Facultad de Ciencias de la Educaci´on
Departamento de Did´actica de la Matem´atica, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales
Derivaci´
on e Integraci´
on de Funciones
de Variable Compleja con
Derive
.
Un estudio de innovaci´
on curricular
en segundo curso de Ingenier´ıa
T´
ecnica de Telecomunicaci´
on
Tesis Doctoral de
Pedro Rodr´ıguez Cielos dirigida por
Jos´e Luis Gonz´alez Mar´ı
Universidad de M´alaga Mayo de 2004
Jos´e Luis Gonz´alez Mar´ı, Profesor Titular de Universidad del ´Area de Did´ acti-ca de la Matem´atica del Departamento de Did´actica de la Matem´atica, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales de la Universidad de M´alaga,
Hago Constar:
Que D. Pedro Rodr´ıguez Cielos, Licenciado en Ciencias (Matem´aticas), ha realizado en el Departamento mencionado y bajo mi direcci´on, el trabajo de investigaci´on correspondiente a su Tesis Doctoral titulado:
Derivaci´
on e Integraci´
on de Funciones
de Variable Compleja con
Derive
.
Un estudio de innovaci´
on curricular
en segundo curso de Ingenier´ıa
T´
ecnica de Telecomunicaci´
on
Revisado el presente trabajo, estimo que puede ser presentado al Tribunal que ha de juzgarlo.
Y para que conste a efectos de lo establecido en el art´ıculo octavo del Real Decreto 778/1998, autorizo la presentaci´on de este trabajo en la Universidad de M´alaga.
M´alaga, 4 de mayo de 2004
A
Carmen Cielos
y
Ricardo Rodr´ıguez
“Nunca vayas por el camino trazado, porque conduce hacia donde otros han ido ya”. Alexander Graham Bell (1847-1922) (Inventor estadounidense de origen escoc´es)
“Quien obra puede equivocarse, pero quien no hace nada ya est´a equivocado”. Santiago Alberione (1884-1971) (Sacerdote italiano y Doctor en Teolog´ıa)
Agradecimientos
Con estas breves l´ıneas quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas que de una manera u otra han contribuido a que este trabajo de investigaci´on vea la luz.
En primer lugar a mi director, Jos´e Luis Gonz´alez, por su impresionante capacidad de trabajo, por la ilusi´on que ha puesto en la realizaci´on de esta inves-tigaci´on, por transmitir de forma espl´endida los amplios conocimientos que posee y por adaptarse y saber compaginar las exigencias de una investigaci´on reglada en Did´actica de la Matem´atica con las caracter´ısticas especiales de la docencia en estudios de Ingenier´ıa. He aprendido much´ısimo de los prolongados debates que he mantenido con ´el. Muchas gracias de todo coraz´on y en especial por “en-se˜narme a investigar en Did´actica de la Matem´atica”. Fuiste el primero en ver el futuro positivo de todo el trabajo que ven´ıamos desarrollando durante muchos a˜nos con nuestros alumnos de las carreras t´ecnicas.
En segundo lugar, pero no por ello menos importante, a mis padres, Carmen Cielos y Ricardo Rodr´ıguez, personas a las que dedico este trabajo, ya que por la educaci´on que me han dado lo que soy hoy en d´ıa se lo debo en una gran medida a ellos. Espero que alg´un d´ıa pueda parecerme, aunque s´olo sea un poco, a vosotros. Os quiero. Este agradecimiento quiero hacerlo extensivo al resto de los miembros de mi familia.
Seguidamente quiero reconocer el apoyo diario recibido de mis compa˜neros del Departamento de Matem´atica Aplicada, en especial el de mi amigo Gabriel Aguilera,agradecimiento que hago extensivo a los miembros delDepartamento de Did´actica de la Matem´atica, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimen-tales por haber acogido este trabajo. Menci´on destacada merece Alfonso Ortiz,
cuyas sugerencias, opiniones y apoyo han servido tanto para perfilar inicialmente este trabajo como para su conclusi´on positiva.
Un trabajo de investigaci´on como ´este no es fruto de una tarea aislada. Todo lo contrario, requiere del esfuerzo continuado y del concurso de muchas personas. En este sentido no quiero olvidarme de Sixto S´anchez y Jos´e Morones, com-pa˜neros y amigos del ´area de conocimiento de Matem´atica Aplicada. Hace ocho a˜nos colaboraron en cierta medida en los pasos iniciales de este trabajo, dedican-do muchos esfuerzos a la nada valorada tarea de la dedican-docencia universitaria, dada la supremac´ıa real que, ante el abandono institucional, se le otorga en este ´area a la investigaci´on y las publicaciones. Para m´ı fue un verdadero placer compartir con vosotros los a˜nos que estuvimos trabajando conjuntamente.
En esta relaci´on de agradecimientos deben ocupar un lugar destacado mis alumnos. Sus inquietudes diarias hacen de verdad relevantes y necesarias inves-tigaciones como la que aqu´ı se presenta. Su motivaci´on es la raz´on fundamental de la labor docente. Adem´as, las aportaciones de este trabajo redundar´an en beneficio de sus compa˜neros de a˜nos venideros. Muchas gracias.
El car´acter cooperativo de esta investigaci´on ha requerido de la participaci´on activa y continua de mi “eterno compa˜nero de asignatura”, Jos´e Luis Gal´an,
amigo al que agradezco todo el trabajo realizado conjuntamente as´ı como el que espero que sigamos realizando en el futuro. Si estuviese contemplado que una Tesis Doctoral pudiese ser un trabajo de dos investigadores, ´este ser´ıa sin duda el caso. Adem´as, tu investigaci´on, realizada previamente, ha servido de gu´ıa eficaz para el desarrollo de la que ahora se finaliza.
Para terminar, quiero que el agradecimiento m´as destacado sea paraYolanda Padilla, participante activa tanto en este trabajo como en los que hemos realiza-do previamente y de forma conjunta dentro de la misma l´ınea de investigaci´on. Adem´as de esto y del placer que supone poder compartir docencia con ella, quie-ro agradecerle sobre todo el ser buena persona, mi complemento y el verdadequie-ro motor de mi vida. Muchas gracias. Te quiero.
