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Un acercamiento probabilístico al problema de flujo de costo mínimo

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Academic year: 2020

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(1)UN ACERCAMIENTO PROBABILÍSTICO AL PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO. FABIÁN MAURICIO ARIAS JIMÉNEZ. Asesor: JUAN FELIPE TORRES. Ingeniero Industrial, MSc.. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES BOGOTÁ D.C.. 2003.

(2) UN ACERCAMIENTO PROBABILÍSTICO AL PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO. FABIÁN MAURICIO ARIAS JIMÉNEZ. Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Industrial.. Asesor: JUAN FELIPE TORRES. Ingeniero Industrial, MSc. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES BOGOTÁ D.C.. 2003.

(3) A mis padres y hermanos, por su incondicional cariño y apoyo..

(4) AGRADECIMIENTOS. A Juan Felipe Torres, por la orientación, apoyo y paciencia brindada en todo momento.. A César García, por su interés en este tema..

(5) TABLA DE CONTENIDO. Pág. 1 REDES PROBABILÍSTICAS. 1. 1.1. INTRODUCCION. 1. 1.2. OBJETIVO GENERAL. 3. 1.3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 3. 1.4. ALCANCE. 3. 1.5. ORGANIZACIÓN. 3. 2 MARCO TEÓRICO. 5. 2.1. 5. FLUJO EN REDES. 2.1.1 Problema de Flujo de Costo Mínimo. 5. 2.1.2 Problema de la Ruta Más Corta. 7. 2.1.3 Problema de Flujo Máximo. 8. 2.2. 8. GRAFOS PROBABILÍSTICOS. 2.2.1 Noción de un Grafo Aleatorio. 9. 2.2.2 Independencia de Eventos. 10. 2.2.3 Invariantes. 11. 3 ACERCAMIENTO PROBABILÍSTICO. 12. 3.1. FLUJO MÁXIMO EN GRAFOS PROBABILÍSTICOS. 12. 3.1.1 Análisis de Capacidad Terminal con Distribución Desconocida. 13. 3.1.2 Análisis de Capacidad Terminal con Distribución Conocida. 18. 3.2. 20. RUTA MÁS CORTA. 3.2.1 Análisis de Costos con Distribución Desconocida. 21. 3.2.2 Análisis de Costos con Distribución Conocida. 24. 3.3. 28. FLUJO DE COSTO MÍNIMO. 3.3.1 Análisis de Capacidades Terminales y Costos con Distribución Desconocida. 28.

(6) 4 CONCLUSIONES. 35. REFERENCIAS. 36.

(7) II-02(2)07. 1. 1. 1.1. REDES PROBABILÍSTICAS. INTRODUCCION. Las redes se han convertido en un recurso indispensable de la vida moderna, de tal forma que cualquier actividad realizada está profundamente relacionada con éstas;. los sistemas de. comunicación permiten la interacción entre personas que se encuentran a cientos o miles de kilómetros de distancia; las redes de elaboración y distribución de productos garantizan el acceso permanente de los consumidores a los productos básicos de su elección; los sistemas de tránsito y transporte, referentes a autopistas, carreteras, líneas férreas y sistemas aéreos, entre otros, facilitan el desplazamiento entre puntos geográficamente distantes permitiendo el ahorro de tiempo y el envío de mercancía;. cualquier red de computadoras, como las. interbancarias y financieras, las de reserva de servicios y el caso global de Internet, permite el intercambio de información y el acceso eficiente y rápido a centros informáticos distribuidos.. Estos sistemas encierran básicamente el tipo de problemas relacionados al envío y recepción de entidades, ya bien sea impulsos eléctricos, vehículos, personas o mercancías entre dos puntos dentro de una misma red, y a los mecanismos de hacerlo de forma rápida y eficiente beneficiando a los usuarios procurando un manejo adecuado de los recursos, buscando la mayoría de veces la respuesta a estos tres interrogantes: ¿Cuál es la mejor y más corta ruta para ir de un punto a otro? ¿Cuál es el flujo máximo que se puede enviar entre dos puntos si la red tiene restricciones de capacidad en sus arcos? ¿Cuál es costo mínimo posible para el envío de las entidades?. El primero, corresponde al Problema de Ruta Más Corta, el segundo al Problema de Flujo Máximo, y el último, al Problema de Flujo de Costo Mínimo.. Flujo en Redes es el dominio de todos estos problemas, y busca dar solución a estos interrogantes a través de la aplicación de las matemáticas, las ciencias computacionales, la ingeniería y la investigación de operaciones. Desde el punto de vista de las matemáticas.

(8) II-02(2)07. 2. puras y aplicadas, cada uno de estos problemas es trivial de resolver; no es muy difícil ver que para cada tipo de situación se necesita considerar únicamente un conjunto finito de alternativas.. Por lo tanto, los matemáticos tradicionales dirían que los problemas ya están. resueltos: simplemente basta enumerar el conjunto de posibles soluciones, y seleccionar la mejor. Desafortunadamente esta aproximación está lejos de ser práctica ya que el número de alternativas en ciertos casos puede ser bastante grande. Por lo tanto, Flujo en Redes busca hallar la solución óptima a los problemas a través de la determinación y aplicación de algoritmos cuyo tiempo y costos de ejecución sean bajos, diseñados a partir de la teoría computacional que combina el diseño creativo de algoritmos y el cuidadoso uso de estructuras de datos.. Todos los mecanismos de solución de los problemas planteados parten del supuesto de que en la red no hay variables aleatorias; los costos, las distancias, las capacidades, las demandas, ofertas y demás variables son plenamente conocidas y no presentan un comportamiento aleatorio, alejando un poco los modelos planteados del mundo real.. Teniendo en cuenta lo anterior, surge la necesidad de determinar una metodología a partir de la cual se puedan hacer aproximaciones a una respuesta factible a cada uno de los problemas iniciales, teniendo en cuenta el comportamiento aleatorio de las variables incluidas en cada uno de estos sin ser imperativa la implementación de algún algoritmo de solución.. Por lo. tanto, se busca con este trabajo establecer un acercamiento probabilístico a cada tipo de problema inicial, y dar solución a los siguientes interrogantes: ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de la ruta más corta para ir de un punto a otro sea mayor ( o menor ) a x? ¿Cuál es la probabilidad de que el flujo máximo que se puede enviar entre dos puntos de una red sea mayor ( o menor ) a x? ¿Cuál es la probabilidad de que el costo mínimo posible para el envío de las entidades en una red sea menor ( o mayor ) a x?. De esta manera, la importancia del estudio radica en que de sus conclusiones y desarrollo se puede inferir una nueva metodología para realizar aproximaciones a las respuestas de los tres tipos de problemas básicos en Flujo en Redes (Ruta Más Corta, Flujo Máximo y Flujo e Costo Mínimo) sin la necesidad de la implementación de algoritmos costosos en tiempo y elaboración, teniendo en cuenta el comportamiento aleatorio de las variables incluidas en los modelos y realizando así un acercamiento probabilístico a cada uno de ellos..

(9) II-02(2)07. 1.2. 3. OBJETIVO GENERAL. Desarrollar un planteamiento del Problema de Flujo de Costo Mínimo que considere el comportamiento probabilístico de la red sobre la cual está definido.. 1.3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1.. Establecer un acercamiento probabilístico al Problema de Flujo Máximo, como caso particular del Problema de Flujo de Costo Mínimo.. 2.. Generar un acercamiento probabilístico al Problema de Ruta Más Corta, como caso particular del Problema de Flujo de Costo Mínimo.. 3.. 1.4. Diseñar un planteamiento probabilístico del Problema de Flujo de Costo Mínimo.. ALCANCE. La metodología desarrollada en el presente trabajo está orientada a todo tipo de redes cuyo comportamiento se encuentra relacionado a condiciones cambiantes donde es factible determinar las distribuciones probabilísticas de sus variables aleatorias a través de un conjunto de k muestras independiente e idénticamente distribuidas, o bien, su comportamiento probabilístico ha sido establecido previamente.. Como producto, la metodología puede servir para realizar aproximaciones eficientes a las soluciones de los tres tipos de problemas básicos de Flujo en Redes a través de la estimación de probabilidades relacionadas con cada uno de estos.. 1.5. ORGANIZACIÓN En el capítulo 2 se realiza una revisión de los principales conceptos relacionados con Flujo en Redes y con Grafos Probabilísticos. Se presentan las características principales de cada uno de los tres problemas básicos (Ruta Más Corta, Flujo Máximo y Costo Mínimo)..

