Análisis de estabilidad de sistemas híbridos utilizando matrices de desigualdades lineales (LMI)

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(1).. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS HÍBRIDOS UTILIZANDO MATRICES DE DESIGUALDADES LINEALES.. NATALIA CAROLINA ANGARITA JAIMES. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA BOGOTA D.C. 2002.

(2) IEL2-2002-II-02. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS HÍBRIDOS UTILIZANDO MATRICES DE DESIGUALDADES LINEALES.. NATALIA CAROLINA ANGARITA JAIMES. Proyecto de Grado para optar el título de Ingeniero Electrónico. Asesor: JOSE LUIS VILLA Ingeniero Electrónico, Ms.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA BOGOTA D.C. 2002. 2.

(3) IEL2-2002-II-02. TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION……………………………………………..……………….8 OBJETIVO ............................................................................ 10 CAPITULO 1 ......................................................................... 11 SISTEMAS HIBRIDOS ........................................................... 11 1.1. Conceptos Básicos ................................................................... 11. 1.2 Modelaje de Sistemas Híbridos ................................................... 11 1.3 Clasificación de Sistemas Híbridos .............................................. 13 1.3.1 Sistema Híbrido en lazo cerrado ............................................ 14 1.3.2 Planta Híbrida en lazo abierto (OLHP siglas en inglés) ........... 14 1.3.3 Control Híbrido...................................................................... 15 1.3.3 Sistema Híbrido en lazo cerrado ............................................ 16 1.4 Sistemas Híbridos: Algunos ejemplos........................................... 17 Ejemplo 1.4.1 –Automóvil con transmisión automática .................. 17 1.4.1.1 Simulación ................................................................. 21 1.4.1.2 Resultados de la simulación ....................................... 24 Ejemplo 1.2 – Relay Mecánico (con Histéresis.) .............................. 26 1.4.2.1 Simulación ................................................................. 30 1.4.2.2 Resultados de la Simulación....................................... 32. CAPITUL0 2 ......................................................................... 35 Teoría de Estabilidad de Lyapunov ..................................... 35 2.1 Definiciones Básicas .................................................................... 35 2.2 Estabilidad en el sentido de Lyapunov ........................................ 36 2.2.1 El método de linealización de Lyapunov................................. 36. 3.

(4) IEL2-2002-II-02. 2.2.2 EL método directo de Lyapunov [3] ........................................ 38. CAPITULO 3 ......................................................................... 41 Estabilidad en Sistemas Híbridos........................................ 41 3.1 Conceptos Básicos. ...................................................................... 41 3.2 Teoremas de Estabilidad para Sistemas Híbridos[1]..................... 43 3.2.1 Estabilidad ............................................................................ 43 3.2.2 Estabilidad Asintótica........................................................... 44 3.3.3 Estabilidad Exponencial ........................................................ 45. CAPITULO 4 ......................................................................... 47 Condiciones de Estabilidad como ........................................ 47 Matrices de Desigualdades Lineales (LMI) ............................ 47 4.1 Matrices de desigualdades Lineales ............................................. 47 4.1.1 Descripción general del problema: ......................................... 48 4.1.2 Problema LMI estándar.......................................................... 49 4.2 Condiciones de Estabilidad.......................................................... 50 4.2.1 Funciones cuadráticas de Lyapunov a trazos........................ 50 4.3 Condiciones de estabilidad como un problema LMI...................... 52 4.3.1 Procedimiento-S .................................................................... 52 4.3.2 Descripción de regiones mediante formas cuadráticas ........... 54 4.4 Resumen del problema LMI ......................................................... 57 4.5 Verificación de Estabilidad formulando un problema LMI ............ 58 Ejemplo 4.1. ................................................................................... 58 Ejemplo 4.2 .................................................................................... 68. CAPITULO 5 ......................................................................... 73 Análisis de Resultados y Perspectivas. ................................ 73. 4.

(5) IEL2-2002-II-02. CAPITULO 6 ......................................................................... 79 Conclusiones ....................................................................... 79 BIBLIOGRAFIA ..................................................................... 83 ANEXOS ............................................................................... 85 ANEXO 1 .............................................................................. 86 LMI Control Toolbox de Matlab ............................................ 86 A.1 Función Feasp............................................................................. 86 A.1.1 Comandos ............................................................................. 88 A.2 Función Gevp .............................................................................. 93 A.2.1 Un caso especial.................................................................... 96. ANEXO 2 .............................................................................. 99 Programas: LMI del Control Toolbox de Matlab.................... 99 Programa No. 1: Simulación Sistema Híbrido. ................................ 99 Programa No. 2: Simulación Sistema Híbrido. .............................. 101 Programa No. 3: Verificación de estabilidad: Caso 1. .................... 103 Programa No. 4: Verificación de estabilidad: Caso 2 ..................... 104 Programa No. 5: Verificación de estabilidad: Caso 1 ..................... 107 Programa No. 6: Verificación de estabilidad: Caso 2 ..................... 109. 5.

(6) IEL2-2002-II-02. INDICE DE FIGURAS. Figura 1.1 Representación de un Sistema Híbrido................................ 12 Figura 1.2 Planta Híbrida en lazo abierto ............................................. 15 Figura 1.3. Control Híbrido .................................................................. 16 Figura 1.4 Planta Híbrida en lazo cerrado ............................................ 16 Figura 1.5: Diagrama de transiciones entre Estados Discretos............ 19 Figura 1.6. Diagrama de bloques dinámica continua ........................... 22 Figura 1.7 Diagrama de bloques dinámica discreta .............................. 23 Figura 1.9 Diagrama de Fase de las variables del sistema.................... 25 Figura 1.10 Variables del sistema ........................................................ 26 Figura 1.11 Relay mecánico. ................................................................ 26 Figura 1.12. Características del relay mecánico ................................... 27 Figura 1.13 Diagrama de transiciones entre Estados Discretos............ 29 Figura 1.14. Motor de corriente directa ................................................ 29 Figura 1.15. Diagrama de bloques dinámica continua. ........................ 31 Figura 1.16 Subsistemas para la dinámica discreta del sistema .......... 32 Figura 1.17. Simulación de motor de corriente directa. ........................ 34 Figura 1.18. Gráfica de dx/dt vrs. X .................................................... 34 Figura. 2.1 Diagramas de Fase ............................................................ 37 Figura 4.1 Gráfica de la función de Lyapunov asociada a la trayectoria mostrada en la parte inferior. ......................................................... 61 Figura 4.2 Estados Discretos ............................................................... 63. 6.

(7) IEL2-2002-II-02. Figura 4.3 Curvas de nivel para las funciones locales de Lyapunov...... 67 Figura 4.4 Gráfica de la Función de Lyapunov. .................................... 70 Figura 5.1 Funciones Locales de Lyapunov. ......................................... 74. 7.

(8) IEL2-2002-II-02. INDICE DE TABLAS Tabla 2.1 Resumen del Teorema de Estabilidad de Lyapunov……40. 8.

(9) IEL2-2002-II-02. INTRODUCCION. La evolución de la tecnología ha generado a lo largo de la historia una proliferación de sistemas dinámicos, generalmente hechos por el hombre y de gran complejidad. Muchos de los comportamientos en estos sistemas se deben a la interacción de sistemas a eventos discretos (sistemas dinámicos con estados discretos y transiciones instantáneas) y de sistemas continuos (sistemas dinámicos con variaciones de estado y eventos continuos). Esta característica es la que lleva a definir el término de Sistemas Híbridos.. Uno de los aspectos de mayor importancia en este tipo de sistemas es el análisis de estabilidad. Este ha sido ampliamente estudiado y se basa principalmente en la teoría general de estabilidad de Lyapunov. El aspecto crítico en aplicaciones prácticas de sistemas híbridos, es encontrar una función válida de Lyapunov que satisfaga las condiciones de estabilidad.. Algunos de los resultados de estabilidad basados en esta teoría se han venido formulando como un problema de matrices de desigualdades lineales (LMI por sus siglas en inglés: Linear Matrix Inequalities), ya que la existencia de una solución al problema de LMI es una condición suficiente para la estabilidad de Sistemas Híbridos. La real ventaja de los. 9.

(10) IEL2-2002-II-02. problemas formulados bajo este esquema es que permiten ser resueltos de manera eficiente y confiable mediante la utilización de herramientas numéricas.. Bajo este panorama, el objetivo de este documento es analizar la estabilidad de Sistemas Híbridos a conmutación, basados en la teoría propuesta por Lyapunov, formulada como un problema de matrices de desigualdades lineales. Se pretende entonces, a partir de los primeros acercamientos en el tema hechos por Peleties y De Carlo, y los posteriormente desarrollados por Braniky, Lennartson y especialmente Petterson [1], brindar un documento que sirva de guía para comprender y a su vez, formular e implementar resultados de estabilidad para sistemas híbridos bajo la teoría de Lyapunov.. Presentando las bases teóricas correspondientes, este documento ofrece una descripción sobre la forma de modelar y simular algunos sistemas híbridos. a. conmutación,. así. como. la. descripción. detallada. del. procedimiento a seguir para formular el problema LMI cuyos archivos se entregan junto al documento en formato digital (CD). Así mismo se presentan los anexos correspondientes sobre las herramientas numéricas utilizadas, que buscan, en conjunto como objetivo primordial de este proyecto de grado, servir de base para investigaciones futuras sobre análisis de estabilidad en sistemas híbridos, dada la importancia que este enfoque ha adquirido por las ventajas que ofrece.. 10.