Pablo (Pablichi) y Paula (Chiqui), ¿cre´ıais que no me iba a acordar de voso-tros? ¡C´omo me iba a olvidar de mis hijos! Perd´on por las tardes y noches que no hemos podido compartir juntos por mi dedicaci´on casi en exclusiva a este trabajo. Gracias por vuestra ¿paciencia? y sobre todo por quererme tanto.
´
Indice General
Introducci´on 21
I El problema de investigaci´on 27
1. Marco conceptual y metodol´ogico 29
1.1. Introducci´on . . . 29
1.2. Principios generales . . . 32
1.2.1. Sobre la Educaci´on Matem´atica . . . 32
1.2.2. Sobre la investigaci´on en Educaci´on Matem´atica . . . 33
1.2.3. Sobre los factores y relaciones . . . 33
1.2.4. Sobre el m´etodo de indagaci´on . . . 35
1.2.5. Sobre la docencia y la investigaci´on en la Universidad . . . 36
1.3. Descripci´on general del problema . . . 38
1.4. Modelo te´orico . . . 42
1.4.1. Objeto del estudio y tipo de problema . . . 43
1.4.2. Finalidad . . . 43
1.4.3. Papel y formaci´on del profesor . . . 44
1.4.4. Condiciones curriculares y modificaciones permitidas . . . . 45
1.4.5. Otras caracter´ısticas y condiciones . . . 46
1.5. Problema espec´ıfico: Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Va-riable Compleja con Deriveen estudios de Ingenier´ıa. . . 47
1.5.1. Matem´aticas y formaci´on matem´atica . . . 48
1.5.2. Matem´aticas y formaci´on matem´atica en Ingenier´ıa . . . 50
1.5.3. Tecnolog´ıa inform´atica y Educaci´on Matem´atica . . . 51
1.5.4. La programaci´on conDerivepara favorecer el aprendizaje matem´atico en Ingenier´ıa . . . 52
1.6. Origen, evoluci´on y racionalidad del problema . . . 53
1.7. Objetivos . . . 55
1.8. Conjeturas . . . 58
1.9. Metodolog´ıa de investigaci´on . . . 59
1.9.1. Caracter´ısticas y metas generales . . . 60
1.9.2. Estudios, contenidos y enfoques metodol´ogicos . . . 61
1.9.3. Modalidad de la investigaci´on . . . 65
1.10. Fases del estudio . . . 67
2. Antecedentes y fundamentos te´oricos 69 2.1. Introducci´on . . . 69
2.2. Contenido y estructura de los antecedentes . . . 73
2.2.1. Disciplinas y campos afines . . . 73
2.2.2. Relaciones y prioridades . . . 76
2.2.3. Descriptores y palabras clave . . . 79
2.2.4. Organizaci´on y exposici´on . . . 80
2.3. Antecedentes sobre el marco te´orico y metodol´ogico: Investigaci´on para la innovaci´on curricular en la acci´on en el aula de Matem´aticas 81 2.3.1. Descriptores y palabras clave . . . 82
2.3.2. Fuentes de informaci´on y b´usquedas realizadas . . . 83
2.3.3. Investigaciones curriculares en Educaci´on Matem´atica . . . 85
2.3.4. TendenciaInvestigaci´on para la innovaci´on . . . 86
2.3.5. M´etodos de investigaci´on en Educaci´on Matem´atica . . . . 90
2.4. Antecedentes de la l´ınea de investigaci´on Investigaci´on para la In-novaci´on curricular en la acci´on en el aula de Matem´aticas en los estudios de Ingenier´ıa mediante la realizaci´on de comandos con Derive. . . 92
2.5. Antecedentes del problema espec´ıfico . . . 94
2.5.1. Descriptores y palabras clave . . . 94
2.5.2. Fuentes documentales y b´usquedas realizadas . . . 95
2.5.3. Ense˜nanza y aprendizaje de Matem´aticas en estudios de Ingenier´ıa . . . 96
2.5.4. Ense˜nanza y aprendizaje de la materia Derivaci´on e Inte-graci´on de Funciones de Variable Compleja . . . 98
2.5.5. El ordenador como recurso did´actico en la ense˜nanza de las Matem´aticas . . . 100
´Indice General 13
2.5.6. Ense˜nanza y aprendizaje de la materia Derivaci´on e
Inte-graci´on de Funciones de Variable Compleja con Derive . . 118
3. An´alisis Did´actico 119 3.1. Introducci´on . . . 119
3.2. Campos, relaciones y organizaci´on del an´alisis . . . 120
3.3. Sobre el marco te´orico y metodol´ogico y el modelo general de la investigaci´on . . . 124
3.3.1. Innovaci´on e investigaci´on curricular en el aula de Ma-tem´aticas . . . 124
3.3.2. Tendencia Investigaci´on para la innovaci´on: discusi´on y conclusiones . . . 132
3.3.3. L´ıneaInvestigaci´on para la innovaci´on curricular en la ac-ci´on en el aula de Matem´aticas: modelo general . . . 142
3.4. Adaptaci´on del modelo general a las condiciones especiales de los estudios universitarios de Ingenier´ıa: modelo espec´ıfico . . . 156
3.5. Estudios y ciclos previos de la l´ınea espec´ıfica . . . 159
3.5.1. An´alisis de los principales resultados y conclusiones . . . 159
3.5.2. Dificultades y limitaciones . . . 161
3.5.3. Consecuencias para la investigaci´on . . . 163
3.6. An´alisis del problema espec´ıfico . . . 167
3.6.1. CAS yDerive como recurso did´actico en la ense˜nanza de las Matem´aticas . . . 167
3.6.2. Deriveen la ense˜nanza de las Matem´aticas en Ingenier´ıa: estudios y experiencias propias . . . 171
3.6.3. Ense˜nanza de Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Complejamediante la realizaci´on de comandos con Derive . . . 178
3.6.4. Consecuencias para la investigaci´on . . . 180
II Estudio emp´ırico: dise˜no 183 4. Elementos del dise˜no 185 4.1. Introducci´on . . . 185
4.3. Principios y condiciones . . . 188
4.4. Poblaci´on y muestras . . . 191
4.5. Tratamientos did´acticos . . . 193
4.5.1. Fase com´un de los tratamientos did´acticos . . . 193
4.5.2. Fase diferencial de la metodolog´ıa did´actica del grupo con-trol (tratamiento concon-trol) . . . 194
4.5.3. Fase diferencial de la metodolog´ıa did´actica del grupo ex-perimental (tratamiento exex-perimental) . . . 194
