1 Práctico N°6: M.A.S.
Un movimiento periódico en el tiempo que se repite con la misma amplitud, dentro del mismo período de tiempo y que permite describir el movimiento por una función armónica (seno o coseno) es un movimiento armónico simple (M.A.S.). De esta manera la función que describe el movimiento es:
X (t) = A sen (2π.f.t + ϕ) Ecuación 1
1) Deduzca las ecuaciones de v(t) y a(t) a partir de la Ecuación 1. Piense en varios ejemplos cotidianos de movimiento que sea, al menos, aproximadamente armónico simple. ¿Cómo difiere cada uno del MAS? ¿Cómo es la velocidad en cada uno de ellos cuando la aceleración es máxima?
La fuerza F que ejerce un resorte sobre un cuerpo, si se lo aleja de su posición de equilibrio es F = -K . X (Ecuación 2). Cuando un resorte está oscilando, la distancia X que se estira un resorte cambia en el tiempo, por lo tanto la fuerza que actúa sobre la partícula será proporcional a su desplazamiento respecto al punto de equilibrio y dirigida hacia éste. Utilizando estas ideas y algunas derivadas se llega a que la frecuencia solo depende de M y K como se ve en la siguiente ecuación:
Ecuación 3
2) Deduzca las unidades de K. ¿Coinciden si las coloca en la ecuación 2 y en la ecuación 3? Y las unidades de Energía Potencial Elástica? (½ k x2)
3) Períodos y frecuencias:
a) Un transductor usado en diagnóstico médico oscila con una frecuencia de 6.7 MHz. ¿Cuánto tarda cada oscilación, y qué frecuencia angular tiene?
b) Calcule el período y la frecuencia de un péndulo simple de 1 m de longitud en un lugar donde g es 9.821 m/s2.
c) Una cuerda de piano produce una nota LA medio vibrando primordialmente a 220 Hz. Calcule su período y frecuencia angular. Calcule el período y la frecuencia angular de una soprano que canta un LA, una octava más arriba, que tiene el doble de la frecuencia de la cuerda de piano. 4) Se fija al techo un resorte ligero; luego se marca su posición inferior en un metro. Cuando se cuelga una masa de 100 g del extremo inferior del resorte, éste se mueve hacia abajo una distancia vertical de 12 cm. Determine la constante del resorte.
5) Imagine que lo capturan unos extraterrestres, lo meten en su nave y lo duermen con un sedante. Tiempo después, despierta y se encuentra encerrado en un compartimento pequeño sin ventanas. Lo único que le dejaron es su reloj digital, su anillo escolar y su largo collar de cadena de plata. Explique cómo podría determinar si todavía estuviera en la Tierra o si habría sido transportado a Marte.
6) Un parlante está vibrando a 1 kHz con una A= 0.2 mm. a) ¿Cuál será la máxima aceleración que alcance? b) ¿En qué sector del recorrido?
7) Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5cm. cos(2t+π /6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre: el desplazamiento, su velocidad, y su aceleración. Determine el período y la amplitud del movimiento.
2
T (seg) X (m) V (m/s) A (m/s2)
2 3
1.62 7
8 9 11
15 -2.94
17 19 22 26 30 31 35 40
9) Una masa de 400 g unida a un resorte de k =100 N/m realiza un M.A.S. de amplitud 4 cm. a) Escribe la ecuación de su posición en función del tiempo, si empezamos a contar cuando la soltamos desde la posición extrema.
b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez por la posición de equilibrio.
c) ¿Cuánto tarda en llegar desde la posición de equilibrio a una elongación de 2 cm? ¿Y desde 2 cm al extremo?
d) ¿Será cero la velocidad media de una oscilación completa?
10) Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:
Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante. Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.
11) Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de 65.0 kg de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0.120 m.
a) Calcule la constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 cm hacia abajo y luego se suelta. b) ¿Qué periodo de oscilación tiene el pez? c) ¿Qué rapidez máxima alcanzará?
12) En San Francisco un edificio tiene aditamentos ligeros que consisten en bombillas pequeñas de 2.35 kg con pantallas, que cuelgan del techo en el extremo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longitud. Si ocurre un terremoto leve, ¿cuántas oscilaciones por segundo harán tales aditamentos?
3 Figura 1
14) Sobre una pista de aire un deslizador oscila en el borde de un resorte de k = 2.5 N/cm. La figura 2 muestra la aceleración vs t. Calcule la masa del deslizador, el desplazamiento máximo y la fuerza máxima que ejerce el resorte.