(11) IEL2-2002-II-02. OBJETIVO. Analizar la estabilidad de un tipo de Sistemas Híbridos utilizando la teoría propuesta por Lyapunov apoyado en la utilización de la herramienta numérica LMI ( Linear Matrix Inequalities).. Objetivos Específicos: 1. Modelar y simular algunos Sistemas Híbridos a conmutación 2. Comprender. los. aspectos. generales. de. la. Teoría. de. Estabilidad de Lyapunov 3. Definir las características de los problemas que pueden ser resueltos utilizando la herramienta de LMI. 4. Obtener resultados de estabilidad para algunos sistemas a conmutación mediante matrices de desigualdades lineales.. 11.

(12) IEL2-2002-II-02. CAPITULO 1 Sistemas Híbridos. Este capítulo introduce los conceptos básicos de Sistemas Híbridos y en general la forma de modelar este tipo de sistemas. Así mismo, son presentados. ejemplos. de. simulación. que. buscan. ilustrar. el. comportamiento de algunos Sistemas Híbridos a conmutación.. 1.1 Conceptos Básicos Un Sistema Híbrido es un modelo matemático de un proceso físico que consiste en la interacción de un sistema con comportamiento continuo y de eventos discretos. Esto significa que un sistema híbrido está compuesto por un proceso de tiempo continuo y\o un proceso de tiempo discreto. unidos. interacciones. mediante. entre. los. interfaces dos.. Los. lógicas. que. componentes. gobierna en. las. tiempo. continuo/discreto se componen de ecuaciones diferenciales/diferencia o por modelos de tiempo de estado continuo/discreto. Las interfaces lógicas / toma de decisiones pueden estar compuestas por un autómata finito o por un sistema de eventos discretos [2].. 1.2 Modelaje de Sistemas Híbridos Es posible definir un Sistema Híbrido de diferentes formas dependiendo del tipo de dinámica que se desea expresar. En esta sección se estudiará. 12.

(13) IEL2-2002-II-02. el modelaje de Sistemas Híbridos bajo la perspectiva de la Ingeniería de Control, enfoque utilizado durante el desarrollo de este trabajo. En las ultimas décadas el modelaje de sistemas híbridos ha sido ampliamente estudiado, mas recientemente por Petterson [1]. Una síntesis de estos modelos, puede ser expresado mediante la siguiente dinámica:. x& (t) = f ( x (t), p (t), u (t) ) y (t) = g ( x(t), p (t), u (t) ). (1.1). . p (t+) = ϕ ( x (t), p (t), u (t), σ (t) ) donde: x(t) son los estados en tiempo continuo u(t) puede ser una entrada de control continuo o alguna señal externa (ya sea de referencia o una perturbación).. p (t ) ∈ {1,....., M } representa un estado discreto indexado a los v vectores de campo f (.,.,.) que determinan x&. σ(t) entrada de un evento discreto (puede ser la señal de control) ϕ(t) es una función de transición discontinua que contiene el conjunto de lógica y/o dinámica de estados discretos del sistema.. Así mismo un sistema híbrido puede ser representado por un diagrama de bloques como se muestra en la Figura 1.1.. u. σ. x& = f ( x, p, u ) y = g ( x, p , u ). y. p + = φ ( x, p , u , σ ) σ + = ϕ ( x, p , u , σ ). σ. Figura 1.1 Representación de un Sistema Híbrido. 13.

(14) IEL2-2002-II-02. 1.3 Clasificación de Sistemas Híbridos Un sistema híbrido con dinámica simplificada es denominado Sistema Híbrido Autónomo. Esto significa que el sistema híbrido no tiene entradas ya que las entradas del espacio de estados es vacío o contiene solo un elemento, por tanto, se simplifica la expresión para las entradas externas como argumentos de las funciones f , ϕ ,. g. y φ.. x& = f ( x, m),. (1.2). m + = φ ( x, m), y = g ( x, m),. (1.3). o + = ϕ ( x, m). Así mismo, la función φ puede ser alternativamente descrita como:. {. }. S i , j = x ∈ ℜ n m j = φ ( x , mi ) , •. i ∈ I N , j ∈ I N.. El sistema híbrido descrito en (1.2), con la estructura especial. x& = A(m) x y = C ( m) x. (1.4). es llamado sistema híbrido lineal. •. El sistema híbrido descrito por. x& = A(m) x + B(m) y = C ( m) x + D (m). (1.5). es llamado sistema híbrido afín. •. Finalmente, el sistema híbrido descrito por. x& = B(m) y = D ( m). (1.6). es llamado sistema híbrido integrador, utilizando la misma notación que en la teoría no lineal.. 14.

(15) IEL2-2002-II-02. 1.3.1 Sistema Híbrido en lazo cerrado Bajo la perspectiva de la Ingeniería de Control, un Sistema Híbrido es la conexión de una planta híbrida en lazo abierto y un controlador híbrido. El resultado se denomina sistema híbrido en lazo cerrado, que a continuación se describirá mas detalladamente.. 1.3.2 Planta Híbrida en lazo abierto (OLHP siglas en inglés) Una planta Híbrida en lazo cerrado es un sistema híbrido como se definió en la sección anterior. Consiste en general de variables continuas y de estados discretos, entradas externas tanto continuas como discretas, así como salidas (internas y discretas). Las entradas externas pueden ser divididas en dos partes: una la cual puede ser controlada directamente y por lo tanto recibe el nombre de entradas controlables y la otra que no puede ser controlada denominada perturbaciones, que a su vez puede ser dividida en perturbaciones durante el proceso o perturbaciones en la salida. La primera afecta la evolución de la dinámica de estados y la segunda como lo indica su nombre afecta la salidas del sistema. Una representación gráfica de una planta híbrida en lazo abierto es la Figura 1.2. La entrada controlable es denotada por u , la entrada discreta controlable es denotada por σ u , la entrada continua no controlable es denotada por v y la entrada discreta no controlable es denotada por σ v . Las variables de estado y relaciones de interfase son denotadas por el subíndice p , como referencia a la planta.. 15.

(16) IEL2-2002-II-02. x& p = f p ( x p , m p , v, u ). u v. y p = g p ( x p , m p , v). σu σv. yp. m p + = φ p ( x p , m p , v, u , σ v , σ u ). σ p + = ϕ p ( x p , m p , v, σ v ). σ. p. Figura 1.2 Planta Híbrida en lazo abierto. 1.3.3 Control Híbrido Un control híbrido es un Sistema Híbrido definido como en la sección anterior, por lo tanto también está formado en general por variables de estado continuas y discretas al igual que entradas externas como salidas continuas y discretas. Las entradas externas del controlador se dividen en dos partes: mientras una proviene de la planta híbrida en lazo abierto la otra puede originarse fuera de esta (es el ejemplo de entradas de referencia las cuales se busca que siga el control a la salida del sistema). Así mismo, las salidas del Control Híbrido son las entradas controlables en la OLHP. Una representación gráfica del Control Híbrido es mostrada en la siguiente. figura.. Las. entradas. externas. continuas. y. discretas,. provenientes del controlador son denotadas por c y σ c respectivamente y las otras son denotadas igualmente por r y σ r .Las variables de estados y las interfaces son denotadas por el subíndice c, refiriendo al control.. 16.

(17) IEL2-2002-II-02. σc. mc + = φ c ( x c , mc , r , c, σ r , , σ c ). σ c + = ϕ c ( x c , m c , r , c, σ r ,σ c ). x. yc. σu σv. mc. c. x& c = f c ( xc , mc , r , c ) y c = g c ( x c , mc , r , c ). r c. Figura 1.3. Control Híbrido. 1.3.3 Sistema Híbrido en lazo cerrado Un sistema híbrido en lazo cerrado es la conexión bajo la configuración de feedback de una planta híbrida en lazo abierto y un controlador híbrido. Esta configuración implica que las salidas de la OLPH son las entradas del controlador y viceversa (esta configuración también es conocida con el nombre de retroalimentación).. u v σu σv. σc. y p = g p ( x p , m p , v) m p + = φ p ( x p , m p , v, u , σ v , σ u ). σ p + = ϕ p ( x p , m p , v, σ v ). σ. mc + = φ c ( x c , mc , r , c, σ r , , σ c ). c. p. m. σ c + = ϕ c ( x c , m c , r , c, σ r ,σ c ). x. c. mc. x& c = f c ( xc , mc , r , c ). yc. yp. x& p = f p ( x p , m p , v, u ). y c = g c ( x c , mc , r , c ). r c. Figura 1.4 Planta Híbrida en lazo cerrado. 17.

