Matemáticas y Arte
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Matemáticas - Arte
• La búsqueda de un ideal de belleza.
• Conocimiento del espacio tiempo.
Matemáticas y Poesía.
La guacharaca de Apure Le dijo al pájaro vaco
Préstame tu candelita
Relaciones líricas
• En su estructura, la poesía tiene algo de
matemáticas en la periodicidad, tanto de
las sensaciones fonéticas ( rima) como de
acentos ( ritmo).
• La gua cha
ra
ca dea
pu
re 00010010
• Le dijo al
pá
ja ro
va
co 00010010
• Prés
ta me tu can de
li
ta 10000010
El Lilavati ( Baskhara s. XII)
• “Un quinto de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba(Loto); un tercio sobre una flor de
silindha ( cambur). Tres veces la diferencia entre los dos números voló a las flores de un kutuja, y quedó una sola abeja que se alzó por el aire, igualmente atraída por el perfume de un jazmín y un pandamus. Dime tú ahora, mujer fascinante, cual era el número de abejas”
• Un matemático no es digno de este
nombre si no es un poco poeta
Matemáticas y Literatura
• La matemática enseña también a escribir, si se quiere que la concisión, la claridad, y la precisión sean cualidades de estilo. • El lenguaje matemático
obliga a una gimnasia intelectual sumamente intensa.
• Algunos escritores han usado elementos
Veamos algunos ejemplos
1. Don Quijote: (segunda parte cap LI) La paradoja del ahorcado
- “ Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un
mismo señorío … digo pues que sobre este río estaba una puente, y al cabo della una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro
El Juramento del puente
• Si alguno pasare por esta puente, de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle
Un libro dentro de un libro
• “Créanme vuesas mercedes- dijo Sancho- que el Sancho y el Don Quijote desa historia deben de ser otros que los que andan en aquella que compuso Cide
Hamete Benengeli,
• “Por el mismo caso- respondió Don Quijote- no pondré los pies en Zaragoza; y así, sacaré a la plaza del mundo la mentira de ese historiador moderno y
Lewis Carrol: Alicia en el país de
las maravillas
• Un relato fantástico del matemático Charles Dogson (1832-1898)
• Nada hacía suponer que aquel severo personaje gris de Oxford
consagrado al estricto
orden de las matemáticas y a la precsión de la
Una merienda de locos
• Entonces dí lo que piensas- prosiguió la liebre.
• Eso es lo que hago- dijo Alicia precipitadamente- A lo menos...yo pienso lo que digo. Es la misma cosa.
Jorge Luis Borges: La Biblioteca de
Babel
• “...A cada uno de los muros de cada
hexágono corresponden cinco anaqueles;
cada anaquel encierra treinta y dos libros
de formato uniforme; cada libro es de
La biblioteca total. Tocando el
infinito
• “La biblioteca es total y en sus anaqueles se registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos, o sea, todo lo que es dable expresar”.
• “...Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los acángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos
falsos, la demostración de la falacia de esos
Dale Brown: El código da Vinci
• Anagramas
• Códigos secretos. • Criptografía.
• Proporción dorada. • Número de oro.
• Geometría sagrada. • Sucesión de
Quatrivium
• La música y la matemática han estado
relacionada durante siglos. En el
curriculum de los estudiantes de la edad
media se incluían las siguientes artes o
disciplinas:
Pitágoras y la música
• Para construir la escala musical los pitagóricos construyeron un instrumento formado por una sola cuerda que se tensaba y que se podía hacer más larga, o más corta, moviendo una tabla móvil ( Monocordio)
• Cuando la cuerda medía ½ del total el sonido se repetía pero más agudo.
• Cuando el largo de la cuerda es 2/3 del tamaño original se obtiene otra nota musical ( la quinta)
La escala diatónica
•
En la escala diatónica, las frecuencias de cada nota son radios de números enteros.Frecuencia Razón nota anterior
Tónica f Do
Segunda 9/8 f 9/8 Re
Tercera 81/64 f 9/8 Mi Cuarta 4/3 f 256/243 Fa
Quinta 3/2 f 9/8 Sol
Sexta 27/16 f 9/8 La
El Piano Bien Temperado
• El Piano Bien Temperado, Obra de Juan Sebastian Bach compusta de 24
piezas musicales, en doce tonalidades usando el
modo mayor y menor.
