10 11 𝛼 = 65.4 𝛳 = 180° − 30° − 65.4 = 84.6° 𝐶₁ sen 84.6°= 1100 sen 30° 𝐶₁ = 1100 sen 84.6° sen 30° = 2190

Las primeras respuestas son

𝐶1 = 2190 N 𝛳 = 84.6° 𝐶₁′ sen 35.4°= 1100 sen 30° 𝐶1′= 1100 sen 35.4° sen 30°

Y las segundas respuestas son

𝐶1′= 1274 N

𝛳′_{= 35.4°}

Ejemplo. Descomponga el peso de 240 lb en dos componentes: C1 en

dirección de la barra BC, y C2, cuya

magnitud sea la menor posible.

A

58°

240 # C

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Dibujamos la fuerza vertical de 240 lb, y una línea a 58°. El lado menor con que se puede formar un triángulo es uno perpendicular a la línea de 58°

𝐶1 = 240 cos 58°

𝐶2 = 240 cos 32°

𝐶₁ = 127.2 lb

𝐶₂ = 204 lb

Componentes cartesianas

Un caso importante y frecuente de resolución de fuerzas es el que se efectúa en dos direcciones perpendiculares entre sí para obtener compo-nentes ortogonales. Más frecuente aún es la descomposición en las direc-ciones de los ejes cartesianos: se trata de obtener las componentes ortogo-nales y en el sentido de los ejes equis y ye.

Consideremos una fuerza 𝐹 y el sistema car-tesiano que se muestra en la figura. Siguiendo el procedimiento ilustrado con el primer ejemplo, trazamos paralelas a las direcciones deseadas en cada uno de los extremos de la fuerza. Como el

cos 𝛳 es igual a la razón de 𝐹𝑥 a 𝐹, y sen 𝛳, la razón de 𝐹_𝑦 a 𝐹, entonces, 𝐹_𝑥 = 𝐹 cos 𝛳 y 𝐹_𝑦 =

𝐹 sen 𝛳; con tales expresiones quedan

de-terminadas las magnitudes y los sentídos de las componentes cartesianas (1).

(1) Aquí podría comenzarse a definir los vectores y emplear un lenguaje vectorial, haciendo 𝑭 = 𝐹_𝑥𝒊 + 𝐹_𝑦𝒋; sin embargo, nos parece que no resul-ta útil, sino hasresul-ta abordar el estudio de las fuerzas en el espacio, es decir, en tres dimensiones. y x F θ θ Fy Fx F 32° 58° 240 C2 C1 58° 240

28 𝐹𝑥 = 56 sen 42° 𝐹𝑥 = 37.5 kg 𝐹_𝑦 = 56 cos 42° 𝐹𝑦 = 41.6 kg 𝐹𝑥 = 80 (√3 2⁄ ) 𝐹𝑥 = 69.3 lb 𝐹𝑦 = −80 (1 2⁄ ) 𝐹_𝑦 = −40 lb 𝐹𝑥 = −2400 (√2 2⁄ ) 𝐹_𝑥 = −1697 N 𝐹_𝑦 = −240(√2 2⁄ ) 𝐹_𝑦 = −1697 N 𝐹𝑥 = 150 sen 68° 𝐹𝑥 = 139.1 kg 𝐹_𝑦 = −150 cos 68° 𝐹𝑥 = −56.2 kg

Ejemplo. Obtenga las componentes cartesianas de cada una de las siguientes fuerzas. y x 56 kg 42° y x 80# 30° y x 45° 20° 2400 N y x 150 kg 68° 2 m

29 A B 5 12 260 12 2 13 5 Fy Fx 260

Es frecuente que la información acerca de las fuerzas esté relacionada con las dimensiones de los cuerpos y no con sus ángulos. Pensemos por ejemplo, en el cable que sostiene un poste de la figura. Si se sabe que la tensión del cable es de 260 kg, podríamos establecer la siguiente comparación de dos triángulos semejantes. Por el teorema de Pitágoras se puede calcular la longitud de la hipotenusa del primer triángulo y entonces establecer las siguientes proporcio-nes: 260 13 = 𝐹_𝑥 5 = 𝐹_𝑦 12

por tanto 𝐹_𝑥 = 260 (₁₃5), y 𝐹_𝑦 = −260 (12₁₃), es decir, 𝐹_𝑥 = 100 kg y 𝐹_𝑦 =

−240 kg 𝐹𝑥= 75 (4 5⁄ ) 𝐹_𝑥 = 60 kg 𝐹_𝑦 = 75 (3 5⁄ ) 𝐹𝑦 = −45 lb 𝐹_𝑥= 85 (15 17⁄ ) 𝐹𝑥 = 75 lb 𝐹𝑦 = −85 (8 17⁄ ) 𝐹_𝑦 = −40 lb

Ejemplo. Diga cuáles son las componentes cartesianas de las fuer-zas que se muestran a continuación.

y x 75 kg 4 3 4 3 5 85 # y x 8 15 8 15 17

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B) Más de dos fuerzas concurrentes

Consideremos un cuerpo sujeto a la acción de mil fuerzas concu-rrentes. Elijamos un sistema de referencia cartesiano, con un eje de las equis horizontal con sentido hacia la derecha, y un eje de las yes vertical cuyo sentido sea hacia arriba.