(10) II-02(2)07. 4. En el capítulo 3 se establece el modelo básico para el Problema de Flujo Máximo, y a partir de éste se plantean las aproximaciones probabilísticas para el Problema de Ruta Más Corta y el Problema de Flujo de Costo Mínimo,. Finalmente, en el capítulo 4 se presentan las conclusiones del trabajo..

(11) II-02(2)07. 5. 2. 2.1. MARCO TEÓRICO. FLUJO EN REDES Flujo en Redes es el dominio de un problema que se encuentra en medio de varios campos del conocimiento, como lo son las matemáticas aplicadas, las ciencias computacionales, la ingeniería y la investigación de operaciones, y como su nombre lo indica, busca analizar y dar solución a las situaciones problemáticas que se desarrollan dentro de una red relacionadas básicamente al envío de entidades.. Es un campo en el que ingenieros eléctricos y mecánicos. a través del análisis sistemático de circuitos eléctricos dieron los fundamentos para muchas de las ideas básicas de la teoría de Flujo en Redes y establecer a estas (grafos) como objetos matemáticos útiles para representar muchos sistemas físicos y dar solución a problemas donde sobresalen los siguientes tres.. 2.1.1. Problema de Flujo de Costo Mínimo El Problema de Flujo de Costo Mínimo es el principal de todos los problemas de Flujo en Redes, y está basado en determinar el menor costo de envío de una mercancía (o entidad) a través de una red con el propósito de satisfacer las demandas de ciertos nodos o vértices a partir de las ofertas de otros.. Este modelo tiene un número de aplicaciones familiares: la. distribución de un producto desde las plantas de fabricación hasta los centros de venta, el flujo de la materia prima y los productos intermedios a través de varias estaciones de máquinas en una línea de producción,. el desplazamiento de automóviles a través de una. red de calles urbanas, y el envío y direccionamiento de las llamadas a través del sistema de teléfonos.. Sea G = (N,A) una red dirigida definida por un conjunto N de n nodos (vértices) y un conjunto A de m arcos (aristas). Cada arco (i, j ) ∈ A tiene un costo asociado ci , j que denota el costo por unidad de flujo sobre dicho arco, suponiendo que el costo del flujo.

(12) II-02(2)07. 6. aumenta linealmente con la cantidad de flujo.. Igualmente, se asocia a cada arco una. capacidad ui , j que denota la cantidad máxima que puede fluir a través del arco, y una cota inferior li , j que denota la cantidad mínima que debe fluir por la arista. Además, se asocia a cada nodo i ∈ N un número entero b(i ) que representa su oferta o demanda.. Si. b(i ) > 0 el nodo i es un nodo de oferta, si b(i ) < 0 el nodo i es de demanda, y si b(i ) = 0 el nodo i es de transporte. Las variables de decisión en el Problema de Flujo de Costo Mínimo son los flujos en los arcos, representando el flujo en la arista b(i, j ) ∈ A por xi , j , y es un problema que se resume en un modelo de optimización formulado de la siguiente manera:. Minimizar. ∑. ( i , j )∈A. sujeto a. ∑. cij xij. { j :(i , j )∈A}. xij −. (2.1). ∑. { j :( j ,i )∈A}. x ji = b(i ). ∀i ∈ N. lij ≤ x ij ≤ uij ∀(i, j ) ∈ A. donde. ∑. n i =1. (2.2) (2.3). b(i) = 0 . De forma matricial, el problema de Flujo de Costo Mínimo se. presenta de la siguiente manera: Minimizar cx. (2.4). Sujeto a Νx = b. (2.5). l≤ x≤u. (2.6). En esta formulación, Ν es una matriz n × m , denominada como la matriz nodo-arco incidente del Problema de Flujo de Costo Mínimo.. Cada columna Ν ij en la matriz. corresponde a la variable xij . La columna Ν ij tiene un +1 en la i -ésima fila, y un -1 en la. j -ésima fila; el resto de casillas se encuentran en 0. [2]. Este problema, y en general la mayoría de modelos que se desarrollan con Flujo en Redes supone que los datos son enteros, es decir, todas las variables relacionadas en los modelos como capacidad, costos, demandas y ofertas, son valores enteros. denominado como Supuesto de Integralidad.. Este hecho es. Este supuesto no es restrictivo para la.

(13) II-02(2)07. 7. mayoría de las aplicaciones ya que siempre se puede transformar un valor racional a entero, multiplicándolo por un número significativamente grande.. Las siguientes versiones o casos especiales del Problema de Flujo de Costo Mínimo juegan un papel central en la teoría y en las aplicaciones de Flujo en Redes.. 2.1.2. Problema de la Ruta Más Corta. Con este problema se busca encontrar la ruta de mínimo costo (o longitud) desde un nodo fuente s a otro nodo sumidero t , asumiendo que cada arista (i, j ) ∈ A tiene un costo (o longitud) asociado cij .. Algunas de las aplicaciones simples de este modelo se pueden ver. en hallar la ruta más corta entre dos puntos de una red o el camino que tiene un menor tiempo asociado para ser recorrido, resultando ser aproximaciones útiles dentro de contextos como la sustitución de maquinaria, manejo de proyectos, administración de flujos de fondos, ruteo de mensajes en sistemas de comunicaciones y flujo de tráfico a través de ciudades congestionadas. Si se establece a b( s ) = 1 , b(t ) = −1 , y a b(i ) = 0 para todos los otros nodos en el Problema de Flujo de Costo Mínimo, la solución al problema enviará 1 unidad de flujo del vértice s al vértice t a través de la ruta más corta.. El Problema de Ruta Mas Corta. igualmente modela situaciones en la cuales se desea enviar flujo de un solo nodo fuente a un solo nodo sumidero en una red sin capacidades; esto significa que si se desea enviar. v unidades de flujo de s a t y la capacidad de cada arco en la red es al menos v , se enviará flujo a través de la ruta mas corta. [2] Si se busca determinar la ruta mas corta desde un vértice s a todos los nodos de la red, en el problema de Flujo de Costo Mínimo se establece b(s ) = n − 1 y b(i ) = −1 para todos los demás nodos, resultando en el envío de una unidad desde s a cada nodo de la red a través de la ruta más corta.[6].

(14) II-02(2)07. 2.1.3. 8. Problema de Flujo Máximo. Este problema se entiende como un problema complementario al de Ruta Más Corta; este problema modela la situación en la cual el flujo incurre en un costo pero no se encuentra restringido por las capacidades, mientras que en el Problema de Flujo Máximo el flujo no tiene un costo asociado pero está limitado por cotas inferiores y superiores, ya que busca simplemente determinar una solución factible para enviar la máxima cantidad de flujo desde un nodo fuente específico s a uno sumidero t .. Este problema se puede formular como un problema de Flujo de Costo Mínimo estableciendo a b(i ) = 0 ∀i ∈ N , cij = 0 ∀(i, j ) ∈ A , e introduciendo un arco adicional. (t , s) con costo cts = −1 y cota superior uts = ∞ . Dado estas condiciones, el Problema de Flujo de Costo Mínimo maximiza el flujo a través del arco (t , s) , pero dado que cualquier flujo sobre esta arista debe viajar de s a t a través de las aristas en A (ya que b(i ) = 0 ), la solución al Problema de Flujo de Costo Mínimo maximiza el flujo del nodo s al nodo t en la red original.[2]. 2.2. GRAFOS PROBABILÍSTICOS. En problemas sobre redes determinísticas, se asume principalmente que toda la información requerida sobre el sistema se encuentra disponible. Por ejemplo, si en una determinada red se busca establecer el flujo máximo entre dos estaciones, simplemente se aplica el Teorema de Corte Mínimo - Flujo Máximo para hallar este valor siempre y cuando el sistema sea estático. Sin embargo, en múltiples casos se encuentra que el funcionamiento de dichos sistemas está asociado a variables aleatorias con posibles distribuciones probabilísticas conocidas, generándose así redes con comportamiento probabilístico.. Ante esta situación, surgen interrogantes sobre el nuevo grafo generado que se pueden resumir en la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad que un grafo G que pertenece a G tenga x o y propiedad?, entendiendo como propiedades las condiciones de flujo, el número de vértices, conectividad, el valor esperado de algún invariante, la existencia de aristas, el número cromático, entre otras.. A continuación se presenta una aproximación probabilística. con el fin de establecer relaciones que permitan dar soluciones a estas preguntas..

