Aula 10052011 Árvores e Grafos 19h

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Algoritmos e Estrutura de Dados

Básico das Engenharias e Computação

Árvores

Paulo Cesar Lopes Email: [email protected]

www.sites.google.com/site/algoritmosestruturas

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Bibliografia

• MANZANO, José Augusto N. G.; OLIVEIRA, Jayr Figueiredo. Algoritmos: lógica para desenvolvimento de programação de computadores. 17.ed. São Paulo: Érica, 2005.

• ASCENCIO, Ana Fernanda Gomes; VENERUCHI, Edilene Aparecida.

Fundamentos de programação de computadores: algoritmos, C/C++ e C/C++. São Paulo: Prentice Hall, 2002.

• FERRARI, Fabricio; CECHINEL, Cristian; Apostila de Introdução a Algoritmos e Estrutura de Dados. Universidade Federal do Pampa. Disponível em

http://www.dcc.ufam.edu.br/david/dmdocuments/Introducao-a-algoritmos.pdf • PARLANTE, Nick; Binary Trees - The article introduces the basic concepts of

binary trees. Disponível em: http://cslibrary.stanford.edu/110/BinaryTrees.html. • Apostila Árvores. http://equipe.nce.ufrj.br/adriano/c/apostila/arvore.htm#defarvores • Aplicação interessante para compreender árvores AVL http://www.csi.uottawa.ca/

~stan/csi2514/applets/avl/BT.html

• Árvore AVL - http://pt.wikipedia.org/wiki/Árvore_AVL

• `http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htm

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Algoritmos e Estrutura de Dados

• Bibliografia

• Grafos

– Breve Histórico

– Conceitos, Recursos e Utilização – Motivação, Prática, e Representação

• Árvores

– Conceitos

– Arvores Binárias

• Modelos matemáticos

• Armazenamento

• Funções e Procedimentos Agenda

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Breve Histórico

Tudo começou no século XVIII, na cidade medieval de Königsberg, situada no leste

europeu, banhada pelo rio Pregel, que dividia a cidade em quatro áreas de terra ligadas

umas às outras por sete pontes, as famosas “sete pontes de Königsberg”.

Durante muito tempo se discutiu se era possível cruzar as sete pontes numa caminhada contínua, sem que se passasse duas vezes por qualquer uma delas. Leonhard Euler estudou este problema em 1736 e a partir daí

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Algoritmos e Estruturas de Dados

Conceitos e Representação Matemática

Matematicamente:

G(V,A) é definido pelo par de conjuntos não vazios V e A, onde:

V - conjunto dos vértices do grafo; A - conjunto de pares ordenados

a= (v,w), v e w  V: as arestas do grafo.

Vértices adjacentes: são aqueles que estão ligados por uma mesma aresta.

Aresta incidente: é aquela que liga dois vértices distintos.

(6)

Grau de um vértice é igual ao número de arestas nele incidentes.

Grafo Regular é aquele em que todos os vértices têm o mesmo grau.

Grafo Completo é aquele em que todos os vértices são adjacentes.

Um grafo G diz-se um Grafo Bipartido se o conjunto dos seus vértices admitir uma partição {V₁, V₂ } de tal forma, que toda a aresta de

G une um vértice de V₁ e um vértice de V₂.

Um grafo planar é um grafo que pode ser desenhado em apenas duas dimensões garantindo que as arestas não se cruzem.

(7)

Grafos

G=(V(G), E(G),



_G

), onde

V(G) ={1, 2, 3, 4, 5}

E(G)={e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈}

_G:

_G(e₁)= (1, 2), _G(e₂)= (1, 4),

5

1

2

3

4

(8)

A

C B

A

B

A

C

B

C B

(9)

• Grafo Não Direcional:

– São grafos onde as arestas E(G) não são ordenadas

(direcionadas), ou seja, a ARESTA (V1, V2) é a

mesma ARESTA (V2, V1)

• Grafo Direcional (Dígrafo):

– São grafos onde as arestas E(G) são ordenadas

(direcionadas), ou seja, a ARESTA (V1, V2) é

diferente da ARESTA (V2, V1)

Grafos

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Prática e Motivação

Muitas aplicações em computação necessitam considerar conjunto de conexões entre pares de objetos:

Existe um caminho para ir de um objeto a outro seguindo as conexões? Qual é a menor distância entre um objeto e outro?