Cada una de las fuerzas puede descomponerse en sus componentes cartesianas en esas direcciones, sin que se alteren los efectos externos; o sea, que tenemos ahora un sistema equivalente de dos mil fuerzas, mil horizontales y mil verticales. Cada uno de esos conjunto s de mil fuerzas constituye un sistema de fuerzas colineales, cuyas resultantes son, respec-tivamente, una fuerza horizontal y una fuerza vertical, que podemos re-presentar como 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 y cuyos sentidos y magnitudes pueden deter-minarse mediante las ecuaciones

𝑅_𝑥 = ∑ 𝐹_𝑥 y 𝑅_𝑦 = ∑ 𝐹_𝑦

Con este procedimiento hemos obtenido un nuevo sistema de fuerzas equivalente al original formado por dos fuerzas concurrentes. Estas dos se pueden componer en una sola mediante la ley del paralelogramo. Esta úl-tima es la resultante del sistema y su línea de acción contiene el punto de concurrencia de las fuerzas del sistema (2_).

(2) Si empleáramos un lenguaje vectorial, diríamos que la resultante es

𝑹 = 𝑅_𝑥𝒊 + 𝑅_𝑦𝒋 (pues 𝑅_𝑥 y 𝑅_𝑦 son las componentes cartesianas de la

re-sultante); y que la resultante es la suma vectorial de las fuerzas del siste-ma, es decir, 𝑹 = ∑ 𝑭. Pero, insistimos, no tiene ninguna ventaja en este momento, pues lo que interesa es conocer la magnitud y la dirección de la fuerza buscada

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Elegimos un sistema de referencia cartesiano

𝑅𝑥= ∑ 𝐹𝑥 𝑅𝑥= 40 cos 30° + 60 + 120 cos 45° 𝑅_𝑥= 40√3 2⁄ + 60 + 120√2 2⁄ 𝑅_𝑥= 20√3 + 60 + 60√2 = 179.5 𝑅_𝑦 = ∑ 𝐹_𝑦 𝑅𝑦 = 40 sen 30° − 120 sen 45° 𝑅𝑦 = 40(1 2⁄ ) − 120(√2 2⁄ ) 𝑅_𝑦 = 20 − 60√2 = −64.9 𝑅 = √1792_{+ 64}2 tan 𝛳 = 64.9 179.5 𝑅 = 190.8 kg 19.9° 120 kg 40 kg 45° 60 kg 30°

Ejemplo. La argolla de la figura está sujeta a las tres fuerzas que se muestran. Determine la resultante de esas fuerzas.

Ejemplo. La figura representa un poste soportado por tres cables coplana-res. Las tensiones en los cables AB, AC y CD son, respectivamente, 150, 260 y 170 lb. Sustituya las tres tensiones que actúan en el extremo A por una sola que produz-ca los mismos efectos externos sobre el poste. 35´ 10´ 18´ C D 24´ B A 30° 40 45° 120 60 _x y y 179.5 θ R x 64.9

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Además de escoger un sistema de referencia, trabajamos con las pendientes de las fuerzas.

𝑅_𝑥 = ∑ 𝐹_𝑥 𝑅_𝑥 = −150(3 5⁄ ) + 260(5 13⁄ ) + 170(15 17⁄ ) 𝑅𝑥= −90 + 100 + 150 = 160 𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦 𝑅𝑦 = −150(4 5⁄ ) − 260(12 13⁄ ) + 170(8 17⁄ ) 𝑅_𝑦 = −120 − 240 − 80 = 440 𝑅 = √1602 _{+ 440}2 tan 𝛳 =440 160 𝑅 = 468 lb 70°

Dibujemos las fuerzas en su sistema de referencia Ejemplo. Tres remolcadores

empu-jan una embarcación durante sus manio-bras en un puerto. Cada remolcador ejer-ce una fuerza de 2 kN. Diga cuál debe ser el valor del ángulo , de modo que la resultante de los tres empujes tenga la dirección del eje longitudinal del buque. Diga también cuál es la magnitud de la resultante. 15° 15° θ x 150 y 170 0 260 3 4 5 8 15 12 3 4 5 8 15 12 5 ₁₃ 17 y x 160 440 R θ

