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TEMA 4:
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
.
1.- REGLA DE L´HôPITAL
La regla de L´hôpital sirve para resolver indeterminaciones del tipo
.
Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma
, donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las
indeterminaciones: o
Esta regla dice:
Si , en donde f y g son derivables en un
entorno de a y existe
. Entonces también existe el límite
y además coincide con el anterior.
Es decir:
Ejemplos:
a)
2
b)
c)
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Indeterminación infinito menos infinito
En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador.
e)
Indeterminación cero por infinito
La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:
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2.- MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
Definiciones.
Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (c,d) si y sólo si
Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (c,d) si y sólo si
TEOREMA 1.
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3.-EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
Si una función es continua, un máximo relativo es el punto donde la función cambia de ser creciente a ser decreciente y un mínimo relativo es dónde pasa de ser decreciente a ser creciente. Por esto, en las funciones continuas el estudio de los extremos va unido al de la monotonía.
Si además las funciones a estudiar son derivables se pueden usar los siguientes resultados:
Teorema :
Si f tiene un extremo relativo en x=a y existe la derivada en el punto a, entonces ésta tiene que ser cero.
(Por lo tanto los puntos que anulan a la primera derivada son los posibles extremos)
TEOREMA 2:
Sea f una función definida en el intervalo (a,b) y con derivada segunda en (a,b). Si x0 es un punto de (a,b) en el que la derivada primera es cero.
Entonces:
Si f ´´(x0)>0 f tiene un mínimo relativo en xo.
Si f ´´(x0)<0 f tiene un máximo relativo en xo.
Si no se da ninguno de los dos casos, es decir, la derivada segunda se anula en los puntos candidatos a extremos, calcularemos las derivadas sucesivas hasta encontrar la primera que no se anule. Si es de orden par aplicaremos el teorema 2 y si es de orden impar el teorema 1.
0 y
x f ‘(x) < 0
f ’(x) >0
x0
0 y
x f ‘(x) < 0
f ’(x) >0
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Los valores en los que se anula la derivada de una función se llaman puntos singulares y son posibles extremos. Pero también serán posibles extremos los puntos en los que no exista derivada.
En el siguiente ejemplo tenemos la función valor absoluto de x que no es derivable en x=0 (punto anguloso) y sin embargo tiene un mínimo en x=0 porque la función cambia de ser decreciente a ser creciente.
En x= 0 no es derivable (punto anguloso) pero tiene un mínimo.
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Estudio de la monotonía y extremos de una función.
EJEMPLOS:
1.-Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f '(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Recordamos que:
Si f '(x) > 0 es creciente. Si f '(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo. f '(−2) = 3(−2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo. f '(0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo. f '(2) = 3(2)2 −3 > 0
+ - +
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
La función crece en los intervalos: (−∞, −1) U(1, ∞) La función decrece en el intervalo: (−1,1)
Para hallar los extremos locales de la misma función f(x) = x3 − 3x + 2 Aplicando el teorema 2 seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
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x = −1 x = 1. Estos serían los posibles extremos.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
F ''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
F ''(x) < 0 Tenemos un máximo.
F ''(x) = 6x
F ''(−1) = −6 Como da negativo, la función tendrá un máximo en x=-1
F '' (1) = 6 Como da positivo, la función tendrá un mínimo en x=1.
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
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4.-CURVATURA: CONCAVIDAD , CONVEXIDAD Y
PUNTOS DE INFLEXIÓN.
Hemos tomado el criterio que se sigue en selectividad, el valle tiene forma CONVEXA y la montaña forma CÓNCAVA.
Definiciones.
Una función f es cóncava en un intervalo (c,d) si la región que queda por encima de su gráfica en ese intervalo es cóncava.
Una función f es convexa en un intervalo (c,d) si la región que queda por encima de su gráfica en ese intervalo es convexa.
TEOREMA.- Sea f una función que tiene al menos derivada segunda en un intervalo (a,b). En este caso:
Si f ´´(x) < 0 (a,b) entonces f es cóncava en (a,b). Si f ´´(x) > 0 (a,b) entonces f es convexa en (a,b).
PUNTOS DE INFLEXIÓN. Definición.-
Una función continua f tiene un punto de inflexión en x=a si en este punto la función cambia su curvatura, es decir, pasa de ser cóncava a ser convexa o de ser convexa a ser cóncava.
Si f tiene un punto de inflexión en a y además existe la derivada segunda en ese punto a, entonces esta derivada segunda es cero.
Para hallar los puntos de inflexión de una función f resolveremos la ecuación f ´´(x)=0 y comprobaremos si la derivada segunda cambia de signo antes y después de cada una de las raíces de la derivada segunda.
Si la función tiene derivada tercera también podemos usar el siguiente teorema:
TEOREMA. Dada f una función y a un punto en el que f ´´(a)=0 y
f´´´(a) , entonces f tiene en a un punto de inflexión.
Una ampliación del teorema sería:
Si f ´´(a)=0 y f´´´(a) , a será punto de inflexión de f si la primera
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Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad.
Ejemplos:
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
F ''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f ''(x) > 0 es CONVEXA. Si f ''(x) < 0 es CÓNCAVA. ∩
Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
F ''(−1) = 6(−1) < 0 CÓNCAVA.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.
F ''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.
4. Escribimos los intervalos:
La función es convexa en: (0, ∞)
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Estudio de los puntos de inflexión.
Calcular los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. (posible punto de inflexión)
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 f ´´´(0) Entonces x=0 será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
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6.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Pasos para la resolución de problemas de optimización
1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.
3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.
5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.
Ejemplo
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La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:
√
Relacionamos las variables:
2x + 2y = 12 x = 6 − y
Sustituimos en la función:
√ = √ =√
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
√ =
√
y=0 e y=2.
Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
√ √
√ √
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Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
