Ablación láser de tejidos

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(1)Ablación láser de tejidos Daniel Pérez Niño. December 1, 2006.

(2) Contents. 1 2. 3. 4. Introducción. 3. Ablación láser. 4. 2.1. En sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. En tejidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Tejidos biológicos. Composición. 3.2. Propiedades mecánicas. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Interacciones entre un láser y tejidos vivos. 4.0.1. 5. 6. 3.1. Efectos térmicos. 6 6 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 4.1. Formación de una fuente de calor. 4.2. Mecanismos de desnaturalización de los tejidos. 4.3. Propiedades de absorción óptica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 4.4. Propiedades de dispersión óptica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 4.5. Efectos térmicos de diferentes láseres. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. Cirugías Láser. 7 8. 9 10. 5.1. Ejemplos de efectos térmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.2. Efectos mecánicos. 5.3. Efectos foto ablativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 5.4. Efecto foto dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Láseres. 10 10. 12. 6.1. En un sistema de tres niveles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.2. En un sistema de cuatro niveles. 13. 6.3. Cavidades láser. 6.4. Modos TEM, diámetro del haz, Spot size y profundidad del foco. 6.5. El Spot size Focal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 6.6. Tipos de láser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 6.7. Gaseosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 6.8. Láseres de estado sólido. 19. 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 14 15.

(3) 2. CONTENTS. 6.9 7. 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. La ecuación diferencial del calor. Fuentes y pérdidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7.2. Aproximaciones numéricas a la ecuación diferencial parcial.. . . .. Resultados.. Comparación con el experimento. Conclusiones. 19 20. 7.1. 8.1 9. Láser liquido. 21 22 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26 28.

(4) Chapter 1 Introducción. Para esta tesis estudiaremos detenidamente los efectos y mecanismos de la ablación láser en tejidos biológicos, una descripción del proceso que se lleva a cavo al remover tejidos por medio de un láser, es relevante en micro cirugía, y otras aplicaciones, donde el proceso requiere trabajo delicado y tolerancias nas Una teoría unicada de la respuesta térmica de un tejido a la radiación láser esta en sus inicios, debido a que la respuesta de los tejidos a la radiación láser es muy dependiente en las características de la fuente, usaremos diferentes parámetros para analizar la respuesta del tejido. Nos proponemos evadir la las principales dicultades, primero asumiendo una distribución de energía conocida dentro del tejido, envés de enfrentar los detalles de la dispersión de la luz, también despreciamos las reacciones químicas y asumimos que la ablación es enteramente producto de la evaporación, esto tiene sentido al notar que la mayor parte de la masa del tejido humano esta conformado por agua, aunque la proporción varia con el tipo de tejido, el agua será por lo general su componente fundamental. Esta aproximación no es más que un primer paso hacia una comprensión de un proceso en principio complejo. Usaremos la ecuación de calor con fuentes y perdidas como modelo, nos interesa los resultaos del calentamiento y una descripción del volumen de tejido maquinado. Buscaremos una solución numérica a la ecuación en coordenadas cilíndricas, queremos la distribución de temperaturas, usaremos gracas de contorno para hallar la temperatura por zonas en el tejido, también compararemos nuestros resultados con datos experimentales, por ultimo determinaremos los volúmenes de muestra a determinada temperatura.. 3.

(5) Chapter 2 Ablación láser. Es el proceso de remover material de la supercie de un sólido o un líquido, a través de irradiación con un has láser. Con potencias bajas, el material es calentado evaporándose o sublimándose, con potencias mayores puede convertirse en plasma. Generalmente se utilizan pulsos, pero es posible utilizar ondas continuas. A pesar de su amplio uso, los mecanismos que gobiernan las interacciones entre lásers y tejidos son pobremente comprendidos, un entendimiento mas profundo de estos procesos facilitaría el desarrollo de nuevas aplicaciones, ayudaría a evadir efectos nocivos de la radiación láser y contribuiría con la investigación concerniente, además esto limitaría el numero de experimentos necesarios para optimizar los parámetros para determinada aplicación clínica. Sin embargo en sólidos los procesos ablativos, no solo han sido ampliamente estudiados, sus usos son cada día mas variados. 4.

(6) CHAPTER 2.. 2.1. 5. ABLACIÓN LÁSER. En sólidos. La aplicación más usual es la remoción controlada de material de la supercie de un sólido ?Maquinado láser?, en particular el ?taladrado láser? se puede agujerear pequeños y profundos huecos en materiales duros en extremo. Pequeñas pulsaciones pueden remover material tan rápido que los alrededores absorben muy poco calor lo que permite su utilización en materiales termo sensibles. La profundidad en la cual la energía del láser es absorbida, y por ende la cantidad de material removido en cada pulso, suele depender de las propiedades ópticas del material y la longitud de onda del láser. Estos pulsos pueden variar en duración y los ases pueden ser controlados con precisión. La engría puede ser selectivamente absorbida, en recubrimientos metálicos las pulsaciones láser pueden limpiar supercies, remover pintura o preparar supercies para ser pintadas sin dañar el núcleo del metal, algunas ventajas son; sin químicos, bajos costos, el calentamiento es mínimo entre otras. Una aplicación mas del proceso, es remover en formas complejas, difíciles de producir de otra manera, como los recientes nano tubos de carbono, nalmente el proceso puede incluso transferir momento a la supercie dado que el material removido aplica una presión al la supercie bajo el. El proceso es utilizado para trabajar metales endurecidos e incluso es la base para la propulsión láser.. 2.2. En tejidos. El láser tiene aplicaciones biológicas, permiten una destrucción y manipulación de tejido con una precisión sin precedencias, es importante notar que aunque los primeros láser surgieron en los sesentas, no fueron reportados procesos ablativos en tejidos hasta 1970, esto se explica por limitado entendimiento de los mecanismos que gobiernan las interacciones entre láser y tejidos. Desde entonces un gran progreso se ha visto, y son utilizados en casi todos los campos de la medicina. A pesar de el aumento en su utilización una presentación comprensiva los mecanismos fundamentales no ha aparecido en la literatura cientíca, esto no es casualidad, ya que los elementos necesarios para el procesos comprenden desde termodinámica fuera del equilibrio, fotoquímica, hasta física de plasmes y biomecánica de tejidos. La remoción de material requiere el rompimiento de enlaces, lo que puede ser logrado a través de varios procesos por ejemplo; la irradiación causa una rápida expansión térmica del tejido, esto genera un estrés mecánico como consecuencia el material se fractura, alternativamente la absorción de energía láser produciría un intercambio de fase en el agua celular o extra celular, también es posible la modicación de la integridad estructural a través de la absorción de energía de la radiación.. Sin embargo esta evaporación de. líquidos intersticiales será una piedra angular en el modelo a estudiar..

