Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones - IntTriples.pdf

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2. INTEGRALES TRIPLES

En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones

del tipo _{f : B}_⊆ 3 _→ _{, tal como se hizo en la sección anterior para las integrales}

dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la

definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo _{f : Q}_⊆ n _→ _.

2.1 INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJA

RECTANGULAR

Sea f una función definida sobre la caja rectangular B, esto es

3

f : B⊆ → , donde B está definida como:

[ ] [ ] [ ]

B= a,b × c,d × r,s (II.1) o también:

(

)

{

3

}

B= x, y,z ∈ a x b≤ ≤ ∧ ≤ ≤c y d ∧ ≤ ≤r z s (II.2)

Sea P una partición del paralelepípedo B, la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones Px, Py y Pz y de los

intervalos

[ ]

a,b ,

[ ]

c,d y

[ ]

r,s , respectivamente, como se muestra a continuación:

{

i i n n

}

x x x x x x x x

P = 0, 1, 2,…, −1, ,…, −1, (II.3)

{

j j m m

}

y y y y y y y y

P = ₀, ₁, ₂,…, ₋₁, ,…, ₋₁, (II.4)

{

0 1 2 1 1

}

z k k l l

P = z ,z ,z , ,z ,z , ,z ,z… ₋ … ₋ (II.5)

entonces La caja rectangular B,

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x y z

P P P P= × × (II.6)

La partición P del paralelepípedo B, entonces se obtiene al dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.1

Partición P de una caja rectangular B.

Si la partición Px tiene n+1 elementos y n subintervalos

[

xi−1,xi

]

de longitud ∆x_i =x_i−x_i₋₁; la partición P_y tiene m+1 elementos y m

subintervalos

[

y_j₋₁,y_j

]

de longitud ∆y_j =y_j−y_j₋₁ y la partición P_z

tiene l+1 elementos y l subintervalos

[

z ,zk−1 k

]

de longitud

1

k k k

z z z ₋

∆ = − , entonces la caja rectangular B queda dividida por la partición P en n m l⋅ ⋅ paralelepípedos denominados Bijk, donde

el volumen de cada una de estas pequeñas cajas o subparalelepípedos, denotado ∆Vijk, se obtiene de acuerdo a la

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ijk i j k

V x y z

∆ = ∆ ⋅ ∆ ⋅ ∆ (II.7)

Al evaluar la función f en un punto arbitrario

(

* * *

)

i j k

x , y ,z del

subparalelepípedo B_ijk, se puede establecer la triple suma de Riemann para la función f en la partición P, denotada como ST:

(

)

1 1 1

n m l

* * *

T i j k ijk

i j k

S f x , y ,z V

= = =

=

∑∑∑

∆ (II.8)

En la figura 2.2 se observa el punto

(

* * *

)

i j k

x , y ,z contenido en el

elemento Bijk de la partición P.

Figura 2.2

Paralelepípedo genérico B_ijk de la partición P.

La norma de la partición P, denotada como P , es la longitud de la diagonal más grande de todos los paralelepípedos B_ijk. Si se En la figura 2.2, se

aprecia que:

* 1

i i i

j j j

k k k

x x x

y y y

z z z

− −

−

≤ ≤

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selecciona una partición más fina, de manera que la norma de la

partición tienda a cero, esto es P →0, entonces la expresión (II.8) cambia y recibe el nombre del límite de la triple suma de Riemann, como se muestra a continuación:

(

)

0 0 ₁ ₁ ₁

n m l

* * *

T i j k ijk

P P _i _j _k

L im S L im f x , y ,z V

→ = →

∑∑∑

₌ ₌ ₌ ∆ (II.9)

A partir del límite de la triple suma de Riemann se establece la definición de la integral triple de una función f en un paralelepípedo B.