Figura 2
15) Suponga que el disco circular de la figura 3 tiene una masa de 1.5 kg y que se le tira hacia fuera una distancia de 2 cm; luego se le suelta y oscila con MAS sobre una mesa de aire. La constante del resorte es de 120 N/m. (a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre la masa cuando ésta tiene los desplazamientos siguientes: (a)+12 cm, (b) +8 cm, y (c) -4 cm?
Figura 3
Energía Potencial elástica
16) Un resorte tiene una constante de fuerza k = 1200 N/m, ¿Cuánto debe estirarse el resorte para almacenar en él, 80 J de energía potencial?
4 Figura 4
18) Un resorte tiene atada una masa de 0.4 kg que oscila con MAS a lo largo de una superficie sin fricción, como en la figura 5. La constante del resorte es de 20 N/m y la amplitud de 5 cm. (a) ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa? (b) ¿Cuál es la velocidad cuando la masa se halla a una distancia de +3 cm a la derecha de la posición de equilibrio?
Figura 5 Errores
19) Si M = 20 ± 1 g, y T = 10 ± 1 seg, ¿Cuánto vale el error relativo porcentual de K?
20) ¿Cuántos cm se estirará un resorte con K = 12 ± 0.5 Nt/m si la fuerza con que se estiró es F = 10 ± 1 Nt?
21) En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿Qué periodo tendrá en Marte, donde g =3.71 m/s2?
“Ondas”
Una onda mecánica es una perturbación que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Si los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la dirección en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata de una onda transversal. En cambio si los movimientos de las partículas del medio son hacia adelante y hacia atrás en la misma línea en que viaja la onda, y decimos que se trata de una onda longitudinal. Si aplicamos un movimiento repetitivo, o periódico al extremo libre de una cuerda, por ejemplo, cada partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico al propagarse la onda, y tendremos una onda periódica. En particular veremos cuando en el extremo se aplica un M.A.S. Cuando una onda senoidal pasa por un medio, todas las partículas del medio sufren movimiento armónico simple con la misma frecuencia.
CUIDADO: No confunda el movimiento de la onda transversal a lo largo de la cuerda con el de una partícula de la cuerda. La onda avanza con rapidez constante v a lo largo de la cuerda; mientras que el movimiento de la partícula es armónico simple y transversal (perpendicular) a la longitud de la cuerda.
Problemas
1) El héroe de una película del oeste trata de detectar la aproximación de un tren pegando su oreja a la vía. ¿Por qué obtiene así una advertencia temprana de la llegada del tren?
5 Determinar la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de la onda. Determinar la velocidad transversal, para todo t, de un punto sobre dicha cuerda.
3) Un foco puntual realiza un movimiento periódico representado por la ecuación S(x,t) = 4 cm * cos 2 π (t/(6 seg) + x/(240 cm))
Encuentre: a) La velocidad de la onda, b) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 1 s, c) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 240 cm, 120 cm y 60 cm y d) Si el desplazamiento, S (x1 ; 0) = es de 3 cm, en un t=0, determinar cuál será su desplazamiento 2 s más tarde.
4) Un fuerte terremoto cuyo epicentro está en Loma Prieta, California, cerca de San Francisco, se produjo el 17 de octubre de 1989 a las 21h 04m 16s UTC (en UTC, tiempo universal coordinado). Sus ondas sísmicas primarias (ondas P) son ondas longitudinales que viajan por la corteza terrestre. Estas ondas se detectaron en Caracas, Venezuela, a las 21h 13m 54s UTC; en Kevo, Finlandia, a las 21h 15m 35s UTC; y en Viena, Austria, a las 21h 17m 02s UTC. Las distancias que las ondas P viajaron desde Loma Prieta fueron de 6280 km a Caracas, 8690 km a Kevo y 9650 km a Viena. a) Use los tiempos de llegada para calcular la rapidez media de las ondas P que viajaron a estas tres ciudades. ¿Cómo explica las diferencias entre estos valores?
5) El 26 de diciembre de 2004 ocurrió un intenso terremoto en las costas de Sumatra, y desencadenó un tsunami que provocó la muerte de 200,000 personas. Gracias a los satélites que observaron esas olas desde el espacio, se pudo establecer que había 800 km de la cresta de una ola a la siguiente, y que el período entre una y otra fue de 1.0 hora. ¿Cuál fue la rapidez de esas olas en m/s y en km/h? ¿Su respuesta le ayudaría a comprender por qué las olas causaron tal devastación? Compare la velocidad obtenida con el resultado de la pregunta 4… ¿Qué utilidad puede darnos esa diferencia?
6) En la figura se muestra el registro de un sismo chileno en una estación sismológica ubicada en Malargüe. Si las ondas longitudinales viajan 1,73 veces más rápido que las transversales determine a que distancia de la ciudad de Malargüe ocurrió el sismo. (vp = 6 km/seg)