4.6. Estrategias metodol´ogicas y fases del estudio . . . 196
4.7. Variables . . . 200
4.8. Categor´ıas para el an´alisis de datos . . . 203
5. Instrumentos de recogida y an´alisis de datos 207 5.1. Introducci´on . . . 207
5.2. Prueba de nivel . . . 208
5.2.1. Finalidad . . . 209
5.2.2. Caracter´ısticas . . . 210
5.2.3. Estructura, formato y contenido . . . 211
5.2.4. Validez y pertinencia . . . 214
5.2.5. An´alisis de datos . . . 215
5.3. Observaci´on de los tratamientos did´acticos . . . 216
5.3.1. Finalidad de las observaciones . . . 217
5.3.2. Estrategias y mecanismos de observaci´on . . . 218
5.3.3. Estructura, formato y contenido . . . 220
5.3.4. An´alisis de datos obtenidos mediante observaci´on . . . 224
5.4. Ficheros deDerive . . . 225
5.4.1. Finalidad . . . 225
5.4.2. Caracter´ısticas, formato y contenido . . . 226
5.4.3. Pertinencia e importancia para el estudio . . . 226
5.4.4. An´alisis de datos . . . 227
5.5. Prueba de evaluaci´on . . . 227
5.5.1. Finalidad . . . 228
5.5.2. Construcci´on y caracter´ısticas . . . 228
5.5.3. Estructura, formato y contenido . . . 229
5.5.4. Validez y pertinencia . . . 232
´Indice General 15
5.6. Encuesta . . . 235
5.6.1. Finalidad . . . 235
5.6.2. Construcci´on y caracter´ısticas . . . 237
5.6.3. Estructura, formato y contenido . . . 238
5.6.4. An´alisis de datos . . . 246
5.7. Entrevista . . . 246
5.7.1. Finalidad . . . 246
5.7.2. Construcci´on y caracter´ısticas . . . 248
5.7.3. Estructura, formato y contenido . . . 248
5.7.4. An´alisis de datos . . . 251
5.8. Otros instrumentos de an´alisis de datos . . . 251
III Estudio emp´ırico: desarrollo y resultados 253 6. Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja me-diante dos metodolog´ıas did´acticas 255 6.1. Introducci´on . . . 255
6.2. Desarrollo de las metodolog´ıas did´acticas y su control . . . 257
6.3. Proceso did´actico usual (tratamiento control) . . . 258
6.3.1. Descripci´on e incidencias . . . 259
6.3.2. Informes de observaci´on . . . 262
6.4. Proceso did´actico mixto conDerive(tratamiento experimental) . 269 6.4.1. Descripci´on e incidencias . . . 270
6.4.2. Consideraciones adicionales sobre las condiciones de reali-zaci´on de la experiencia . . . 279
6.4.3. Informes de observaci´on . . . 280
6.5. Incidencias en horas de tutor´ıas . . . 288
7. Evaluaci´on de procesos y resultados 291 7.1. Introducci´on . . . 291
7.2. Prueba de nivel: aplicaci´on y resultados . . . 292
7.2.1. An´alisis descriptivo elemental . . . 293
7.2.2. Comparaci´on de medias. Equivalencia y homogeneidad de grupos . . . 293
7.3. An´alisis de los ficheros deDerive . . . 296
7.3.1. An´alisis descriptivo elemental . . . 297
7.3.2. An´alisis de casos . . . 303
7.3.3. Conclusiones puntuales del an´alisis de los ficheros deDerive310 7.4. Prueba de evaluaci´on: aplicaci´on y resultados . . . 311
7.4.1. An´alisis descriptivo elemental . . . 311
7.4.2. An´alisis comparativo global: mejora de los resultados obte-nidos en el grupo experimental . . . 313
7.4.3. Algunas conclusiones puntuales . . . 314
7.5. Encuestas: aplicaci´on y resultados . . . 315
7.5.1. Bloque A–Antecedentes . . . 317
7.5.2. Bloque B–Asignatura Ampliaci´on de Matem´aticas . . . 320
7.5.3. Bloque C–Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Varia-ble Compleja. Clases en la pizarra . . . 321
7.5.4. Bloque D–Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Varia-ble Compleja. Clases conDerive. . . 327
7.5.5. Conclusiones adicionales de la encuesta . . . 333
7.6. An´alisis de las entrevistas . . . 334
IV Conclusiones y perspectivas futuras 345 8. Conclusiones y perspectivas futuras 347 8.1. Introducci´on . . . 347
8.2. El problema estudiado . . . 348
8.2.1. Objetivos . . . 348
8.2.2. Conjeturas . . . 350
8.2.3. Metodolog´ıa . . . 351
8.2.4. Desarrollo del estudio . . . 354
8.3. Resultados y conclusiones puntuales . . . 355
8.4. Discusi´on y conclusiones generales . . . 364
8.4.1. Sobre el problema de investigaci´on . . . 364
8.4.2. Sobre el marco te´orico y metodol´ogico . . . 369
8.5. Limitaciones y dificultades . . . 373
´Indice General 17
8.6.1. Continuaci´on del estudio Derivaci´on e Integraci´on de
Fun-ciones de Variable Compleja conDerive . . . 376
8.6.2. Continuaci´on y proyecci´on futura de la l´ınea de investiga-ci´on en los estudios de Ingenier´ıa . . . 376
V Ap´endices 377 A. El Sistema de los N´umeros Complejos 379 A.1. Notas hist´oricas . . . 379
A.1.1. Breves notas biogr´aficas . . . 382
A.2. Extensi´on de los sistemas num´ericos . . . 385
A.3. El sistema de los n´umeros complejos (C) . . . 386
A.3.1. Operaciones fundamentales con n´umeros complejos . . . 388
A.3.2. Fundamentos axiom´aticos del sistema de n´umeros complejos 390 A.3.3. Representaci´on gr´afica de n´umeros complejos. Diagrama de Argand . . . 391
A.3.4. Distintas formas de expresar un n´umero complejo . . . 392
A.3.5. Potencia entera de un n´umero complejo. F´ormula de De Moivre . . . 396
A.3.6. Ecuaciones polin´omicas . . . 399
A.3.7. Ra´ız n-´esima de un n´umero complejo. Las ra´ıces n-´esimas de la unidad . . . 400
A.3.8. Curvas y regiones en el plano complejo . . . 405
A.4. Problemas propuestos para el alumno . . . 412
B. Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja 419 B.1. Notas hist´oricas . . . 420