(7) Chapter 3 Tejidos biológicos. Un tejido biológico es una colección de células interconectadas que ejecutan una función similar en un organismo. La histología los subdivide en cuatro categorías para el reino animal, epitelial, conectivo, muscular y nervioso, nosotros nos concentraremos en tejiditos blandos, y nombraremos algunas de las características fundamentales para la comprensión de la ablación láser, su composición y morfología son cruciales para establecer sus propiedades ópticas, que determina la distribución volumétrica de energía, y en conjunto con las propiedades mecánicas del tejido regulan su respuesta termomecánica.. 3.1. Composición. Un tejido puede se visto como un conjunto de células que residen dentro de una matriz extracelular, en términos de masa la gran mayoría de su contenido es agua (55%-99%) y colágeno (0%-35%).. La matriz en si es un compuesto complejo. que contiene en su mayoría agua, colágeno, elastina, glicoproteínas y proteínas para la adhesión celular.. En tejidos como la dermis, cartílagos y tendones la. presencia celular es limitada, y estos se componen casi completamente de esta matriz extracelular, en ellos el contenido de colágeno puede llegar a un 35%. La función principal de esta matriz es mantener la estructura por lo tanto inhibe la remoción de material y la vaporización del tejido.. 3.2. Propiedades mecánicas. Existe una correlación entre la rmeza del tejido y el contenido de colágeno por ejemplo el tejido hepático suave, es un tejido con mayor presencia celular y bajos contenidos de colágeno y una pequeña matriz extracelular, en contraste los tendones presentan una matriz continua y una alto porcentaje de colágeno, como resultado son tejidos fuetes y rmes. Es importante notar acá que los resultados obtenidos serán de una muestra sin deformar, en realidad las mediciones sobre tejidos es fuertemente alterada bajo la tención natural del tejido.. 6.

(8) Chapter 4 Interacciones entre un láser y tejidos vivos. Desde su aparición en la década de los 60, los láseres se han mostrado útiles en aplicaciones médicas, son fáciles de dirigir con precisión (diámetros precisos y pequeños), sus tiempos de exposición pueden llegar a ser pulsos (obteniendo diferentes efectos en el tejido), y su naturaleza coherente permite el uso de efectos dependientes de la longitud de onda.. 4.0.1. Efectos térmicos. El efecto térmico de un láser en un tejido es un efecto complejo que resulta de distintos fenómenos; conversión de luz en calor, transferencia de calor y reacción del tejido (que es dependiente de la temperatura y el tiempo de calentamiento).Esta interacción lleva a la desnaturalización y la destrucción de un volumen de tejido, los factores conocidos son los parámetros de la fuente (longitud de honda, potencia, tiempo y modo de emisión perl del as?) y del tejido en cuestión (coecientes opticos, parámetros térmicos y coecientes de reacción termal). 4.1. Formación de una fuente de calor. La fuente de calor es el resultado de la conversión de luz. La reexión determina la porción del as que penetra el tejido. La dispersión óptica es producto de la interacción de la luz al pasar a través de la materia, en ella la dirección de los rayos incidentes es cambiada por pequeñas partículas presentes en el medio, la dispersión juega un papel fundamental en la distribución espacial de la energía absorbida, por regla general entre mayor es la longitud de onda, tanto menor es la absorción y por ende el as es mas penetrante.. 7.

(9) CHAPTER 4.. INTERACCIONES ENTRE UN LÁSER Y TEJIDOS VIVOS. 8. Los cromóforos son sustancias foto absorbentes dentro del tejido, la absorción es entonces función de la longitud de onda y los cromóforos, la mayoría de moléculas orgánicas presentan una fuerte absorción en la región ultravioleta, ergo la penetración en este rango es bastante baja, en el rango visible la absorción es básicamente debida a la melanina y la hemoglobina, las longitudes del infrarrojo cercano no son muy absorbidas y penetran profundamente, en el rango infrarrojo es el agua el quien absorbe. La distribución volumétrica de energía generada por el láser, sin embargo, se ve alterada por la absorción óptica del tejido y sus propiedades dispersivas. La transferencia de calor tendera a incrementar el volumen de la ?fuente? esta transferencia es básicamente a trabes de conducción, la inuencia de la circulación es despreciable, esta conducción puede tomarse como una transferencia de energía entre las partículas que constituyen el tejido.. 4.2. Mecanismos de desnaturalización de los tejidos. Desnaturalización es el resultado nal de acción de la temperatura en le tejido, un entendimiento sobre la cinética de estas transformaciones son importantes para describirla desnaturalización, estos procesos dependen de la temperatura, tiempo de calentamiento y susceptibilidad del tejido a la temperatura. Al ser la desnaturalización propia de la proteínas y en nuestro caso en particular le principal es el colágeno prestaremos atención únicamente a la desnaturalización de este, el proceso comienza cuando un aumento en la temperatura incrementa la energía cinética de las moléculas de colágeno brilar cuando esta engría sobrepasa sobre pasa aquella de los enlaces de hidrógeno débiles y los de Van der Waals, estas interacciones son responsables por estabilizar la estructura helicoidal de las moléculas, ahora el colágeno se deforma libremente produciendo una espiral aleatoria, dando como resultado un encogimiento. Cuando el tejido es calentado un poco mas un nuevo estado de desnaturalización es alcanzado a través de la hidrólisis y la desintegración de las bras de colágeno. Da como resultado la total destrucción de la estructura brilar.. 4.3. Propiedades de absorción óptica. La absorción esta controlada por las propiedades electrónicas, vibracionales y rotacionales de las moléculas que las constituyen. En general estas propiedades dependen de las proteínas, el DNA, la hemoglobina, la melanina y el agua. Sin embargo un importante rol es jugado por los cromóforos, que presentan grandes diferencias en sus actividades ópticas..

(10) CHAPTER 4.. 4.4. INTERACCIONES ENTRE UN LÁSER Y TEJIDOS VIVOS. 9. Propiedades de dispersión óptica. La distribución volumétrica de energía generada por el láser, la absorción óptica del tejido y sus propiedades dispersivas son los factores que determinan la distribución volumétrica de energía, cuando la dispersión óptica es despreciable la penetración de la radiación incidente esta dada por el reciproco del coeciente de absorción, sin embargo cuando esta dispersión es relevante la penetración también es dependiente del diámetro del láser. Esta dispersión óptica proviene de variaciones espaciales del índice de refracción dentro del tejido, estas variaciones dependen de la composición morfología y tamaño de tanto las células como de la matriz extracelular.. 4.5. Efectos térmicos de diferentes láseres. Tres tipos de acciones térmicas serán descritas:. •. o C a 44o C por. Hipertermia, aumento moderado en la temperatura, 41. algunas décimas de segundos, resulta en muerte celular debido a cambio en procesos enzimáticos, es difícil de controlar y por ende rara vez usado. •. Coagulación, necrosis irreversible sin destrucción inmediata del tejido, temperaturas entre 50. o C y 100o C por alrededor de un segundo, pro-. duce desecación y encogimiento de tejidos por desnaturalización de las proteínas y el colágeno.. •. Volatilización, perdida de material varios constituyentes del tejido desa-. o C, en tiempos cortos (un. parecen a temperaturas por encima de 100. décimo de segundo), en los bordes de este proceso ay una zona que sufre coagulación. Estos efectos han sido utilizados ampliamente en medicina, sus múltiples aplicaciones dan merito a ser mencionadas, este trabajo cobra sentido al relacionarse con sus posibles aplicaciones..

