U N A-U CR-IT CR-U N ED-MEP-MICIT
PRIMERA ELIMINATORIA
NACIONAL
NIVEL C
(11
◦- 12
◦)
Estimado estudiante:
La Comisi´on de las Olimpiadas Costarricenses de Matem´atica 2010 le saluda y le da la m´as cordial bienvenida a la Primera Eliminatoria Nacional, de estas justas acad´emicas y le desea los mayores ´exitos.
La prueba consta de un total de 25 preguntas de selecci´on ´unica, ponderadas con un valor de 2 puntos cada respuesta correcta.
Para conocer del resultado de la prueba, puede consultar luego de dos semanas de realizada esta eli-minatoria, a la siguiente direcci´on electr´onica:
www.cidse.itcr.ac.cr/olimpiadas/
INSTRUCCIONES GENERALES
• Debe trabajar en forma individual.
• Las respuestas a las preguntas que se le formulan, deben ser consignadas ´
UNICAMENTE en la hoja de respuestas que se le ha entregado.
• Los dibujos que aparecen en la prueba no est´an hechos a escala.
• El formulario de preguntas es suyo, por lo que puede realizar en ´el todas las anotaciones, c´alculos o dibujos que le sean necesarios para resolver satisfacto-riamente la prueba.
• No se permite el uso de hojas adicionales.
• Los ´unicos instrumentos cuyo uso se permite son los necesarios para escribir y dibujar. Se proh´ıbe el uso de libros, libretas de notas, tablas y calculadora.
• El examen tiene una duraci´on m´axima de tres horas.
SIMBOLOG´IA
AB segmento de extremosAyB ]ABC≈]DEF congruencia de ´angulos
AB medida del segmentoAB 4ABC∼=4DEF congruencia de tri´angulos
−−→
AB rayo de extremoAy que contiene aB ABC ↔DEF correspondencia respectiva entre puntos
←→
AB recta que contiene los puntosAyB 4ABC∼ 4DEF semejanza de tri´angulos
]ABC ´angulo de rayos−BA−→yBC−−→ AB∼=CD congruencia de segmentos
m]ABC medida del ´anguloABC AB÷ arco de extremosAyB
4ABC tri´angulo de v´erticesA,B,C m÷AB medida del arcoAB÷
ABCD cuadril´atero de v´erticesA,B,C,D (ABC) ´area del tri´anguloABC
k paralelismo (ABCD) ´area del cuadril´ateroABCD
1. Considere el cuadrado ABCD, en el que X, Y, Z, W son los puntos medios de los lados, tal y como se muestra en la siguiente figura.
A
B C
D
X
Y
Z
W P
Q
R S
Si AB = 10cm. entonces el ´area del cuadril´atero P QRS es igual a:
a) 10 cm2
b) 20 cm2
c) 25 cm2
d) 50 cm2
2. En un sal´on de clase hay 60 j´ovenes ali-neados en 6 filas y 10 columnas. Cada joven le da la mano a cada uno de los compa˜neros que le rodean (incluyendo los que se sientan diagonalmente a su lado). Entonces el total de saludos que hubo en el sal´on es el siguiente:
a) 96
b) 120
3. Considere la siguiente figura, donde
ABCD es un rect´angulo con AB = 20cm., CB = 16cm. M y N son los respectivos puntos medios de DC y BC.
A B
C
D M
N
El ´area en cent´ımetros cuadrados de
AN CM es igual a:
a) 80
b) 120
c) 160
d) 240
4. Sea ABCD un paralelogramo cual-quiera. Sean E y F puntos afuera del paralelogramo tales que los tri´angulos
4AF B y 4AED son equil´ateros. En-tonces la medida de ∠CEF es la si-guiente:
a) 45◦
b) 50◦
c) 60◦
5. Considere el rect´angulo ABCD. Sea M el punto medio de AB, yGel punto de intersecci´on de DB con M C tal y como se muestra en la siguiente figura.
A B
C D
M
G
Si AD = 3 cm. y AB = 4 cm. , en-tonces el per´ımetro en cent´ımetros de
4M GB es el siguiente:
a) 8 3
b) 9 +
√
13 2
c) 5
d) 11 +
√
13 3
6. Sean a y b dos n´umeros reales positi-vos tales quea > b. Si 5ab = 2a2+ 2b2, entonces el valor num´erico de la
expre-si´on a+b
a−b es el siguiente:
a) 1
b) -3
7. Si x, y y x−3
√
2010
3−y√2010 son enteros, entonces el valor num´erico de xy es el siguiente:
a) 4
b) 6
c) 9
d) 18
8. Considere la siguiente figura, donde
ABCD es un cuadrado y AB = 2 cm.