B.1.1. Breves notas biogr´aficas . . . 423
B.2. Definiciones previas . . . 425
B.3. Derivaci´on de funciones de variable compleja . . . 426
B.3.1. Funciones anal´ıticas . . . 426
B.3.2. Condiciones de Cauchy-Riemann . . . 426
B.3.3. Funciones arm´onicas . . . 431
B.3.4. Diferenciales . . . 433
B.3.6. Derivadas de orden superior . . . 436
B.3.7. Regla de L’Hˆopital . . . 436
B.3.8. Puntos singulares . . . 437
B.4. Nociones de repaso de an´alisis vectorial . . . 442
B.4.1. Curvas . . . 442
B.4.2. Integral de l´ınea . . . 443
B.5. Integraci´on de funciones de variable compleja . . . 443
B.5.1. Integral de l´ınea compleja . . . 443
B.5.2. Integrales indefinidas . . . 448
B.5.3. Teoremas sobre integrales de l´ınea complejas . . . 450
B.6. F´ormulas integrales de Cauchy . . . 453
B.6.1. Teoremas derivados de las f´ormulas integrales de Cauchy . . 458
B.7. Problemas propuestos para el alumno . . . 461
C. Relaci´on de problemas del tema Derivaci´on e Integraci´on de Fun-ciones de Variable Compleja 467 D. Pr´acticas de Ampliaci´on de Matem´aticas con Derive 475 D.1. Primera sesi´on . . . 476
D.2. Segunda sesi´on . . . 485
E. Programa de la asignatura Ampliaci´on de Matem´aticas 499 F. Resoluci´on de la prueba de nivel 501 G. Resoluci´on de la prueba de evaluaci´on 507 H. Tablas resumen de los distintos datos 515 H.1. Notas de la asignatura An´alisis Vectorial y Ecuaciones Diferenciales515 H.2. Prueba de nivel . . . 516
H.3. Ficheros deDerive . . . 518
H.4. Prueba de evaluaci´on . . . 523
H.5. Encuestas . . . 526
I. Tareas desarrolladas en la clase de laboratorio 537 I.1. Bloque I: Tareas guiadas por el profesor . . . 538
´Indice General 19
I.1.1. Tarea 1 – C´alculos pendientes de los ejercicios de clases de pizarra . . . 538 I.1.2. Tarea 2 – Integral de l´ınea compleja . . . 540 I.1.3. Tarea 3 – Integral de l´ınea compleja mediante f´ormulas
in-tegrales de Cauchy . . . 541 I.2. Bloque II: Tareas semiguiadas . . . 541 I.2.1. Tarea 4 – Condiciones de Cauchy-Riemann . . . 541 I.2.2. Tarea 5 – C´alculo de una funci´on arm´onica conjugada . . . 542 I.2.3. Tarea 6 – Integral de l´ınea de una funci´on anal´ıtica . . . 542 I.3. Bloque III: Tareas aut´onomas . . . 543 I.3.1. Tarea 7 – Funciones arm´onicas . . . 543 I.3.2. Tarea 8 – Derivada mediante condiciones de Cauchy-Riemann543
J. Material para el desarrollo de la clase de laboratorio 545
Introducci´
on
El presente trabajo forma parte de una l´ınea de investigaci´on en Educaci´on Matem´atica1 denominada “Investigaci´on para la innovaci´on curricular en la ac-ci´on en el aula de Matem´aticas”. Los estudios dentro de esta l´ınea tratan de indagar, con pretensiones innovadoras, en los fen´omenos educativos reales en el aula de Matem´aticas, tal y como se producen, all´ı donde se producen, con la participaci´on directa de los principales protagonistas y con las m´ınimas modifi-caciones compatibles con las condiciones reales del desarrollo did´actico y con las orientaciones curriculares legalmente establecidas.
En el caso que nos ocupa se ha dirigido la atenci´on hacia el dise˜no y desarrollo curriculares de las asignaturas de Matem´aticas de los estudios de Ingenier´ıa, un campo de fen´omenos poco frecuentado por investigaciones regladas en Did´actica de la Matem´atica. No en vano, las caracter´ısticas especiales de este tipo de es-tudios dificulta, o hace pr´acticamente imposible, todo intento de intervenci´on y reflexi´on fundada y sistem´atica sobre la pr´actica docente diaria. A pesar de ello, los profesores y ´organos de direcci´on del Departamento de Matem´atica Aplicada
de laUniversidad de M´alaga,responsables de la docencia de las asignaturas men-cionadas, han sabido apreciar la necesidad de la investigaci´on sobre la ense˜nanza en estos niveles para mejorar el proceso did´actico y los resultados y aumentar la calidad de la formaci´on de los futuros ingenieros.
El estudio realizado se basa en la modificaci´on y posterior desarrollo del trata-miento did´actico usual del temaDerivaci´on e Integraci´on de Funciones de Varia-ble Compleja de la asignatura Ampliaci´on de Matem´aticas del plan de estudios de segundo curso de la titulaci´on Ingenier´ıa T´ecnica de Telecomunicaci´on. Su prop´osito ha sido el de analizar la viabilidad y los efectos del tratamiento
mo-1
Desarrollada en elDepartamento de Did´actica de la Matem´atica, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales de laUniversidad de M´alaga.
dificado sobre el aprendizaje, la motivaci´on, las actitudes, el rendimiento de los alumnos y el propio proceso did´actico y sus distintos factores. Para ello, se analiza la comparaci´on de efectos de la metodolog´ıa did´actica modificada (una metodo-log´ıa mixta que incluye la realizaci´on de comandos con Derive2, a la que hemos denominadoexperimental) y de la metodolog´ıa did´actica usual o tradicional (a la que hemos denominado control) y se aprovecha el desarrollo experimental para reflexionar sobre la validez y fiabilidad de los datos, la potencialidad innovadora de este tipo de estudios, la pertinencia y utilidad del marco te´orico y metodol´ ogi-co empleado as´ı ogi-como sobre el sentido y la intensidad de las posibles mejoras en el desarrollo futuro de la l´ınea de trabajo.
