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An´

alisis Matem´

atico I (Bioqu´ımicos) - UNAJ

Bloque 0-Conocimientos previos

• operaciones entre fracciones y fracciones algebr´aicas.

• Factorizaci´on y simplificaci´on.

• Resoluci´on y manejo de propiedades tanto de ecuaciones lineales, como cuadr´aticas y polin´omicas.

• Resoluci´on y manejo de propiedades de inecuaciones.

• Concepto de valor absoluto de un n´umero real, resoluci´on y manejo de propiedades tanto de ecuaciones como de inecuaciones usando ese objeto matem´atico (valor absoluto o modulo de un numero real).

1

Conceptos te´

oricos

1.1 Conjuntos num´ericos

N={1, 2, 3 · · · } (N´umeros naturales)

N0 ={0, 1, 2, 3 · · · }

Z={· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } (N´umeros enteros)

Q={Conjunto de todas las fracciones} (N´umeros racionales)

={Conjunto de todos los n´umeros con desarrollo decimal peri´odico}

irracionales ={Conjunto de n´umeros con desarrollo decimal no peri´odico} R={Conjunto de todos los n´umeros} (N´umeros reales)

1.2 Operaciones entre fracciones

Muy importante: En matem´atica est´a prohibido dividir por cero.

1.2.1 propiedades b´asicas

1. a

b = a·c

b·c (sic6= 0)

2. a

c ± b c =

a±b c

3. a

b · c d =

a·c b·d

4. a

b ÷ c d =

a b ·

d c

5. −a b =

−a b =

a −b

6. a= a 1

1.2.2 propiedades derivadas de las b´asicas

7. a·b c =

a·b

c (de 3 y 6)

8.

a b c d

= a·d

b·c (de 4)

9. ab

c

= a·c

b (de 4 y 6)

10.

a b c =

a

(2)

1.2.3 Significado y propiedades de las potencias

11. a

b

0

= 1

12. a

b

n

=a

b

·a b

· · ·a b

| {z }

n veces

= a

n

bn

13. a

b

n1

= n

r a

b

14.

a

b

m

n

= n

r a

b

m

=

n

r

a b

m

15. a

b

x+y

=a

b

x

·a b

y

16. a

b

x·y

=ha

b

xiy

=ha

b

yix

17. a

b · c d

x

=a

b

x

·c d

x

18.

a

b

−1

= 1a

b

= b

a

19. a

b

−x

= a1

b

x =

b a

x

20. a−x= 1

ax

21. ax= 1

a−x • x ey pueden ser fracciones.

• 13 y 14 valen si n es par o si ab ≥0

1.3 Tres propiedades ´utiles para factorizar

1. a c±b c=c(a±b) (Propiedad distributiva, permite sacar factor com´un) 2. a2+b2±2a b= (a±b)2 (Cuadrado del binomio)

3. a2−b2= (a−b)·(a+b) (Diferencia de cuadrados)

1.4 Ecuaci´on de segundo grado (a6= 0)

F´ormula resolvente

a x2+b x+c= 0 ⇒ x1,2 =

−b±√b24a c

2a 1.5 Algunas propiedades ´utiles

1. (a−b) =−(b−a) 2. (a−b)2 = (b−a)2 3. (−a−b)2 = (a+b)2

4. a2+b2 no tiene expresi´on equivalente.

5. abc 6=

ab

c

=ab c 1.6 desigualdades e intervalos

• <: menor que

• ≤: menor o igual que

• >: mayor que

(3)

[

a x  a

)

x < a

a

]

x  a

a

(

x > a

a

(

]

a b

a<xb

1.6.1 Propiedades

a < b ⇒ a+c < b+c (1)

a < b ⇒ a−c < b−c (2)

a < b yc >0 ⇒ a·c < b·c (3)

a < b yc <0 ⇒ a·c > b·c (4) 0< a < b ⇒ a2< b2 (5)

1.7 Matrices

1.7.1 Producto por un escalar

k

a11 a12 a13

a21 a22 a23

=

k a11 k a12 k a13

k a21 k a22 k a23

1.7.2 Suma

a11 a12 a13

a21 a22 a23

+

b11 b12 b13

b21 b22 b23

=

a11+b11 a12+b12 a13+b13

a21+b21 a22+b22 a23+b23

1.7.3 Matriz fila por matriz columna

a11 a12 a13

·

b11

b21

b31

=a11b11+a12b21+a13b31

1.7.4 Producto de matrices

a11 a12 a13

a21 a22 a23

| {z }

A

·

b11 b12

b21 b22

b31 b32

| {z }

B

=

F1·C1 F1·C2

F2·C1 F2·C2

Donde Fi es la columna i

(4)

1.8 Sistemas de ecuaciones lineales

Los siguientes 3 representan el mismo sistema de ecuaciones:

• x

a11

a21

a31

+y 

a12

a22

a32

+z 

a13

a23

a33

= 

b1

b2

b3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

| {z }

Matriz de coeficientes

·

x y z

= 

b1

b2

b3

a11 a12 a13 b1

a21 a22 a23 b2

a31 a32 a33 b3

 (Matriz ampliada del sistema)

 

a11x+a12y+a13z =b1

a21x+a22y+a23z =b2

a31x+a32y+a33z =b3

1.8.1 Tipos de sistemas

• Incompatible: No tienen soluci´on.