(15) II-02(2)07. 2.2.1. 9. Noción de un Grafo Aleatorio [3] Sea V un conjunto de n elementos, dado por V = {0, 1,…, n-1}. Se busca inicialmente ubicar el conjunto G de todos los grafos sobre V dentro de un espacio probabilístico, y después considerar el tipo de preguntas frecuentemente realizadas sobre las propiedades de estos grafos.. Intuitivamente se puede generar un grafo G como se describe a continuación. Inicialmente, para cada e ∈ [V ]2. se decide mediante algún experimento aleatorio cuándo o no e debe. ser una arista de G.. Estos experimentos son realizados independientemente, y para cada. uno de ellos la probabilidad de éxito (aceptar a e como arista de G) está dada por un número fijo p ∈ [0,1] . Por lo tanto, si G0 es un grafo particular de V con m aristas, la probabilidad del evento elemental {G0} está dada por la siguiente expresión:. P{G0 } := p q m. n  −m 2. (2.7). donde q := 1 − p . Con esta probabilidad, el grafo G aleatoriamente generado equivale al grafo particular G0. Con base en eso se puede decir que si las probabilidades de todos los eventos elementales son determinadas, también lo es la medida de la probabilidad total del espacio G. En orden para establecer esta medida sobre G formalmente, se define inicialmente para cada arista potencial e ∈ [V ]2 su propio espacio de probabilidad, dado por Ω e := {0 e ,1e } , determinando a Pe ({1e }) := p y a Pe ({0 e }) := q como las probabilidades de sus dos eventos elementales. Entones, para el espacio probabilístico deseado G=G(n,p), se establece el producto del espacio de la siguiente manera:. Ω :=. ∏Ω. e∈[V ]2. e. (2.8).

(16) II-02(2)07. 10. Formalmente un elemento de Ω es una instancia w que asigna a cada e ∈ [V ]2 , 0e o 1e, y la medida de la probabilidad P sobre Ω es el producto de todas los valores de Pe . En conclusión se identifica a w con el grafo G sobre V en aquellos donde el conjunto de aristas (edge set) está dado por:. E (G ) = {e | w(e) = 1e }. (2.9). donde G es un grafo aleatorio sobre V con una probabilidad de arista p.. Ahora se puede determinar a cualquier conjunto de grafos sobre V como un evento en G=G(n,p). Particularmente, para todo e ∈ [V ]2 el conjunto. Ae := {w | w(e) = 1e }. (2.10). para todos los grafos G sobre V con e ∈ E (G ) es un evento: el evento que e es una arista de G.. 2.2.2. Independencia de Eventos [3]. Con base en todo el desarrollo anterior, se puede plantear la siguiente proposición: Los eventos Ae son independientes y ocurren con probabilidad p. Demostración:. Por definición se tiene que. Ae = {1e } × ∏ Ω e '. (2.11). e '≠e. Debido a que P es la medida del producto de todas las medidas de Pe , implica. P( Ae ) = p ⋅ ∏1 = p e '≠ e. (2.12).

(17) II-02(2)07. 11. Por lo tanto, si {e1 ,..., ek } es cualquier conjunto de [V]2, entonces. P( Ae1 I ... I Aek ) =P ({1e1 } × ...× {1ek } ×. 2.2.3. ∏Ω. e. e∉{e1 ,...,ek }. = p k = P( Ae1 )...P( Aek ).. (2.13). Invariantes [3]. En el contexto de grafos aleatorios, cada uno de los invariantes relacionados a grafos (como grado promedio, conectividad, número cromático y semejantes) deben ser interpretados como una variable no negativa sobre G=G(n,p); como una función. X : G=G(n,p) → [0, ∞) .. (2.14). Teniendo en cuenta esto, el valor esperado de X se define de la siguiente manera:. E ( X ) :=. ∑ P({G}) ⋅ X (G). (2.15). G∈G ( n , p ). Hallar la media de una variable aleatoria puede ser una forma simple y efectiva de establecer la existencia de un grafo G tal que X (G ) < a para algún valor constante de a, además del hecho que G tiene alguna propiedad deseada P. Además, es necesario tener en cuenta que X(G) no puede ser muy alto sino para algunos valores en G=G(n,p) si el valor esperado de X es pequeño, dado que X (G ) ≥ 0 para todo G ∈ G=G(n,p). Por lo tanto X debe ser pequeño para muchos grafos en G(n,p) y es razonable pensar que dentro de todos estos se encuentra uno con la propiedad P..

(18) II-02(2)07. 12. 3. 3.1. ACERCAMIENTO PROBABILÍSTICO. FLUJO MÁXIMO EN GRAFOS PROBABILÍSTICOS. Asumiendo inicialmente que el flujo o tráfico dentro de una red es probabilística, es decir que el flujo entre dos vértices es una variable aleatoria con una distribución posiblemente conocida, se busca determinar la probabilidad de tener un flujo entre dos vértices v s y. vt superior a una cota data ( P{τ s ,t ≥ rs ,t } ), con el fin de establecer el comportamiento del tráfico dentro del sistema. Una variación del problema anterior puede definirse de la siguiente manera, tomando a p0 como el valor de una probabilidad crítica:. P{τ s ,t ≥ rs ,t } ≥ p0 . Este análisis también es aplicable para redes en las cuales los flujos no necesariamente aleatorios, pero los vértices o las aristas son inalcanzables; en este caso, la capacidad de las aristas se puede ver alterada por ataques sobre el sistema o fallas de maquinaria, generando así condiciones y características aleatorias para el flujo τ s,t .. Además, resulta de especial utilidad en problemas relacionados con encolamiento de procesos y tráfico, ya que en un instante de tiempo determinado, puede no ser factible el envío de un flujo determinado entre dos estaciones del sistema, haciéndose necesario un vértice intermedio con el fin transmitir el este el flujo parcial y almacenarlo temporalmente hasta que la capacidad requerida se encuentra disponible para completar la transferencia. En este caso el problema de análisis se convierte en la probabilidad de enviar cierto flujo entre dos vértices. v s y vt , sin tener la necesidad de usar el almacenamiento en un vértice intermedio..

(19) II-02(2)07. 3.1.1. 13. Análisis de Capacidad Terminal con Distribución Desconocida [1]. Sea G un grafo con n vértices v1 ,..., v n y m aristas b1 ,..., bm , y ci la capacidad del arco bi para i = 1,..., m. Si f i es el flujo actual sobre la arista bi , la cantidad de flujo adicional que se puede enviar por este arco es ci − f i . Por lo tanto, si f1 ,..., f m son números fijos, el problema de encontrar el flujo máximo entre v s y vt en G, es equivalente a encontrar el flujo máximo entre v s y vt en el grafo G * , donde G * tiene la misma estructura que G, y la capacidad residual de cada arista bi* en G * está por ci − f i para i = 1,..., m. Si f1 ,..., f m son realizaciones de las variables aleatorias F1 ,..., Fm , entonces el grafo G * está compuesto por capacidades aleatorias dadas por C1 = c1 − F1 , … , C m = cm − Fm .. Para el siguiente análisis se asume que los flujos en las aristas son variables aleatorias con distribuciones probabilísticas desconocidas, pero un conjunto de k muestras de estos flujos se encuentra disponible.. Por lo tanto, F ( K ) =( f1 (k ),..., f m (k )) es una medida del tráfico. a través de las aristas b1 ,..., bm en un tiempo k, donde k=1,…,K. Aunque las distribuciones de F(k) son desconocidas, se requiere que F(k) sean variables independiente e idénticamente distribuidas.. La independencia se asegura si las muestras son tomadas en. intervalos de tiempo lo suficientemente grandes.. Se busca determinar la probabilidad tal que el flujo máximo entre v s y vt es al menos rs ,t . A partir del teorema de Max Flor-MinCut se tiene que el flujo máximo en el tiempo k es igual al valor del corte mínimo τ s ,t ( k ) en el tiempo k. Por definición. τ s ,t (k ) = Min[c( As1,t (k )),...,c( Asq,t (k ))] = Min{ As ,t C (k )}. (3.1). = Min{ As ,t (c − F ( K ))}. donde As1,t ,..., Asq,t son los cortes que separan a v s de vt , c( As1,t ( k )),..., c( Asq,t ( k )) son sus valores en el tiempo k, y As ,t = [ ai , j ] es la matriz correspondiente al corte s-t; además, el vector de capacidad en el tiempo k, C(k) está dado por.