Quantos outros objetos podem ser alcançados a partir de um determinado objeto?

Grafos são utilizados para modelar tais problemas.

Exemplo clássico para Engenharias e Computação:

` MÁQUINAS de ESTADOS

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Representação - Matriz

Grafos

Seja G = (V, A) um grafo com N vértices, a matriz de adjacência “A” de “G” é um arranjo bidimensional NXN, com as seguintes propriedades:

A[i, j] = 1, se existe um arco do vértice i ao vértice j (ou incide em j, no caso de grafos direcionados)

A[i, j] = 0, caso contrário

Em casos de grafos ponderados (com pesos associados às arestas),

o valor a ser inserido refere-se ao peso da aresta;

A B C D

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Representação - Matriz

Seja G = (V, A) um grafo com N vértices, a matriz de adjacência “A” de “G” é um arranjo bidimensional NXN, com as seguintes propriedades:

A[i, j] = 1, se existe um arco do vértice i ao vértice j (ou incide em j, no caso de grafos direcionados)

A[i, j] = 0, caso contrário

Em casos de grafos ponderados (com pesos associados às arestas),

o valor a ser inserido refere-se ao peso da aresta;

A B C D

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Representação – Lista Encadeada

Grafos

Na Lista de Adjacências, as linhas da matriz são representadas por listas encadeadas.

Cada vértice corresponde a uma linha

Vértices que contém ligações diretas têm um nó associado na linha

Um vetor V_ié usado como cabeçalho para estas listas, onde i é um determinado vértice.

_A

B

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Definição

Seja G um grafo. G é uma árvore se satisfaz as seguintes condições:

1. G é conexo e há exatamente um caminho entre dois vértices quaisquer.Já em uma floresta, há no máximo um caminho entre dois vértices, devido à não-conectividade.

2. G é acíclico, e um simples ciclo é formado se qualquer aresta for adicionada a G.

3. G é conexo, e deixará de ser conexo se qualquer aresta for removida de G.

4. G é conexo, acíclico e tem n − 1 arestas.

(15)

Conceitos e Recursos

É uma árvore um grafo

(16)

Nível 2 Nível 1 Nó raiz

A

C

F E

D

Nível 0

Altura da árvore

B

Nós internos

Folhas

B

E

Nó pai

Nó filho

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Uma árvore pode ser classificada de diversas formas diferentes, uma

delas é pelo número máximo de nós-filhos que cada nó-pai pode ter:

– Binária (dois nós);

– Ternária (três nós);

– Quaternária (quatro nós);

– N-ária (N nós);

– Não N-ária (quando não conhecemos ou não há um

número máximo de nós-filhos para cada nó-pai).

(18)

• Todo nó da árvore possui no máximo 2 nós filhos

Exceto os nós folha, que devem possuir exatamente 0 filhos

• É muito utilizada para tomadas de decisões bidirecionais

em cada ponto ou momento.

Árvores Binárias

A

C

F E

D G

B

(19)

Árvores Binárias

Árvore Binária Completa de nível

n:

• _t

_{odas as folhas estejam no nível}

_n

Se contiver

m

nós no nível

l

,

• ela conterá no máximo 2m nós no nível l+1

Uma árvore binária completa de nível

n

contém:

• exatamente

2

n

nós em cada lível

l

entre

0 e

n

• profundidade n com exatamente

2

n

nós no nível

n

(20)

Árvores Binárias

É possível calcular o nível k de uma árvore binária completa

se for informado o número total de nós (t

_n

conhecido)?

1 )

1 (

log

₂







t

_n

(21)

Implementação

Árvores Binárias

Árvores

raiz

esq A _dir

B C

E _F

D

(22)

Árvores Binárias

• Os nós de uma árvore binária quase completa podem ser numerados. • 1 para a raiz e filho esquerdo é o dobro do n. do pai e o filho direito é o

dobro + 1 do n. do pai.

