Guia12-EcuacióndeSegundoGrado

PREUNIVERSITARIO BELÉN UC MATEMÁTICAS

GUIA 12: Álgebra y Funciones

Ecuación de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado tiene la forma general , con

a,b,c

a

distinto de cero.

Una ecuación de segundo grado tiene siempre dos soluciones o raíces.

Existe una fórmula para calcular las soluciones de una ecuación de segundo grado (sólo para ecuaciones de segundo grado!!!):

Dada una ecuación de segundo grado de la forma , se llama DISCRIMINANTE de la ecuación al número real (se simboliza por ). La información que nos entrega el discriminante es la siguiente: - Si el discriminante es mayor que cero , entonces la ecuación tiene dos raíces reales y distintas. - Si el discriminante es igual a cero , entonces la ecuación tiene dos raíces reales e iguales. - Si el discriminante es menor que cero , entonces la ecuación no tiene raíces reales.

Si llamamos a las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado, entonces siempre se cumple que:

Función Cuadrática

A la función con

a,b,c

a

La gráfica de una función cuadrática es lo que conocemos como una parábola, la que tiene simetría respecto al eje Y o una recta paralela a este eje.

I. FORMAS DE FUCNIONES CUADRÁTICAS:

- Tienen como eje de simetría el eje Y.

- Pasan por le origen. - Si |a|>1, la gráfica de

es más angosta que la gráfica de . - Si 0<|a|<1, la gráfica de es más ancha que la gráfica de .

eje Y, x se hace cero y resulta y=c.

- Si c>0, la parábola se desplaza c unidades hacia arriba respecto del origen.

- Si c<0, la parábola se desplaza c unidades hacia abajo con respecto al origen.

Concavidad: es la abertura que tiene la parábola. -Si a>0, la concavidad de la parábola

está orientada hacia arriba.

-Si a<0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo.

II. CEROS DE LA FUNCIÓN:

Los ceros o raíces de la función cuadrática son los valores para los que y=0.

II. DISCRIMINANTE:

La expresión se denomina discriminante (esto viene de la ecuación de segundo grado), pues

determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función .

Si , la parábola intersecta al eje X en dos puntos, por lo tanto tiene dos soluciones (distintas).

Si , la parábola es tangente al eje X, por lo tanto tiene sus soluciones idénticas.

Si , la parábola no intersecta al eje X, no tiene solución real.

III. INTERSECCIÓN CON EL EJE Y:

La parábola asociada a la función , siempre intersecta al eje Y en y=c

IV. EJE DE SIMETRÍA:

ó

V. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA: Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría, y tiene como coordenadas :

Ejercicios:

1. Una de las raíces (soluciones) de la ecuación es:

A) -1

B)

C)

D)

E) 3

2. La ecuación tiene:

A) dos raíces reales positivas.

B) dos raíces reales de distinto signo. C) dos raíces racionales de igual signo. D) dos raíces irracionales de igual signo. E) una raíz racional y una irracional.

3. La suma de las soluciones de la ecuación es igual a: A) 0

B) 6 C) 12 D) 36 E)-12

4. Las soluciones de la ecuación son:

A) y 3

B) y -3

C) y 3

D) y -3

E) 1 y 3

5. Cuáles son las soluciones de la ecuación A) 3 y 2

D) -1 y -6 E) -6 y 1

6. Si se eleva al cuadrado la mayor de las soluciones de la ecuación se obtiene: A) 16

B) 25 C) 49 D) 64 E) 81

7. ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones tiene(n) una raíz igual a cero? I. II. III.

A) Sólo I. B) Sólo I y II. C) Sólo I y III. D) Sólo II y III. E) I, II, III.

8. Si t es la menor de las soluciones de la ecuación . Entonces 3t=?

A) -12 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3

9. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones el producto de sus soluciones es igual a cero? A)

B) C) D) E)

10. Una de las soluciones de la ecuación es:

A) 3 B) 2 C) -1 D) -2 E) -3

11. ¿Cuál es el discriminante de la ecuación ?

A) -3 B) 17 C) 33 D) 27 E) 13

12. Si el discriminante de la ecuación cuadrática es igual a 4, entonces k=

A)

E)

13. Se tienen 14m lineales de reja para cerrar el antejardín rectangular de una casa. El frontis de la casa es uno de los lados del jardín. ¿Cuál es la longitud de la reja que queda en el frente de la casa, si el área del jardín es 24 m2_?

A) 3 m B) 4 m C) 6 m D) 12 m E) 24 m

14. En el computador se necesita reproducir una fotografía rectangular cuyo largo es de 10 cm. mayor que el ancho. ¿Cuáles son las medidas del largo y el ancho?

(1) El área de la fotografía es 600 m2_.

(2) El perímetro de la fotografía es 100 cm.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

15. El mayor de los lados de un rectángulo es 7 metros más largo que el lado de un cuadrado, y el lado menor es 7 metros más corto que el lado del mismo cuadrado. Si la suma de las áreas del rectángulo y del cuadrado es 113 m2 _{, entonces el lado el cuadrado mide:}

A) 1 m B) 2 m C) 7 m D) 8 m E) 9 m

16. ¿Cuál es el producto de las soluciones de la ecuación ?

A)

B)

C)

D)

E)

17. Respecto a la función cuadrática , ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I. Si c>1, no corta al eje X.

II. Si c 1, siempre corta al eje X. III. Si c>0, siempre corta al eje X. A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas.

18. ¿Cuál de las gráficas siguientes representa la función y=3(x-2)2_?

C) D)

E)

19. El gráfico corresponde a la función (h=altura en metros, t= tiempo en segundos, ), es cierto que:

I. Los ceros de la función son 0 y 8.

II. A 3 segundos corresponde una altura de 12 mt. III. La altura máxima se obtiene a los 4 seg. A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II, III

20. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación , donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros. ¿En cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 mt de altura sobre el nivel del suelo?

I. 6 SEG. II. 10 SEG. III. 14 SEG. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo III. D) En I y II. E) En I y III.

21. Con respecto a la función ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Es tangente al eje X. II. No corta al eje Y.

III. Sus ramas se extienden hacia abajo. A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II, III

22. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a las funciones y A) B)

E)

23. ¿Cuáles deben ser los valores de a y c para que la parábola de ecuación tenga su vértice en el punto (1,2)?

a c A) 2 4 B) 2 0 C) 4 4 D) 2 2 E) 4 6

24. Si los puntos de intersección de la parábola con el eje X son y , entonces las coordenadas del vértice son:

A)

B)

C)

D)

E)

25. La gráfica de la función intersecta al eje Y en: A)