(20) II-02(2)07. 14. c1   f1 (k )  c   f ( k )    2  2  ⋅  ⋅ C (k ) = c − F (k ) =   −    ⋅  ⋅  ⋅  ⋅     cm   f m (k ). (3.2). Como únicamente un conjunto de muestras se encuentra disponible, se requiere un procedimiento de pruebas estadístico, que plantea la siguiente prueba de hipótesis:. H 0 := P{τ s ,t ≥ rs ,t } ≥ p0. (3.3). H 1 := p < p0. (3.4). para un nivel de confianza α , equivalente a la probabilidad del error de tipo I.. Como F (1),..., F ( K ) son idéntica e independientemente distribuidas, las variables aleatorias que generan las observaciones τ s ,t (1),...,τ s ,t ( K ) , también lo son. Sin embargo, se puede ver que las dos pruebas de hipótesis (H0 y H1) son compuestas; es decir, se encuentran definidas sobre un conjunto y no sobre valores independientes. Por lo tanto, se busca ahora generar una prueba de hipótesis simple ( H 0' y H 1' ) con el fin de trabajar con el Lema Neyman-Pearson, el cual trabaja sobre valores individuales para las variables. Como la distribución de τ s ,t ( k ) está definida sobre valores positivos, puede ser descompuesta en dos distribuciones usando la probabilidad p = P{τ s ,t ( k ) ≥ rs ,t } y las densidades probabilísticas condicionales dadas por p− (τ s ,t ( k )) y p+ (τ s ,t ( k )) , definidas de la siguiente manera:. p+ ( x)dx =P{x ≤ τ s ,t (k ) < x + dx | τ s ,t ≥ rs ,t }. (3.5). p− ( x )dx =P{x ≤ τ s ,t (k ) < x + dx | τ s ,t < rs ,t }. (3.6). Con base en esto, la probabilidad que x ≤ τ s ,t ( k ) < x + dx se puede escribir en términos de las distribuciones probabilísticas condicionales así:.

(21) II-02(2)07. 15. P{x ≤ τ s ,t (k ) < x + dx} = p + ( x ) pdx + p− ( x )(1 − p)dx. (3.7). En términos de estas densidades condicionales, la densidad conjunta de los flujos máximos evaluados como puntos (τ s ,t (1),...,τ s ,t ( K ) ) satisfaciendo. τ s ,t (i1 ),...,τ s ,t (i N ) < rs ,t ≤ τ s ,t ( j1 ),...,τ s ,t ( j K − N ). (3.8). está dada por. p K − N (1 − p ) N p− (τ s ,t (i1 )) ⋅ ⋅ ⋅ p − (τ s ,t (iN )) p+ (τ s ,t ( j1 )) ⋅ ⋅ ⋅ p + (τ s ,t ( j K − N )). (3.9). siempre y cuando las muestras de las variables sean independientes.. Ahora se reemplazan las pruebas de hipótesis iniciales (compuestas) por las nuevas pruebas simples H 0' y H 1' con base en la teoría de las distribución menos favorable, resultando para cualquier valor constante H 1' : p = p1 y H 0' : p = p0 . Si la densidad de τ s,t bajo la hipótesis H 0' se denota como ( p0 , p + , p− ) , y bajo la hipótesis H 1' se denota como ( p1 , p + , p− ) donde p1 es una probabilidad no negativa menor que p0, las pruebas de hipótesis que van a ser probadas se transforman en H 0' : la densidad de τ s,t está caracterizada por ( p0 , p + , p− ) , contra H 1' : la densidad de τ s,t está caracterizada por ( p1 , p + , p− ) . Por lo tanto, se está probando una hipótesis simple contra una alternativa igualmente simple (o sencilla), garantizando así la aplicación del Lema Neyman-Pearson. De acuerdo a este Lema, se determina el valor de la expresión (3.9) para valores de p = p0 y p = p1 , y se toma la tasa de uno frente a otro. Nótese que en esta relación los factores de p+ y p− se cancelan; por lo tanto, una prueba más poderosa1 para evaluar H 0' contra. H 1' para un nivel dado de α es: 1. Una prueba es Uniformemente Más Poderosa si minimiza la probabilidad del error tipo II para todos los valores de la alternativa compuesta..

(22) II-02(2)07. 16. rechazar la hipótesis H 0' si.  p1     p0 . K −N. N. ^  1 − p1   > K ,   1 − p0 . (3.10). rechazar la hipótesis H 0' con probabilidad γ si.  p1     p0 . K −N.  p1     p0 . K −N. N. ^  1 − p1   = K ,   1 − p0 . (3.11). aceptar la hipótesis H 0' si N. ^  1 − p1   < K ,   1 − p0 . (3.12). ^. donde K y γ son constantes determinadas por.  p  K − N  1 − p  N ^   p  K − N  1 − p  N ^  1 1 1  > K  + γP  1    = K  = α P    p 1 − p p 1 − p 0  0   0     0   . (3.13). y estas probabilidades son determinadas bajo el supuesto que p = p0 y α es la probabilidad preestablecida para el error de tipo I. Por su parte, N representa el número del total de las K observaciones para las cuales τ s ,t < rs ,t .. Nótese que las pruebas anteriores pueden ser expresadas de otra forma si se toma el logaritmo de ambos lados de las mismas, como se plantea a continuación:.   1 − p1 p  ( K − N ) ln  1  + N ln   p0    1 − p0. ^   > ln K . (3.14).  p  ^  1 − p0   p    > ln K + K ln  0  = K ' N ln  0  + ln   1 − p1    p1    p1 . (3.15).

(23) II-02(2)07. 17. Como el coeficiente N el la parte izquierda de las expresiones es positivo, se obtiene el siguiente conjunto equivalente de pruebas:. ^. rechazar la hipótesis H 0' si N > K , ^. rechazar la hipótesis H 0' con probabilidad γ si N = K , ^. aceptar la hipótesis H 0' si N < K .. ^. Las constantes K y γ son determinadas a partir de la ecuación. ^ ^     P  N > K  + γP  N = K  = α    . (3.16). para p = p0 .. ^. Para el propósito de encontrar K y γ de esta última expresión, se supone que H 0' es verdadera. Además, se puede ver que N, bajo este supuesto, se encuentra binomialmente ^. distribuida, con parámetros 1 − p0 y K, y no depende del valor de p. Por lo tanto, K y γ pueden ser obtenidos fácilmente de las tablas de distribución binomial.. Con base en todo el análisis anterior, se ha obtenido una prueba estadística para probar la hipótesis que un flujo de al menos rs ,t unidades puede ser enviado entre estos dos vértices, con al menos una probabilidad de p0.. Esta prueba es consistente con el razonamiento. físico, e incluye el análisis del número de las veces en que el flujo rs ,t no puede ser obtenido en la muestra estadística. Si este número es demasiado grande comparativamente hablando, se podría concluir que la probabilidad p0 no es un estimado realista de la probabilidad actual.. Además, la prueba es óptima en el sentido en que la probabilidad de. aceptar la hipótesis cuando es falsa se minimiza (minimiza el error de tipo I)..