(11) Chapter 5 Cirugías Láser. 5.1. Ejemplos de efectos térmicos. En el tratamiento de angiomas cutáneos se hace uso del efecto de coagulación, conocido también como varices, es la presencia anormal de vasos sanguíneos en la dermis.. Cuando se usa una longitud de onda que es absorbida mas por la. hemoglobina que por la dermis, es posible calentar selectivamente los corpúsculos en los vasos anormales, el calor luego es conducido a la paredes del vaso sanguíneo produciendo necrosis y cerrándolo de manera denitiva, los tiempos de exposición han de ser precisos o la temperatura podrá dañar también el tejido dérmico, o no cerrar apropiadamente el vaso, el tratamiento será entonces infructuoso. Los tumores de traquea pueden llegar a tapar los pasos de aire, un tratamiento de emergencia es útil, tratamientos con cirugía o radioterapia pueden llegar a ser o muy riesgosos o muy lentos, un láser endoscopicio puede liderar con la emergencia, aunque otro tipo de tratamiento es necesario.. 5.2. Efectos mecánicos. Son el resultado de la creación de plasma, una vaporización explosiva, o el fenómeno de cavilación, los cuales están asociados a una onda de choque que puede dañar el tejido. Con pulsaciones del orden de nano o pico segundos, en altas intensidades (de 10^10 a 0^12 w/ cm^2) los átomos se ionizan creando plasma, en la frontera se produce un gradiente de presión importante que produce una onda de choque y es la expansión de esta onda lo que tiene un efecto destructivo. Cuando el tiempo de exposición es menor al tiempo característico de la difusividad térmica del tejido se produce una concentración térmica, se acumula energía calórica sin difusión o vaporización explosiva.. Por ultimo si. una contención mecánica es adicionada la vaporización explosiva no se produce, la burbuja de gas creadas implota cuando el ujo es interrumpido, creando le fenómeno de cavilación, este mecanismo es usado para cálculos renales. 10.

(12) CHAPTER 5.. 5.3. CIRUGÍAS LÁSER. 11. Efectos foto ablativos. Efectos puramente ablativos, sin lesión termal al margen, como se lograría con un escalpelo, esto ocurre debido a la disociación, en longitudes de onda muy cortas, 190 a 300 nm, el campo eléctrico asociado a la luz es menor que la cohesión entre las moléculas los lasos moleculares se rompen con una mínima la generación de color, este efecto es logrado con láseres muy energéticos, en el rango del ultravioleta. Este proceso no es muy practicado para hacer incisiones porque en ausencia de cauterización los tejidos sangran.. 5.4. Efecto foto dinámico. La terapia foto dinámica implica la administración de una droga fotosensible y la subsiguiente irradiación con una longitud de onda adecuada que coincida con el pico de absorción de la droga..

(13) Chapter 6 Láseres. Un Láser consiste de medio láser (como átomos, moléculas o iones), bombeo (un proceso a través del cual se excite el medio) y una retroalimentación óptica apropiada. Su funcionamiento se basa en los principios de emisión espontánea, y absorción y emisión estimulada. Átomos en niveles mas altos de energía, espontáneamente saltan a niveles más bajos, a la vez que emiten radiación electromagnética, esto es, emisión espontánea, todo objeto que se encuentre a temperaturas superiores al cero absoluto presenta emisiones.. En equilibrio térmico el número de átomos en. diferentes niveles de energía obedece la distribución de población de Boltzmann. Los átomos absorben la energía incidente en frecuencias especicas, cuando esto sucede ?saltan? a niveles mas altos a esto se le llama absorción estimulada, este proceso aumenta la población del nivel mas alto. Al tiempo, la acción contraria ocurre ante un campo electromagnética con la frecuencia correspondiente los átomos en niveles más altos tienen la misma probabilidad de saltar a estados más bajos, emitiendo fotones de frecuencia, dirección y fase correspondiente a la radiación incidente, a esto se le llama emisión estimulada. Este proceso redice la población le nivel superior. Es importante notar que incrementa de manera coherente la luz incidente, haciendo dominante este proceso se podría amplicar luz coherente, pero bajo condiciones normales esto no es factible, las poblaciones en ambos estados tienen la misma probabilidad de cambiar de estado, en equilibrio térmico la población de nivel mas bajo es siempre menor, al decaer se emite energía y al saltar se absorbe, así que el parámetro fundamental es la diferencia de población, debemos invertir la población para amplicar luz.En un sistema de dos niveles lo mejor que podríamos loga r es la misma población en los dos estados.. 12.

(14) CHAPTER 6.. 6.1. LÁSERES. 13. En un sistema de tres niveles. E1 es el estado base y el proceso se produce entre E2 y E1, si estimulamos la transición entre los estados E1 y E3 los átomos en el estado E3 decaen rapadamente al estado E2, y estos decaen mas lentamente al estado base, la inversión de población es posible a condición que el tiempo de transición del estado E3 al E2 sea mucho menor que el tiempo de transición del estado E2 al E1, existe además un pequeño inconveniente, como E1 es el estado base, su población es bastante alta al inicio del proceso, la inversión de población comienza después de que la mitad de los átomos son excitados, luego no es el sistema más eciente..

(15) CHAPTER 6.. 6.2. LÁSERES. 14. En un sistema de cuatro niveles. En un sistema de cuatro niveles tenemos, existamos átomos del estado base al cuarto nivel de energía, átomos en este nivel decaen rápidamente al tercero. el proceso ocurre entre los niveles 2 y 3.. 6.3. Cavidades láser. El tercer elemento es un resonador óptico, una vez el proceso comienza la señal se incrementa exponencialmente hasta que la inversión de población llega aun balance, la señal se satura, sin embargo la ganancia de potencia es baja, se usan resonadores para incrementarla. Dos espejos paralelos con el medio láser en la mitad, la luz ira y vendrá, de un lado al otro, cada paso a través del medio incrementara la potencia Los resonadores o cavidades láser mas ampliamente usados son espejos planos o esféricos, convócales (apartar de espejos cóncavos) y de anillo. Como ya ha sido dicho los resonadores de espejos paralelos consisten de espejos rectos separados una distancia igual a un múltiplo entero de la longitud de onda, los concentricos consisten de dos espejos esféricos del mismo radio separados una distancia equivalente al diámetro, los cofocales, son dos esféricos con el mismo radio de curvatura separados un a distancia tal que coinciden sus puntos focales, los mas usados son sin embargo son los llamados resonadores esféricos generalizados donde dos espejos esféricos del mismo radio sin colocados.

(16) CHAPTER 6.. LÁSERES. 15. a una distancia entre el radio y dos veces el radio, entre concéntricos y cofocales, los resonadores de anillo, donde el rayo sigue una trayectoria cerrada, o conguraciones mas complejas.. Estas cavidades pueden se clasicadas como estables o inestables, dependiendo de si hacen que el haz de luz converja en la cavidad o no.. Cavidades. estables permiten muchas oscilaciones dentro de la cavidad y por lo tanto permite mayores ganancias sin embargo para láseres de alta potencia se usan cavidades inestables, ya que el riesgo de romper espejos de la cavidad es mayor. La conguración de anillo, permite reducir la intensidad del rayo.. 6.4. Modos TEM, diámetro del haz, Spot size y profundidad del foco. Son ondas electromagnéticas estacionarias denidas por la geometría de la cavidad, si la cavidad es cerrada, un modo transverso de radiación electromagnética es un patrón de intensidad de radiación medido en el plano perpendicular a la dirección de propagación, estos modos ocurren en todas las formas de radiación electromagnéticas y ocurren debido a las condiciones de frontera impuestas en la onda, por ejemplo dentro de una esfera hueca el campo eléctrico paralelo a las paredes se debe anular, esto restringe las ondas posibles, y hace discretos los modos permitidos Los TEM se caracterizan por no presentar campos eléctricos ni magnéticos en la dirección de propagación. Si la cavidad es cerrada, todas sus supercies son reectabas, existirán dentro de la cavidad gran cantidad de modos un valor típico para un láser de He-Ne.

