Actualidad de la
teoría de situaciones
Guy Brousseau
Introducción
En esta conferencia, después de evocar
brevemente algunos conceptos, querría:
►
En primer lugar, recordarles resultados
experimentales obtenidos por medio de la teoría
de las situaciones.
►
Y mostrarles sobre qué problemas actuales esta
1. Una situación didáctica
¿Qué es la geometría?
Ejemplo: problema y situación
Un problema clásico:
Primer estudiante : “¡Lo veo! ¿Por qué dar una
prueba?”
Segundo estudiante: “Estoy sorprendido… ¿La
tercera mediatriz pasa exactamente por el punto
de intersección de las dos primeras?”
Pero para sacar lo mejor de esta sorpresa es
necesario:
►
que consideren una alternativa…
►
… y que la pregunta interese a todos los
alumnos de la clase.
Por eso el profesor debe imaginar, producir y
conducir una
situación matemática
para los
alumnos,
Y ponerla en escena dentro de una
situación
A
B C
En su rol de profesor,
pide a sus alumnos
A
C
A’
B’ C’
Observan un «co-triángulo». El profesor, «seriamente», da la
denotación a los vértices (A' B' C‘) del pequeño triángulo que "deben"
A B C C’ A’ B’
El profesor lamenta tener co-triángulos demasiado
pequeños, y pide disculpas por haber dibujado un caso particular, ¡tan poco
conveniente!
Pide a los alumnos que busquen un
triángulo ABC cuyo co-triángulo entre en la hoja, ¡pero que sea lo más grande
A
Los alumnos piensan que lo pueden hacer cambiando la posición, por ejemplo, de BC
A
A’ B’
. Los alumnos se empecinan en la búsqueda del
co-triángulo.
. Finalmente, deben emitir la
hipótesis
de que los
puntos A’, B’, C’ podrían coincidir.
. Tienen la figura, hay que dar la
prueba
en contra
de “la evidencia”.
. Más que mirar la figura completa, siguen el
orden de construcción que utilizaron varias veces:
- construyen la mediatriz de AB,
- la de AC que determina A’
. Deben ponerse de acuerdo sobre la definición
de la mediatriz, y demostrar para convencerse.
. A veces deben elegir cuáles son los
postulados...
. El profesor explica entonces la diferencia entre
"ver" y "demostrar" .
¡Estudiantes profesores! Por favor, no deben tratar de reproducir esta situación en clase…
Deberían:
► dibujar una figura falsa,
► mostrarse confundidos por haber elegido un caso particular y disculparse,
► decir mentiras y reconocerlo cínicamente, explicar fantasías, cambiar de idea…
► pedir a los alumnos que hagan algo imposible… y
finalmente proponer una improbable hipótesis de tres puntos en uno…
►
Una de las primeras situaciones didácticas sobre
la
geometría
apunta a definirla en relación – en
oposición- con el
conocimiento del espacio.
►
Los alumnos tuvieron experiencias que les
permitieron desarrollar determinados
conocimientos del espacio tales como construir
objetos, figuras, trayectos y prever el resultado
de ciertas acciones o transformaciones, utilizar
un vocabulario apropiado, etc.
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2. Las teorías de las
► En el dominio de la didáctica, una teoría de las situaciones modeliza las condiciones bajo las cuales los seres humanos producen y aprenden los "conocimientos" que
reconocemos como matemáticos.
► Estos modelos pueden ser modelos matemáticos.
► Así, toda actividad matemática se desarrolla bajo condiciones específicas de un conocimiento preciso.
Introducimos dos grandes categorías de modelos de situaciones que se distinguen por su estructura, por su funcionamiento y, sobretodo, por las leyes que las
gobiernan. Esencialmente son:
- las situaciones matemáticas y
- las situaciones didácticas en matemáticas
► Las situaciones matemáticas tienen por objeto representar el mínimo de condiciones necesarias para «explicar» o justificar la puesta en obra de un enunciado matemático, por un «agente», o por un grupo de
agentes... sin intervención didáctica exterior.
► La forma mas básica de situación matemática usada en la enseñanza desde siglos es el problema.
► Creo que ya conocen también diversas situaciones
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3. Resultados en TSM
Proyecto inicial:
condiciones límites de una experiencia en pedagogía de las matemáticas
Ingeniería didáctica y observación
Instituto de Investigación en Enseñanza de la Matemática (IREM). Centro para la
Observación e Investigación en Enseñanza de la Matemática (COREM)
Teoría de las situaciones
1. Teoría constructivista de las situaciones matemáticas
Conceptos: tipos de situación, de comportamientos y de aprendizajes, obstáculos, diversas funciones de los conocimientos, transposición didáctica…
Resultados a. es posible…
Determinar las
condiciones de estas enseñanzas…
… Y comunicarlas Enseñar las matemáticas
con un sentido correcto en la escuela
Corregir las
enseñanzas a través del uso abusivo de
la evaluación institucional.
