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(1)

C´alculo I y II (520141)

Sesi´on 5 - Pr´actica 19 y 20

Marcelo Figueroa

(2)

Contenidos

Repaso de Conceptos Regla de L’Hˆopital Integraci´on por Partes Integrales Trigonom´etricas Sustituciones Trigonom´etricas Trigonom´etricas Inversas

Problemas

(3)

Regla de L’Hˆopital

La Regla de L’Hˆopital se utiliza para simplificar el c´alculo de l´ımites cuando la evaluaci´on directa resulta en una forma indeterminada.

lim

x→ch(x) =

0

0 ´o xlim→ch(x) =

Se puede demostrar que las siguientes formas se pueden reducir a las anteriores dos, por lo que se puede aplicar L’Hˆopital:

Formas Indeterminadas

0 0,

∞,

(4)

Regla de L’Hˆopital

La expresi´on que se quiere evaluar en el l´ımite debe llevarse a la forma

h(x) = f(x)

g(x) Luego, la Regla de L’Hˆopital asegura que:

lim

x→ch(x)

L’H= lim

x→c

(5)

Regla de L’Hˆopital

Algunos trucos a tener en cuenta:

I Los infinitos se pueden cambiar por ceros y viceversa: x = 1

1

x

I Los exponentes se bajan con logaritmo:

h(x) =f(x)g(x)lnh(x) =g(x)·lnf(x)

I Las restas y sumas se pueden completar a fracciones:

f(x)±g(x) = (f(x)±g(x))·(f(x)∓g(x))

(6)

Integraci´on por Partes

Esta es una de las t´ecnicas m´as importantes, se puede aplicar siempre:

Z

f(x)g0(x)dx =f(x)g(x)

Z

g(x)f0(x)dx

Haciendo

u =f(x)

du=f0(x)dx dv =g0(x)dx

v =g(x)

Obtenemos Z

udv =uv−

Z

(7)

Integraci´on por Partes

Operacionalmente lo que hay que hacer es:

I Escoger la funci´on u ydv

I Calcular du yv derivando e integrando respectivamente

I Si la integral es indefinida hacer Z

udv =uv−

Z

vdu+C

I Si la integral es definida hacer

b Z

a

udv = uv|ba

b Z

a

(8)

Integraci´on por Partes

Una forma de recordar la expresi´on es la siguiente regla nemot´ecnica Z UN z}|{ u D´IA VI z}|{ dv = UN z}|{ u · VALIENTE z}|{ v SOLDADO

z}|{Z VESTIDO

z}|{

v

DE UNIFORME

z}|{

du

A tener en cuenta:

I Siempre se puede considerar la funci´on constante 1 como una

de las funciones:

Z

ln(x)dx =

Z

(9)

Integraci´on por Partes: ¿C´omo escoger

u

y

dv

?

Se escoge comou a la funci´on del tipo que aparezcaprimerode la

siguiente lista:

1. L: Logaritmos (lnx, logax)

2. I: Inversas (arccosx, arcsinx, arctanx)

3. A: Aritm´eticas (constantes, polinomios)

4. T: Trigonom´etricas (sinx, cosx, tanx, cotx) 5. E: Exponenciales (ex,ax,xx)

Por ejemplo: en un integrando con logaritmos y funciones

(10)

Integrales Trigonom´etricas

Primero recordemos la identidad trigonom´etrica fundamental:

sin2x+cos2x= 1 (1)

Dividiendo (1) por cos2x obtenemos otra identidad:

tan2x+ 1 = sec2x (2)

Y dividiendo (1) por sin2x obtenemos otra identidad:

(11)

Integrales Trigonom´etricas

Expresiones del tipo Z

sinmcosndx

CASO 1: m ´o n par y el otro impar:

I Se factoriza el seno o coseno sobrante para dejar los

exponentes pares

I Si lo que sobra es un coseno se transforma todo el resto a

senos usando (1)

I Si lo que sobra es un seno se transforma todo el resto a

cosenos usando (1)

I Luego, haciendo una sustituci´on simple por seno o coseno

(12)

Integrales Trigonom´etricas

CASO 2: m yn pares:

Se transforma la expresi´on cuantas veces sea necesario usando:

cos2x = 1

2 +

1 2cos 2x sin2x = 1

2

(13)

Integrales Trigonom´etricas

Expresiones del tipo Z

secmtanndx

CASO 1: m par:

I Se factoriza un sec2x

I Lo que sobra se transforma a tangentes usando (2)

I Con una sustituci´on por tangente obtenemos una integral de

un polinomio CASO 2: Otro caso:

(14)

Sustituciones Trigonom´etricas

CASO 1: El integrando contiene una expresi´on de la forma

a2+x2, hacer:

x=atan (u)

dx =asec2(u)du

CASO 2: El integrando contiene una expresi´on de la forma

a2x2, hacer:

x=asin (u)

(15)

Sustituciones Trigonom´etricas

CASO 3: El integrando contiene una expresi´on de la forma

x2a2, hacer:

x =asec (u)

dx =asec (u) tan (u)du

Observaciones:

I Este es un cambio de variables m´as que una sustituci´on

I Las constantes que molestan siempre se pueden quitar:

p

a2±b·x2=

s

µ

a2

b ±x2

=√b

a b

2

(16)

Trigonom´etricas Inversas

Las integrales que resultan funciones trigonom´etricas inversas m´as frecuentes son:

Z

1

x2+a2dx = 1

aarctan

x a +C

Z

1

a2x2dx = arcsin

x a +C

Z

1

x√x2a2dx = 1

aarcsec |x|

a +C

(17)

Problema 3 (e) (pr´actica 19)

Gr´afica de la funci´on

³

x+ex2

´2 x :

(18)

Problema 3 (e) (pr´actica 19)

Observar que utilizando la Regla de L’Hˆopital obtuvimos

lim

x→0+

³

x+ex2

´2 x

Referencias

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