A
B C
D
M P
SiM es el punto medio de BC, enton-ces la medida en cent´ımetros deBP es la siguiente:
a) 2
√
2 3
b)
√
5 2
c) 3 2
9. Sean a y b n´umeros reales tales que
|a| 6= |b|. Considere las siguientes pro-posiciones:
I) a
2 + b2
a+ b = a+b
II) a
2 −b2
a−b = a+b
III) (a+ b)
2
a+ b = a+b
De ellas, son siempre ciertas las si-guientes:
a) Solamente I
b) Solamente I y II
c) Solamente II y III
d) Todas.
10. La cantidad de n´umeros reales que sa-tisfacen la ecuaci´on x2−256 = x−16 es la siguiente:
a) 0
b) 1
c) 2
11. Un edificio cuenta con tres ascensores llamados Lento, Medio y R´apido. Len-to tarda dos minuLen-tos en bajar de un piso a otro y en cada piso se detiene durante 1 minuto; Medio tarda 1 mi-nuto y medio en ir de un piso a otro y se detiene dos minutos en cada piso y R´apido tarda un minuto en ir de un piso a otro y se detiene 2 minutos y medio en cada piso. En cierto momen-to los tres ascensores parten del s´etimo piso exactamente en el mismo momen-to, entonces el orden en que llegan al primer piso es el siguiente (del primero al ´ultimo):
a) Lento – R´apido – Medio
b) Lento – Medio – R´apido
c) Medio – Lento – R´apido
d) R´apido – Lento – Medio
12. Un rect´angulo se forma con 252 cua-drados iguales acomodados en 12 filas y 21 columnas. El n´umero de cuadra-dos que intersectan una diagonal del rect´angulo es el siguiente:
a) 12
b) 21
13. ¿Cu´antas parejas de n´umeros enteros (x, y) satisfacen la ecuaci´on x2 −y2 = 1?
a) 0
b) 1
c) 2
d) Infinitas
14. En la figura el ABCD es un cua-drado con AB = 1 cm. El 4BEF es equil´atero y ∠ABF ∼= ∠EBC. Enton-ces la medida en cent´ımetros de FE corresponde a:
A B
C
D E
F
a) √3(1 −√2)
b) √2(1 −√3)
c) √2(√3−1)
15. Sea ABCD un trapecio, tal que
]BDC = 90◦, sea F un punto en −BC−→ tal que B − C − F y sea P un pun-to en −−→BD tal que −→CP es la bisectriz de ∠DCF (tal como se muestra en la siguiente figura).
A
B
C D
F P
Si ]BDA = 2α entonces la medida del ´angulo∠BP C en t´erminos de α es la siguiente:
a) α
b) 2α
c) 45◦ +α
d) 45◦ −α
16. ¿Cu´antos valores enteros puede tomar p, de modo que ambas ra´ıces de la ecuaci´onx2+px−16 = 0 sean n´umeros enteros?
a) 6
b) 5
17. A cada una de las 26 letras del alfa-beto (no se cuenta la ˜N) se le asig-na un n´umero entero positivo de la si-guiente manera: a la A se le asigna un n´umero, a la B el sucesor del que se le asign´o a A, a la C el sucesor del que se le asign´o a B y as´ı hasta llegar a la Z.
Si K + L + M + N = 2010, entonces el promedio de los 26 n´umeros es igual a:
a) 505,5
b) 503,5
c) 498
d) 491
18. Considere las funciones
f : R →R tal que f(x) = 2x+ 1 y
g : R−{0} → Rtal queg(x) = x
2 −x
x3 .
El dominio m´aximo de g(f(x)) viene dado por:
a) R
b) R− {0}
c) R− (
1 2
)
d) R−
( −1
2
19. En la siguiente figura, los segmentos AY y BX son perpendiculares a los segmentos BC y AC respectivamente.
A
B C
X
Y T
Si ]ABC = 50◦, y ]BAC = 60◦, en-tonces el∠BT Y tiene la siguiente me-dida:
a) 50◦
b) 60◦
c) 70◦
d) 80◦
20. ¿Cu´antos n´umeros enteros satisfacen la ecuaci´on 2·22x = 4x+ 64?
a) 0
b) 1
c) 2
21. ¿Cu´antos cuadrados est´an trazados en la figura adjunta?
a) 32
b) 44
c) 55
d) 60
22. ¿Cu´al es el mayor residuo posible cuando un n´umero de dos d´ıgitos se divide por la suma de sus d´ıgitos?
a) 14
b) 15
c) 16
23. En la siguiente figura, 4CP D es equil´atero y la medida de cada uno de sus lados es de 4 cm. AB k T D, P T ⊥ AD y P es el baricentro de
4M T D.
A M B
T
C D
P
Entonces la medida en cent´ımetros de AT es la siguiente:
a) 16
b) 8√3
c) 4√7
d) 8√2
24. Six+y = 6 y xy = 3, entonces el valor num´erico de x
y + y
x corresponde a:
a) 2
b) 10
c) 12
25. Al sumar la cantidad de soluciones de las ecuaciones x3 = −x y y2 = y se obtiene el siguiente resultado:
a) 0
b) 1
c) 2