• A numeração ajuda nas implementações.

• Facilita na localização de itens. A

B

D E

I

D

G F

1

2 3

4 5 6 7

(23)

Implementação

Árvores Binárias

• Possuem um número constante de sub-árvores em

cada nó.

– Limitação do número de ponteiros usados

• Algoritmos conhecidos e eficientes para o tratamento.

• A forma de armazenar os nós surge naturalmente de

sua definição:

– Ponteiro para o nó raiz (como nas listas lineares).

– Ponteiros para os filhos: esq e dir.

(24)

Implementação

Árvores Binárias

tipo

Ponteiro = ^TipoNo; TipoItem = registro

chave: TipoChave;

{outra variáveis..} fimregistro;

TipoNo = registro

Reg: TipoItem;

esq, dir: Ponteiro; fimregistro;

TipoArvoreBin = Ponteiro;

typedef struct No { int numero;

(25)

Implementação

Árvores Binárias

Árvores

1. Inicial(Arvore): apenas define um arvore vazia

2. CriarRaiz(Arvore): retorna nó raiz da árvore que foi criada em Arvore

3. Vazia(Arvore): retorna Verdadeiro se a árvore está vazia e Falso do contrário;

4. InsereFilhoaDireita: (Arvore,pai,item): Insere o elemento item na árvore à direita do nó pai se já não possui um filho à direita;

5. InsereFilhoaEsquerda: (Arvore,pai,item): Insere o elemento item na árvore à esquerda do nó pai se já não possui um filho a esquerda;

6. Busca(Arvore, item,pont): retorna o ponteiro pont para o nó item em Arvore; e se item não existe retorna NULL

7. PercursoPosOrdem(Arvore), PercursoPreOrdem(Arvore), PercursoEmOrdem(Arvore): percorre nós em ordem;

(26)

Implementação Pré-Ordem – Pre-order

Árvores Binárias

Exemplos de Implementações

tipo

ElementoPonteiro = ^TipoNo; TipoNo = registro

Nome : vetor [1..100] de character esq, dir: ElementoPonteiro;

fimregistro;

Arv, Raiz, Arvore = ElementoPonteiro;

Início /* Definição da Arvore */ struct Elemento // Define cada nó {

char nome [100];

struct Elemento* esq; struct Elemento* dir; };

typedef struct Arvore Arv;

struct Elemento* Raiz; //Ponteiro para o “topo” da Árvore struct Elemento* Arvore; //Ponteiro para a Árvore

` ... ...

(27)

Árvores Binárias

Árvores

void insere_ordenado (struct Elemento **nodo, char *nome2) {

struct Elemento *novo_no;

novo_no = (struct Elemento *) malloc(sizeof(struct Elemento) ); strcpy(novo_no->nome, nome2); // Copia nome

if(*nodo == NULL) // A árvore está vazia!!! {

novo_no->esq = NULL; novo_no->dir = NULL; *nodo = novo_no;

}

else // A arvore não está vazia!!! {

(28)

Árvores Binárias

// Remove toda a arvore

Arv *remove (struct Elemento *nodo) { if(nodo!= NULL) { remove(nodo->esq); remove(nodo->dir); free(nodo); } return NULL; }

/* Função imprime na tela a árvore */

(29)

Árvores Binárias

Árvores

1. Se árvore vazia  fim 2. visitar o nó

3. percorrer em pré-ordem a sub-árvore esquerda 4. percorrer em pré-ordem a sub-árvore direita

ABDCEGFHI ABDCEGFHI RECU RSIV IDAD E

função x (no) Início

processa no;

aplica função x para filho a esquerda; aplica função x para filho a direita; void pre_ordem (struct Elemento *raiz) {

if (raiz) { visita(raiz);

pre_ordem(raiz->esq); pre_ordem(raiz->dir); }

(30)