(17) CHAPTER 6.. LÁSERES. 16. es de 109, al cerrar la cavidad podría aumentarse la potencia pero la cantidad de modos existentes haría imposible enfocar un rayo, por eso se usan cavidades abiertas esto reduce los modos longitudinales a un valor mas manejable, del orden de 6!. En un láser con simetría cilíndrica estos modos transversales están descritos por una combinación de un rayo Gaussiano y un polinomio de Laguerre, son denotados como TEMpl donde p y l son enteros que etiquetan el modo radial y angular respectivamente. La intensidad esta dada por la ecuación en polares.. Ipl (r, φ) = I0 ρl [Llp (ρ)]2 Cos2 (lφ)e−ρ donde. ρ. = 2r2/w2, y Lpl el polinomio asociado de Laguerre de orden p y. índice l. w es el spot size del modo correspondiente al radio de rayo Gaussiano El TEM00, el modo fundamental de un resonador óptico tiene la forma de un rayo Gausiano, un simple pico. Al incrementar el índice p se presentan anillos concéntricos , al incrementar l se presentan lóbulos distribuidos angularmente, sin embargo entre mayor es el modo, es más difícil enfocar el haz.. 6.5. El Spot size Focal. Determina el máximo de energía que puede ser alcanzado una vez jada la potencia. Cuando un haz de diámetro D es enfocado por un lente sobre un plano, cada rayo dentro del has sigue su propia trayectoria produciendo un patrón de interferencia, la mayor parte de estos ha de converger e el punto focal creando un sector de interferencia constructiva que contendrá cerca del 86% de la energía total..

(18) CHAPTER 6.. 17. LÁSERES. El diámetro de este punto focal es medido en los puntos donde la intensidad ha caído en 1/e2 del máximo central Para un has circular esta dado por dim=(8/??) f ?? /D, para un modo TEM dim=(8/??)f ?(2P+L+1)/D, este es mayor al fundamental. Otros factores afectan este ?spot size?, como las aberraciones esféricas propias de los lentes, variaciones en la potencia pueden producir cambios de forma en el lente y por ende afectar el spot size. Llamamos rayo Gaussiano a un haz de radiación electromagnética cuya intensidad esta descrita por una función Gaussiana. Cuando un haz Gaussiano es refractado por un lente este Haz es transformado en otro has Gaussiano caracterizado por otros parámetros.. Para un rayo Gaussiano propagándose en el espacio, el ?spot size? w(z) tendrá un mínimo en w0 en algún lugar en eje de propagación, para una longitud de onda constante a una distancia z la variación del ancho del spot sizedado por. ω(z) =. q 1 + ( zz0 )2. Donde el origen en el eje coincide con el spot size mínimo Y. z0 =. πω02 λ. Es el rango de Rayleigh o profundidad del foco.. a una distancia igual al. rango de Rayleigh el ancho del haz es. √ ω(±z0 ) = ω0 2 La distancia entre estos dos puntos se conoce como parámetro confocal..

(19) CHAPTER 6.. 18. LÁSERES. b = 2z0 =. 2πω02 λ. La luz láser converge en el punto focal, luego diverge adquiriendo un diámetro más ancho. Esta profundidad es la distancia en la cual el haz tiene la misma intensidad, por lo general se preere grandes profundidades de foco, homogeneidad en la densidad de energía simplica el maquinado de materiales.. 6.6. Tipos de láser. Usualmente se dividen según el medio activo usado, liquido solidó o gaseoso.. 6.7. Gaseosos. Se subdividen a su ves en de átomos neutrales, de iones y moleculares. Discutiremos con mayor detenimiento el caso del láser de dióxido carbónico dado que es el utilizado en los datos experimentales a los que hemos podido acceder. El láser de dióxido carbónico es un clásico ejemplo de un láser molecular, emite luz a una longitud de 10.6µm, su potencia puede variar de 25kW a 100kW. Su medio activo es una mezcla de CO2, He y N2, las descargas eléctricas son absorbidas por el gas de nitrógeno, solo una pequeña fracción de la energía es absorbida directamente por el dióxido carbónico, en general las moléculas de CO2 en el estado base colisionan con el N2 excitado, y absorbe esta excitación, las moléculas de CO2 se encuentran ahora en el estado (001), de acá saltan a los estados (100) y (020), emitiendo radiación laser en 10.6µm y 9.6µm respectivamente..

(20) CHAPTER 6.. 19. LÁSERES. Los decaimientos subsiguientes se disipan en forma de calor. El gas de helio tiene una alta difusividad térmica, mientras que la difusividad del CO2 es baja por lo que el sistema tiene una alta eciencia comparado con otros medios, y a la ves una buena difusividad térmica, el rol del helio es por tanto el enfriamiento de la mezcla.. 6.8. Láseres de estado sólido. Como su nombre lo indica el medio láser es sólido, debemos hacer claro que aunque también son llamados láser de estado sólido a los láseres de semiconductores, estos últimos los son considerados como una categoría aparte. Por lo general el medio es vidrio o un cristal que es dopado con sustancias como Nc, Cr o Er, aunque existen muchos medios sobre los cuales se ha logrado, el mas común es Nd:YAG (neodino ?dopado Nd:Y3Al5O12), son usados en potencias muy altas (teraWatts ), estos son ampliamente usados en el procesamiento de materiales, la fabricación de semiconductores e investigación, se han utilizado láseres YAG para propulsión de cohetes experimentales.. Los cristales de Nd. suelen crecer mas pero tienen una baja conductividad térmica, así que se usan en aplicaciones que requieren altas energías y pocos pulsos.. 6.9. Láser liquido. En ellos se usan tintes orgánicos como medio, radian en una amplia frecuencia. Son usados principalmente en investigación fotoquímica..

(21) Chapter 7 La ecuación diferencial del calor. Asumiendo que el principal medio de transferencia de energía es la conducción, seguiremos la argumentación de la ley de Fourier para sustentar nuestra ecuación base, reconocemos entonces como el ujo de energía cinética molecular, decimos entonces que la energía contenida en un volumen de material es proporcional a la temperatura, la densidad y el calor especico esto es. Q=. RRR. ρκs u(t, r)d3 r. También reconocemos que la transferencia de calor es proporcional a la conductividad térmica, el gradiente de temperatura y el área de contacto. Así que. dQ dt. =. RR. σ · 5u(t, r)d2 r. Si diferenciamos la primera con respecto al tiempo y aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss obtendremos dos expresiones para dQ/dt.. RRR. ρκs u(t, r)d3 r =. RRR. 5σ · 5u(t, r)d3 r. Como las regiónes de integración deben ser iguales, y como asumimos homogeneidad en el material en cuestión, esto es así la ecuación del calor.. 20. ρ. y. κsconstantes,. encontramos.