Pero la investigaci´on que aqu´ı se presenta no es el resultado de un trabajo aislado. Antes bien, forma parte de un proyecto m´as amplio de indagaci´on sis-tem´atica en varias especialidades y grupos, sobre temas relacionados de diversas asignaturas y carreras de Ingenier´ıa y con la participaci´on efectiva de varios profe-sores responsables de la docencia correspondiente. As´ı, junto a la investigaci´on que nos ocupa, se han desarrollado dos estudios previos sobre el tratamiento did´actico de las materias Integrales de L´ınea e Integrales M´ultiples con el programa De-rive, bajo el mismo marco te´orico y metodol´ogico, con la misma estructura y difundidos con el mismo tipo de informe.
Son evidentes las numerosas ventajas de una l´ınea de estudio basada en un modelo de investigaci´on elaborado para dar respuesta a la pr´actica docente co-tidiana en el aula de Matem´aticas y que se va perfeccionando con el desarrollo de sucesivos trabajos relacionados. Pero quiz´as lo m´as destacado sea el car´acter cooperativo de dichos trabajos, en el que cada investigador desarrolla un es-tudio espec´ıfico y participa como observador, experto, consejero y auxiliar en los dem´as estudios realizados. Adem´as, conviene destacar que las investigaciones previas pueden ser consideradas como ciclos de un proceso cl´asico de investiga-ci´on-acci´on, en el que el an´alisis y la reflexi´on cr´ıtica de los datos obtenidos se utilizan para dise˜nar y desarrollar las metodolog´ıas did´acticas a implementar en las investigaciones posteriores.
2
Nombre comercial registrado del programa “Derive 5.The Mathematical Assistant for Your PC”, propiedad de Texas Instruments.
Introducci´on 23
El informe se divide en seis partes diferenciadas que se detallan a continuaci´on, indic´andose en cada una de ellas los cap´ıtulos que la forman y los contenidos correspondientes.
I. El problema de investigaci´on
En esta parte se exponen las referencias fundamentales distribuidas en tres cap´ıtulos: en elcap´ıtulo 1 se presenta, de manera esquem´atica, el origen, la evo-luci´on y la delimitaci´on precisa del ´area problem´atica y del problema de inves-tigaci´on, los objetivos y las conjeturas, el procedimiento seguido y las fases del estudio; en el cap´ıtulo 2,dedicado a los antecedentes y fundamentos te´oricos, se expone el resultado de la recopilaci´on, an´alisis y organizaci´on de la informaci´on publicada sobre el problema as´ı como las experiencias, reflexiones y actividades previas propias sobre aspectos relacionados; en elcap´ıtulo 3se realiza un an´alisis de los antecedentes a la luz del problema espec´ıfico y orientado a la obtenci´on de consecuencias pr´acticas concretas para el dise˜no y desarrollo del estudio emp´ırico as´ı como para el planteamiento de otros estudios posteriores.
II.Estudio emp´ırico: dise˜no
Para comprobar la viabilidad, eficacia y potencialidad innovadora del nuevo proceso de ense˜nanza y aprendizaje, se realiza el dise˜no de la investigaci´on que se expone en dos cap´ıtulos: en el cap´ıtulo 4 se tratan los aspectos generales del dise˜no, incluyendo la descripci´on de las variables y categor´ıas para el an´alisis de datos, la poblaci´on y muestras y los tratamientos did´acticos diferenciados que se van a emplear; en el cap´ıtulo 5 se presentan los distintos instrumentos de re-cogida y an´alisis de datos, indicando en cada caso su finalidad, caracter´ısticas, estructura, formato y contenido as´ı como su validez y pertinencia para el estudio.
III. Estudio emp´ırico: desarrollo y resultados
La descripci´on del desarrollo del estudio y los resultados puntuales obtenidos son los aspectos que constituyen el n´ucleo de los dos cap´ıtulos que integran esta tercera parte: en el cap´ıtulo 6se describen los dos tratamientos did´acticos imple-mentados en los grupos control y experimental y se transcriben los informes de observaci´on realizados sobre dichos desarrollos; en el cap´ıtulo 7 se presentan los
resultados obtenidos tras los primeros an´alisis de la informaci´on puntual propor-cionada por cada uno de los instrumentos y t´ecnicas de recogida de datos.
IV.Conclusiones y perspectivas futuras
En elcap´ıtulo 8,junto a un resumen del problema y de los resultados puntua-les obtenidos, se dedica una atenci´on especial al an´alisis de las relaciones entre dichos resultados y los aspectos fundamentales del problema de investigaci´on, a la discusi´on sobre los logros obtenidos y a las conclusiones generales del estudio. Se culmina la exposici´on con una breve panor´amica de los problemas e interrogantes a los que se les debe prestar atenci´on en el futuro.
V.Ap´endices
En esta parte se incluyen aquellos contenidos que, siendo relevantes para la in-vestigaci´on, no se ha considerado oportuno que formen parte del cuerpo principal de la memoria. Se trata de una decisi´on basada en la naturaleza de la informaci´on (datos no esenciales para la comprensi´on del problema y del estudio realizado), en los requerimientos del informe (necesidad de coherencia y fluidez de la expo-sici´on) o en las caracter´ısticas del estudio (inter´es por una mayor clarificaci´on de la investigaci´on en su conjunto).