Implementação Em Ordem - In-order

Árvores Binárias

1. Se árvore vazia  fim

2. percorrer em ordem a sub-árvore esquerda 3. visitar o nó

4. percorrer em ordem a sub-árvore direita

aplica função x para parte dos filhos do no; processa no;

aplica função x para parte dos filhos do no; Fim;

void em_ordem (struct Elemento *raiz) { if (raiz) {

em_ordem(raiz->esq); visita(raiz);

em_ordem(raiz->dir); }

(31)

Implementação Pós-ordem - Pos-order

Árvores Binárias

Árvores

1. Se árvore vazia  fim

2. percorrer em ordem a sub-árvore esquerda 3. percorrer em ordem a sub-árvore direita 4. visitar o nó

DBGEHIFCA

aplica função x para filho a esquerda; aplica função x para filho a direita; void pos_ordem (struct Elemento *raiz) { if (raiz) {

pos_ordem(raiz->esq); pos_ordem(raiz->dir); visita(raiz);

(32)

Implementação Inserção em uma Árvore

Árvores Binárias

Cria-se o novo nó (método new) e preenche-se o mesmo com as informações/dados;

Utiliza-se algum critério para determinar qual nó e em qual posição o novo nó deverá ficar na árvore;

(33)

Implementação Remoção em uma Árvore

Árvores Binárias

Árvores

Utiliza-se de um outro ponteiro ( t ) para apontar para o objeto que vai ser removido;

Reorganiza-se os filhos a fim de que seu pai possa apontar para esses e ninguém ficar “abandonado”, eliminando o vínculo entre a árvore e o nó-alvo;

(34)

Implementação

Árvores Binárias

procedimento Inicializa(var Arvore: TipoArvoreBin); Inicio

Arvore := NULL; Fimprocedimento;

procedimento CriarRaiz(var Arvore: TipoArvoreBin); var no: TipoArvoreBin;

inicio

novo(nó);

no^.esq := NULL; no^.dir := NULL; Arvore := no; fimprocedimento;

funcao Vazia(var Arvore: TipoArvoreBin): logica; Inicio

(35)

Implementação

Árvores Binárias

Árvores

procedimento InserirFilhoaDireita(var Arvore: TipoArvoreBin;

pai: TipoItem; item: TipoItem); var p, no: TipoArvoreBin;

inicio

Busca(Arvore, pai, p);

se (p<>NULL) entao

se (p^.dir <> NULL) entao

escreval("item possui subárvore direita") senao inicio

novo(no);

no^.esq := NULL; no^.dir := NULL;

(36)

Implementação

Árvores Binárias

procedimento InserirFilhoaEsquerda(var Arvore: TipoArvoreBin;

pai: TipoItem; item: TipoItem); var p, no: TipoArvoreBin;

final

Busca(Arvore, pai, p);

se (p<>NULL) entao

se (p^.esq <> NULL) entao

escreval("item possui subárvore esquerda") senao inicio

novo(no);

no^.esq := NULL; no^.dir := NULL;

no^.Reg.Chave := item.Chave; p^.esq := no;

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Árvores Binárias de Busca ou Pesquisa

Árvores

Também conhecidas como árvores de busca binária;

São árvores em que é possível determinar em que direção buscar

um dado nó a partir do valor do pai e levando-se em consideração

alguma regra quanto à disposição dos filhos;



_{Nós com valores menores que o pai à esquerda,}



_{Nós com valores maiores que o pai à direita;}

(38)

Árvores Binárias

Remover um nó que possui dois filhos

– Escolher o nó mais à esquerda da sub-árvore direita (ou mais à direita da sub-árvore esquerda) para “substituí-lo;

(39)

Conceitos e Recursos: Árvore Balanceada

Árvores AVL

Árvores

AVL: Árvore de Busca Binária Auto-Balanceada. Ela mantém

o balanceamento de sua árvore em cada operação de

inclusão ou retirada de um nó.

A maior diferença possível entre os níveis de dois nós-folhas é 1.

Balanceamento Estático

O balanceamento estático de uma árvore binária consiste em construir uma nova versão, reorganizando-a.