(24) II-02(2)07. 3.1.2. 18. Análisis de Capacidad Terminal con Distribución Conocida [1]. Sea G un grafo con n vértices y m aristas. Al igual que en el análisis anterior, existe un flujo aleatorio Fi.. Se supone ahora que Fi es una variable aleatoria continua con una. función de densidad de probabilidad conocida, pi* ( f i ). Por lo tanto,. P{Fi ≥ x} = 1 − ∫ pi* ( y )dy . x. (3.17). 0. Sobre cada arista en G* se puede asociar una capacidad residual Ci = ci − Fi . Si la función de densidad de probabilidad sobre Ci es pi ( xi ) , y dada pi* , se puede determinar esta a partir de la siguiente ecuación:. pi ( x ) = pi* (ci − x). (3.18). para i = 1,…,m.. Por lo tanto, la probabilidad de un flujo obtenible xi en la arista bi es. xi. P{C i ≥ xi } = 1 − ∫ pi ( y )dy = ∫ 0. ci − xi. 0. pi* ( y )dy .. (3.19). Ahora se plantea un procedimiento para hallar la probabilidad que un flujo τ s ,t ≥ rs ,t entre. v s y vt en G. A partir del teorema MaxFlow – MinCut, un flujo de valor rs ,t es obtenible en G si y solo si. Min[c( Ask,t )] ≥ rs ,t. (3.20). k. donde c( Ask,t ) es el valor del corte Ask,t , obtenido sumando las capacidades de las aristas en. Ask,t .. Debido a que las capacidades son variables aleatorias, c( Ask,t ) al igual que. Min[c ( Ask,t )] es una variable aleatoria. El problema ahora consiste en determinar k. P{Min[c( Ask,t )] ≥ rs ,t } = P{c( As1,t ) ≥ rs ,t ,..., c ( Asq,t ) ≥ rs ,t }. (3.21).

(25) II-02(2)07. 19. Para determinar esta probabilidad se requiere la densidad de probabilidad de la variable aleatoria Min[c ( Ask,t )] . Sin embargo, y debido a que dos cortes s-t pueden tener arcos en k. común, los c( Ask,t ) no son variables aleatorias independientes.. Por lo tanto se debe. realizar una transformación para sortear esta dificultad.. Sea p( a1 , a2 ,..., aq ) la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables. c( As1,t ) , c( As2,t ) , … , c( Asq,t ) . En otras palabras, p(a1 , a2 ,..., aq )da1da2 ...daq = PROB{a1 ≤ c( As1,t ) ≤ a1 + da1 ,..., aq ≤ c ( Asq,t ) ≤ a q + daq } (3.22). Para hallar la densidad de probabilidad de. Min[c ( Ask,t )] , primero se computa k. p(a1 , a2 ,..., aq ) . Sea |A| = [ c( As1,t ) , c( As2,t ) , … , c( Asq,t ) ] un vector de cortes aleatorios, y sea a = [ a1 , a2 ,..., aq ] un vector con valores particulares de |A|.. De igual forma sea C =. [C1 , C2 ,..., Cm ] un vector de capacidad aleatoria, y c% = [c%1 , c%2 ,..., c%m ] un vector de valores particulares de C. Dado c% (o C), se puede calcular a (o |A|) de la siguiente manera:. a = A s ,t c% (o |A| = A s ,t C). (3.23). donde A s ,t = [ ai , j ] es la matriz q × m del conjunto de cortes. Para hallar la densidad de probabilidad de |A|, primero se computa la función característica del vector aleatorio C. Sea p(c%1 , c%2 ,..., c%m ) la probabilidad conjunta de C, α = (α1 , α 2 ,..., α m ) , dc = dc%1 ...dc%m , y. H (α1 , α 2 ,..., α m ) la función característica de C definida por:. H (α1 , α 2 ,..., α m ) =∫. ∞. 0. ∫. ∞. 0. ∞. m. ...∫ exp(∑ −1α i c%i ) p (c%1 , c%2 ,..., c%m ) dc 0. i =1. = E{exp( −1α C )} = H (α ). (3.24).

(26) II-02(2)07. Si. 20. C1 , C2 ,..., Cm. son. variables. aleatorias. independientes,. entonces. p(c%1 , c%2 ,..., c%m ) = p1 (c%1 ). p2 (c%2 )... pm (c%m ) y las dificultades se reducen dado que H (α ) está definido ahora por:. H (α1 , α 2 ,..., α m ) =E{exp( −1α1C1 )}.E{exp( −1α 2C2 )}...E{exp( −1α m Cm )}. (3.25). Ahora, la función característica del vector aleatorio |A| denotada por ψ (β ) , donde. β = ( β1 , β 2 ,..., β q ) , se define por la siguiente expresión: ψ ( β ) = E{exp( −1β |A| }. (3.26). Dado que el valor esperado de una función puede computarse como la integral del producto de la función y la densidad de la variable original, se obtiene. ψ ( β ) = E{exp( −1β A s ,t C)} ∞. ∞. 0. 0. = ∫ ...∫ exp( −1β A s ,t c% ) p (c%1 , c%2 ,..., c%m ) dc. (3.27). Por lo tanto, ψ (β ) puede calcularse como. ψ (β ) = H ( β A s ,t ).. (3.28). Dada la función característica de |A|, se puede calcular la función de densidad de probabilidad p(a ) para |A| invirtiendo ψ (β ) .. 3.2. RUTA MÁS CORTA. Teniendo en cuenta los conceptos establecidos en el marco teórico, y a partir del análisis desarrollado para el problema de Flujo Máximo, se puede adelantar una aproximación similar para el caso del Problema de Ruta Más Corta..

(27) II-02(2)07. 21. El modelo, definido por. ∑. Minimizar. ( i , j )∈A. sujeto a. ∑. cij xij. { j :(i , j )∈A}. xij −. (3.29). ∑. { j :( j ,i )∈A}. x ji = b(i ). ∀i ∈ N. xij ∈ {0,1} ∀(i, j ) ∈ A. (3.30) (3.31). donde b( s ) = 1 , b(t ) =− 1 y b(i ) = 0 ∀i ∈ N − {s, t} , está basado sobre los supuestos básicos que incluyen el hecho de tener longitudes positivas en los arcos o aristas y la existencia de un camino dirigido de s a cualquier nodo o vértice i dentro de una red G dirigida sin ciclos negativos.. 3.2.1. Análisis de Costos con Distribución Desconocida El análisis desarrollado en esta sección es similar al presentado para el Problema de Flujo Máximo, teniendo claro que la variable de interés es la distancia o costo asociado a cada arista, y no la capacidad;. los dos problemas permiten un manejo similar al ser tomados. como casos especiales del Problema de Flujo de Costo Mínimo.. Sea G un grafo dirigido con n vértices (nodos) v1 , v2 ,..., vn y m aristas (arcos). b1 , b2 ,..., bm , ci el costo o distancia asociada al arco i , y fi el flujo en este arco, que para este problema es 0 o 1.. Dadas estas condiciones se plantea el problema principal como hallar el costo mínimo posible para ir de vs a vt dentro de G, basado en el supuesto que el costo asociado a cada arista es una variable aleatoria, pero con la existencia de k muestras independientes de estos valores, dadas por C (k ) = (c1 (k ), c2 (k ),..., cm (k )) ; es indispensable que las muestras sean independiente e idénticamente distribuidas..

(28) II-02(2)07. 22. Se pretende determinar la probabilidad de que el costo mínimo, de la ruta más corta entre. vs y vt sea a lo mucho rs ,t .. Se establece inicialmente al costo mínimo de los caminos de. ir de vs a vt por. τ s ,t = Min{c ( As1, t (k )),..., c( Asq, t (k ))} = Min{ A s ,t C (k )}. (3.32). donde As1,t ,..., Asq,t son caminos entre vs y vt , c( As1,t ( k )),..., c( Asq,t ( k )) son sus costos en el tiempo k, y A s ,t = [ ai , j ] es la matriz q × m que define estos caminos.. Como se dispone únicamente de un conjunto de muestras, se recurre a un procedimiento estadístico. Por lo tanto se busca desarrollar la siguiente prueba de hipótesis:. H 0 : p = P{τ s ,t ≤ rs ,t } ≥ p0. (3.33). H1 : p < p0. (3.34). dado un nivel de confianza α . Como C(1), … , C(k) están independiente e idénticamente distribuidas, las variables aleatorias que generan las observaciones τ s ,t (1),..., τ s ,t ( k ) también lo están.. Es. importante tener en cuenta que H 0 y H1 son pruebas compuestas, por lo cual es necesario realizar una transformación al planteamiento con el fin de realizar análisis sobre hipótesis simples. La distribución de τ s ,t ( k ) se define sobre la recta real positiva, y se puede descomponer en dos distribuciones usando. p = P{τ s ,t (k ) ≤ rs ,t } , y las densidades de probabilidades. condicionales p− (τ s ,t (k )) y p+ (τ s ,t (k )) donde p+ ( x ) y p− ( x) están definidas por:. p+ ( x )dx = P{x ≤ τ s ,t (k ) < x + dx | τ s ,t ≤ rs ,t }. (3.35). p− ( x)dx =P{ x ≤ τ s ,t (k ) < x + dx | τ s ,t > rs ,t }. (3.36).