• Compatible determinado: Tiene una ´unica soluci´on.

• Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones.

2

Problemas

1. Responder si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso que sea verdadera indicar que propiedades se utilizaron y en caso que sea falso dar un contraejemplo.

(a) 3

a+ b

2 = 3 +b a+ 2 (b) pa2+ 9 =a+ 3

(c)

27 8

−23

= 4 9

(d)

27 8

−23

= 9 4

(e) a 5 +

3 5 =

a+ 3 5 (f) 5

a+

5 3 =

5

a+ 3

(g)

x2=x (para cualquier x)

(h)

x2=x (solo si x0)

(i) √x2

=x (solo si x≥0) (j) a+b

b

=a+ 1

(k) a

a+b =

1

b

(l) a

a+b =

1 1 +b

2. Realizar las siguientes operaciones indicando que propiedades utiliza en cada paso.

(a)

2 3

3 2

3

−4

+72 23−1

9 2

(Rta: 32) (b)

81 16

−14

3−225

1 + 6

2+14

(Rta: −4 5)

(5)

(a) 8x4+ 24x3+ 18x2

(b) x4−1

(c) 8−18x2

(d) x4+ 16−8x

4. Indicar porque est´an mal las siguientes simplificaciones.

(a) (3x+ 5)

2+ 7

(3x+ 5)

3x+ 5 = (3x+ 5)

2+ 7

(b) (3x+ 5)

2+ 7(3x+ 5)

3x+ 5 = (3x+ 5) + 7(3x+ 5) = 8(3x+ 5)

5. Factorizar y simplificar las siguientes expresiones indicando que propiedades utiliza en cada paso. Indicar para que valores de xes v´alido el proceso.

(a) x

36x2+ 9x

9−x2

Rta: −x(x−3) x+ 3

(b) 4x(x−1) + 1

x−4x3

Rta: − 2x−1 x(1 + 2x)

6. Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la f´ormula resolvente.

(a) 5x2−3x= 0 (b) 2x2−8 = 0

(c) 3x2−7 = 0

(d) 2x2+ 8 = 0 (e) 5 (x−3)2−45 = 0 (f) 9x2−12x+ 4 = 0 7. Resolver las siguientes ecuaciones y verificar las respuestas en la ecuaci´on original.

(a) 1

x(x−2)+ 2 (x−2)2 =

1

x

(b) 2 +x

x−1 =

x−1

x +

2x+ 2

x(x−1)

(c) x

x+ 3+ 6

x =

18

x(x+ 3)

(d) 3

(x−1)(x+ 2) = 1

x(x−1)+ 2

x(x+ 2)

(e) 2

x(x−5) =

3

(x−3)(x−5)− 1

x(x−3) (f) 2x

5+ 5x43x3

(x+ 3)(x2+ 9) = 0

Respuestas

(a) {1; 6}

(b)

3 2

(c) {−6}

(d) R− {−2; 0; 1}

(e) ∅

(f)

0; 1 2

8. Graficar en la recta real los siguientes conjuntos.

(a) {x∈R/x >−2}

(b) {x∈R/x≥ −2}

(c) {x∈R/x <−2}

(d) {x∈R/x≤ −2}

(e) {x∈R/2x−3>−2 + 4x}

(f) {x∈R/−5x+ 3<−2−9x}

(g) {x∈R/3x−2>8−3x}

(h) {x∈R/4x2+ 5≥4}

(i) {x∈R/2x+ 3−4x≤ −5x+ 7 + 3x}

(j) 5≤ −3x+ 9<12 (k) 2x−3<5 ´o 2x−3≥9

(6)

(a) |x|= 0 (b) |x|=−2

(c) |x|<−2 (d) |x|>−2

(e) |x|= 2 (f) |x|<2 (g) |x|>2 (h) |x| ≥2

(i) |x−3|= 2 (j) |x−3| ≤2 (k) |2x−3| ≥5

(l) x2 = 4

(m) x2<4 (n) (x+ 3)2= 4 (o) (x+ 3)2>4

(p) (3x−2)2 <5 10. Sean

• A=

5 8 2

−5 0 −3

• C=

4 6 5

2 −6 3

• B =

5 −5 6

0 6 −1

• D=

4 5 3

8 −2 3

0 7 4

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 • I2 =

1 0 0 1

Obtener en caso que sea posible:

(a) A−C (b) 3A−2B (c) 4C+D (d) A·D (e) D·A

(f) I2·B (g) B·I3 (h) At (i) Dt (j) A·At+ 4I2

11. Resolver los siguientes sistemas utilizando el m´etodo de sustituci´on. Indicar que tipo de sistemas son.

(a)

2 −3

−3 1

.

x y

=

4

−2

(b) x·

2

−3

+y·

−4 6

=

8

−12

(c)

−1 3 7

2 −6 4

(d)

 

2x−3y+ 2z= 1

−3x+y+ 4z= 11/2 2x+ 5y−4z= 0 (e)

4 −3 2 3

2 4 3 0

2 15 7 −3

 (f)

3 −2 2

−1 2 0

3 2 4

· 

x y z

= 

1 2 5

(g) x·

2

−1

+y·

4 2

+z·

−3 4

+w·

2

−1

=

1 0

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