(18) IEL2-2002-II-02. 1.4 Sistemas Híbridos: Algunos ejemplos Ejemplo 1.4.1 –Automóvil con transmisión automática y control de torque. Un automóvil con caja de cambios automática es un buen ejemplo del comportamiento de un sistema híbrido, el cual es referenciado por Petterson [1], donde el conjunto de motor y transmisión son modelados mediante estados discretos y estados continuos.. Aquí, las variables correspondientes a estados continuos son la presión (manifold. pressure). y. la. velocidad. del. vehículo.. La. variable. correspondiente al estado discreto es la posición de la caja de cambios (4 posibles valores). En este ejemplo, un modelo satisfactorio que ilustra el comportamiento híbrido del sistema es obtenido asumiendo que la señal de entrada es el torque T en la salida del motor (es necesario resaltar que toda la dinámica al interior del motor es despreciada) y que el máximo efecto que puede ser medido de la salida del motor depende de la velocidad rotacional ω que satisface la siguiente ecuación (que no está muy lejos de las características reales del motor )[1]:. P≤. 1 (−ω 3 + 700ω 2 + 127500ϖ ) 1250. (1.7). con T = P / ω , la anterior ecuación satisface. T≤. 1 (−ω 2 + 700ω + 127500) 1250. (1.8). De aquí, la caja de transmisión transforma el torque T y la velocidad angular ω de acuerdo con las siguientes relaciones:. 18.

(19) IEL2-2002-II-02. and ω1 =. T 1 = pT. 1 ω, p. (1.9). donde T1 es el torque, ω1 es la velocidad angular de las llantas y p es la posición de la caja de cambios. La velocidad, con r el radio de las llantas y F la fuerza acelerando el vehículo, satisface. F = T1. r. and. v = rω 1. (1.10). La aceleración del vehículo de acuerdo con la Ley de Newton. Mv& = F − F l. (1.11). Con M, la masa del automóvil y Fl la fuerza de rozamiento con el piso. Si se asume que Fl es proporcional al cuadrado de la velocidad del vehículo y que el ángulo con respecto a la superficie de rozamiento es α , esta fuerza puede ser modelada como:. Fl = kv 2 signv + Mg sin α. (1.12). Combinando (1.9), (1.10) y (1.12) en (1.11), la dinámica simplificada del vehículo con transmisión automática y velocidad v en una superficie inclinada con ángulo α es. pr T k 2 − v signv + Mg sin α M M ω = pr v v& =. {. }. donde los estados discretos p r ∈ p r1 , p r 2, p r 3 , p r 4 ,. (1.13). pr 1 > pr 2 > pr 3 > pr 4. son las cuatro posibles posiciones en la caja de cambios normalizados con el radio de la llanta r, como sigue: p r = p / r .. En la dinámica del vehículo, la transmisión del sistema genera un cambio de posición en la caja de cambios cuando la velocidad rotacional. 19.

(20) IEL2-2002-II-02. del motor excede ωhigh,, lo cual implica un cambio mayor (a menos que el vehículo se encuentre en la posición 4 de la caja de cambios) o cuando la velocidad decrece por debajo de ωlow, que implica un cambio menor (a menos que el vehículo se encuentre en la posición 1 en la caja de cambios). Dependiendo de la posición en la que se encuentre la caja de cambios los valores de ωlow y ωhigh corresponden a diferentes velocidades del vehículo. De aquí tenemos que la función de transición entre los diferentes estados discretos esta dada por:.   1 S i ,i +1 = v ∈ ℜ v = ω hihg  p ri  . y.  1 S i +1,i = v ∈ ℜ v = ω low , p ri +1 .  i = 1,2,3  (1.14). La dinámica discreta del sistema, según el comportamiento descrito anteriormente es mostrado en la Figura 1.5. S1,2 m1. S2,3 m2. S2,1. S3,4 m3. m4. S4,3. S3.2. Figura 1.5: Diagrama de transiciones entre Estados Discretos. Dado que en el modelo del Sistema Híbrido se tomó como señal de entrada el torque T , ésta es la variable a regular por el control diseñado. El control, PI, se plantea de manera que compense la no linealidad generada por la fuerza de rozamiento (1.7) en la dinámica del vehículo. Por tanto el controlador PI está compuesto por los siguientes términos. T = T p + TI +. k 2 v signv pr. (1.15). 20.

(21) IEL2-2002-II-02. donde Tp corresponde al control proporcional, TI al control integrador y el tercer término compensa la no linealidad referida anteriormente. El control PI está definido como:. T p = K r (v ref − v), .. TI =. Kr (v ref − v), Tr. (1.16). con v ref como la velocidad deseada o de referencia. Es bueno resaltar que cada vez que la velocidad de referencia es cambiada por el conductor del vehículo, el integrador es puesto a cero. A partir del comportamiento descrito por (1.13), la dinámica en lazo cerrado del sistema está dada por:. pr ( K r (v ref − v) +T I ) − g sin α , M K T&I = r (v ref − v) Tr v& =. (1.17). Para lograr un comportamiento en lazo cerrado asintóticamente estable, la variable integradora de control debe hacer converger el sistema a la velocidad de referencia v ref a pesar de la influencia de la constante de inclinación de la superficie α .. Con el fin de alcanzar a estabilidad del sistema, es necesario seleccionar los parámetros K r y Tr dentro del control PI. Dicha selección puede basarse en. limitar la aceleración del vehículo . Así mismo,. para. mantener bajo el nivel de consumo de combustible, lo cual es deseable, el torque T debe mantenerse alejado de su valor máximo para los diferentes valores de la velocidad rotacional del motor. Estas dos condiciones, dan. 21.

(22) IEL2-2002-II-02. las restricciones para el valor de K r . Con condiciones iniciales Ti (0) = 0 , la restricción en la aceleración implica de (1.17) que: Con α =0. Kr ≤ Dadas. las. anteriores. 2M p r (v ref −v). condiciones,. es. (1.18) deseable,. también. tener. restricciones en la derivada de la aceleración, ya que cambios abruptos en esta variable pueden generar un comportamiento no deseado. Una razón para los posibles cambios abruptos ocurre cuando la posición en la caja es cambiada. Si t k denota el tiempo cuando un cambio en la caja ocurre y t k− y t k+ denotan el tiempo justo antes y después que esto ocurra, y K r toma valores entre cambios,. {K ri }, i = 1,2,3. por cada posición en la caja de. entonces de (1.17) implica que no hay cambios abruptos. debido al cambio de posición en la caja si. p ri K ri = p ri +1 K ri +1 p ri TI (t k− ) = p ri +1 TI (t k+ ). cambio de i a i + 1. p ri +1 TI (t k− ) = p ri TI (t k+ ). cambio de i + 1 a i. i = 1,2,3. (1.19). donde estas condiciones son las que establecen los saltos en TI .. 1.4.1.1 Simulación El sistema híbrido en lazo cerrado consiste en el estado continuo v y TI relacionados de acuerdo con (1.14) y (1.17), donde el estado discreto esta definido por m = [ p r. K r ] . Para ilustrar la dinámica del vehículo en lazo. cerrado y el comportamiento de la caja de cambios automática y del controlador de torque, son utilizados los siguientes valores numéricos. 22.

(23) IEL2-2002-II-02. p r1 = 50. p r 2 = 32. p r 3 = 20. p r 4 = 14. ω high = 500 K r1 = 3.75 K r 2 = 5.86 K r 3 = 9.37 m(0) = m3. ω low = 230 = 13.39 Tr = 40 v ref = 30. k = 0.7 M = 1500 g = 10 K r4. v(0) = 14 and TI (0) = 0.. Tenemos de la ecuación (1.14) que la dinámica del vehículo en lazo cerrado está definida por:. − pr K r pr v&   M    M =   − Kr 0 T&      Tr.   pr K r  v   M   +     K r  T   T   r.    vref   . (1.20). A partir de la representación en variables de estado la simulación del sistema híbrido es realizada con los valores numéricos previamente determinados. Para realizarla es necesario tener en cuenta la naturaleza híbrida del sistema; por tanto, es necesario modelar tanto el estado continuo, como el estado discreto.. •. Con los valores numéricos previamente determinados, se procede a realizar la simulación del estado continuo del sistema que consiste en v y TI relacionados de acuerdo con (1.20). Dado que se generan 4 sistemas dependientes de las 4 posibles posiciones de la caja de cambios, cada uno se modela según el siguiente diagrama. Figura 1.6. Diagrama de bloques dinámica continua. 23.