(29) II-02(2)07. 23. Por lo tanto, la probabilidad que x ≥ τ s ,t ( k ) > x + dx puede escribirse en términos de distribuciones de probabilidad condicional, de la siguiente manera:. P{x ≥ τ s ,t (k ) > x + dx} = p+ ( x) pdx + p− ( x )(1 − p)dx. (3.37). En términos de estas densidades de probabilidad condicionales, la función de densidad de probabilidad conjunta de los costos mínimos evaluados en los puntos ( τ s ,t (1),..., τ s ,t ( k ) ), satisfaciendo la condición. τ s ,t (i1 ),...,τ s ,t (iN ) > rs ,t ≥ τ s ,t ( j1 ),..., τ s ,t ( jK − N ) (3.38) está dada por. p K − N (1 − p ) N p− (τ s ,t (i1 )) ⋅ ⋅ ⋅ p − (τ s ,t (iN )) p+ (τ s ,t ( j1 )) ⋅ ⋅ ⋅ p + (τ s ,t ( j K − N )) (3.39). siempre y cuando las muestras sean independientes.. Se reemplazan ahora las hipótesis compuestas por hipótesis simples H 0| y H1| , siendo definidas para cualquier valor constante como H 1' : p = p1 y H 0' : p = p0 .. Si la densidad de τ s,t bajo la hipótesis H 0' se denota como ( p0 , p + , p− ) , y bajo la hipótesis H 1' se denota como ( p1 , p + , p− ) donde p1 es una probabilidad no negativa menor que p0, las pruebas de hipótesis que van a ser probadas se transforman en H 0' : la densidad de τ s,t está caracterizada por ( p0 , p + , p− ) , contra H 1' : la densidad de τ s,t está caracterizada por ( p1 , p + , p− ) . Por lo tanto, se está probando una hipótesis simple contra una alternativa igualmente simple (o sencilla), garantizando así la aplicación del Lema Neyman-Pearson.. De acuerdo a este Lema, se determina el valor de la expresión (3.39) para valores de. p = p0 y p = p1 , y se toma la tasa de uno frente a otro. Nótese que en esta relación los.

(30) II-02(2)07. 24. factores de p+ y p− se cancelan; por lo tanto, una prueba más poderosa para evaluar H 0' contra H 1' para un nivel dado de α nuevamente es:. rechazar la hipótesis H 0' si.  p1     p0 . K −N. N. ^  1 − p1   > K ,   1 − p0 . (3.40). rechazar la hipótesis H 0' con probabilidad γ si.  p1     p0 . K −N.  p1     p0 . K −N. N. ^  1 − p1   = K ,   1 − p0 . (3.41). aceptar la hipótesis H 0' si N. ^  1 − p1    < K ,  1 − p0 . (3.42). ^. donde K y γ son constantes determinadas por.  p  K − N  1 − p  N ^   p  K − N  1 − p  N ^  1 1 1  > K  + γP  1    = K  = α P    p 1 − p p 1 − p 0  0   0     0   . (3.43). y estas probabilidades son determinadas bajo el supuesto que p = p0 y α es la probabilidad preestablecida para el error de tipo I. Por su parte, N representa el número del total de las K observaciones para las cuales τ s ,t > rs ,t .. 3.2.2. Análisis de Costos con Distribución Conocida. En esta parte el análisis está basado en el supuesto que la distancia o costo cij asociado a cada arista es una variable aleatoria con una función de distribución de probabilidad conocida..

(31) II-02(2)07. 25. Sea G un grafo con n vértices v1 , v2 ,..., vn y m b1 , b2 ,..., bm aristas. Al igual que en el análisis anterior, existe un flujo aleatorio fi, asociado al arco i ∈ A , donde su función de distribución de probabilidad está determinada por. P( fi = 1) = p. (3.44). P( fi = 0) = 1 − p = q (3.45) planteando así un espacio muestral dado por Ω = {0,1} . Se define a di como la distancia asociada al arco i y a Csk,t como el k-ésimo camino entre vs y vt , estableciendo a d (Csk,t ) como la distancia del k-ésimo camino entre vs y vt .. De acuerdo con los supuestos y condiciones básicas para el Problema de Ruta Mas Corta, cualquier camino entre vs y vt es factible y óptimo si Min[ d (Csk,t ) ≤ rs ,t ] , y dado que. d (Csk,t ) es una variable aleatoria, Min[d (Csk,t ) ≤ rs ,t ] también lo es.. El problema ahora consiste en computar la siguiente relación:. P{Min[d (Csk,t )] ≤ rs ,t } = P{d (Cs1,t ) ≤ rs ,t ,..., d (Csq,t ) ≤ rs ,t }. (3.46). Para solucionar esto, se requiere la función de densidad de probabilidad de Min[ d (Csk,t )] , y dado que dos caminos cualesquiera pueden tener nodos en común, d (Csk,t ) no son variables independientes. Al igual que para el Problema de Flujo Máximo, es necesario plantear una transformación para sortear esta dificultad.. Sea p( a1 , a2 ,..., aq ) la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables. d (Cs1,t ) , d (Cs2,t ) , … , d (Csq,t ) . En otras palabras, p(a1 , a2 ,..., aq )da1da2 ...daq = PROB{a1 ≤ d (Cs1,t ) ≤ a1 + da1 ,..., aq ≤ d (Csq,t ) ≤ a q + daq } (3.47).

(32) II-02(2)07. 26. Con el fin de hallar la función de densidad de Min[ d (Csk,t )] , primero se computa. p(a1 , a2 ,..., aq ) . Para tal fin, se define a |C| = [ d (Cs1,t ) , d (Cs2,t ) , … , d (Csq,t ) ] como un vector de conjuntos de caminos aleatorios entre vs y vt , y a c = [ c1 , c2 ,..., cq ] como un vector de valores particulares de |C|. Igualmente se define a D = [ D1 , D2 ,..., Dm ] como un vector de distancias asociado a cada arco y a d% = [ d%1 , d%2 ,..., d%m ] como un vector de valores particulares para D. Dado D o d% se puede calcular c (o |C|) como s ,t. c = C. s ,t. d% (o |C| = C. s ,t. D), donde C. = [ci , j ] es la matriz q × m del conjunto de caminos. Para determinar la función de. densidad de probabilidad de |C| se debe computar la función característica del vector aleatorio D.. Es importante tener en cuenta que la función característica de un vector aleatorio. X = [ x1 , x2 ,..., xk ] se define como ψ (u1 , u2 ,..., uk ) = E[exp( −1(u1 x1 + u2 x2 ,..., uk xk )]. (3.48). donde las características mas importantes son:. 1. Si x1 , x2 ,..., xk son variables independientes, entonces. ψ (u1 , u2 ,..., uk ) = ( E[exp( −1(u1 x1 ))])( E[exp( −1(u2 x2 ))])...( E[exp( −1(uk xk ))]) (3.49). 2. Una función característica únicamente determina su distribución; es decir, dada una función característica, se puede determinar únicamente la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria que es generada por ésta.[1]. Sea. p(d%1 , d%2 ,..., d%m ). la función de densidad de probabilidad conjunta de D,. α = (α1 , α 2 ,..., α m ) , dd = dd%1...dd%m , y H (α1 , α 2 ,..., α m ) la función característica de D definida por:.