DEFINICIÓN: Integral triple de f sobre B

Sea _f _: 3_→ _{una función definida sobre un paralelepípedo}

B del espacio. La integral triple de f sobre B, denotada por

(

)

B f x, y,z dV

∫∫∫

, se define como:

(

)

₀

(

)

1 1 1

n m l

* * * i j k ijk B f x, y,z dV L imP→ _i _j _k f x , y ,z V

= = =

=

∑∑∑

∆

∫∫∫

(II.10)

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2.2 TEOREMA DE FUBINI

El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar una integral triple por medio de integrales iteradas, tal como se mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior.

La integral iterada presente en la ecuación (II.11) del teorema de Fubini también puede ser escrita de otras cinco formas diferentes, que se obtienen al cambiar el orden de integración de las variables

x, y y z. Estas integrales iteradas son:

(

)

d s b

(

)

B f x, y,z dV = c r a f x, y,z dxdzdy

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.12)

(

)

s b d

(

)

B f x, y,z dV = r a c f x, y,z dydxdz

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.13)

(

)

b s d

(

)

B f x, y,z dV = a r c f x, y,z dydzdx

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.14)

(

)

b d s

(

)

B f x, y,z dV = a c r f x, y,z dzdydx

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.15)

(

)

d b s

(

)

B f x, y,z dV = c a r f x, y,z dzdxdy

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.16)

TEOREMA de Fubini para Integrales Triples

Sea f una función continua en el paralelepípedo

[ ] [ ] [ ]

B= a,b × c,d × r,s , entonces:

(

)

s d b

(

)

B f x, y,z dV = r c a f x, y,z dxdydz

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.11)

Al igual que en el capítulo anterior; para la resolución de integrales triples, se emplearán los siguientes símbolos para identificar los límites de integración:

: Valor de la variable a la salida de la región B (límite superior).

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Evalúe la integral triple

(

)

B f x, y,z dV

∫∫∫

y dibuje el paralelepípedo

B, donde _{f x, y,z}

(

)

₌_xz3

(

₁₋_y

)

_y_B₌

[ ] [

_{2 3}_, _{× −}_{2 1}_,

]

_{0 2}_, 

×  .

Solución:

Para resolver la integral triple de la función f se debe seleccionar primero el orden de integración. En la figura 2.3 se muestra el paralelepípedo B, donde además se señala, mediante la flecha que atraviesa verticalmente a la región B, que la integración se comienza con la variable z.

Figura 2.3

Paralelepípedo B del ejemplo 2.1.

A continuación se resuelve la integral triple:

(

)

1 3 2 ₃

(

)

-2 2 0

, , 1

B

I =

_∫∫∫

f x y z dV =

_{∫ ∫ ∫}

xz −y dzdxdy

(

)

2

(

)

1 3 ₄ 1 3

-2 2 0 -2 2

1

1 1

4

I=

∫ ∫

_xz −y _ dxdy=

∫ ∫

x −y dxdy

(

)

3

(

)

(

)

1

1 ₂ 1 ₂

-2 2 -2 -2

1 5 5 45

1 1 1

2 2 4 4

I =

∫

_x −y _ dy=

∫

−y dy= − _ −y _ = EJEMPLO 2.1

Es común llamar I a la integral triple que desea resolverse.

Figura 2.4

Proyección del paralelepípedo B del

ejemplo 2.1 en el

plano xy

La proyección de B mostrada en la figura 2.4, indica que la segunda integración se realiza respecto a la variable x.

B

Valor de z a la salida de B

2

z=

Valor de z a la entrada de B

0

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(

)

1 3 2 ₃

-2 2 0

45 1

4

xz −y dzdxdy=

∫ ∫ ∫

(

)

B f x, y,z dV

∫∫∫

y dibuje el paralelepípedo

B, donde f x, y,z

(

)

= +x y cos z y

[

1 2

] [ ]

0 1 0 2

B= − , × , _{× } ,π_  .

Solución:

En la figura 2.5 se muestra el paralelepípedo B y se indica, además, que la primera integración parcial se realiza respecto a la variable x.

Figura 2.5

Paralelepípedo B del ejemplo 2.2.