(22) CHAPTER 7.. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL CALOR. du(t,r) dt. 21. = k 52 u(t, r). Donde k = \sigma/\rho\kappa_{s} Ahora debemos tener en cuenta fuentes y pérdidas. Cuando se enciende el láser el tejido comienza a calentarse, este proceso es regido por la ecuación.. ∂ ∂t u(t, r). = σ · 52 u(t, r) +. 1 ρκs s(t, r). Donde s representa la densidad de energía absorbida por el tejido.. 7.1. Fuentes y pérdidas. Como primera aproximación la fuente ha de ser igual la función del láser, con un término que represente la profundidad de penetración, asumiendo modos TEM tendríamos Como primera aproximación la fuente ha de ser igual la función del láser.. z. spl (r, φ) = I0 ρl [Llp (ρ)]2 Cos2 (lφ)e−ρ e− d Donde d es la longitud de penetración. Para tener en cuenta de alguna manera la radiación y la dispersión óptica propia de la matriz celular incluiremos un término negativo que disminuye con la distancia a la fuente y el tiempo.. a(1 − Exp[−r/b])Exp[−t/c] Donde a, b, y c son constantes para cada tejido en particular, por coherencia, asumiremos estos valores un orden de magnitud menor. Finalmente trabajaremos sobre la ecuación.. ∂ u(t, r) κs ∂t. = 52 u(t, r) +. z κs (I0 ρl [Llp (ρ)]2 Cos2 (lφ)e−ρ e− d − a(1 − Exp[−r/b])Exp[−t/c]) ρσ.

(23) CHAPTER 7.. 7.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL CALOR. 22. Aproximaciones numéricas a la ecuación diferencial parcial.. Por simplicidad usamos Mathematica como herramienta para desarrollar una aproximación numérica a la ecuación diferencial discutida, más especícamente el comando NDsolve, que recibe la ecuación diferencial a solucionar y las condiciones de frontera y entrega una función de interpolación, y es partir de esta función de interpolación que desarrollamos el grueso del trabajo, esta función representa la temperatura del tejido como función de la posición y el tiempo, sin embargo al ser una parte central, es importante entender el funcionamiento, el método, que utiliza el programa para hállalo. Matemática tarta las ecuaciones diferenciales parciales a través del método de líneas en el cual se hacen discretas todas las dimensiones exceptuando una y sobre la línea restante se utilizan los métodos numéricos usuales del NDSolve de matemática, que es complejo y eciente, en primer lugar se utiliza el método de Rungekutta, pero Mathematica hace revisiones, según estas Mathematica usa el método apropiado, e inclusive un método puede llamar a otro. Este método, implica una serie de limitantes a tener en cuenta al usar el comando, es necesario que las condiciones iniciales estén bien determinadas, al menos en una dimensión, ya que las ecuaciones diferenciales ordinarias requieren de una condición bien determinada, esto excluye ecuaciones puramente elípticas como la ecuación de Laplace, pero permite buenas aproximaciones de muchas otras funciones. Nuestro modelo Nos proponemos hallar un modelo a partir de la ecuación diferencial del calor, nos interesa la volúmenes y temperaturas dentro del tejido, con miras a calcular la tasa de hidrólisis. Es una aproximación numérica a la ecuación del calor con fuente y perdidas pertinentes, en esencia asumimos un medio homogéneo, esta simplicación cobra sentido al reconocer que en su mayoría los tejidos blandos están compuestos por agua, una primera aproximación seria hallar un modelo verosímil para el sistema homogéneo, con constantes iguales a las del agua, un segundo paso seria utilizar constantes que tengan en cuenta la presencia de colágeno y otras sustancias importantes. La dispersión y absorción ha de ser tenida en cuenta únicamente a través de la fuente y los términos relacionados con perdidas en la ecuación base, al considerar un medio homogéneo no tiene sentido hablar de dispersión óptica, sin embargo consideraos pertinente la inclusión de términos correctivos..

(24) Chapter 8 Resultados.. Como ya hemos dicho, obtuvimos una función de interpolación como solución, antes que nada gracaremos la temperatura en un instante de tiempo determinado y con potencia ja, veremos como el modo TEM cambia la distribución de temperaturas en la muestra. Luego estudiaremos los efectos de la variación de la potencia por último veremos los cambios en el spot size con relación a los modos TEM, y los volúmenes de tejido a determinada temperatura.Para todas las gracas de esta sección jamos el tiempo en 0.25 #####, la distancia esta en unidades de cm, solo nos interesa el cambio en la temperatura, la presencia de unidades térmicas será obviada. El modo TEM00 es en efectos prácticos una gaussiana. Las siguientes son un gracas de la temperatura con constante. El modo TEM00. presenta anillos alrededor.. 23. κs ρσ I0. = 700.

(25) CHAPTER 8.. RESULTADOS.. 24. El modo TEM10. presenta anillos alrededor. Pero aun más importante cambia la distribución de temperaturas, con la misma potencia.. El modo TEM20.

(26) CHAPTER 8.. 25. RESULTADOS.. El modo TEM30. Como es de esperezase la engría se disipa a una distancia mayor, de acuerdo con la fuente También logramos una aproximación de los volúmenes de muestra que se encuentran a temperaturas en intervalos de 10 grados, esto podría ayudar a calcular el spot size, los volúmenes y distribución de la energía pretenden contribuir a una descripción mas detallada del proceso esta cantidad y el tiempo de exposición determinan la desnaturalización, y las razones de hidrólisis. Este tipo de tablas y Grácos pueden ser generados para algunos modos TEM, sin embargo al aumentar el índice l el polinomio de la fuente se hace muy agudo y presenta muchas ondulaciones en el eje angular, posiblemente la función de temperatura sea elíptica o similar, en cuyo caso la herramienta del NDSolve pierde ecacia. Para valores de l=0 los resultados son verosímiles y escalables al tejido que se desee simular. TEM 00. TEM 10. TEM 20. TEM 30. Vol 100. 0,1307250. 0,0000000. 0,0000000. 0. Vol 90. 0,1779750. 0,0000000. 0,0000000. 0. Vol 80. 0,2819250. 0,0047250. 0,0000000. 0. Vol 70. 0,4205250. 0,0393750. 0,0047250. 0. Vol 60. 0,6630750. 0,1039500. 0,0378000. 0. Vol 50. 0,9087750. 0,1921500. 0,0882000. 0,026775. Vol 40. 1,3986000. 0,3969000. 0,2142000. 0,10395. Vol 30. 2,1372700. 0,7182000. 0,4362750. 0,2709. Vol 20. 3,6949500. 2,8696500. 1,1938500. 0,823725. Vol 10. 38,4678000. 72,1791000. 93,9787000. 104,467.