• Bach afinó su piano en la escala temperada
dividiendo los tonos en series dentro de un
espacio definido.
La música y las probabilidades
• Algunos músicos
compusieron obras a partir de reglas y
conceptos matemáticos, como por ejemplo, las probabilidades.
• La obra musical se titula “ Juegos de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico, ni saber nada de
composición” (K294). • Los números en la
matriz corresponden a los 176 compases que compuso Mozart.
• Hay 2x1114 variaciones
¿De que está hecha la música?
• Respuesta: De funciones
trigonométricas. • Los sonidos
producidos por la vibración de
cuerdas y
Componentes de una onda
• Intensidad = Amplitud • Tono= frecuencia.
El Análisis de Fourier
• El matemático Francés Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830), descubrió que toda función periódica
( onda sonora) es una combinación de
El Osciloscopio sonoro
¿ Y que hay del ritmo y la
melodía?
• En 2002, los trabajos Toussaint, inician
una investigación teórica de ritmos con
herramientas matemáticas, introduciendo
nuevas técnicas geométricas, gráficas y
de combinatoria.
• Esto permite la enseñanza, el análisis, la
visualización y el reconocimiento
automatizado de ritmos.
Godfried T. Toussaint :“ A mathematical analysis of African, Brasilian and
Cuban clave rithms”
Godfried T. Toussaint :
“ A mathematical analysis of African, Brasilian and
El ritmo clave son y su análisis
matemático.
• Para los ritmos se usa un sistema sencillo
de notación en base a unidades de
• Otra forma de representar los ritmos
consiste en emplear un vector de
intervalos.
• Cada dígito representa el intervalo de
tiempo entre sonidos sucesivos.
• Clave son se representa por: (3 3 4 2 4)
La Trilogía Sagrada:
Matemáticas, Arte y Naturaleza
• La belleza de las proporciones
• El rectángulo dorado • El Número de Oro • La sucesión de
Fibonacci • La espiral
• Las simetrías
Las proporciones
• Un radio es una comparación de dos
cantidades, tamaños, cualidades o ideas
diferentes a y b y se expresa por la fórmula a:b. • Una proporción es una relación de equivalencia
entre dos radios. Si las cantidades que intervienen son a, b , c y d, entonces la proporción se escribe
• a: b::c: d.
La proporción dorada
¿Cómo dividir un segmento en forma bella y armoniosa? a + b : b :: b : a
La suma de las dos partes es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.
Esta proporción la llamamos proporción dorada
La belleza de las formas en la
naturaleza
• “Las formas supremas de lo bello son la conformidad con las leyes, la simetría y la
determinación ( el orden), y son precisamente estas formas las que se encuentran en las
matemáticas, y puesto que estas formas
parecen ser la causa de muchos objetos, las matemáticas se refieren en cierta medida a una causa que es la belleza”
La belleza de las proporciones
• “Lo bello es lo que
nos deleita, haciendo de medianeros, oídos y vista” – Platón.
El rectángulo dorado
1
1
x
x
(X + 1) : x = x : 1
X = ( 1 + √ 5 ) / 2
Número de oro en el arte del
renacimiento italiano
• El rectángulo dorado
sirve de división armónica entre los espacios.
• Para que un espacio
dividido en partes iguales resulte agradable y
estético, deberá haber entre la parte más
pequeña y la mayor, la misma relación que entre ésta y la menor.
El numero de oro generalizado:
¿
Qué hay entre un rectángulo dorado y
un cuadrado?
Una familia de números de oro
Números de oro generalizados
• Si para cada número natural n, consideramos la ecuación
n x 2 – x- n = 0
La solución de la misma es el n-número de oro
n = { 1 + ( 1 + 4n ) ½}/ 2n
• En particular se tiene que
Los números de oro generalizados
:
1 (1 + √ 5) /2 1.61803399
2 ( 1 + √17) / 4 1.28077641
3 ( 1 + √ 37) / 6 1.18046042
4 ( 1 + √ 65) / 8 1.13278222
5 ( 1 + √ 101) / 10 1.10498756
La sucesión de Fibonacci
• Una sucesión de números naturales
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ……
• Una sucesión de
proporciones racionales • 1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5,
13/8, …
• Que tienden hacia la Proporción Áurea
La Espiral
• La espiral aparece en la naturaleza
organizando el
crecimiento de las formas.