En elap´endice Ase presenta el desarrollo del tema“El Sistema de los N´ ume-ros Complejos” que ha servido para la realizaci´on de la prueba de nivel previa al desarrollo del estudio emp´ırico; en los ap´endices B y C se presentan, respec-tivamente, los contenidos de la materia “Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja”, tema central sobre el que se han desarrollado las dos me-todolog´ıas did´acticas y la relaci´on de ejercicios y problemas de dicho tema; en el
ap´endice D se presentan las pr´acticas con Derive de la asignatura Ampliaci´on
de Matem´aticas de la titulaci´on Ingenier´ıa T´ecnica de Telecomunicaci´on, cuyo programa se incluye en el ap´endice E; en el ap´endice F se incluye la resoluci´on de la prueba de nivel realizada antes de implementar el desarrollo de las dos metodolog´ıas did´acticas; en el ap´endice G se presenta la resoluci´on de la prueba de evaluaci´on realizada para medir los efectos de los dos tratamientos did´acticos sobre el rendimiento de los alumnos; en el ap´endice H se presentan las distintas tablas construidas a partir de los datos obtenidos con los diversos instrumentos;
Introducci´on 25
finalmente, en losap´endices IyJse relacionan, respectivamente, las distintas ta-reas desarrolladas en la clase impartida en el laboratorio mediante la metodolog´ıa experimental y el material que se utiliz´o a modo de gu´ıa para que los alumnos pudieran seguir dicho desarrollo.
VI.Bibliograf´ıa
Esta parte contiene las referencias completas de los documentos que se han manejado en el transcurso de la investigaci´on.
El informe se acompa˜na de un CD-ROM que contiene las partes que se han descrito anteriormente en formato pdf. El objetivo es proporcionar una versi´on adicional electr´onica que permita realizar consultas de forma m´as c´omoda y r´ api-da gracias a la utilizaci´on de enlaces para acceder a las referencias cruzadas.
Asimismo, se incluyen en el disco los siguientes anexos, en los que se pue-den examinar las respuestas de los sujetos, tal y como ocurrieron, y las fuentes primarias de datos que han servido de base para la elaboraci´on de los diversos an´alisis y conclusiones: en el anexo I se detallan las respuestas de los alumnos del grupo control a la prueba de nivel; en elanexo II se disponen las respuestas de los alumnos del grupo control a la prueba de evaluaci´on; en el anexo III se incluyen las respuestas de los alumnos del grupo control a la encuesta; en elanexo IV se detallan las respuestas de los alumnos del grupo experimental a la prue-ba de nivel; en el anexo V se encuentran los listados de los ficheros deDerive que recogen las actuaciones de los alumnos del grupo experimental en la clase de laboratorio desarrollada al final del tratamiento did´actico experimental; en el
anexo VI se detallan las respuestas de los alumnos del grupo experimental a la prueba de evaluaci´on; en elanexo VII se disponen las respuestas de los alumnos del grupo experimental a la encuesta; por ´ultimo, en elanexo VIII,se transcriben las entrevistas mantenidas con los alumnos del grupo experimental.
Parte I
El problema de investigaci´
on
Cap´ıtulo 1
–
Marco conceptual y metodol´
ogico
Cap´ıtulo 2
–
Antecedentes y fundamentos te´
oricos
Cap´ıtulo 1
Marco conceptual y
metodol´
ogico
1.1.
Introducci´
on
En este cap´ıtulo se presentan los aspectos generales de una investigaci´on de-sarrollada en el campo de la Educaci´on Matem´atica en niveles universitarios. En particular se delimitan el ´area problem´atica y el problema concreto abordado, los motivos que justifican el trabajo y los fines o metas que se pretende alcan-zar mediante un estudio dirigido a comprobar la viabilidad y la eficacia sobre el aprendizaje y el rendimiento, medidos ambos mediante una prueba objetiva, de una modificaci´on metodol´ogica introducida en el desarrollo curricular ordina-rio de la materia Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja
correspondiente a la asignatura Ampliaci´on de Matem´aticas de segundo curso de las titulaciones de Ingenier´ıa T´ecnica de Telecomunicaci´on. La nueva meto-dolog´ıa did´actica experimentada contempla una utilizaci´on no convencional de un Computer Algebra System (CAS), como es el programa Derive, basada en la construcci´on/programaci´on de comandos relacionados con el contenido ma-tem´atico mencionado y la posterior comprobaci´on de su correcto funcionamiento sobre ejemplos de aplicaci´on expresamente preparados para ello.
El estudio se centra, por tanto, en una innovaci´on curricular desarrollada en los mismos escenarios naturales y con la participaci´on directa de todos los pro-tagonistas, para lo que ha sido necesario trabajar con numerosas limitaciones y superar las dificultades e inconvenientes derivados de las condiciones restrictivas
que impone la pr´actica docente a cualquier proceso de indagaci´on sistem´atica. M´as a´un cuando se trata, como es el caso, de una asignatura oficial de carreras universitarias altamente competitivas, especialmente sensibles a los cambios y permanentemente sometidas al examen cr´ıtico de los alumnos, la instituci´on uni-versitaria y la sociedad. Pero las dificultades no han quedado ah´ı; a las exigencias de un trabajo de innovaci´on educativa se han tenido que a˜nadir las propias de una investigaci´on1, lo que no ha impedido, como se pondr´a de manifiesto, que se alcancen resultados aceptables en relaci´on con las condiciones en las que se ha llevado a cabo el estudio.
Por otra parte, en lo que se refiere al problema espec´ıfico, hay que decir que la contribuci´on realizada es puntual y modesta en extensi´on, si se analiza aisladamente, pero importante en calidad y relevancia si se observa desde el punto de vista global de la l´ınea de investigaci´on. No hay m´as que tener en cuenta las siguientes consideraciones:
El estudio que se presenta, como se ha mencionado en la introducci´on, no es un trabajo aislado; forma parte de una l´ınea de trabajo en la que se han desarrollado hasta ahora las dos investigaciones siguientes:
1. [Gal´an, 2003]. Integrales M´ultiples con Derive. Un estudio de
inno-vaci´on curricular en primer curso de Ingenier´ıa T´ecnica de Telecomu-nicaci´on.
2. [Padilla, 2003].Integrales de L´ınea con Derive. Un estudio de
inno-vaci´on curricular en primer curso de Ingenier´ıa T´ecnica de Telecomu-nicaci´on.
Tanto dichos estudios como el que aqu´ı se presenta se han realizado de forma cooperativa2, bajo el mismo marco te´orico y metodol´ogico, con la participaci´on de los profesores de la asignatura y con la misma estructura, si bien sobre especialidades y grupos de alumnos diferentes, sobre contenidos distintos3 y bajo la responsabilidad de investigadores diferentes.