(27) CHAPTER 8.. 8.1. RESULTADOS.. 26. Comparación con el experimento. z cm. P=1 watt. Simulación. 0. 91,800. 110,510. 0,1. 90,992. 109,632. 0,2. 88,362. 107,099. 0,3. 83,794. 103,098. 0,4. 77,682. 97,840. 0,5. 70,518. 91,554. 0,6. 62,814. 84,481. 0,7. 55,036. 76,866. 0,8. 47,559. 68,951. 0,9. 40,646. 60,966. 1. 34,448. 53,127. 1,1. 29,020. 45,638. 1,2. 24,350. 38,671. 1,3. 20,380. 32,285. 1,4. 17,033. 26,542. 1,5. 14,223. 21,482. 1,6. 11,869. 17,099. 1,6. 9,898. 13,359. 1,8. 8,248. 10,214. 1,9. 6,866. 7,559. Afortunadamente en esta ocasión contamos con unos pocos datos experimentales, podemos asegurar que es una excelente primera aproximación, solo la forma funcional y los valores, las diferencias que se presentan pueden conciliarse al estimar la acción de los componentes de la solución del experimento, sin embargo también existen en el programa valores susceptibles a ser medidos, una calibración apropiada de las fuentes de perdida podría contribuir a una coincidencia mas acertada de los datos, por otra parte no contamos con los datos estadísticos de las pruebas experimentales, así podríamos estar dentro del margen de error o inclusive en la media, un desarrollo mas cercano de los dos procesos, experimental y teórico se hace imprescindible en el futuro..

(28) CHAPTER 8.. RESULTADOS.. 27. Otro importante objeto a tener en cuenta es el echo que en nuestro modelo cuando la energía o el tiempo de exposición aumenta la temperatura aumenta, y al aumentar la temperatura ocurren importantes transiciones como la hidrólisis y desnaturalización de proteínas, e inclusive experimental mente la temperatura no es muy superior a la de evaporación del agua, en nuestro modelo nos limitamos a tomar la función hasta que su valor fuese mayor o igual a 100, así pues, mas términos deben ser tenidos en cuenta para un mas detallado entendimiento del proceso..

(29) Chapter 9 Conclusiones. Aunque es una estimulante primera aproximación el programa, es limitado en cuestiones fundamentales para el proceso, como el acotamiento de la solución, estos inconvenientes pueden ser tratados a través de una aproximación discreta, esto sin embargo requeriría un entendimiento detallado de las interacciones entre el láser y los constituyentes del tejido y una buena idea de su distribución. Los resultados son coherentes y escalados, aunque el método (el programa) es limitado, debemos destacar que una aproximación puramente analítica seria aun mas limitada.. 28.

(30) Bibliography. [1] A model for thermal ablaition of biological tissues using laser radiation, (F Partovi Phd, JA Izatt BS, RM Cothren MS, MS Kittel Phd, JD Thomas Phd, Strikwerda MD, JR Kramer MDand MSFeld MD) Lasers in surgery and medicine 7:141-154 (1987) [2] The thermodynamic Response of soft biological tissues to pulsed ultraviolet laser irradiation, (V. venugopalan, N.S. Nishikoda y B.B Mikic) Biophisical journal Vol 69, october (1995) [3] Mechanisms of pulsed laser ablation of biological tissues, (Alfred Vogel y Vasan Venugopalan) Chem rev 2003 103,577-644. [4] web page http://www.columbia.edu/cu/mechanical/mrl/ntm/ch2index.html [5] web page http://www.wikipedia.org/. 29.

(31) CODI GO (*NotebookFileLineBreakTest Notebook FileLineBreakTest*) (*NotebookOptionsPosition[ 28258, (*NotebookOutlinePosition[ 28963, (* CellTagsIndexPosition[ 28919, (*Windo wFrame- >Norm al*). 600]*) 624]*) 620]*). Notebook[{ Cell[ Box Data[ Ro wBox[{ StyleBox[\( (*Ac\[AAcute]\ def inim os\ constantes\ que\ son\ \ necesarias\ para\ el\ desarrollo*) \), "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[Indentin gNewLine]", "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], "\[In dentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]", Ro wBox[{ RowBox[{ Ro wBox[{ StyleBox[\(r0 = 0.05; rm ax = 1; deltar = 0.05; deltao = 0.05; z0 = 0.01; zmax = 1; deltaz = 0.01 ; \[Indentin gNewLin e]vol100 = 0; vol90 = 0; vol80 = 0; vol70 = 0; vo l60 = 0 ; vol50 = 0; vol40 = 0; vol30 = 0; vol20 = 0; vo l10 = 0 ; vol0 = 0; vol = 0; \[In dentin gNewLine] avol100 = 0; avo l90 = 0; avol80 = 0; avol70 = 0 ; avol60 = 0; avol50 = 0; avol40 = 0; avol30 = 0 ; avol20 = 0; avol10 = 0; avol0 = 0; avol = 0 ; \[In dentin gNewLine] bvo l100 = 0; bvol90 = 0; bvo l80 = 0; bvol70 = 0; bvol60 = 0; bvol50 = 0; bvo l40 = 0; bvol30 = 0; bvol20 = 0; bvol10 = 0; bvo l0 = 0; bvol = 0;\), "Program"], StyleBox["\[Indentin gNewLine]", "Program"], \(cvol100 = 0; cvol90 = 0; cvol80 = 0 ; cvol70 = 0; cvol60 = 0; cvol50 = 0; cvol40 = 0; cvol30 = 0; cvol20 = 0; cvol10 = 0; cvol0 = 0; cvol = 0; \ co sns = 2;\)}], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "],.

(32) StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[\( (*La\ f unci\[ OAcute]n\ f uente, la\ asum imos\ similar\ a\ la\ f un ci\[ OAcute]n\ de\ un\ \ l\[AAcute]ser\ donde\ lo s\ m odos\ son\ f uncion es\ expresables\ en \ \ forma\ de\ polinomio s\ de\ Laguer, es\ importante\ recordar\ que\ n uestra\ funci\[OAcute]n\ \ fuente\ no\ es\ la\ f unci\[OAcute]n\ de\ un\ l\[AAcute] ser, en\ n uestra\ funci\[OAcute]n\ estamos\ asumiendo \ \ disper si\[OAcute]n\ y \ perdidas*) \), "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], \(kte = 800 (*Io\ p \^l*) ;\), "\[IndentingNewLine]", \( S[p_, l_, r_, o_, z_] := kte*Exp[\(-\((\((2*r\^2)\) \/\( cosn s \((2* l + p + \ 1)\)\))\)\)] \ \(LaguerreL[p, l, r\^2]\^2\) Cos[l*o]\^2\ Exp[\(-\(( z)\)\)]\), StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], StyleBox[\( (* solucionan do\ la\ ecuacion\ p arcial\ \ dif erencial, \ debe\ estar\ mal\ determinada, \ hace\ f alta\ una\ con dicion\ de\ frontera, \ llenamos\ el\ vectot\ W \ con\ las\ soluciones\ p ara\ \ dif erentes\ f unci\[OAcute]nes\ f uente, \ en\ este\ caso\ p ara\ los\ valor es\ 01, \ 02, \ 03, \ la\ constante\ frente\ a\ la\ f unci\[OAcute]n\ f uente\ \ es\ igual, esto\ in dica\ que\ la\ en erg\[IAcute]a\ es\ igual\ en \ \.