(24) IEL2-2002-II-02. Donde la constante de entrada es la velocidad de referencia v ref y m1,2,3,4 es la dinámica del vehículo para cada uno de las posibles posiciones de la caja de cambios.. •. Para introducir la dinámica discreta del sistema, donde el estado discreto esta definido por m = [ p r. K r ] , el modelo anteriormente. descrito es modificado como se muestra en el siguiente diagrama:. Figura 1.7 Diagrama de bloques dinámica discreta. Donde el bloque subsistema representa el comportamiento discreto para cada una de las diferentes posiciones de la caja de cambios y del controlador de torque. La función de transición entre los diferentes estados discretos dada por (1.14), es representada por cada uno de los subsistemas. Dependiendo de la posición de la caja de cambios, el correspondiente subsistema toma los valores que se muestran a continuación:. Subsistema 1. Subsistema 2. 24.

(25) IEL2-2002-II-02. Subsistema 3. Subsistema 4. Figura 1.8 Valores para cada subsistema. A partir del modelamiento tanto de los estados discretos como continuos del sistema en lazo cerrado, es necesario interconectar los diferentes sistemas y regular el intervalo en el cual cada uno de ellos funciona.. Así mismo, es importante resaltar que es en este momento cuando se introduce la última condición dada en el modelamiento del sistema híbrido: a partir de (1.19), se introduce los valores del control,. que. consiste en los valores de la variable TI y los valores en la ganancia que toma del conjunto de Kri, que evitan los saltos en la variable de control T.. 1.4.1.2 Resultados de la simulación La siguiente Figura muestra la gráfica de v vrs. T (diagrama de fase) resultado de la simulación de la dinámica del vehículo con la caja automática de cambios y el control de torque. Las líneas punteados rojas (…) dibujan el conjunto de líneas de conmutación correspondiente a las transiciones de estado S i ,i +1 y las líneas punteadas azules. (…) el conjunto correspondientes a las. transiciones de estado S i +1,i , i = 1,2,3 .. 25.

(26) IEL2-2002-II-02. La simulación comienza con v(0), T (0) en el sistema1 (condiciones iniciales). Para la velocidad de referencia especificada el sistema converge al valor determinado 30 m s ( v ref =30). Así mismo podemos observar como TI cambia satisfaciendo (1.19), cuando el valor en la caja de cambios es modificado.. Figura 1.9 Diagrama de Fase de las variables del sistema. Por otra parte, si analizamos las variables del sistema (v,T ], vemos que el sistema alcanza la velocidad deseada en aproximadamente en 120 seg. Así mismo se observa que el sistema es estable, y alcanza los valores en la entrada de referencia.. 26.

(27) IEL2-2002-II-02. Figura 1.10 Variables del sistema Así mismo, se ve que la aceleración del sistema nunca excede el valor de 2 m/s2, y no existen discontinuidades en la derivada en el tiempo de la aceleración, lo cual satisface (1.19).. Ejemplo 1.2 – Relay Mecánico (con Histéresis.) Existen muchos ejemplos de sistemas físicos en diferentes dominios los cuales contienen componentes que funcionan como relays con histéresis. Otras de las características no lineales de estos sistemas como tiempos y zonas muertas entre otros, no hacen posible. representarlos mediante. ecuaciones diferenciales de Lipschitz1, y por tanto su naturaleza puede ser modelada como un Sistema Híbrido. Uno de ellos, es un simple relay mecánico, referenciado por Petterson [1], como se muestra en la Figura 1.12. 5´ α. 2 1. x. β. 5. 4. 3. v v1 v2. Figura 1.11 Relay mecánico.. 27.

(28) IEL2-2002-II-02. La entrada del sistema es el ángulo denotado por x y la salida del sistema es el voltaje denotado por v. Se asume que la entrada x es rotada en el sentido de las manecillas del reloj.. La rotación del ángulo x del extremo 1 es transmitida a la palanca 4 cuando la manecilla 2 ha rotado un ángulo alfa y toca el tenedor 3. Acto seguido, el tenedor es movido por la manecilla como si estuviesen rígidamente conectados. Cuando la palanca ha rotado un ángulo β y hace contacto con el punto 5 hay una constante negativa en el voltaje de v1 a través de la terminal de. salida. Cuando la entrada x cambia de. dirección, la palanca permanece estacionaria hasta que la manecilla toca el tenedor de nuevo luego de haber rotado un ángulo 2α , es decir, cuando la manecilla ha cruzado el espacio al interior del tenedor. Este último, es una vez más desplazado por la manecilla de manera que el contacto entre la palanca y el contacto del plato 5 es desconectado, dando como resultado un voltaje cero en la salida ( v 2 = 0 ) a través del terminal de salida . Cuando x ha rotado un ángulo 2 β el contacto 5’ es un voltaje positivo ( v3 ) a través del terminal de salida. La relación entre la entrada x y la salida v la forma mostrada en la Figura 1.13. v v3 v2 λxo. -xo. xo x. -λxo v1. Figura 1.12. Características del relay mecánico. 1. Es decir, son continuas y sus derivadas son limitadas.. 28.

(29) IEL2-2002-II-02. Hay otros tipos de sistemas físicos en dominios diferentes de los sistemas mecánicos que presentan características similares, por ejemplo en neumática, electromagnetismo o eléctrico. En todos ellos cuando la señal de entrada x pasa los valores de umbral ± λxo y ± xo , la salida v es cambiada abruptamente pero se mantiene constante. En el ejemplo del sistema mecánico, los valores de umbral son xo = α + β , el cual es la mitad de la suma del espacio en el tenedor y la distancia entre los dos contactos abiertos, y λxo = β − α el cual, a su vez, es la mitad de la diferencia ente la longitud de los contactos abiertos y el espacio al interior del tenedor.. De aquí, que λ = restringido. a. −α + β. α+β. con α > 0. − 1 < λ < 1 . Los. valores. y de. β > 0 , el valor de λ queda umbral. son. diferentes. dependiendo del tipo de relay. Si λ > 0 ( β > α en el sistema mecánico) existe una zona muerta en el relay y si λ ≠ 1 ( λ ≠ 0 en el sistema mecánico). existe un comportamiento de histéresis en el relay, lo cual. significa que la salida v del relay es determinada no solo por el valor de la entrada x sino también por el valor presente de la variable de estado discreto v . De aquí, que sea necesario conocer el valor de b para una completa descripción del comportamiento de histéresis en el sistema.. El cambio de valor de v puede ser descrito introduciendo un conjunto de estados discretos S i , j , donde cada uno de estos consiste en un estado. 29.

(30) IEL2-2002-II-02. continuo indicando cuando v cambia de valor de v j a vi . Entonces, introduciendo estos valores tenemos:. S1, 2 = {x ∈ ℜ x ≤ λx0 } S 2,1 = {x ∈ ℜ x ≥ x0 }. S 2,3 = {x ∈ ℜ x ≤ − x0 } S 3, 2 = {x ∈ ℜ x ≥ −λx0 }. (1.21). donde estas regiones están acorde al comportamiento que se muestra en la Figura 1.13 . Los cambios en la variable v pueden ser descritos por un diagrama de transición de estados como es mostrado en la Figura 1.14 . Cada nodo representa un posible valor de la variable de estados discretos. v . Hay un cambio de vi hacia v j cuando x toma algún valor en el conjunto descrito por S i , j , indicado por los arcos dirigidos de vi hacia v j .. S1,2. v1. S2,3. v3. v2 S2,1. S3.2. Figura 1.13 Diagrama de transiciones entre Estados Discretos. Si se asume que el relay mecánico es conectado directamente a un motor de corriente modelado de acuerdo con la Figura 1.15, donde la entrada del motor es el voltaje de campo v y la salida es el ángulo x . Ra. Rf. La. +. v -. Lf. if. ua. x. ia. Figura 1.14. Motor de corriente directa. 30.

(31) IEL2-2002-II-02. El circuito del rotor es manejado por una constante de voltaje u a . De aquí que el momento de torsión T sea proporcional a la densidad de flujo magnético, la cual es proporcional a la corriente de campo i f :. T = K mi f ,. (1.22). donde K m es una constante. El momento de equilibrio puede ser descrito por. &x& =. T − Bx& − Kx J. (1.23). donde J es el momento de inercia del rotor y de la manecilla, B es el factor de amortiguamiento y K es la dureza del eje. La relación entre el voltaje y la corriente de campo esta dada por:. if =. − Rf if + m. (1.24). Lf. Tomando x1 = x, x 2 = x& y x3 = i f como las variables de estado continuo, un modelo para el motor de corriente directa puede definirse como:.  x&1      0  x& 2  = − K J       0  x& 3  . 1 −B 0. x   1      Km x + J  2     R  − f L f   x3   0. J.  0  0 m 1  L f . (1.25). 1.4.2.1 Simulación Para ilustrar el comportamiento del motor de corriente continua, los siguientes valores numéricos son utilizados en la simulación del Sistema Híbrido.. α = 0.1,. β = 0.2, entonces x0 = α + β = 0.3. m1 = −1,. m2 = 0,. m3 = 1,. J = 1, B = 1,. −α + β 1 = , 3 α+β K = 1, K m = 1, R f = 1, L f = 1. y. λ=. 31.

