C´alculo I y II (520141)
Sesi´on 5 - Pr´actica 19 y 20
Marcelo Figueroa
Contenidos
Repaso de Conceptos Regla de L’Hˆopital Integraci´on por Partes Integrales Trigonom´etricas Sustituciones Trigonom´etricas Trigonom´etricas Inversas
Problemas
Regla de L’Hˆopital
La Regla de L’Hˆopital se utiliza para simplificar el c´alculo de l´ımites cuando la evaluaci´on directa resulta en una forma indeterminada.
lim
x→ch(x) =
0
0 ´o xlim→ch(x) =
∞ ∞
Se puede demostrar que las siguientes formas se pueden reducir a las anteriores dos, por lo que se puede aplicar L’Hˆopital:
Formas Indeterminadas
0 0,
∞ ∞, ∞
Regla de L’Hˆopital
La expresi´on que se quiere evaluar en el l´ımite debe llevarse a la forma
h(x) = f(x)
g(x) Luego, la Regla de L’Hˆopital asegura que:
lim
x→ch(x)
L’H= lim
x→c
Regla de L’Hˆopital
Algunos trucos a tener en cuenta:
I Los infinitos se pueden cambiar por ceros y viceversa: x = 1
1
x
I Los exponentes se bajan con logaritmo:
h(x) =f(x)g(x)⇔lnh(x) =g(x)·lnf(x)
I Las restas y sumas se pueden completar a fracciones:
f(x)±g(x) = (f(x)±g(x))·(f(x)∓g(x))
Integraci´on por Partes
Esta es una de las t´ecnicas m´as importantes, se puede aplicar siempre:
Z
f(x)g0(x)dx =f(x)g(x)−
Z
g(x)f0(x)dx
Haciendo
u =f(x)
du=f0(x)dx dv =g0(x)dx
v =g(x)
Obtenemos Z
udv =uv−
Z
Integraci´on por Partes
Operacionalmente lo que hay que hacer es:
I Escoger la funci´on u ydv
I Calcular du yv derivando e integrando respectivamente
I Si la integral es indefinida hacer Z
udv =uv−
Z
vdu+C
I Si la integral es definida hacer
b Z
a
udv = uv|ba−
b Z
a
Integraci´on por Partes
Una forma de recordar la expresi´on es la siguiente regla nemot´ecnica Z UN z}|{ u D´IA VI z}|{ dv = UN z}|{ u · VALIENTE z}|{ v − SOLDADO
z}|{Z VESTIDO
z}|{
v
DE UNIFORME
z}|{
du
A tener en cuenta:
I Siempre se puede considerar la funci´on constante 1 como una
de las funciones:
Z
ln(x)dx =
Z
Integraci´on por Partes: ¿C´omo escoger
u
y
dv
?
Se escoge comou a la funci´on del tipo que aparezcaprimerode la
siguiente lista:
1. L: Logaritmos (lnx, logax)
2. I: Inversas (arccosx, arcsinx, arctanx)
3. A: Aritm´eticas (constantes, polinomios)
4. T: Trigonom´etricas (sinx, cosx, tanx, cotx) 5. E: Exponenciales (ex,ax,xx)
Por ejemplo: en un integrando con logaritmos y funciones
Integrales Trigonom´etricas
Primero recordemos la identidad trigonom´etrica fundamental:
sin2x+cos2x= 1 (1)
Dividiendo (1) por cos2x obtenemos otra identidad:
tan2x+ 1 = sec2x (2)
Y dividiendo (1) por sin2x obtenemos otra identidad:
Integrales Trigonom´etricas
Expresiones del tipo Z
sinmcosndx
CASO 1: m ´o n par y el otro impar:
I Se factoriza el seno o coseno sobrante para dejar los
exponentes pares
I Si lo que sobra es un coseno se transforma todo el resto a
senos usando (1)
I Si lo que sobra es un seno se transforma todo el resto a
cosenos usando (1)
I Luego, haciendo una sustituci´on simple por seno o coseno
Integrales Trigonom´etricas
CASO 2: m yn pares:
Se transforma la expresi´on cuantas veces sea necesario usando:
cos2x = 1
2 +
1 2cos 2x sin2x = 1
2 −
Integrales Trigonom´etricas
Expresiones del tipo Z
secmtanndx
CASO 1: m par:
I Se factoriza un sec2x
I Lo que sobra se transforma a tangentes usando (2)
I Con una sustituci´on por tangente obtenemos una integral de
un polinomio CASO 2: Otro caso:
Sustituciones Trigonom´etricas
CASO 1: El integrando contiene una expresi´on de la forma
√
a2+x2, hacer:
x=atan (u)
dx =asec2(u)du
CASO 2: El integrando contiene una expresi´on de la forma
√
a2−x2, hacer:
x=asin (u)
Sustituciones Trigonom´etricas
CASO 3: El integrando contiene una expresi´on de la forma
√
x2−a2, hacer:
x =asec (u)
dx =asec (u) tan (u)du
Observaciones:
I Este es un cambio de variables m´as que una sustituci´on
I Las constantes que molestan siempre se pueden quitar:
p
a2±b·x2=
s
b·
µ
a2
b ±x2
¶
=√b
sµ
a √ b
¶2
Trigonom´etricas Inversas
Las integrales que resultan funciones trigonom´etricas inversas m´as frecuentes son:
Z
1
x2+a2dx = 1
aarctan
x a +C
Z
1
√
a2−x2dx = arcsin
x a +C
Z
1
x√x2−a2dx = 1
aarcsec |x|
a +C
Problema 3 (e) (pr´actica 19)
Gr´afica de la funci´on
³
x+ex2
´2 x :
Problema 3 (e) (pr´actica 19)
Observar que utilizando la Regla de L’Hˆopital obtuvimos
lim
x→0+
³
x+ex2
´2 x