(33) todos\ los\ casos\ esto\ es\ igual\ a\ decir\ que\ estamos\ var ian do\ \ solam ente\ el\ m odo \ del\ l\[ AAcute]ser\ *) \), "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], \( \[ CapitalNTilde] = Table[Mi = NDSolve[{\ D[u[t, \ r, \ z, o], \ t]\ \[ Equal] \ D[ u[t, \ r, \ z, o], \ r, \ r]\ + \ \(1\/r\) D[u[t, \ r, \ z, o], \ r] + D[ u[t, \ r, \ z, o], \ z, \ z]\ + \((1\/r) \)\^2\ D[ u[t, \ r, \ z, o], \ o, \ o]\ + \ S[i, 0, r, o, z] \ 10 \((1 - Exp[\(-r\)/1.5])\) Exp[\(-t\)/10], \ u[0, \ r, \ z, o]\ \[Equal] \ 0 }, u, {t, 0, 0.5}, {r, 0.001, 5}, {z, 0, 50 }, {o, 0, 2\ Pi}], {i, 0, 3 }]\), StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLin e]", StyleBox[\( (*con struimos\ una\ matrices\ de\ temperaturas\ \ a\ partir\ de\ las\ soluciones\ en\ el\ vector\ \[CapitalNTilde]\ *) \ \), "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], \( s = Table[ u[ .025, r, i, k]\ /. \[CapitalNTilde][\([1]\)], {r, r0, rmax, deltar}, {i, z0, zm ax, deltaz}, {k, 0, 2\ Pi, deltao}]; s2 = Table[.

(34) u[ .025, r, i, k] \ /. \[ CapitalNTilde][\([2]\)], {r, r0, rmax, deltar }, {i, z0, zmax, deltaz}, {k, 0, 2\ Pi, deltao}] ;\), "\[IndentingNewLine]", \( s3 = Table[u[ .025, r, i, k]\ /. \[ Cap italNTilde][\([3]\)], {r, r0, rmax, deltar}, {i, z0, zm ax, deltaz}, {k, 0, 2\ Pi, deltao}];\), StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], \(s4 = Table[u[ .025, r, i, k]\ /. \[ Cap italNTilde][\([3]\)], {r, r0, rmax, deltar}, {i, z0, zm ax, deltaz}, {k, 0, 2\ Pi, deltao}];\), StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program "], "\[IndentingNewLine]", StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], Ro wBox[{ StyleBox["(*", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[\( usan do\ las\ matrices\ anterior es\ hallamos\ \ una\ aproxim acion\ a\ \ los\ volumenenes\ que\ estan\ en\ \ determinado s\ ran go s\ de\ temperaturas\), "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["*)", "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]]}], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program ", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Ro wBox[{ StyleBox["(*", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[\(para\ el\ sistema\ 01\), "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["*)", "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]]}],.

(35) StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program ", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Program ", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], \( For\ [ \ \ j = 0, j < \ \((\(zmax - z0\)\/deltaz)\), \[In dentingNewLine]\t\t\ For[i = 0, i < \((\(rmax - r0\)\/deltar)\), \[IndentingNewLine]\t\t\ \t\t\t\tFor[k = 0, k < \((\(2\ Pi\)\/deltao)\), \[In dentingNewLine]\t\t\t\ \t\tIf[s[\([i, j, k, 1]\)] > 100, vol100 = vol100 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 90 & & s[\([i, j, k, 1]\)] < 100, vol90 = vol90 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 80 && s[\([i, j, k, 1]\)] < 90, vol80 = vol80 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz* i\ )\), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 70 & & s[\([i, j, k, 1]\)] < 80, vol70 = vol70 + \(( deltao*deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 60 & & s[\([i, j, k, 1]\)] < 70, vol60 = vol60 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz* i\ )\), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 50 && s[\([i, j, k, 1]\)] < 60, vol50 = vol50 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz* i\ )\), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 40 & & s[\([i, j, k, 1]\)] < 50, vol40 = vol40 + \(( deltao*deltar*deltar* deltaz*i\ )\), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 30 & & s[\([i, j, k, 1]\)] < 40,.

(36) vol30 = vol30 + \(( deltao* deltar* deltar* deltaz*i\ ) \), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 20 && s[\([i, j, k, 1]\)] < 30, vol20 = vol20 + \((deltao*deltar* deltar* deltaz*i\ ) \), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 10 & & s[\([i, j, k, 1]\)] < 20, vol10 = vol10 + \(( deltao*deltar*deltar* deltaz*i\ ) \), If[s[\([i, j, k, 1]\)] > 0 & & s[\([i, j, k, 1]\)] < 10, vol10 = vol10 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz* i\ )\)]]]]]]]]]]]; vol = vol + \(( deltao* deltar*deltar*deltaz* i\ )\)\[IndentingNewLine]\t\t\t, \(k++\)]\t\ \[IndentingNewLine]\t, \(i++\)]\[In dentingNewLine], \( j++\)]\), StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], Ro wBox[{ StyleBox["(*", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[\(para\ el\ sistema\ 02\), "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["*)", "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]]}], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[0.501961, 0, 0.25098]], StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\[IndentingNewLine]", \( For\ [\ \ j = 0, j < \ \((\(zmax - z0\)\/deltaz)\), \[In dentingNewLine]\t\t\.

(37) For[i = 0, i < \((\(rmax - r0\)\/deltar)\), \[IndentingNewLine]\t\t\ \t\t\t\tFor[k = 0, k < \((\(2\ Pi\)\/deltao)\), \[In dentingNewLine]\t\t\t\ \t\tIf[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 100, avol100 = avol100 + \((deltao* deltar*deltar* deltaz* i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 90 && s2[\([i, j, k, 1]\)] < 100, avol90 = avol90 + \((deltao* deltar*deltar* deltaz* i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 80 & & s2[\([i, j, k, 1]\)] < 90, avol80 = avol80 + \(( deltao*deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 70 & & s2[\([i, j, k, 1]\)] < 80, avol70 = avol70 + \(( deltao* deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 60 && s2[\([i, j, k, 1]\)] < 70, avol60 = avol60 + \((deltao* deltar*deltar* deltaz* i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 50 & & s2[\([i, j, k, 1]\)] < 60, avol50 = avol50 + \(( deltao*deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 40 & & s2[\([i, j, k, 1]\)] < 50, avol40 = avol40 + \(( deltao* deltar*deltar* deltaz*i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 30 && s2[\([i, j, k, 1]\)] < 40, avol30 = avol30 + \((deltao* deltar*deltar* deltaz*i\ ) \), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 20 & & s2[\([i, j, k, 1]\)] < 30, avol20 = avol20 + \(( deltao*deltar*deltar* deltaz*i\ ) \), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 10 & & s2[\([i, j, k, 1]\)] < 20,.

(38) avol10 = avol10 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s2[\([i, j, k, 1]\)] > 0 & & s2[\([i, j, k, 1]\)] < 10, avol10 = avol10 + \((deltao* deltar* deltar*deltaz* i\ )\)]]]]]]]]]]]; avol = avol + \(( deltao* deltar*deltar*deltaz* i\ )\)\[IndentingNewLine]\t\t\t, \(k++\)]\t\ \[IndentingNewLine]\t, \(i++\)]\[In dentingNewLine], \( j++\)]\), "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", "\[IndentingNewLine]", Ro wBox[{ StyleBox["(*", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[\(para\ el\ sistema\ 03\), "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["*)", "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]]}], "\[Indentin gNewLine]", "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", "\[IndentingNewLine]", \( For\ [\ \ j = 0, j < \ \((\(zmax - z0\)\/deltaz)\), \[In dentingNewLine]\t\t\ For[i = 0, i < \((\(rmax - r0\)\/deltar)\), \[IndentingNewLine]\t\t\ \t\t\t\tFor[k = 0, k < \((\(2\ Pi\)\/deltao)\), \[In dentingNewLine]\t\t\t\ \t\tIf[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 100, bvol100 = bvol100 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 90 && s3[\([i, j, k, 1]\)] < 100, bvol90 = bvol90 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 80 & & s3[\([i, j, k, 1]\)] < 90, bvol80 = bvol80 + \(( deltao*deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 70 & & s3[\([i, j, k, 1]\)] < 80, bvol70 = bvol70 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz* i\ )\),.