(

)

1 2

(

)

2

0 0 1

, , cos

B

I f x y z dV x y z dxdzdy

π −

=

_∫∫∫

=

_{∫ ∫ ∫}

+

2 2

1 1

2 2

0 0 0 0

1

3

cos 3 cos

2 2

x

I xy z dzdy y z dzdy

π π

−

   

= _ + _ = _ + _

 

∫ ∫

EJEMPLO 2.2

B

Valor de x a la salida de B

2

x=

Valor de x a la entrada de B

1

x= −

Figura 2.6

Proyección del paralelepípedo B del

ejemplo 2.2 en el

plano yz

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1 2 2

1 1

0 0

0 ₀

3 3 3

3 3

2 4 2 4

I z ysenz dy y dy y

π

π π

     

= _ + _ = _ + _ = _ + _

     

∫

1 2 2

1 1

0 0

0 ₀

3 3 3

3 3

2 4 2 4

I z ysenz dy y dy y

π

π π

     

= _ + _ = _ + _ = _ + _

     

∫

(

)

1 2

2

0 0 1

3 3

cos

4 2

x y z dxdzdy

π _π

− + = +

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2.3 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS

GENERALES

Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre regiones generales, en esta sección se amplía la definición de la integral triple de una función f sobre una región general B

acotada del espacio tridimensional.

Por ejemplo, considere una región B, más general que un paralelepípedo, del espacio tridimensional, tal como se ilustra en la figura 2.6.

Figura 2.6

Región general B del espacio tridimensional

Para evaluar la integral triple de la función _{f :} 3 _→ _{sobre la}

región general B, usando una integral iterada, primero debe seleccionarse el orden de integración. En la figura 2.7, donde se aprecian las superficies que acotan superior e inferiormente a la región B, se señala el orden de integración sugerido para esta región.

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Figura 2.7

Primer orden de integración para una región general B

Es decir, la región general B está acotada inferior y superiormente por las superficies γ1 y γ2, respectivamente, y por lo tanto puede

definirse como:

(

) ( )

( )

{

1 2

}

B= x, y,z x, y ∈D ∧ γ x, y ≤ ≤z γ x, y (II.17)

Luego, la integral triple de la función _{f :} 3_→ _{sobre la región}

general B, puede obtenerse como:

(

)

2_{( )}( )

(

)

1

x ,y

B f x, y,z dV D x ,y f x, y,z dzdA

γ γ

=

∫∫∫

∫∫ ∫

(II.18)

Para seleccionar el segundo orden de integración, se debe proyectar a la región B sobre el plano xy, obteniéndose así una región bidimensional D, que se observa en la figura 2.8.

B

D

( )

2 z=γ x, y

( )

1

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Figura 2.8

Proyección de la región general B sobre el plano xy

Entonces, como la región general B está definida de la siguiente manera:

(

)

( )

{

1 2 1 2

}

B= x, y,z a x b, g x≤ ≤ ≤ ≤y g x , γ x, y ≤ ≤z γ x, y

(II.19)

Se tiene que:

(

)

2_{( )}( ) 2_{( )}( )

(

)

1 1

b g x x,y

B f x, y,z dV a g x x,y f x, y,z dzdydx

γ γ

=

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.20)

Por otra parte, si la región general B se define como:

(

) ( )

( )

{

1 2 1 2

}

B= x, y,z h z ≤ ≤x h z , β x,z ≤ ≤y β x,z , r z s≤ ≤

(II.21) Entonces:

(

)

2_{( )}( ) 2_{( )}( )

(

)

1 1

s h z x,z

B f x, y,z dV r h z x,z f x, y,z dydxdz

β β

=

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.22)

O también, para una región B como la siguiente:

(

) ( )

( )

{

1 2 1 2

}

B= x, y,z ω y,z ≤ ≤x ω y,z , c y d , j y≤ ≤ ≤ ≤z j y

Observe, en la figura 2.8, que la proyección de la región B sobre el plano xy, es una región D bidimensional de tipo 1.