El constructivismo radical porque
la institucionalización
es indispensable.
La progresión regular desde el nivel inicial a la universidad porque
los obstáculos
requieren retomar lo trabajado.
Resultados b. Por el contrario, es imposible…
Conclusión: Las situaciones constructivistas matemáticas son insuficientes. Su uso
didáctico es paradójico.
2. Una teoría de las situaciones didácticas en matemáticas es indispensable
Como lo es el
Aunque tenemos soluciones micro didácticas demostradas y efectivamente aplicables con los medios disponibles, fenómenos
socioculturales pueden impedir su ejecución.
Limitaciones actuales de la teoría de las situaciones didácticas:
La teoría de las situaciones didácticas produjo también numerosos resultados: institucionalización, transposición y des-transposición didáctica, diversos
“efectos”, etc.
La teoría de las situaciones matemáticas y la teoría de las situaciones didácticas forman la micro didáctica, estudio de las interacciones entre
agentes (o sociedades) uno de los cuales quiere, intencionalmente, modificar los conocimientos de los otros cuando estos últimos no experimentan la
La macro didáctica estudia las relaciones de las grandes instituciones humanas con conocimientos particulares.
Ejemplos de manifestaciones macro didácticas: la diferencia de actitud entre Francia y los países
anglosajones en relación con la estadística, algunos grandes movimientos de reformas en la enseñanza...
En 1979, denuncié por primera vez los peligros con el uso ingenuo de la evaluación institucional, «ingenuo» en el sentido de «ausencia de una teoría didáctica sólida que tenga en cuenta el rol de los
conocimientos en el aprendizaje y en la enseñanza de las matemáticas».
► Había previsto que las evaluaciones
subevaluarían a los estudiantes dando la impresión de una disminución de nivel,
conducirían a los profesores, en primer lugar a reforzar los
aprendizajes por repetición, y luego a solicitar programas menos recargados
que en siguientes evaluaciones los estudiantes no mejorarían,
lo que conduciría a un proceso de reiteración y a bajar el nivel efectivamente.
► No había previsto el mal uso que los medios de comunicación y los
► La negociación entre la enseñanza y sus mandatarios
(autoridades, padres…) trata solo sobre “saberes”, es decir sobre partes de los textos de referencia, tomados de la
disciplina constituida.
► El proyecto de enseñanza es concebido como una lista de
saberes que se puede «convocar» a través de cuestiones aisladas «simples» (fuera de una situación).
► La concepción sociocultural de la enseñanza y del aprendizaje considera solamente los saberes.
1. El objeto de enseñanza debe ser estructurado
► Enseñar utilizando relaciones entre los saberes es más económico que la enseñanza errática de saberes aislados.
► Cuanto más estructurados son los saberes, su enseñanza parece más económica.
► Las relaciones más fuertes, las más estables y las más
“reconocidas” son las de constitución (definición) y prueba (deducción).
2. Se impone la estructuración deductiva
► Pero en el control social del trabajo, el profesor puede mostrar que la estructuración constitutiva o deductiva de los saberes enseñados le permite respetar la inevitable
Regla de Información Previa Suficiente (RIPS).
► Esta regla dice: «Para ser inteligible, un mensaje debe
utilizar un repertorio de términos y una sintaxis conocidos por su destinatario.»
Aplicada a la enseñanza: «todo lo que es necesario para la adquisición de un conocimiento que se quiere enseñar,
3. La RISP permite una distribución social de las responsabilidades
► El profesor define y presenta el saber a aprender
construyéndolo a partir de los saberes anteriores, enseñados a través de la presentación estándar de las matemáticas.
► La responsabilidad de los alumnos reside en aplicar estos
saberes cuando se presente la oportunidad.
4. Pero este contrato social ingenuo tiene numerosas consecuencias negativas para la organización de la enseñanza, para sus resultados.
►
El resultado de una enseñanza es
sistemáticamente interpretado como un fracaso.
►
El profesor debe recomenzar esta enseñanza.
►
Pero si no recurre al sentido y a los conocimientos,
Es larga la lista de debilidades, errores y consecuencias negativas de la concepción RISP fundada solamente sobre los saberes:
1. Los principios «aprender primero, aplicar luego» o
«aprender primero, comprender luego» conducen a que el sentido y la adaptación a su uso no puedan intervenir en el aprendizaje inicial.