(33) II-02(2)07. 27. H (α1 , α 2 ,..., α m ) =∫. ∞. 0. ∫. ∞. 0. m. ∞ ...∫ exp(∑ −1α i d%i ) p (d%1 , d%2 ,..., d%m ) dd 0. i =1. = E{exp( −1α D )} = H (α ). (3.50). Al igual que en el problema anterior, si D1 , D2 ,..., Dm independientes, entonces. son variables aleatorias. p(d%1 , d%2 ,..., d%m ) = p (d%1 ) p(d%2 )... p (d%m ). y las dificultades. computacionales se reducen, dado que ahora H (α ) es. H (α1 , α 2 ,..., α m ) =E{exp( −1α1 D1 )}.E{exp( −1α 2 D2 )}...E{exp( −1α m Dm )} (3.51) La función característica para el vector aleatorio |C| denotada por ψ (β ) donde. β = ( β1 , β 2 ,..., β m ) , se define como ψ ( β ) = E{exp( −1β |C| }. (3.52). Computando finalmente, se determina que. ψ ( β ) = E{exp( −1β C ∞. ∞. 0. 0. s ,t. D)}. = ∫ ...∫ exp( −1β C. s ,t. d% ) p (d%1 , d%2 ,..., d%m ) dd (3.53). De acuerdo a lo anterior, ψ (β ) puede calcularse como. ψ (β ) = H ( β C. s ,t. ).. (3.54). Dada la función característica de |C|, se puede calcular la función de densidad de probabilidad p(a ) para |C| invirtiendo ψ (β ) ..

(34) II-02(2)07. 3.3. 28. FLUJO DE COSTO MÍNIMO. El Problema de Flujo de Costo Mínimo encierra en toda su extensión a los otros dos problemas analizados hasta el momento, ya que básicamente establece el costo de enviar el número máximo de entidades, a través de la ruta más corta dentro de la red. Por lo tanto, a continuación se plantea una metodología para unificar los acercamientos probabilísticas hasta el momento generados.. 3.3.1. Análisis de Capacidades Terminales y Costos con Distribución Desconocida Sea G un grafo con n vértices v1 ,..., v n y m aristas b1 ,..., bm , ci la capacidad del arco bi para i = 1,..., m , y di el costo o distancia asociada al arco bi para i = 1,..., m . Si f i es el flujo actual sobre la arista bi , la cantidad de flujo adicional que se puede enviar por este arco es ci − f i . Por lo tanto, si f1 ,..., f m son números fijos, el problema de encontrar el flujo de costo mínimo entre v s y vt en G, es equivalente a encontrar el flujo máximo entre. v s y vt en el grafo G * a través de la ruta más corta, donde G * tiene la misma estructura que G, y la capacidad residual de cada arista bi* en G * está por ci − f i para i = 1,..., m. Si. f1 ,..., f m son realizaciones de las variables aleatorias F1 ,..., Fm , entonces el grafo G * está compuesto por capacidades aleatorias dadas por C1 = c1 − F1 , … , C m = cm − Fm y distancias aleatorias dadas por d1 , d 2 ,..., d m para cada arco.. Para el siguiente análisis se asume que los flujos en las aristas son variables aleatorias con distribuciones probabilísticas desconocidas, pero un conjunto de k muestras de estos flujos se encuentra disponible, al igual que para el caso de las distancias asociadas para cada arista. aristas. Por lo tanto, F ( K ) =( f1 (k ),..., f m (k )) es una medida del tráfico a través de las. b1 ,...,bm. en. un. tiempo. k,. donde. k=1,…,K,. al. igual. que. D (k ) = (d1 ( k ), d 2 (k ),..., d m (k )) es un vector con la medida de los costos asociados a cada arco en el tiempo k.. Aunque las distribuciones de F(k) y de D (k ) son desconocidas, se. requiere que F(k) sean variables independiente e idénticamente distribuidas al igual que.

(35) II-02(2)07. D (k ) .. 29. La independencia se asegura si las muestras son tomadas en intervalos de tiempo. lo suficientemente grandes.. Se busca determinar la probabilidad tal que el flujo de costo mínimo entre v s y vt sea a lo mucho rs ,t .. La metodología que se plantea consiste en determinar inicialmente el Flujo Máximo que soporta la red, y a partir de esto, determinar los caminos más cortos que soportan el envío de dicho flujo. Con estas dos condiciones, se establece el costo final del recorrido, y por lo tanto, se prosigue a realizar las pruebas sobre el costo estimado.. A partir del teorema de MaxFlow-MinCut se tiene que el flujo máximo en el tiempo k es igual al valor del corte mínimo τ s ,t ( k ) en el tiempo k. Por definición. τ s ,t (k ) = Min[c( As1,t (k )),...,c( Asq,t (k ))] = Min{ As ,t C (k )}. (3.55). = Min{ As ,t (c − F ( K ))}. donde As1,t ,..., Asq,t son los cortes que separan a v s de vt , c( As1,t ( k )),..., c( Asq,t ( k )) son sus valores en el tiempo k, y As ,t = [ ai , j ] es la matriz correspondiente al corte s-t; además, el vector de capacidad en el tiempo k, C(k) está dado por. c1   f1 (k )  c   f ( k )   2  2  ⋅  ⋅  C (k ) = c − F (k ) =   −   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅      cm   f m (k ). (3.56). Dado este valor se determina el conjunto de caminos más cortos que cumplen con la capacidad requerida para enviar τ s ,t ( k ) unidades a través de la red. determina. Para tal fin, se.

(36) II-02(2)07. 30. λs ,t (k ) = Min{d ( Ps1,t (k )),..., c( Psq,t (k ))} = Min{ P. s ,t. D (k )}. (3.57). donde Ps1,t ,..., Psq,t son caminos entre vs y vt que permiten un flujo de τ s ,t ( k ) unidades,. d ( Ps1,t (k )),..., d ( Psq,t ( k )) son sus costos o distancia en el tiempo k, y P. s ,t. = [ pi , j ] es la matriz q × m que define estos caminos; λs ,t (k ) corresponde entonces al. mínimo costo por unidad de flujo que se puede enviar entre vs y vt a través de un camino. Psk,t determinado así el camino más corto entre estos dos vértices.. Teniendo estimado el costo del camino a utilizar, y el flujo máximo permitido, se puede plantear el costo del flujo máximo como. π s ,t (k ) = τ s ,t (k ) * λs ,t (k ). (3.58). Se puede llegar a pensar que un solo camino no resulte suficiente para el envío del flujo máximo estimado, para lo cual se deberá tomar a λs ,t ( k ) como la suma del costo de los caminos más cortos requeridos para cumplir con τ s ,t ( k ) , ordenándolos de menor a mayor costo e incluyendo en el análisis los necesarios para cumplir con el envío; es decir, se toma el menor de los caminos, y se envía por su capacidad máxima; si esta capacidad es menor a. τ s ,t (k ) , se toma el siguiente camino y se envía el flujo permitido por aquí, y así sucesivamente hasta completar el envío. En este caso, la relación arriba descrita sería una sumatoria sobre los caminos ordenados de menor a mayor costo, pero para términos prácticos del análisis, se supondrá que un solo camino permite el envío de τ s ,t ( k ) entre vs y vt .. Como únicamente un conjunto de muestras se encuentra disponible, se requiere un procedimiento de pruebas estadístico, que plantea la siguiente prueba de hipótesis:. H 0 := PROB{π s ,t ≤ rs ,t } ≥ p0. (3.59). H 1 := p < p0. (3.60). para un nivel de confianza α , equivalente a la probabilidad del error de tipo I..