1Recordamos las de sistematicidad, rigurosidad, imparcialidad, fundamentaci´on, validez,
re-plicabilidad, sometimiento a an´alisis cr´ıtico, publicidad y minuciosidad, entre otras.
2
Cada investigador ha desarrollado un estudio espec´ıfico y ha participado como observador, experto, consejero y auxiliar en los dem´as estudios realizados.
3
Los dos estudios previos se han desarrollado sobre contenidos de la asignaturaAn´alisis Vec-torial y Ecuaciones Diferencialesde primer curso y el estudio que presentamos se ha desarrollado
1.1. Introducci´on 31
Como se describe con detalle en el apartado 3.5, los estudios previos men-cionados pueden ser considerados como ciclos dentro de un proceso cl´asico de investigaci´on-acci´on.
Se ha puesto de nuevo a prueba un modelo de investigaci´on especialmen-te ´util para el desarrollo de este tipo de estudios y que puede contribuir significativamente a la innovaci´on educativa en Matem´aticas (se est´an apli-cando los resultados en algunas asignaturas de las titulaciones de Ingenier´ıa) as´ı como a la formaci´on inicial y permanente del Profesorado.
En lo que se refiere al informe de investigaci´on, hemos elegido un tipo de exposici´on basado en aproximaciones sucesivas al problema estudiado mediante el desarrollo paulatino y acumulativo de diferentes aspectos del marco concep-tual y metodol´ogico empleado. Un proceso que ya se ha iniciado en los p´arrafos anteriores con peque˜nos adelantos introductorios que se contin´uan a lo largo de este primer cap´ıtulo y del resto de la memoria con la descripci´on del problema y del ´area problem´atica y con algunos aspectos formales del estudio, como son los objetivos, las conjeturas o cuestiones de investigaci´on y la metodolog´ıa empleada.
En consecuencia, en los apartados que siguen se exponen, por este orden, los siguientes contenidos: en el apartado 1.2 se incluyen algunos de los principios generales de los que partimos; en el apartado 1.3 se desarrolla una descripci´on esquem´atica del problema, convenientemente situada en relaci´on con el ´area pro-blem´atica y con los n´ucleos de inter´es del estudio; a continuaci´on, en los apar-tados 1.4 y 1.5, se incluyen sendas explicaciones detalladas de los dos grandes pilares de la investigaci´on, a saber, el marco te´orico y metodol´ogico y el proble-ma espec´ıfico de la investigaci´on; posteriormente, en el apartado 1.6, se describe la trayectoria seguida desde la realizaci´on de las primeras experiencias y la formula-ci´on de las conjeturas hasta la culminaci´on del estudio; para finalizar se detallan, en los apartados 1.7 y 1.8 respectivamente, los objetivos y las conjeturas o cues-tiones de investigaci´on junto a una breve descripci´on de la metodolog´ıa y de las distintas fases del desarrollo del estudio, que se exponen en las secciones 1.9 y 1.10 respectivamente.
sobre el contenidoDerivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Complejade la asignatura Ampliaci´on de Matem´aticas de segundo curso.
1.2.
Principios generales
1.2.1. Sobre la Educaci´on Matem´atica
En una primera aproximaci´on, la Educaci´on Matem´atica ([Steiner, 1985]), o la Did´actica de la Matem´atica seg´un algunas tendencias ([Brousseau, 1990]), ha tenido y tiene diferentes significados, que van desde el “arte de ense˜nar” o “con-junto de t´ecnicas que sirven para ense˜nar” (destrezas, medios y t´ecnicas para dar a conocer o ense˜nar las Matem´aticas (curr´ıculo, objetivos, evaluaci´on, mate-riales, manuales, software educativo, etc.)) hasta la concepci´on “pluridisciplinar aplicada”, en la que se identifica con un campo de investigaci´on que trata de la “descripci´on y el estudio de la actividad de ense˜nanza de las Matem´aticas en el marco de unas disciplinas cient´ıficas de referencia” o la concepci´on “aut´onoma”, que reclama una independencia y un contenido espec´ıfico propio sin eliminar del todo la concepci´on interdisciplinar en lo metodol´ogico.
De todas ellas, compartimos los planteamientos de la aproximaci´on aut´onoma, que considera la Educaci´on Matem´atica como el campo de los fen´omenos rela-cionados con la ense˜nanza, el aprendizaje y la comunicaci´on de conocimientos matem´aticos (fen´omenos educativos en Matem´aticas o fen´omenos de la Educa-ci´on Matem´atica) en la instituci´on educativa y en el medio social; fen´omenos que involucran actividades humanas, sociales y culturales ordenadas y orientadas a la personalizaci´on, transmisi´on y creaci´on de la cultura matem´atica, considerada como experiencia colectiva organizada, para contribuir a la preparaci´on de la in-tervenci´on activa del individuo en la sociedad ([Rico, 1997b]). Este autor se˜nala, adem´as, que:
“en t´erminos generales, todos aquellos trabajos que se ocupen de la ense˜nanza-aprendizaje de las Matem´aticas, incluidas las propias Ma-tem´aticas cuando son pensadas desde esta perspectiva, forman parte del campo de estudio de la Educaci´on Matem´atica.”
Por ´ultimo, estamos igualmente de acuerdo en que una de las principales finalidades de los estudios en este campo es identificar y resolver los problemas para optimizar los procesos educativos y conseguir que los alumnos adquieran una formaci´on y un nivel de autonom´ıa intelectual que favorezcan la adaptaci´on al medio y su organizaci´on y que aseguren la transmisi´on de la cultura matem´atica y la creaci´on de nuevos conocimientos ([Gonz´alez, 1999c]).
1.2. Principios generales 33
1.2.2. Sobre la investigaci´on en Educaci´on Matem´atica
Consideramos que la Educaci´on Matem´atica es un campo cient´ıfico-tecnol´ ogi-co espec´ıfiogi-co ogi-con un nivel de an´alisis te´orico y unas metodolog´ıas propias de un verdadero saber cient´ıfico, si bien en la actualidad en v´ıas de constituci´on ([Steiner, 1985]). Por ello, concebimos la investigaci´on en Educaci´on Matem´atica como un proceso de indagaci´on met´odica y disciplinada sobre los fen´omenos de ense˜nanza, aprendizaje y comunicaci´on de las Matem´aticas ([Kilpatrick, 1992]). Su resultado es un conocimiento que posee el triple car´acter apuntado por Bene-dito ([BeneBene-dito, 1987]):
Saber cient´ıfico. Recibe aportaciones de otras ciencias; intenta elaborar teor´ıas; se proyecta sobre la tecnolog´ıa; utiliza el m´etodo cient´ıfico.