► Los procesos reales requieren diversas funciones de los saberes.
► La presentación deductiva de los saberes es la última etapa del trabajo
matemático. La génesis de esta presentación sigue otras vías. Utiliza funciones del saber, los conocimientos, que no pueden ser tratados (evaluados, utilizados, enseñados, aprendidos) como saberes:
esquemas de acción, repertorios de comunicación, medios de convicción, etc.
► Los conocimientos son, por ejemplo, anticipaciones, hipótesis,
tentativas de representación, intuiciones, etc., es decir son
instrumentos. No son errores ni verdades, sino medios de manipular y activar los saberes. Lo que importa es su rol en el proceso. Si no son aprehendidos, reconocidos por el juego de los saberes, desaparecen con el contexto.
► Los saberes son medios culturales de reconocimiento y de
► En realidad la concepción RISP conduce a considerar como fracasos un cierto número de hechos que son ineluctables.
► La taxonomía intenta evaluar otras competencias además de la aplicación de saberes.
► A partir de los trabajos de Bloom, los instrumentos de evaluación se han perfeccionado para intentar describir mejor los objetivos de alto nivel.
► Pero dichos objetivos son aquéllos para los cuales los resultados son menos previsibles, y entonces los
instrumentos son peores: las competencias que corresponden escapan visiblemente a la RISP.
2. La organización deductiva no puede requerir ni el sentido ni el uso de los saberes, los cuales deben ser
aprendidos sin su significación (primero aprender y luego comprender).
3. Cada saber presentado debe ser aprendido antes que el siguiente, que debe contribuir a construirlo (aprender y
luego aplicar). En caso de fracaso de una parte de los alumnos, el profesor debe retomar la misma tentativa
4. La presentación deductiva tiene un rendimiento
bastante débil. El sentido se desplaza hacia aplicaciones futuras y tarda en acompañar los aprendizajes, sobre todo para los alumnos que necesitan más tiempo. Se necesita entonces más tiempo para obtener la misma tasa de éxito.
El profesor, de todas maneras, tiene que pasar a la lección siguiente antes de poder asegurarse que el alumno podrá «aplicar» con solvencia lo que aprendió. Debe aceptar
cierto riesgo de fracaso (enseñando individualmente) y cierta tasa de fracaso en la enseñanza colectiva.
► Sin embargo, el profesor puede tener cierto éxito gracias al
funcionamiento oculto de los conocimientos.
Los conocimientos nacen de la actividad cognitiva propia – individual o colectiva- de los alumnos en situaciones más abiertas que los ejercicios.
Están hechos del reconocimiento más o menos preciso de objetos re-encontrados, de saberes cuya adecuación es hipotética, de tentativas de modelización, etc.
Permiten anticipar cierto «sentido» de los saberes presentados para justificarlos y así desviarse de la RISP.
► «Conocimiento» y «saber», en las situaciones, son
funciones diferentes que tienen momentáneamente los conocimientos (en el sentido usual).
► La TSDM puso en evidencia la necesidad de procesos específicos de institucionalización de los conocimientos
►
«La evaluación» (el inventario) de los saberes y de losconocimientos tiene por finalidad describir los conocimientos de los alumnos.
► Los profesores la utilizan para establecer los conocimientos a los cuales pueden referirse para organizar su enseñanza y para determinar sus objetivos.
► Los resultados sobre la mejora de los instrumentos de
► Por el contrario, la interpretación y el uso «ingenuo» de la evaluación se desarrolla sin cesar y penetra en la intimidad de los procesos de aprendizaje.
Consiste en interpretar directamente los resultados de las evaluaciones y a inferir decisiones didácticas radicales: lo que resultó poco logrado es retomado (reforzado,
repetido) o abandonado.
► No es la evaluación lo que se cuestiona, sino su uso
bárbaro que no se basa en algún tipo de análisis, sea o no científico.
1. Los objetivos de alto nivel escapan por definición al tratamiento por repetición.
► La mayoría de los conocimientos se esfuman en un control fuera de
contexto.
► Contrariamente a los saberes, el rol de los conocimientos no es ser
«verdaderos» o «falsos», sino ser fecundos alimentando el proceso de desarrollo y control de los saberes en una situación dada. Por ejemplo, tratarlos como saberes, impide considerarlos.
► Las acciones didácticas van a concentrarse sobre objetivos de bajo
nivel taxonómico (conocimiento de algoritmos y hechos aislados) por medio de acciones artificiales tanto más penosas cuando los alumnos ya están en dificultades.
2. Al ser ignorado el rol de los conocimientos, todo lo que no