(32) IEL2-2002-II-02. Como se explicó anteriormente la dinámica del relay mecánico y el motor de corriente directa es dada por los estados. discretos en (1.21) y los. estados continuos en (1.25) , los cuales describen el comportamiento Híbrido del Sistema.. Para modelar la naturaleza híbrida del sistema, es necesario tener en cuenta la simulación tanto de la dinámica continua como de la dinámica discreta.. •. La dinámica continua, de acuerdo con (1.25) , se modela mediante el siguiente diagrama de bloques, donde el bloque ri es la matriz de variables de estados y mi el es estado discreto que cambia de valor según el diagrama de transiciones de estado de la Figura 1.14.. Figura 1.15. Diagrama de bloques dinámica continua.. •. Para introducir la dinámica discreta del sistema, descrita por la ecuación (1.21), se introduce en el modelo el bloque Subsistema(i), como se ve en la figura anterior, el cual corresponde a cada uno de los 3 estados discretos y representa su función de transición hacia el siguiente estado discreto.. 32.

(33) IEL2-2002-II-02. Dependiendo del estado actual del estado discreto (m1, m2 o m3), el correspondiente subsistema para cada uno de ellos toma los valores que se muestran a continuación, teniendo en cuenta como se explicó anteriormente, que el comportamiento depende a la vez del estado anterior. Los valores de cada subsistema regulan el intervalo en el cual cada uno de ellos funciona:. Subsistema 2.. Subsistema 1.. Subsistema 3 Figura 1.16 Subsistemas para la dinámica discreta del sistema. 1.4.2.2 Resultados de la Simulación Una solución periódica aislada es llamada un ciclo limite en la teoría de sistemas no lineales. Un ciclo limite en un sistema híbrido puede, al igual que los sistemas no lineales, ser estable o inestable dependiendo de si las trayectorias en sus alrededores tienden a él o no, cuando el tiempo tiende a infinito. Este es el caso del relay mecánico, para ciertos valores de simulación.. 33.

(34) IEL2-2002-II-02. Al igual para sistemas no lineales, en general es difícil predecir la existencia ( y posible estabilidad) de una solución periódica en un sistema híbrido. Algunos métodos existen, pero están limitados a clases especiales de sistema híbridos. Uno de ellos desarrollado por Petterson en [1], donde se aproxima el comportamiento del sistema, a una función N(a), obtenida calculando la seria fundamental de Fourier para una señal de entrada sinusoidal, donde la intersección de las curvas de amplitud y frecuencia, concluyen la estabilidad del sistema.. Utilizando los teoremas de Lyapunov en el siguiente capitulo, puede ser mostrado que si todos los vectores de campo satisfacen. x T f ( x, m ) < 0. para todos los posibles estados híbridos, no hay soluciones periódicas.. Como se ve en la simulación para un factor de amortiguamiento de B=1, la solución es un ciclo límite, es decir, periódica y a medida que se aumenta el factor B, el sistemas se convierte en exponencial y globalmente estable.. B=1: Ciclo límite. B=3: Exponencialmente estable. 34.

(35) IEL2-2002-II-02. B=6: Exponencialmente estable Figura 1.17. Simulación de motor de corriente directa.. La afirmación anterior es corroborada, con el diagrama de fase del sistema, en donde para el valor de B=1, las trayectorias resultantes son ciclos límites y para los valores de B=3 y superiores, las trayectorias son exponencialmente estables.. Figura 1.18. Gráfica de dx/dt vrs. X. 35.

(36) IEL2-2002-II-02. CAPITUL0 2 Teoría de Estabilidad de Lyapunov. La propuesta más general y utilizada para el estudio de la estabilidad en Sistemas Híbridos es la teoría introducida a finales del siglo XIX por el matemático ruso A.M. Lyapunov. En este capitulo se presentan los conceptos básicos de esta Teoría, que mas adelante servirán de base para formular las condiciones de estabilidad en las cuales está basado el problema LMI.. 2.1 Definiciones Básicas Definición 2.1 Si se considera un sistema dinámico el cual satisface. x& = f ( x, t ), x(t 0 ) = x0. x ∈ ℜn ,. (2.1). x* ∈ ℜ n es un punto de equilibrio del sistema si f ( x*, t ) ≡ 0 [3]. En otras palabras , un punto de equilibrio, significa que para cualquier trayectoria que comience en algún lugar cerca de este punto, se mantendrá cerca del mismo en todo tiempo futuro. Un punto se dice localmente estable si para todas las trayectorias que comienzan en las vecindades de x * se mantiene cerca de x * para todo tiempo futuro.. 36.

(37) IEL2-2002-II-02. Un punto se dice local y asintóticamente estable si x * es localmente estable y todas las trayectorias que comienzan cerca de x * tienden hacia. x * cuando t → ∞ .. Definición 2.2 El punto de equilibrio. x* = 0 de la Definición 2.1, se dice estable en el. sentido de Lyapunov [3] en. t = t 0 si para cualquier ε > 0 existe. δ (t , ε ) > 0 , tal que x(t 0 ) < δ. ⇒. x(t 0 ) < ε , ∀t ≥ t 0. (2.2). Esta definición es un teorema de estabilidad local, que describe el comportamiento de un sistema cerca al punto de equilibrio.. Definición 2.3 El punto de equilibrio x* = 0 es un punto de equilibrio exponencialmente estable de (2.1) si existen las constantes m, α > 0 y ε > 0 , tal que:. x(t ) ≤ me −α ( t −t0 ) x(t 0 ). (2.3). para todo x(t 0 ) ≤ ε y t ≥ t 0 . [3]. 2.2 Estabilidad en el sentido de Lyapunov 2.2.1 El método de linealización de Lyapunov El método de linealización de Lyapunov busca analizar la estabilidad local de sistemas no lineales. Aquí se asume que si un vector de campo no lineal es continuamente diferenciable, entonces el sistema no lineal posee las mismas propiedades de estabilidad que el sistema linealizado. 37.

(38) IEL2-2002-II-02. alrededor del origen. Desafortunadamente este análisis solo implica propiedades locales (es decir, el resultado de estabilidad es valido solamente en la región alrededor de la cual se linealizó el sistema. Por otra parte, propiedades globales de estabilidad pueden ser concluidas aplicando el Método directo de Lyapunov, razón por la cual este método es utilizado por Petterson [1], mediante el cual se busca una apropiada función de Lyapunov de manera que se pueda probar la estabilidad del sistema híbrido.. A continuación. se describe mas detalladamente el método directo de. Lyapunov.. Figura. 2.1 Diagramas de Fase para puntos de equilibrios estables e inestables.. 4. . x. -4. -4. x. 4. A) Estable en el sentido de Lyapunov. 38.

(39) .. 4. 0.4. . x. .. -4. -0.4. x. -4. x. 4. -0.4. B)Asintóticamente estable. x. 0.4. C)Inestable. 2.2.2 EL método directo de Lyapunov [3] El método directo de Lyapunov permite determinar la estabilidad de un sistema sin explícitamente integrar la ecuación diferencial 2.1. El método es una generalización de la idea que si existe lo que se denomina una “función de energía” estudiando su velocidad de cambio, se puede determinar la estabilidad de un sistema.. La definición de “función de energía”, es una función que cumple con las siguientes condiciones, tomando Bε como una circunferencia de tamaño. ε alrededor del origen, B ε = {x ∈ ℜ n : x < ε }:. •. Función definida positiva localmente (por sus siglas en ingles lpdf) Una función continua V : ℜ n xℜ + → ℜ es una función definida positiva localmente si para todo ε > 0 y continuo, es una función estrictamente creciente α : ℜ + → ℜ ,.

(40) IEL2-2002-II-02. V (0, t ) = 0. y V ( x, t ) ≥ α x. ∀x ∈ Bε , ∀t ≥ 0.. (2.4). Una función local definida positiva es una función de energía local. Funciones globales definidas positivas localmente como una función de energía son llamadas funciones definidas positivas como sigue:. •. Función. definida. positiva:. Una. función. continua. V : ℜ n xℜ + → ℜ es una función definida positiva si satisface las condiciones para ser definida positiva localmente y además cumple que α ( p ) → ∞ así como p → ∞ .. •. Función decreciente: Una función continua V : ℜ n xℜ + → ℜ es decreciente si para todo ε > 0 y para toda continua y estrictamente función creciente β : ℜ + → ℜ,. V ( x, t ) ≤ β ( x ) ∀x ∈ Bε , ∀t ≥ 0. (2.5). A partir de estas condiciones, el siguiente teorema permite determinar la estabilidad de un sistema estudiando una apropiada función de energía. El teorema se basa en. que cuando V ( x, t ) es una función definida. positiva localmente y V& ( x; t ) ≤ 0 se puede entonces concluir que existe un punto de equilibrio para el sistema.. El análisis de estabilidad de sistemas híbridos usando funciones de Lyapunov es complicado debido a que existen conmutaciones de los. 40.