• Cada Angulo central, de una espiral
Las espirales del girasol
• Hay 55 espirales ( en el sentido de las
agujas del reloj).
• Hay 89 espirales en sentido contario a las agujas del reloj.
• La relación 55,89 se conoce como la
La Espiral generadora del
movimiento en el arte del
Simetría bilateral
• El hombre y los
animales superiores poseen simetría de reflexión o bilateral
• Los espejos cambian nuestro lado derecho por el izquierdo y
viceversa.
Los grupos miden las simetrías
• Los artesanos y decoradores de templos
alfombras y vasijas de todas las épocas y
culturas, jamás imaginaron que estaban
empleando en sus creaciones una de las
herramientas más moderna, abstracta y
sofisticada de toda la matemática: la
Los 17 grupos de simetría en el
plano
•
Toda decoración simétrica del plano
consiste de una celda básica o patrón
que se repite infinitamente.
•
En este proceso solo intervienen 4 tipos
de movimientos:
1. Traslaciones
2. Reflexiones
3. Rotaciones
Grupo p1: Sin rotaciones
• Grupo p1, contiene sólo traslaciones en dos direcciones
Grupo pg:No hay rotaciones
• Contiene
deslizamientos en
Grupo cm: sin rotaciones
• Grupo cm, contiene una reflexión sobre un eje vertical.
• Contiene un
Grupo pm: sin rotaciones
Grupo p2: rotacion de orden 2
Grupo p2mg: Rotación de orden
2.
• Contiene un reflexión sobre un eje paralelo a la traslación.
• Contiene
deslizamientos sobre líneas perpendiculres a los ejes de
Grupo p2mm : rotación de
orden 2
• Contiene reflexiones sobre ejes
Grupo p2gg: Rotación de orden
2.
• Contiene
Grupo c2mm: Rotación de
orden 2
• Contiene dos
reflexiones sobre ejes perpendiculares.
Grupo p3: Rotación de orden 3
Grupo p3m1: Rotación de orden
3.
• Contiene reflexiones • La celda básica se
obtiene al unir 4
centros de rotación cercanos.
• Los ejes de reflexión están sobre la
Grupo p31m: Rotación de orden
3.
• Contiene reflexiones sobre tres direcciones distintas que se
intersectan en los centros de rotación.
• Si se unen 4 centros De rotación cercanos se
Grupo p4: Rotación de orden 4
Grupo p4mm: Rotación de
orden 4
• Contiene reflexones sobre ejes
Grupo p4gm: Rotación de orden
4
• Contiene centros de rotación de orden 4 y de orden 2.
Grupo p6: rotación de orden 6
• No tiene reflexiones • Posee centros de
Grupo p6mm: Rotación de
orden 6
• Posee reflexiones • Posee centros de
Un método más interacativo
• Programa en Java
Kali, Creado por Nina Armenta en 1995.
Teselaciones regulares
• Se puede teselar el plano ( en forma
periódica) con
polígonos regulares del mismo tipo.
• Los únicos permitidos son el triángulo, el
cuadrado y el hexágono
Teselaiones irregulares
• Se puede teselar el plano usando dos tipos de polígonos regulres.
El Mundo maravilloso de M. Escher
• También es posible teselar el plano en forma artística con figuras que
Las teselaciones pentagonales
• Se han descubierto 14 tipos de teselaciones pentagonales con
pentágonos irregulares • La Sra. Marjorie Rice
descubrió cuatro de ellas. • Ella no es un matemático
profesional, sino, tan
Universos de Penrose: Un modelo
matemático para los cuasicrsitales.
• Cada Universo de
penrose en no periódico. • El número posible de
arreglos es infinito no enumerable.
• La Teoría de grupos es insuficiente para entender este orden: Para