(37) II-02(2)07. 31. Como F (1),..., F ( K ) son idéntica e independientemente distribuidas, las variables aleatorias que generan las observaciones τ s ,t (1),...,τ s ,t ( K ) , también lo son; manera, como. de igual. D (1),..., D( K ) son idénticamente e independientemente distribuidas, las. variables aleatorias que generan observaciones λs ,t (1),..., λs ,t ( K ) igualmente lo son. Sin embargo, se puede ver que las dos pruebas de hipótesis (H0 y H1) son compuestas; es decir, se encuentran definidas sobre un conjunto y no sobre valores independientes. Por lo tanto, se busca ahora generar una prueba de hipótesis simple ( H 0' y H 1' ) con el fin de trabajar con el Lema Neyman-Pearson, el cual trabaja sobre valores individuales para las variables, al igual que se planteó para cada uno de los casos individuales en las secciones anteriores.. El análisis siguiente es similar al realizado previamente, teniendo en cuenta que el análisis no se realiza sobre τ s ,t ( k ) como en el caso de Flujo Máximo, o sobre un λs ,t ( k ) para Ruta Mas Corta, sino sobre π s ,t ( k ) con características similares a las otras variables, al ser una variable aleatoria que resulta de la multiplicación de otras dos.. Como la distribución de π s ,t ( k ) está definida sobre valores positivos, puede ser descompuesta en dos distribuciones usando la probabilidad p = PROB{τ s ,t (k ) ≤ rs ,t } y las densidades probabilísticas condicionales dadas por p− (π s ,t (k )) y p+ (π s ,t (k )) , definidas de la siguiente manera:. p+ ( x )dx =PROB{x ≤ π s ,t (k ) < x + dx | π s ,t ≤ rs ,t }. (3.61). p− ( x)dx =PROB{x ≤ π s ,t (k ) < x + dx | π s ,t > rs ,t }. (3.62). Con base en esto, la probabilidad que x ≤ π s ,t ( k ) < x + dx se puede escribir en términos de las distribuciones probabilísticas condicionales así:. P{x ≤ π s ,t (k ) < x + dx} = p+ ( x) pdx + p− ( x)(1 − p)dx. (3.63). En términos de estas densidades condicionales, la densidad conjunta de los costos mínimos evaluados como puntos ( π s ,t (1),..., π s ,t ( K ) ) satisfaciendo.

(38) II-02(2)07. 32. π s ,t (i1 ),..., π s ,t (iN ) > rs ,t ≥ π s ,t ( j1 ),..., π s ,t ( jK − N ). (3.64). está dada por. p K − N (1 − p ) N p− (π s ,t (i1 )) ⋅⋅⋅ p− (π s ,t (iN )) p+ (π s ,t ( j1 )) ⋅⋅⋅ p+ (τ s ,t ( jK − N )). (3.65). siempre y cuando las muestras de las variables sean independientes.. Ahora se reemplazan las pruebas de hipótesis iniciales (compuestas) por las nuevas pruebas simples H 0' y H 1' con base en la teoría de las distribución menos favorable, resultando para cualquier valor constante H 1' : p = p1 y H 0' : p = p0 .. Si la densidad de π s ,t ( k ) bajo la hipótesis H 0' se denota como ( p0 , p + , p− ) , y bajo la hipótesis H 1' se denota como ( p1 , p + , p− ) donde p1 es una probabilidad no negativa menor que p0, las pruebas de hipótesis que van a ser probadas se transforman en H 0' : la densidad de π s ,t ( k ) está caracterizada por ( p0 , p + , p− ) , contra H 1' : la densidad de π s ,t ( k ) está caracterizada por ( p1 , p + , p− ) . Por lo tanto, se está probando una hipótesis simple contra una alternativa igualmente simple (o sencilla), garantizando así la aplicación del Lema Neyman-Pearson.. De acuerdo a este Lema, se determina el valor de la expresión (3.65) para valores de. p = p0 y p = p1 , y se toma la tasa de uno frente a otro. Nótese que en esta relación los factores de p+ y p− se cancelan; por lo tanto, una prueba más poderosa para evaluar H 0' contra H 1' para un nivel dado de α es:. rechazar la hipótesis H 0' si.  p1     p0 . K −N. N. ^  1 − p1    > K ,  1 − p0 . (3.66).

(39) II-02(2)07. 33. rechazar la hipótesis H 0' con probabilidad γ si.  p1     p0 . K −N.  p1     p0 . K −N. N. ^  1 − p1   = K ,   1 − p0 . (3.67). aceptar la hipótesis H 0' si N. ^  1 − p1   < K ,   1 − p0 . (3.68). ^. donde K y γ son constantes determinadas por.  p  K − N  1 − p  N ^   p  K − N  1 − p  N ^  1 1 1  = K  = α  > K  + γP  1   P      p0   1 − p0    p0   1 − p0 . (3.69). y estas probabilidades son determinadas bajo el supuesto que p = p0 y α es la probabilidad preestablecida para el error de tipo I. Por su parte, N representa el número del total de las K observaciones para las cuales π s ,t > rs ,t .. Nótese que las pruebas anteriores pueden ser expresadas de otra forma si se toma el logaritmo de ambos lados de las mismas, como se plantea a continuación:.   1 − p1 p  ( K − N ) ln  1  + N ln   p0    1 − p0. ^   > ln K .  p  ^  1 − p0   p    > ln K + K ln  0  = K ' N ln  0  + ln   1 − p1    p1    p1 . (3.70). (3.71). Como el coeficiente N el la parte izquierda de las expresiones es positivo, se obtiene el siguiente conjunto equivalente de pruebas:. ^. rechazar la hipótesis H 0' si N > K , ^. rechazar la hipótesis H 0' con probabilidad γ si N = K ,.

(40) II-02(2)07. 34. ^. aceptar la hipótesis H 0' si N < K .. ^. Las constantes K y γ son determinadas a partir de la ecuación. ^ ^     P  N > K  + γP  N = K  = α    . (3.72). para p = p0 .. ^. Para el propósito de encontrar K y γ de esta última expresión, se supone que H 0' es verdadera. Además, se puede ver que N, bajo este supuesto, se encuentra binomialmente ^. distribuida, con parámetros 1 − p0 y K, y no depende del valor de p. Por lo tanto, K y γ pueden ser obtenidos fácilmente de las tablas de distribución binomial..

(41) II-02(2)07. 35. 4. CONCLUSIONES. Se desarrolló una metodología para determinar el comportamiento probabilístico de una red con características y variables aleatorias.. Inicialmente, se logró establecer un modelo para el Problema de Flujo Máximo basado en el análisis de la capacidad terminal con distribución desconocida, donde a partir de k muestras independiente e idénticamente distribuidas se pueden realizar pruebas de hipótesis simples y establecer el comportamiento probabilístico del flujo a través de la red.. Como segunda aproximación a este problema se estableció un modelo basado en el análisis de la capacidad terminal con distribución conocida,. permitiendo así la estimación de probabilidades. asociadas a través de expresiones desarrolladas con base en la función característica de las capacidades de los arcos.. A partir de estos planteamientos desarrollados, se determinaron modelos similares para el problema de Ruta Más Corta, donde la variable aleatoria en consideración fue la distancia o el costo asociado a cada arco; estos planteamientos igualmente incluyeron acercamientos desde las dos perspectivas principales: variables aleatorias con y sin función de probabilidad conocida.. Finalmente, se plantea el modelo para el Problema de Flujo de Costo Mínimo y resulta de la combinación de los dos problemas anteriores. Se realiza un acercamiento desde el punto de vista estadístico, donde se consideran las variables aleatorias de costo y capacidad de los arcos como variables con k muestras independiente e idénticamente distribuidas que permiten la realización de pruebas de hipótesis simples y la estimación del comportamiento probabilístico del problema..

(42) II-02(2)07. 36. REFERENCIAS. 1. FRANK, Howard.. Communication, Transmisión and Trasnportation Networks.. Addison-. Wesley Publishing Company, 1971.. 2. AHUJA, Ravindra K. Network Flows, Theory, Alforithms and Applications. Englewood Cliffs, New Yersey. Prentice Hall 1993.. 3 DIESTEL, Reinhard. Graph Theory. New York. Springer, 1997.. 4 BILLINGSLEY, Patrick. Probability and Measure. Third Edition. New York. John Wiley & Sons, 1995.. 5. CANAVOS, George. Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos. Traducción de Edmundo Urbina Medal. Revisión Técnica: Gustavo Javier Valencia Ramírez. México. McGraw-Hill, 1988.. 6. BAZARA, Mokhtar. Programación Lineal y Flujo en Redes. Mexico. Limusa, Grupo Noriega Editores. 1999..

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