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Como 𝑅 es horizontal, 𝑅_𝑦 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0

2 sen 𝛳 − 2 sen 15° − 2 sen 30° = 0 sen 𝛳 = sen 15° − sen 30°

𝛳 = 49.4° 𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥

𝑅_𝑥= 2(cos 49.4° + cos 15° + cos 30°)

𝑅 = 4.97 kN 15° 15° θ 2 2 2 x y

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Serie de ejercicios de Estática

RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA

1 y 2. Halle gráficamente la magnitud y la dirección de las resultantes de los dos sistemas de fuerzas de las figuras. Utilice una escala tal, que permita resolver los problemas ocupando una hoja tamaño carta.

3 y 4. Resuelva analíticamente los dos problemas anteriores.

(Sol. 533 kg 10.8º; 5.69 N 6.6º)

5. El cable AB ejerce una tensión de 120 kips y el AC otra de 80. Determine la magni-tud y la dirección de la fuerza única que es ca-paz de producir los mismos efectos externos sobre la argolla.

(Sol. 188.4 kip 9.2º)

6. Se desea sostener el cuerpo de 140 lb que se muestra en la figura. Diga qué tensión T deberá aplicarse para lograrlo y cuál debe ser el ángulo.

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7. Descomponga la fuerza horizontal de 500 kg en dos componentes, en las direcciones que se indican. Diga cuáles son las magnitudes de las componentes C1y C2.

(Sol.C1 = 543 kg, C2 = 442 kg)

8. Los tractores A y B remolcan una embarcación a lo largo de un canal. La cuerda jalada por el tractor A forma un ángulo ϴ = 25º respecto al eje del canal; la cuerda que jala B tiene una tensión de 3 kips y forma un ángulo

ϕ= 40º respecto al eje del canal. ¿Cuál es la tensión en la cuerda de A? ¿Qué magnitud tiene la resultante de las dos tensiones?

(Sol. TA = 4.56 kip; R = 6.43 kip)

9. Si la embarcación del problema anterior produce una resistencia de 200 kN, y la cuerda gobernada por el tractor A debe soportar la mí-nima tensión posible, ¿qué ángulo ϴ deberá formar con eje del canal, si ϕ= 40º? ¿Cuál es la tensión de cada cuerda?

(Sol.θ= 50º; TA = 128.6 kN; TB = 153.2 kN)

10. Determine la magnitud de F y del án-gulo ϴ para lograr que la resultante de las compresiones ejercidas por los perfiles de la figura sea horizontal y de 2.4 ton. La fuerza Q es de 1.8 ton y el ángulo ϕ= 45º.

( Sol.F=2.30 ton, θ=64.5º; F’=1.097 ton, θ’=25.5º)

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11. Si la fuerza F del elemento estructural del problema anterior es de 60 kips, Q de 75 y su resultante debe ser horizontal y de 90 kips, ¿qué valores deben tener los ángulos ϴ y ϕ?

(Sol.θ =41.4º; ϕ=55.8º)

12. El cuerpo que sostiene la grúa de la figura es de 800 kg. ¿Cuáles son las compo-nentes de ese peso en las direcciones de las barras AB y BC?

(Sol.CAB = 1200 kg; CBC = 1600 kg)

13. El cable en el que se aplica la tensión de 750 kg tiene una pendiente de 4/3. Determi-ne sus compoDetermi-nentes cartesianas, conforme al sistema mostrado en la figura.

(Sol. Fx = 628 kg; Fy = 410 kg)

14. Diga cuáles son la magnitud y la dire-cción de la resultante de las tres tensiones que las cuerdas ejercen sobre la argolla de la figu-ra.

(Sol. 47.9 lb 38.8º)

15. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las cuatro fuerzas que se re-presentan en la figura.

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16. ¿Por qué fuerza única habría que cambiar las tres ejercidas por los perfiles so-bre el elemento estructural mostrado, de modo que se produjeran los mismos efectos externos sobre éste?

(Sol. 2260 lb 16.7º)

17. En el centro de un hexágono regular están aplicadas fuerzas de 1, 3, 5, 7, 9 y 11 N, colocadas en ese mismo orden y dirigidas hacia los vértices. Determine la magnitud de su resultante y diga en la dirección de cuál de las fuerzas actúa.

(Sol. 12 N en dirección de la fuerza de 9 N)

18. Además de las dos fuerzas mostradas, sobre el poste de la figura actúa la tensión del cable. Diga cuáles son las magnitudes de di-cha tensión y de la resultante de las tres fuer-zas, sabiendo que es vertical.