(41) IEL2-2002-II-02. estados discretos, de aquí que se hayan planteado las funciones cuadráticas de Lyapunov a trazos, las cuales, mediante la partición del espacio de estados, busca asociar a cada una de tales particiones una función de Lyapunov, que sea valida para todo el espacio. Detalle de esto se verá en los capítulos siguientes.. A continuación se presenta una tabla que resume el Teorema de estabilidad propuesto por Lyapunov.. Tabla 2.1 Resumen del Teorema de Estabilidad de Lyapunov Condiciones en Condiciones en -. V(x,t). V(x,t). Conclusión. 1 lpdf. >/ 0 localmente. Estable. 2 lpdf, decreciente. >/ 0 localmente. Uniformemente Estable. lpdf 3 lpdf, decrecente. lpdf. Uniforme y asintóticamente Estable. 4 pdf, decreciente. pdf. Global, uniforme y asintóticamente Estable. 41.

(42) .. CAPITULO 3 Estabilidad en Sistemas Híbridos. Estabilidad es una de las propiedades más importantes en la dinámica de sistemas híbridos. Los resultados de estabilidad presentados,. son. extensiones de la Teoría de Lyapunov, descrita en el capitulo anterior y desarrollada por Petterson [1], en la cual la existencia de una función de energía que satisface ciertas propiedades verifica la estabilidad. En este capitulo. se muestran dichas condiciones de estabilidad aplicada a. Sistemas Híbridos[1].. 3.1 Conceptos Básicos. Demostrar la estabilidad de un sistema depende de la existencia y/o construcción de una apropiada (continua y diferenciable) función de energía de Lyapunov que puede en muchas ocasiones no existir o cuando existe, puede ser difícil construirla.. Debido a este hecho y a la naturaleza discontinua propia de los Sistemas Híbridos, se. sugiere fuertemente utilizar múltiples funciones de. Lyapunov concatenadas para producir una no tradicional función de Lyapunov, de manera que se facilite el análisis de estabilidad (mediante funciones de Lyapunov). Utilizar este tipo de funciones ofrece menos restricciones para demostrar la estabilidad del Sistema. Estas funciones.

(43) IEL2-2002-II-02. definen un sistema mediante la partición del espacio de estados en un número finito de regiones poliédricas, asociando a cada una de ellas un modelo lineal diferente, es decir, asociando a cada región una función de medida de energía (definida en el Capítulo2).. A partir de esto, el análisis de estabilidad se restringe a la forma especial. x& (t ) = f ( x(t ), p (t )) ≡ f p ( t ) ( x(t )). (3.1). donde p (t ) ∈ {1,...., M }. De aquí se asume que p(t) es una función múltiple de Lyapunov continua, lo cual implica que solo hay un finito número de cambios por unidad de tiempo.. Uno de los primeros resultados para la estabilidad de sistemas híbridos lineales a conmutación fue descubierto por Peleties[5] para el tipo de sistemas descrito por 3.1 cuando f i ( x) = Ai x . Así mismo se define una familia de funciones de Lyapunov {Vi , i = 1,...M } asociada cada una a un vector de campo f ( x, i ) = f i ( x) y a un punto de equilibrio x ∈ Ω i ⊂ ℜ n (el espacio de estados) es una función de valor real Vi (x) (con derivadas parciales continuas) definida bajo la región. Ω i satisfaciendo. las. siguientes condiciones:. •. Definida. positiva:. Vi ( x ) = 0. y. Vi ( x ) > 0. para. x ≠ x ∈ Ωi ;. frecuentemente x = 0 . •. Derivada definida negativa: Para x ∈ Ω i .. 43.

(44) IEL2-2002-II-02. ∂V ( x) V&i ( x) = i f i ( x) ≤ 0. ∂x. (3.2). donde Ω i es la región en la cual x es válida.. En otras palabras, basados en la teoría de Lyapunov la estabilidad para un sistema f i ( x) = Ai x , puede ser verificada con una función cuadrática de Lyapunov V(x)=xTPx,. con la matriz Pi > 0 tal que AiT Pi + Pi AiT = −Q. donde Q > 0, Q = αI con α > 0 e I matriz identidad.. 3.2 Teoremas de Estabilidad para Sistemas Híbridos[1]2 En esta sección se presentan las condiciones de estabilidad, estabilidad asintótica y estabilidad exponencial par sistemas híbridos. Aquí se asume que el modelo utilizado satisface las suposiciones hechas en la sección anterior y que el particionamiento es hecho como se describió previamente.. 3.2.1 Estabilidad La estabilidad para sistemas híbridos puede ser verificada utilizando el siguiente teorema [1):. Teorema Si existe Vi ( x) : clΩ qx → ℜ,. q ∈ I l y una función clase K α : ℜ + → ℜ + y. β : ℜ + → ℜ + tal que 2 Los teoremas de estabilidad presentados fueron tomados de [1], donde se encuentran las respectiva pruebas de los mismos.. 44.

(45) IEL2-2002-II-02. 1. x ∈ Ω qx ,. α ( x ) ≤ Vq ( x) ≤ β ( x ), q ∈ I l. 2. ( x, m) ∈ Ω q ,. V&q ( x) ≤ 0, q ∈ I l. 3. x ∈ Λxq , r , Vr ( x) ≤ Vq ( x), (q, r ) ∈ I Λ , entonces el punto de equilibrio 0 es estable en el sentido de Lyapunov. Una función clase K. es una función continua α : ℜ + → ℜ + la cual. cumple que α (0) = 0 , α ( z ) > 0 y α ( z1 ) ≤ α ( z 2 ) para z1 < z 2 .. Mirando un poco las condiciones presentadas anteriormente, vemos que la primera condición limita la función de Lyapunov, mediante una cota inferior y otra superior. La segunda condición hace explicito el requisito de derivada definida negativa, en otras palabras, decreciente. Así mismo la tercera condición, con r>q, implica para regiones vecinas que la función de Lyapunov debe ser menor que su inmediatamente anterior, de manera que se garantice el decrecimiento de la función cuadrática de Lyapunov (concatenación de las diferentes funciones de Lyapunov para cada región).. 3.2.2 Estabilidad Asintótica Un sistema es asintóticamente estable si cumple las siguientes condiciones (Nótese que es una variación del Teorema de Estabilidad).. Teorema Si existe Vi ( x) : clΩ qx → ℜ,. q ∈ I l y una función clase K α : ℜ + → ℜ + ,. β : ℜ + → ℜ + y γ : ℜ + → ℜ + tal que 1. x ∈ Ω qx ,. α ( x ) ≤ Vq ( x) ≤ β ( x ), q ∈ I l. 45.

(46) IEL2-2002-II-02. 2. ( x, m) ∈ Ω q ,. V&q ( x) ≤ −γ ( x ), q ∈ I l. 3. x ∈ Λxq , r , Vr ( x) ≤ Vq ( x), (q, r ) ∈ I Λ , entonces el punto de equilibrio 0 es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov. Si las suposiciones de globalidad se mantienen y. α ( x ) → ∞ cuando x → ∞ , entonces, el punto de equilibrio 0 es global asintóticamente estable.. 3.3.3 Estabilidad Exponencial Reemplazando las funciones clase K del Teorema de estabilidad asintótica por funciones mas restrictivas,. se puede verificar la. estabilidad exponencial para sistemas híbridos.. Teorema Si existe Vi ( x) : clΩ qx → ℜ,. α > 0, β > 0 1. x ∈ Ω qx ,. y γ > 0,. q ∈ I l y unas constantes tal que q ∈ I l y también:. α x ≤ Vq ( x) ≤ β x , q ∈ I l. 2. ( x, m) ∈ Ω q ,. 2. 2. 2 V&q ( x) ≤ −γ x , q ∈ I l. 3. x ∈ Λxq , r , V r ( x) ≤ V q ( x), (q, r ) ∈ I Λ , entonces el punto de equilibrio 0 es exponencialmente estable en el sentido de Lyapunov. Si se analizan las condiciones para la estabilidad exponencial, vemos que al igual que el teorema de estabilidad, la primera condición limita la función de Lyapunov, mediante una cota inferior y otra superior.. 46.

(47) IEL2-2002-II-02. La segunda condición hace explicito el requisito de derivada definida negativa, en otras palabras, con una tasa de decrecimiento cuyo comportamiento. se asemeja a una función exponencial, de aquí su. nombre. Así mismo la tercera condición, con r>q, implica para regiones vecinas. que. la. función. de. Lyapunov. debe. ser. menor. que. su. inmediatamente anterior, de manera que se garantice el decrecimiento de la función cuadrática de Lyapunov (concatenación de las diferentes funciones de Lyapunov para cada región).. 47.

