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Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
1) x – 2y + 3 = 0 página 2
3x + 9 = 6y
2) x + 2y = 4 página 4
3x – y = 5
3) 4x – y = 2 página 6
x + 3y = 7
4) 2x – y = 5 página 8
4x + 3y = 5
5) 2x – y = 5 página 10
Soluciones
1) Discute la siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo:
x – 2y + 3 = 0 3x + 9 = 6y
Resolución:
Si nos fijamos nos piden discutir y resolver un sistema lineal, así lo que tenemos que decir es el número de soluciones que tiene y en función de esto, decir qué tipo de sistema es. Para ello usaremos cualquiera de los tres métodos que conocemos, pero primero “colocaremos” tanto las x´s, como las y´s y los términos independientes, primero, reduciendo si fuera necesario, todo al mismo lado de las ecuaciones:
x – 2y + 3 = 0 3x – 6y + 9 = 0
Lo que podemos hacer primero es discutir el sistema, es decir, antes de resolver ver qué tipo de sistema es. Para ellos dividiremos los coeficientes de las las x´s, de las y´s y de los términos independientes. Al dividir tenemos que:
1 / 3 = (-2) / (-6) = 3 / 9
Así pues todas las igualdades se cumplen. La solución y el tipo de sistema será:
Infinitas soluciones (ambas ecuaciones representan la misma recta)
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Por ejemplo este lo vamos a resolver por el método de igualación.
x = 2y – 3 => 2y – 3 = (6y – 9)/3 x = (6y – 9)/3
2y – 3 = 2y – 3 => 0 = 0 (como esperábamos al ser un SCI)
Solución
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
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2) Discute la siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo:
x + 2y = 4 3x – y = 5
Resolución:
Si nos fijamos nos piden discutir y resolver un sistema lineal, así lo que tenemos que decir es el número de soluciones que tiene y en función de esto, decir qué tipo de sistema es. Para ello usaremos cualquiera de los tres métodos que conocemos, pero primero “colocaremos” tanto las x´s, como las y´s y los términos independientes, primero, reduciendo si fuera necesario, todo al mismo lado de las ecuaciones:
x + 2y – 4 = 0 3x – y – 5 = 0
Lo que podemos hacer primero es discutir el sistema, es decir, antes de resolver ver qué tipo de sistema es. Para ellos dividiremos los coeficientes de las las x´s, de las y´s y de los términos independientes. Al dividir tenemos que:
1 / 3 ≠ (2) / (-1) ≠ (-4) / (-5)
Así pues todas las igualdades no se cumplen, en particular la de las incógnitas. La solución y el tipo de sistema será:
Una única solución (son dos rectas que se cortan en un punto)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Por ejemplo este lo vamos a resolver por el método de sustitución.
De la primera, x = 4 – 2y
Sustituyendo en la segunda, 3(4 – 2y) – y – 5 = 0
12 – 6y – y – 5 = 0 => 7 = 7y => y = 1
Así pues, x = 4 – 2(1) => x = 2
Solución
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Rectas Secantes
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3) Discute la siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo:
4x – y = 2 x + 3y = 7
Resolución:
Si nos fijamos nos piden discutir y resolver un sistema lineal, así lo que tenemos que decir es el número de soluciones que tiene y en función de esto, decir qué tipo de sistema es. Para ello usaremos cualquiera de los tres métodos que conocemos, pero primero “colocaremos” tanto las x´s, como las y´s y los términos independientes, primero, reduciendo si fuera necesario, todo al mismo lado de las ecuaciones:
En este sistema ya lo tenemos colocados, así lo que podemos hacer primero es discutir el sistema, es decir, antes de resolver ver qué tipo de sistema es. Para ellos dividiremos los coeficientes de las las x´s, de las y´s y de los términos independientes. Al dividir tenemos que:
4 / 1 ≠ (-1) / 3 ≠ 2 / 7
Así pues todas las igualdades no se cumplen, en particular la de las incógnitas. La solución y el tipo de sistema será:
Una única solución (son dos rectas que se cortan en un punto)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Podemos resolver por el método de reducción en este caso:
4x – y = 2 => (1) 4x – y = 2 x + 3y = 7 (-4) –4x – 12y = –28
–13y = –23 Así pues y = 2
Que sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones tenemos que:
x = +1 e y = +2
Solución
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Rectas Secantes
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4) Discute la siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo:
2x – y = 5 4x + 3y = 5
Resolución:
Si nos fijamos nos piden discutir y resolver un sistema lineal, así lo que tenemos que decir es el número de soluciones que tiene y en función de esto, decir qué tipo de sistema es. Para ello usaremos cualquiera de los tres métodos que conocemos, pero primero “colocaremos” tanto las x´s, como las y´s y los términos independientes, primero, reduciendo si fuera necesario, todo al mismo lado de las ecuaciones:
En este sistema ya lo tenemos colocados, así lo que podemos hacer primero es discutir el sistema, es decir, antes de resolver ver qué tipo de sistema es. Para ellos dividiremos los coeficientes de las las x´s, de las y´s y de los términos independientes. Al dividir tenemos que:
2 / 4 ≠ (-1) / 3 ≠ 5 / 5
Así pues todas las igualdades no se cumplen, en particular la de las incógnitas. La solución y el tipo de sistema será:
Una única solución (son dos rectas que se cortan en un punto)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Si resolvemos por el método de sustitución, por ejemplo, vemos que:
Despejando la y de la primera, y = 2x – 5
Sustituyendo en la segunda, 4x + 3(2x-5) = 5 => 4x + 6x – 15 = 5 => 10x = 20
Operando,
x = +2 e y = -1
Solución
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Rectas Secants
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5) Discute la siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo:
2x – y = 5 4x – 2y = 7
Resolución:
Si nos fijamos nos piden discutir y resolver un sistema lineal, así lo que tenemos que decir es el número de soluciones que tiene y en función de esto, decir qué tipo de sistema es. Para ello usaremos cualquiera de los tres métodos que conocemos, pero primero “colocaremos” tanto las x´s, como las y´s y los términos independientes, primero, reduciendo si fuera necesario, todo al mismo lado de las ecuaciones:
En este sistema ya lo tenemos colocados, así lo que podemos hacer primero es discutir el sistema, es decir, antes de resolver ver qué tipo de sistema es. Para ellos dividiremos los coeficientes de las las x´s, de las y´s y de los términos independientes. Al dividir tenemos que:
2 / 4 = (-1) / (-2) ≠ 5 / 7
Así pues se cumple la primera, la de los coeficientes, pero no la de los términos independientes. La solución y el tipo de sistema será:
NO hay solución (rectas paralelas)
SISTEMA INCOMPATIBLE
Si resolvemos por el método de sustitución, por ejemplo, vemos que:
Despejando la y de la primera, y = 2x – 5
Sustituyendo en la segunda, 4x – 2(2x-5) = 7
Que operando, 4x – 4x + 10 = 7 => 10 = 7 LO QUE ES ABSURDO, así pues
Solución
SISTEMA INCOMPATIBLE
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