x = b

D x = a

Valor de y a la salida de D

( )

2

y g x=

Valor de y a la entrada de D

( )

1

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(II.23)

La integral triple es:

(

)

2_{( )}( ) 2_{( )}( )

(

)

1 1

d j y y ,z

B f x, y,z dV c j y y ,z f x, y,z dxdzdy

ω ω

=

∫∫∫

∫ ∫ ∫

(II.24)

BdV

∫∫∫

, donde B es la región del espacio tridimensional definida como:

(

)

{

₀ ₂ 2 2 2

}

B= x, y,z ≤ ≤x , x y x , x y z x≤ ≤ + ≤ ≤ +y

Solución:

Para evaluar

BdV

∫∫∫

, se debe seleccionar la variable con respecto a la cual se realiza la primera integración parcial. En la siguiente figura se visualiza la región B.

Figura 2.9

Región B del ejemplo 2.3

EJEMPLO 2.3

En la figura 2.9, se aprecia que el recinto B

está limitado superiormente por la

superficie _z₌_x2₊_y2_e

inferiormente por la superficie z= +x y.

B

2 2

z x= +y

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Por lo tanto, la primera integración se realiza respecto a la variable

z, considerando a x y a y constantes.

En la figura 2.10 se muestra la proyección de la región B sobre el plano xy. Adicionalmente se ilustra el segundo orden de integración seleccionado.

Figura 2.10

Proyección de la región B del ejemplo 2.3 en el plano xy

Resolviendo la integral triple, se tiene:

(

)

2 2 2 2

2 2 ₂ ₂

0 4 0 4

x x y x

B x x y x

I dV + dzdydx y x x y dydx

+

=

_∫∫∫

=

_{∫ ∫ ∫}

=

_{∫ ∫}

+ − −

6 4 3

2 ₂

0

79 12

3 2 3

x x x

I = _− − + − x dx_

 

∫

2 2 2

2

0 4

6724 105

x x y

x x y dzdydx

+

+ =

∫ ∫ ∫

Cuando se proyecta la

región B sobre el plano xy, tal como se muestra en la figura 2.10, se obtiene una región D bidimensional de tipo 1.

x = 2

D

Valor de y a la salida de D

4 y= x

Valor de y a la entrada de D

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BdV

∫∫∫

, donde B es la región tridimensional comprendida entre los planos cartesianos y el plano

10

x y z+ + = .

Solución:

Para resolver la integral triple,

BdV

∫∫∫

, es necesario ilustrar el orden de integración. En la siguiente figura, mediante la flecha que atraviesa horizontalmente a la región B, se ilustra el valor que toma la variable y a la entrada y la salida de la misma.

Figura 2.11

Al proyectar la región B en el plano cartesiano xz, se obtiene una región bidimensional mostrada en la figura 2.12. En esta figura, se ilustra además, el segundo orden de integración seleccionado

para resolver la integral triple

BdV

∫∫∫

.

EJEMPLO 2.4

En la figura 2.11, se aprecia que el recinto B está limitado por la izquierda por el plano cartesiano xz y por la derecha por el plano de ecuación y=10− −x z

B

Valor de y a la salida de B

10

y= − −x z

Valor de y a la entrada de B

0

(15)

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Figura 2.12

Proyección de la región Bdel ejemplo 2.4 en el plano xz

Resolviendo la integral triple:

(

)

10 10 10 10 10

0 0 0 0 0 10

x x z x

B

I =

∫∫∫

dV =

∫ ∫ ∫

− − − dydzdx=

∫ ∫

− − −x z dzdx

2 10

0 50 2 10

x

I = _ + − x dx_

 

∫

10 10 10

0 0 0

500 3

x x z

dydzdx

− − −

=

∫ ∫ ∫

En la figura 2.12 se

observa que la proyección de la región B sobre el plano xz, es una región D de tipo 1 o tipo 2; sin embargo, se trabaja como una región tipo 1.