(48) IEL2-2002-II-02. CAPITULO 4 Condiciones de Estabilidad como Matrices de Desigualdades Lineales (LMI). En este capitulo se muestra cómo la búsqueda de funciones que satisfagan las condiciones de estabilidad pueden ser formuladas como un problema de matrices de desigualdades lineales (LMI, por sus siglas en inglés. Linear. Matrix. Inequalities),. donde. la. solución. puede. ser. encontrada mediante herramientas computacionales. Así mismo, se verifica la estabilidad de los sistemas híbridos a conmutación propuestos en el Capitulo 1 mediante este método, cuyos archivos reposan en un documento. 4.1 Matrices de desigualdades Lineales En muchas ocasiones el punto crítico de ciertas aplicaciones en sistemas híbridos es encontrar una apropiada funcion de Lyapunov que satisfaga las condiciones de estabilidad propuestas en el Capitulo anterior, para lo cual no existen métodos generales. disponibles. Afortunadamente las. condiciones de estabilidad pueden ser formuladas como Matrices de Desigualdades Lineales (LMIs), en otras palabras, que es un problema de optimización convexo para el cual existen herramientas computaciones eficientes.. 48.

(49) IEL2-2002-II-02. La principal razón para formular el problema de estabilidad como un problema LMI es que puede ser resuelto numéricamente utilizando herramientas basadas en el método del punto-interior, además, que la existencia de una solución para éste problema es una condición suficiente para determinar la estabilidad de sistemas híbridos.. 4.1.1 Descripción general del problema: Tomando m. L ( z ) = Lo + ∑ z i Li ,. (4.1). i =1. donde. z ∈ ℜ m es la variable y las matrices simétricas Li ∈ ℜ n× n están. dadas. Una matriz de desigualdades lineales estricta es una desigualdad de la forma. L( z ) > 0 y una desigualdad de la forma. L( z ) ≥ 0 es un LMI no estricto.. Diversos LMIs L1(z) > 0,...,Ln(z) > 0 pueden ser expresados como un solo problema LMI diag (L1(z),...,Ln(z)) > 0 Por lo tanto no hay necesidad de diferencias entre un grupo de matrices de desigualdades lineales (LMIs) y una sola matriz. A pesar que LMI parece tener una forma especial, puede ser representado para una gran variadas de restricciones convexas en z. Varios LMI son. 49.

(50) IEL2-2002-II-02. frecuentemente expresados con matrices como variables, que es el caso que nos concierne, donde la desigualdad de Lyapunov:. P > 0,. AT P + PA < 0. con A una matriz dada y la matriz simétrica P es la variable. Algunas matrices de desigualdades pueden ser explícitamente escritas en la forma anterior.. 4.1.2 Problema LMI estándar Dado un LMI L( z ) > 0 , el problema LMI estándar es encontrar una variable factible zfeas, que satisface la desigualdad o determinar que el problema LMI no es factible. Es también posible buscar una solución donde algunos criterios adicionales son minimizados. La forma general del problema valor propio generalizado puede ser formulado como:. Minimizar λ, sujeto a λB( z ) − A( z ) > 0, B( z ) > 0, C ( z ) > 0,. (4.2). el cual es reducido a un problema de valor propio cuando B(z) es la matriz identidad, forma en la cual es formulada el problema de estabilidad. Los autovalores pueden aparecer en la forma equivalente de minimizar una funcion lineal sujeta a un LMI F(z)>0. En el caso especial en el cual todas las matrices Fi son diagonales, el problema se reduce a un problema general de programación lineal.. 50.

(51) IEL2-2002-II-02. 4.2 Condiciones de Estabilidad 4.2.1 Funciones cuadráticas de Lyapunov a trazos El problema de búsqueda de una apropiada función de Lyapunov, se resume a la búsqueda de. funciones locales de Lyapunov, las cuales. están asociadas a regiones-Ω que cubren todo el espacio de estados. La metodología comienza con el particionamiento del espacio de estados en potenciales regiones-Ω, de manera que. para cada una de ellas, se. encuentre una función de Lyapunov, lo cual facilita e incrementa la factibilidad del problema, ya que la concatenación de estas funciones locales, si existen, cubren el espacio de estado, de tal manera que solo una de ellas es activa en cierta región del mismo. Cada región-Ω debe ser definida o cubierta por una zona especificada mediante una forma cuadrática y, asumiendo que esto sea posible, la búsqueda para una apropiada función de Lyapunov puede ser formulada como un problema LMI.. Es importante anotar que la función candidata a ser función de Lyapunov (conjunto de las funciones locales) debe ser cuadrática y diferenciable a trazos, lo cual implica que cada función local de Lyapunov debe tener la estructura:. Vq = π q + 2 p qT x + x T Pq x,. ( x, m ) ∈ Ω q , donde π q ∈ ℜ,. p q ∈ ℜ nx1. y. (4.3). Pq = PqT ∈ ℜ n xℜ n , q ∈ I l .. Definiendo.  x ~ x =  , 1 . ~ =  Pq P  pT q  q. pq  , π q . (4.4). 51.

(52) IEL2-2002-II-02. Vq (x) puede ser escrito como: ~~ Vq ( x) = ~ xT P q x.. ( x, m ) ∈ Ω q ,. (4.5). La cual será valida para la región sobre la cual fue definida y cero en el resto del espacio de estados. Partiendo de la función de Lyapunov definida anteriormente las condiciones de estabilidad para sistemas híbridos planteadas en el capítulo anterior se modifican de la siguiente manera:. Primera condición: La primera condición de estabilidad, a partir de la función de Lyapunov descrita anteriormente se puede definir como: 1. x ∈ Ω qx ,. ~~ ~ T ~~ q ∈ I α~x T I~~ x≤~ xTP q x ≤ βx I x , l. ~. donde I ∈ ℜ n +1 × ℜ n +1. e I ∈ ℜ n × ℜ n es la matriz identidad que definen. I~ como:.  I 0 I~ =  . 0 0 . (4.6). Segunda condición: Es necesario tener en cuenta que la formulación de este segunda condición. dependerá. del. tipo. de. sistema. híbrido. que. se. esté. considerando. Para el caso de los ejercicios tratados durante el documento, es necesario formular la condición para el caso de Sistemas Híbridos Afines. Para detalles de cómo formular el problema LMI para Sistemas híbridos con vectores de campo no lineales referirse a [1].. En el caso de sistemas híbridos afines (1.5), se tiene que :. 52.

(53) IEL2-2002-II-02. ~ (m ) =  A(mi ) B(mi ), A i  0 0  . mi ∈ Μ ,. (4.7). ~. con A(mi ) ∈ ℜ n +1 × ℜ n +1 , la función V& (x) puede ser escrita como:. ~ ~ ~ +P ~A ~ x T ( A( m) T P ( x, m) ∈ Ω q , V& ( x) = ~ q q ( m)) x. (4.8). A partir de esta expresión, la segunda condición de estabilidad resulta:. 2. x ∈ Ω qx , mi ,. ~ ~ ~ +P ~A ~ ~ ~ T ~~ x T ( A( mi ) T P q q ( m i )) x ≤ γx I x ,. mi ∈ Ω mq , q ∈ I l .. Tercera Condición: Utilizando la función cuadrática de Lyapunov definida en (4.3), la tercera condición de estabilidad puede ser formulada como: 3. x ∈ Λxq , r ,. ~~ ~ ~T ~ ~ xTP r x ≤ x P q x,. ( q, r ) ∈ I Λ .. 4.3 Condiciones de estabilidad como un problema LMI Las condiciones de estabilidad para una función especifica de Lyapunov debe solo ser satisfecha en la región local. Para restringir las condiciones de estabilidad a regiones locales, dos pasos son necesarios.. 4.3.1 Procedimiento-S Primero,. una. técnica. llamada. procedimiento-S. es. aplicada. para. reemplazar una condición de estabilidad con restricciones por una condición sin restricciones.. Para explicar este procedimiento para funciones cuadráticas desigualdades no estrictas, se toma Fo,....,. y. Fk como funciones. cuadráticas de la variable x ∈ ℜ n en la expresión:. 53.

(54) IEL2-2002-II-02. F k ( x) = x T Qx + 2(q k ) T x + φ k , donde Q k = (Q k ) T ∈ ℜ n× n ,. q k ∈ℜn. k = 0,...., κ. (4.9). y φ k ∈ℜ. Considerando la siguiente condición en Fo: Fo(x) ≥ 0 para todo x que satisface la condición Fk(x) ≥ 0, k ∈ Ik. (4.10). La condición restringida (4.10) puede ser reemplazada por una función sin restricciones así:. Si existe λk≥ 0, k ∈ Ik, tal que κ. ∀x ∈ ℜ n , F 0 ( x) ≥ ∑ λ k F k ( x),. (4.11). k =1. entonces. De aquí, que introduciendo variables adicionales λk≥ 0, k ∈ Ik, la condición (4.10) ha sido cambiada en una condición LMI la cual puede se escrita como :.  Q0 ~ x 0 T ( q ). q 0 ~ k k ~ Q k x ≥ ∑λ x  k T φ k =1 ( q ). qk   φk. (4.12). x =[xT 1]T. donde ~. Todas las condiciones de estabilidad están descritas por Fo(x) ≥ 0, donde Fo(x) es una función cuadrática definida como (4.9). En. la. primera. condición,. ~ − αI~) ~ F 0 ( x) = ~ x T (P x ≥0 q. y. las. dos. desigualdades. son. ~ + βI~) ~ F 0 ( x) = ~ x T (− P x ≥ 0 ; la desigualdad en. 54.