Balanceamento Dinâmico: AVL

Árvore AVL em homenagem aos matemáticos russos (Adelson-Velskiie Landism-1962)

(40)

Árvores AVLs

•Efetuar a busca pelo nó (como qualquer outra árvore de busca).

•Rotacionar até que o mesmo seja um nó-folha e remova-o; a remoção

de um nó sem filhos é o caso mais simples!

•Verificar se árvore se encontra balanceada, caso não esteja, efetue

rotações. Efetua-se a busca pelo nó (como qualquer outra árvore de

busca);

•Rotacionar até que o mesmo seja um nó-folha e remova-o; a remoção

de um nó sem filhos é o caso mais simples!

(41)

Árvores AVL

Árvores

Inserção

• Busca pelo nó mais próximo (igual a qualquer outra árvore de busca binária); • Insere-se o nó;

• Verifica-se se ela está balanceada, caso não esteja, efetuar rotação (simples ou dupla) até que esteja.

Remoção

• Busca nó mais próximo (igual a qualquer outra árvore de busca binária); • Rotaciona-se até que o mesmo seja um nó-folha e remova-o;

Por quê? A remoção de um nó sem filhos é o caso mais simples!

• Verifique se a árvore se encontra balanceada, caso não esteja, efetue rotações.

Rotação

(42)

Operação em que a ordem dos nós em uma árvore de

busca binária é modificada para a manutenção do

balanceamento da mesma;

Pode ser simples (um único passo, rotacionando à

esquerda ou à direita) ou dupla (efetuando mais de uma

vez a rotação, em qualquer combinação de rotações

simples).

Rotação

Rotação Simples:

Ocorre quando o nó desbalanceado e o seu filho estão no

mesmo sentido de inclinação da árvore;

(43)

1. Dado um nó X com um filho à direita Y e este tendo um

filho à esquerda Z;

• Pseudo-código:

Seja Y o filho à direita de X;

Torne X o filho à esquerda de Y;

Torne o filho à esquerda de Y (Z) o filho à direita

Árvores

Rotação a Esquerda

• Rotação Simples a Esquerda

p aponta para o nó desbalanceado q = right(p);

hold = left(q); left(q) = p;

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1. Dado um nó X com um filho à esquerda Y e este tendo

um filho à direita Z;

• Pseudo-código:

Seja Y o filho à esquerda de X;

Torne X o filho à direita de Y;

Torne o filho à direita de Y (Z) o filho à esquerda

de X;

Rotação a Direita

• Rotação Simples a Direita

p aponta para o nó desbalanceado q = left(p);

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Rotação SIMPLES

Árvores

3 8

4 10

2 6

8

4 10

2 6

3

0 Rotação a direita (nó 8)

0 0 0 4

2 8

10 6

(46)

Operação em que a ordem dos nós em uma árvore de

busca binária é modificada para a manutenção do

balanceamento da mesma;

Pode ser simples (um único passo, rotacionando à

esquerda ou à direita) ou dupla (efetuando mais de uma

vez a rotação, em qualquer combinação de rotações

simples);

Rotação

Rotação DUPLA:

Ocorre quando o nó desbalanceado está em um

sentido da inclinação e o seu filho em outro;

(47)

Rotação DUPLAS

Árvores

0 8

4 10

2 6

0

8

4 10

2 6

5

(a) 8

6 10

4

(48)

Rotação DUPLAS

8

6 10

4

5 2

(b) 6

4 8

(49)

Árvores

2

4

6

1 3 5 7

Op. de balanceamento

4

1 6

3 5 7

Inserção: 4, 6, 1, 7, 5, 3 e 2.

(50)

Remoção

4

6

7

Remo ver n

ó 2

4

6

7

Op. d

e bala ncea

mento

4

2 6

(51)

Conceitos e Recursos: Desempenho

Árvores AVL

Árvores

O tempo médio para encontrar um elemento em

uma árvore AVL é da ordem de O (log n)

(52)

Perguntas, considerações e comentários