0

x=

D

Valor de z a la salida de D

10

z= −x

Valor de z a la entrada de D

0

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2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE

A continuación se presentan las propiedades de la integral triple

de una función _{f :} 3_→ _{real de tres variables sobre una región}

general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son similares a las propiedades de las integrales dobles.

2.4.1 Propiedad de linealidad

Sean _{f :} 3 _→ _y_{g :} 3_→ _{dos funciones reales y continuas}

definidas en una región tridimensional B, y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces:

(

)

(

)

(

)

(

)

, , , , , ,

, ,

B B

B

f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV

α β α

β

+ = +

   

   

+ _ _

∫∫

(II.25)

2.4.2. Propiedad de orden

Sean _{f :} 3 _→ _y_{g :} 3_→ _{dos funciones reales y continuas}

definidas en una región tridimensional B, tales que

(

)

(

)

f x, y,z ≥g x, y,z ∀

(

x, y,z

)

∈B, entonces:

(

, ,

)

(

, ,

)

B f x y z dV ≥ Bg x y z dV

∫∫

(II.26)

2.4.3. Propiedad aditiva respecto a la región de integración

Sea _{f :} 3_→ _{una función real y continua definida en una región}

general tridimensional B. Si la región B está dividida en dos subregiones B1 y B2 (es decir B B= 1∪B2), entonces:

(

)

(

)

(

)

1 2

, , , , , ,

B f x y z dv= B f x y z dV + B f x y z dV

(17)

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(

)

B f x, y,z dV

∫∫∫

, donde f x, y,z

(

)

=xyz y B

es el recinto definido como:

(

)

{

2 2 2 ₄ 2 2 ₁ ₀ ₀ ₀

}

B= x, y,z x +y +z ≤ , x +y ≥ , x≥ , y≥ , z≥

Solución:

El recinto B es la región del primer octante que se encuentra dentro de la esfera, de radio 4 y centro en el origen del sistema de coordenadas; y fuera del cilindro circular recto de radio 1 y que tiene como eje directriz al eje z. En la figura 2.13 se muestra el recinto B.

Figura 2.13

Seleccionando a z como la primera variable de integración se tiene:

2 2 4 0

x y

B D

I =

∫∫∫

xyzdV =

∫∫ ∫

− − xyzdzdA EJEMPLO 2.5

En la figura 2.13, se muestra el recinto B, del ejemplo 2.5. Esta región

está acotada superiormente por la

superficie de ecuación

2 2

4

z= −x −y e

inferiormente por el plano cartesiano xy (z=0).

B

2 2

4

z= −x −y

0

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Donde D es la proyección del recinto B sobre el plano xy. Esta región se muestra en la figura 2.14.

Figura 2.14

Proyección de la región Bdel ejemplo 2.5 en el plano xy

Luego, D D= 1∪D2, donde:

( )

{

}

( )

{

}

2 2 1 2 2

0 1 1 4

1 2 0 4

D x, y x x y x

D x, y x y x

= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Resolviendo la integral triple, se tiene:

2 2 2 2 2 2

2

1 4 4 2 4 4

0 1 0 1 0 0

-x x y -x x y

B -x

I =

∫∫∫

xyzdV =

∫ ∫

∫

− − xyzdzdydx+

∫ ∫

∫

− − xyzdzdydx

(

)

(

)

2 2

2

1 4 ₂ ₂ 2 4 ₂ ₂

0 1 2 4 1 0 2 4

-x -x

-x

xy xy

I = _ −x −y _dydx+ __ −x −y __dydx

   

∫ ∫

5

1 2 ₃

0 1

9 9 9

2

8 8 16 16

x x

I = _ _dx+ _ −x + x dx_ = +

   

∫

9 8

BxyzdV =

∫∫∫

Cuando se proyecta la

región B sobre el plano xy, se obtiene una región D que no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1.