(55) IEL2-2002-II-02. la segunda condición es. ~ ~ ~ +P ~A ~ ~ F 0 ( x) = − ~ x T ( Aq (mi ) T P q q q ( mi ) + γ .I ) x ; y ~. ~. x T ( Pq − Pr ) ~ x. finalmente la tercera desigualdad es F 0 ( x) = ~. La primera y segunda condición están restringidas a regiones. Ω qx y. Ω qx , mi respectivamente. Estas condiciones pueden ser reemplazadas por condiciones. no. restringidas. de. la. ~ k correspondientes a las regiones Ω k Q q. forma. (4.12).. Las. matrices. ~. son denotadas como Q qx. y las. ~. regiones Ω qx , mi son denotadas como Qqk,mi .. La tercera condición esta restringida a las hipersuperficies Λkq ,, r . Cuando estas son definidas por F k ( x) = 0,. k ∈ I k donde cada. F k (x) tiene la. forma (4.9), no habrá restricciones en las variables adicionales en (4.12) .. Sin embargo, si algunas superficies de conmutación no pueden ser. exactamente descritas por F k ( x) = 0,. k ∈ I k , entonces es posible incluir. alguna región con funciones cuadráticas satisfaciendo F k ( x) ≥ 0 , en este caso las variables adicionales en (4.12) tienen que ser mayores o iguales. ~. a cero. Las matrices Q k correspondientes a las hipersuperficies Λkq ,, r. son. ~. denotadas como Qqk,, r. 4.3.2 Descripción de regiones mediante formas cuadráticas Segundo, la región debe ser expresada o contenida en regiones caracterizadas por formas cuadráticas .. 55.

(56) IEL2-2002-II-02. Una manera de especificar los parámetros dentro de las formas cuadráticas, es dependiendo de los límites que definan las regiones:. Regiones limitadas por hiperplanos Cuando el origen está incluido dentro de la región y el grupo de estados esta restringido por dos semi-planos (ca)Tx ≥ 0 y (cb)Tx ≥ 0. (4.13). entonces R será descrita por la forma cuadrática xTQ1x ≥ 0 donde Q1= ca(cb)T+cb(ca)T. (4.14). Cuando el origen no esta incluido en la región R, la forma cuadrática puede ser especificado también con parámetros constantes y lineales. Un solo semi-plano puede ser descrito por una forma cuadrática. ~ ~ x T Q1~ x ≥ 0,. ~ 0 donde Q1 =  T c. c 2d . (4.15). y x definida como en (4.12). Donde el cero en la esquina superior izquierda es una matriz de ceros de dimensión n × n.. Si R está restringida por un grupo de varios semi-planos, la forma cuadrática puede ser obtenida tomando todas las posibles combinaciones de dos diferentes semi-planos ( al igual que la forma anterior) junto con la forma cuadrática que describa cada uno de los semi-planos. Esto resulta en. diferentes formas cuadráticas y de aquí, λk variables. donde k es el numero de semi-planos.. Por lo tanto, en el caso de dos semi-planos. 56.

(57) IEL2-2002-II-02. (ca)Tx + da ≥ 0 y (cb)Tx + db ≥ 0. (4.16). la forma cuadrática es. ~1  c a (cb )T + c b (c a )T Q = b a T a b T  d (c ) + d (c ) c   0 ~ ~ ~ x TQ2~ x ≥ 0, donde Q 2 =  a T , a (c ) 2 d  ~ ~ x T Q1 ~ x ≥ 0, donde.  0 ~ ~ ~ x T Q3~ x ≥ 0, donde Q 3 =  b T (c ). d bc a + d a c , 2d a d b  (4.17). cb   2d b . La desventaja de especificar una región por varios hiperplanos es el gran numero de variables LK que son necesarias. EL numero de parámetros puede ser reducido reemplazando la región R por una sola forma cuadrática. describiendo un cono elíptico para regiones que contienen. el origen o por un elipsoide para regiones que no lo contienen. En el caso de un cono elíptico, si una región poliédrica es descrita por los semi planos. c aT x ≥ 0. T. y cb x ≥ 0. y. c aT x ≤ 0. T. y cb x ≤ 0. la forma cuadrática que caracteriza la región es obtenida multiplicando los dos semi planos juntos. x T Qx ≥ 0. (4.18). Q = c a cbT + cb c aT. (4.19). donde. Para ilustrar el caso de la elipsoide, ver detalles en [1].. 57.

(58) IEL2-2002-II-02. Cuando una forma cuadrática es igual a cero en un hiperplano dado, esta puede ser obtenida como sigue.. Se asume que R esta dada por el grupo de estados que satisfacen un hiperplano cTx+d=0. [. Donde c = c 1 ....c n. ]. T. ∈ℜn. (4.20). y d ∈ ℜ . Los estados que satisfacen (4.20). también cumplen 2(λTx+λn+1)T(cTx+d)=0. (4.21). donde λK son variables arbitrarias adicionales. La igualdad en(4.21) puede ser escrita como.  λ  ~ x T  n +1  c T λ . [. ]. [. c  d~ x+~ x T   λT d . ]. n +1. ~k ~ λn +1 ~ x = ∑ λk ~ xTQ x =0 k =1. donde Qk=eK[cTd]+[cT d]T(ek)T. (4.22). y ek es un vector columna con n elementos tal que. 1 i = k  e k (i ) =   0 i ≠ k  donde i significa el i-ésimo elemento de ek.. 4.4 Resumen del problema LMI Se denota I como la matriz identidad. El problema es encontrar una solución al minimizar β sujeto a:. 58.

(59) IEL2-2002-II-02. α > 0 µ qr ≥ 0 ϑqk, mi. 0.. kq. αI + ∑ µ qk Qqk ≤ Pq ≤ βI ,. 1.. q∈I. k =1. 2. A(mi ) Pq + Pq A(mi ) + T. 3.. Pe +. k q , mi. ∑η k =1. k q,r. k q , mi. ∑ϑ k =1. k q , mi. Qqk, mi ≤ − I. mi ∈ Ω mq , q ∈ I l. Qqk, r ≤ Pq. ( q, r ) ∈ I Λ. 0) Variables a encontrar, donde K es el número de las diferentes funciones locales de Lyapunov. 1) Lado izquierdo: Condición para que. la función de Lyapunov sea. definida positiva. Lado derecho: Limite superior para las funciones locales de Lyapunov de manera que determina el limite superior de la velocidad de convergencia. 2) Garantiza que la energía sea decreciente en cada región Ωq. 3) Garantiza que la energía del sistema sea decreciente cuando existe una partición en regiones del espacio de estados (Condición sobre la concatenación de las diferentes funciones locales de Lyapunov.. 4.5 Verificación de Estabilidad mediante la formulación de un problema LMI. Ejemplo 4.1. Tomando el Ejemplo 1.1 Automóvil con transmisión automática y control de torque, para la velocidad deseada v ref =30m/s, se puede verificar la estabilidad exponencial (anteriormente mostrada en la simulación del. 59.

(60) IEL2-2002-II-02. sistema híbrido) formulando el problema matricial de desigualdades lineales correspondiente.. A partir de la descripción de la dinámica del sistema en lazo cerrado, tomando ∆v = v ref − v y ∆TI = TI , se puede rescribir como:. ∆v&  − p r K r    M   =  Kr ∆T&   Tr  I.  ∆v   M     0  ∆   TI . − pr. Así mismo con los valores numéricos utilizados en la simulación del sistema. híbrido. desarrollado. en. el. Capitulo. 1,. se. tiene. que. M = 1500 , p r ∈ {50 , 32 , 20 ,14 } K r ∈ {3 . 75 ,5 . 86 , 9 . 37 ,13 . 39 } T r = 40 pr K r = 187.5 para todos los estados discretos.. Para la formulación del problema LMI se trabajaran dos casos: •. Inicialmente se asume que no hay saltos de estados en la variable TI , como se describe en (1.19). Partiendo de esta hipótesis, la estabilidad puede ser mostrada para una sola partición, ese decir, una sola función de Lyapunov común para todos los estados discretos. ( El espacio de estados es tomado como una sola región).. •. Basados en esto, el problema LMI puede ser formulado como sigue, considerando que no existe particionamiento y que una función de Lyapunov es válida para todo el espacio de estados tenemos:. 60.

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