(39) If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 60 && s3[\([i, j, k, 1]\)] < 70, bvol60 = bvol60 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz* i\ )\), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 50 & & s3[\([i, j, k, 1]\)] < 60, bvol50 = bvol50 + \(( deltao*deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 40 & & s3[\([i, j, k, 1]\)] < 50, bvol40 = bvol40 + \(( deltao* deltar* deltar* deltaz*i\ )\), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 30 && s3[\([i, j, k, 1]\)] < 40, bvol30 = bvol30 + \((deltao*deltar* deltar* deltaz*i\ ) \), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 20 & & s3[\([i, j, k, 1]\)] < 30, bvol20 = bvol20 + \(( deltao*deltar*deltar* deltaz*i\ ) \), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 10 & & s3[\([i, j, k, 1]\)] < 20, bvol10 = bvol10 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s3[\([i, j, k, 1]\)] > 0 & & s3[\([i, j, k, 1]\)] < 10, bvol10 = bvol10 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz* i\ )\)]]]]]]]]]]]; bvol = bvol + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz* i\ )\)\[IndentingNewLine]\t\t\t, \(k++\)]\t\ \[IndentingNewLine]\t, \(i++\)]\[In dentingNewLine], \( j++\)]\), "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Ro wBox[{ StyleBox["(*",.

(40) FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[\(para\ el\ sistema\ 03\), "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["*)", "Text", FontColor- >RGBColor[1, 0, 0]]}], "\[Indentin gNewLine]", "\[IndentingNewLine]", StyleBox["\[In dentin gNewLin e]", "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\[IndentingNewLine]", \( For\ [\ \ j = 0, j < \ \((\(zmax - z0\)\/deltaz)\), \[In dentingNewLine]\t\t\ For[i = 0, i < \((\(rmax - r0\)\/deltar)\), \[IndentingNewLine]\t\t\ \t\t\t\tFor[k = 0, k < \((\(2\ Pi\)\/deltao)\), \[In dentingNewLine]\t\t\t\ \t\tIf[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 100, bvol100 = bvol100 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 90 && s4[\([i, j, k, 1]\)] < 100, bvol90 = bvol90 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 80 & & s4[\([i, j, k, 1]\)] < 90, bvol80 = bvol80 + \(( deltao*deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 70 & & s4[\([i, j, k, 1]\)] < 80, bvol70 = bvol70 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz* i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 60 && s4[\([i, j, k, 1]\)] < 70, bvol60 = bvol60 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz* i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 50 & & s4[\([i, j, k, 1]\)] < 60, bvol50 = bvol50 + \(( deltao*deltar*deltar*deltaz* i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 40 & & s4[\([i, j, k, 1]\)] < 50, bvol40 = bvol40 + \(( deltao* deltar* deltar*.

(41) deltaz*i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 30 && s4[\([i, j, k, 1]\)] < 40, bvol30 = bvol30 + \((deltao*deltar* deltar* deltaz*i\ ) \), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 20 & & s4[\([i, j, k, 1]\)] < 30, bvol20 = bvol20 + \(( deltao*deltar*deltar* deltaz*i\ ) \), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 10 & & s4[\([i, j, k, 1]\)] < 20, bvol10 = bvol10 + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz*i\ )\), If[s4[\([i, j, k, 1]\)] > 0 & & s4[\([i, j, k, 1]\)] < 10, bvol10 = bvol10 + \((deltao*deltar* deltar*deltaz* i\ )\)]]]]]]]]]]]; bvol = bvol + \(( deltao* deltar* deltar*deltaz* i\ )\)\[IndentingNewLine]\t\t\t, \(k++\)]\t\ \[IndentingNewLine]\t, \(i++\)]\[In dentingNewLine], \( j++\)]\), "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", StyleBox[\( (* Ac\[ AAcute]\ las\ graficas\ y\ los\ \ resultado s*) \), "Text", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]", \( ContourPlot[ Fir st[u[ .25, r, z, 0]\ /. \[ Cap italNTilde][\([1]\)]], {z, 0, 5}, {r, 0.01, 4}, Conto ur Shading \[Rule] False, Contour s \[ Rule] {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}, PlotRan ge \[Rule] {0, 100}] ;\), "\[IndentingNewLine]", \( ContourPlot[ Fir st[u[ .25, r, z, 0]\ /. \[ Cap italNTilde][\([2]\)]], {z, 0, 5}, {r, 0.01, 4}, Conto ur Shading \[Rule] False, Contour s \[ Rule] {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}, PlotRan ge \[Rule] {0, 100}] ;\), "\[IndentingNewLine]", \( ContourPlot[ Fir st[u[ .25, r, z,.

(42) 0]\ /. \[ Cap italNTilde][\([3]\)]], {z, 0, 5}, {r, 0.01, 4}, Conto ur Shading \[Rule] False, Contour s \[ Rule] {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}, PlotRan ge \[Rule] {0, 100}] ;\), "\[IndentingNewLine]", \( ContourPlot[ Fir st[u[ .25, r, z, 0]\ /. \[ Cap italNTilde][\([4]\)]], {z, 0, 5}, {r, 0.01, 4}, Conto ur Shading \[Rule] False, Contour s \[ Rule] {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}, PlotRan ge \[Rule] {0, 100}] ;\), "\[IndentingNewLine]", "\[In dentingNewLin e]", "\[IndentingNewLine]", \(Plot3D[ Fir st[u[ .25, r, z, 0]\ /. \[ Cap italNTilde][\([1]\)]], {z, 0, 5}, {r, 0.01, 5}, PlotRan ge \[ Rule] {{0, 5}, {0, 4}, {0, 100}}];\), "\[IndentingNewLine]", \(Plot3D[ Fir st[u[ .25, r, z, 0]\ /. \[ Cap italNTilde][\([2]\)]], {z, 0, 5}, {r, 0.01, 5}, PlotRan ge \[ Rule] {{0, 5}, {0, 4}, {0, 100}}];\), "\[IndentingNewLine]", \(Plot3D[ Fir st[u[ .25, r, z, 0]\ /. \[ Cap italNTilde][\([3]\)]], {z, 0, 5}, {r, 0.01, 5}, PlotRan ge \[ Rule] {{0, 5}, {0, 4}, {0, 100}}];\), "\[IndentingNewLine]", \(Plot3D[ Fir st[u[ .25, r, z, 0]\ /. \[CapitalNTilde][\([4]\)]], {z, 0, 5 }, {r, 0.01, 5}, PlotRange \[ Rule] {{0, 5}, {0, 4 }, {0, 100}}]\) }], ";"}] }]], "Input"] }, FrontEndVer sion->"5.1 for Microsoft Windows", ScreenRectan gle->{{0, 1280 }, {0, 948 }}, W indowSize- >{864, 920}, W indowMar gins- >{{0, Automatic}, {Automatic, 0}}, PrintingCopies- >1, PrintingPageRan ge->{Automatic, Automatic}.

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