Valor de y a la salida de D1

2 4

y= −x

Valor de y a la entrada de D1

2 1

y= −x

D1

1

x=

D2

2 4

y= −x

0

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( )

B xyz dV

∫∫∫

, donde B es la región del primer octante comprendida entre los conos, cuyas ecuaciones

son _z₌ ₂

(

_x2₊_y2

)

_y_z₌ _x2₊_y2 _{; y el plano}_z₌₄_.

Solución:

Al graficar el recinto B se obtiene el sólido mostrado en la figura 2.15.

Figura 2.15

Según la gráfica anterior, la variable z, toma diferentes valores a la salida del recinto B, por lo cual la integral triple debe resolverse empleando la propiedad 4.3.

( )

2 2

( )

2( 22 2)

( )

1 2

4 2x y

B xyz dV D x y xyz dzdA D x y xyz dzdA

+

+ +

= +

∫∫∫

∫∫ ∫

Para la primera de estas integrales, donde el límite superior para z es 4, la proyección de la región B en el plano xy, es una región denominada D1 se muestra a continuación:

EJEMPLO 2.6

En la figura 2.15, se muestra el recinto B. Observa que la flecha que se encuentra a la izquierda sale de la región en el plano de ecuación z=4, mientras que la flecha de la derecha sale de la región por la superficie del cono _z₌ ₂

(

_x2₊_y2

)

.

B

4

z=

2 2

z= x +y

( 2 2)

2

z= x +y

(20)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Figura 2.16

Primera proyección de la región B del ejemplo 2.6 en el plano xy

Luego, D1=D1.A∪D1.B, donde:

( )

{

}

( )

{

}

2 2 1 2 1

0 8 8 16

8 4 0 16

.A .B

D x, y x x y x

D x, y x y x

= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Con la figura anterior se establece el segundo orden de integración de la primera integral triple planteada, resultando:

( )

2

2 2 2 2 2

1

2

2 2

4 8 16 4

0 8

4 16 4

8 0

x

D x y x x y

x x y

xyz dzdA xyz dzdydx

xyz dzdydx − + − + − + = + +

∫∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

Para definir el segundo orden de integración en la integral

( )

( 2 2)

2 2 2

2x y

D x y xyz dzdA

+ +

∫∫ ∫

, se proyecta la región B, sobre el plano xy

en la siguiente figura. La región D1, de la figura

2.16, no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1.

la salida de D1.A

2 16

y= −x

Valor de y a la entrada de D1.A

2 8

y= −x

D1.A

8

x=

D1.B

Valor de y a la salida de D1.B

2 16

y= −x

Valor de y a la entrada de D1.B

0

(21)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Figura 2.17

Segunda proyección de la región B del ejemplo 2.6 en el plano xy

Donde:

( )

{

2

}

2 0 8 0 8

D = x, y ≤ ≤x ∧ ≤ ≤y −x

Resultando:

( )

( 2 2) 2 ( 2 2)

_{( )}

2 2 2 2

2

2 8 8 2

0 0

x y x x y

D x y xyz dzdA x y xyz dzdydx

+ − +

+ = +

∫∫ ∫

∫ ∫

∫

Por lo tanto:

( )

2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

8 16 4

0 8

4 16 4

8 0

8 8 2

0 0

x

B x x y

x x y x x y

x y

I xyz dV xyz dzdydx

xyz dzdydx xyz dzdydx − − + − + − + + = = + + + +

∫∫∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

Resolviendo, se tiene: La región D2, mostrada

en la figura 2.17, es una región de tipo 1.

D2

0

x=

2 8

y= −x

0

y=

(22)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

(

)

(

)

(

)

2 2

2

8 16 ₂ ₂ 4 16 ₂ ₂

0 8 8 0

8 8 ₂ ₂

0 0

16 16

2 2

2

x x

xy xy

I y x dydx y x dydx

xy

y x dydx

− −

= − − + − − +

+ +

∫ ∫

5 5

8 4 ₃ 8

0 8 8 8 4 32 0 8 8

x x

I = xdx + _ − x + x dx_ + _− + x dx_

   

∫

32 64

3 3

I = + + =

Entonces, la integral triple pedida es:

( )

64

B