Saber tecnol´ogico.Actividad cient´ıficamente fundada; utiliza el m´etodo tec-nol´ogico en el sentido de Bunge; se apoya en modelos progresivamente ri-gurosos; est´a en continua interacci´on con la pr´actica.
Saber pr´actico.Adapta la norma con flexibilidad a cada caso particular; es punto de partida de nuevos enfoques, revisiones e investigaciones destinados a mejorar el saber tecnol´ogico y cient´ıfico.
Sin embargo, la situaci´on actual no es tan productiva y avanzada como lo es en otras ´areas de conocimiento, quiz´as debido a que:
Los m´etodos que se emplean, apropiados para parcelas espec´ıficas del saber o enfoques muy particulares, son, sin embargo, insuficientes para abarcar la complejidad de los fen´omenos en toda su extensi´on.
Los resultados son demasiado puntuales, poco relevantes y con pocas posi-bilidades de modificar sustancialmente la pr´actica educativa.
Intervienen m´ultiples factores que no act´uan aisladamente, sino interco-nectados entre s´ı mediante relaciones que es preciso identificar y analizar previamente en un marco de conjunto.
1.2.3. Sobre los factores y relaciones
En los fen´omenos de la Educaci´on Matem´atica inciden, entre otros, los si-guientes factores:
Fundamentos matem´aticos, epistemol´ogicos y fenomenol´ogicos (ca-racter´ısticas del conocimiento).
Partimos de los siguientes principios generales([Gonz´alez, 1999c])4:
(a) El conocimiento matem´atico es perfectible, sujeto a errores, parcial e incompleto y tiene que ver con ideas u objetos conceptuales a los que el ser humano accede mediante el descubrimiento y la inven-ci´on o creaci´on no arbitrarias. Estos objetos son independientes de su simbolizaci´on, tienen una existencia ficticia o convencional y com-parten dos ´ambitos diferentes: el conceptual individual y el suprain-dividual, cultural o colectivo como parte de la conciencia compartida ([Popper, 1989]).
(b) Los fen´omenos que organizan los conceptos matem´aticos son los ob-jetos, sus propiedades, las acciones sobre ellos y las propiedades de estas acciones, todos pertenecientes a un mundo ´unico que contiene los productos de la cognici´on humana y, en particular, los productos de la actividad matem´atica ([Puig, 1997], p´agina 67).
Cognici´on y aprendizaje (errores y dificultades; procesos individuales; representaciones; experiencias y formaci´on de conceptos; adquisici´on de automatismos, procedimientos y destrezas).
La creaci´on/descubrimiento/apropiaci´on del conocimiento matem´atico se encuentra condicionada por lo que hay de com´un a todos los individuos y culturas que la han hecho y la hacen posible: las caracter´ısticas comunes de la mente humana (fisiol´ogicas, entre otras), del medio (f´ısicas, sociales, culturales, entre otras) y de la interacci´on entre ambos (que proceden, entre otras, de las necesidades propias de la adaptaci´on del sujeto al medio). La intervenci´on de los tres factores (mente, medio e interacci´on) se produce en todas las interpretaciones sobre la naturaleza y el modo de producci´on y apropiaci´on del conocimiento matem´atico, es decir, el pensamiento ma-tem´atico individual y colectivo, su evoluci´on, sus relaciones con otros tipos de pensamiento y su educaci´on de cara a la consecuci´on de los fines esta-blecidos deben ser punto de referencia central en Educaci´on Matem´atica.
4
Elaborados a partir de las consideraciones de [Tymoczko, 1986], [Davis y Hersh, 1988] y [Puig, 1997].
1.2. Principios generales 35
Ense˜nanza y curr´ıculum (naturaleza; relaciones; estructura y organi-zaci´on de los elementos del curr´ıculo (objetivos, contenidos, metodolog´ıa, otros organizadores ([Rico, 1997a], p´aginas 39-59), etc.); an´alisis de las con-diciones complejas y de los factores en presencia de los cuales se producen los procesos (socioculturales, econ´omicos, medio-ambientales, etc.); pol´ıti-cas educativas, etc.).
La reflexi´on desde esta perspectiva m´as amplia debe partir de los an´alisis epistemol´ogico, cognitivo y fenomenol´ogico del conocimiento matem´atico para desembocar en el an´alisis de la ense˜nanza, el curr´ıculo y sus relaciones con otros factores sociales, pol´ıticos o culturales involucrados. Todo ello, en un nivel te´orico que favorezca y complete una visi´on global espec´ıfica y no interdisciplinar del campo de la Educaci´on Matem´atica.
Procesos de ense˜nanza-aprendizaje, en los que interact´uan diversos ele-mentos de los factores anteriores en distintos planos (dise˜no, planificaci´on e implementaci´on) ([Coriat, 1997b], p´aginas 156-157) (m´etodos y t´ecnicas para provocar aprendizajes ´optimos; recursos y medios necesarios; adecua-ci´on del curr´ıculo a las capacidades y necesidades de los alumnos, a las necesidades cient´ıficas y socioculturales, etc.), en lo que constituye el ni-vel m´as cercano a la realidad educativa y en el que se ha desarrollado la investigaci´on que se presenta en esta memoria.
1.2.4. Sobre el m´etodo de indagaci´on
La enorme complejidad de los fen´omenos y la intervenci´on de m´ultiples facto-res y relaciones puede conducir, en una primera aproximaci´on, a admitir la inter-disciplinariedad como el mejor enfoque para abordar los problemas. Sin embargo, lo que caracteriza a una parte importante de la investigaci´on en Educaci´on Ma-tem´atica no es la interdisciplinariedad sin m´as ([Kilpatrick y otros, 1994], p´aginas 78-79), sino la intervenci´on de unas componentes b´asicas espec´ıficas que tienen un papel esencial en los estudios curriculares ([Rico, 1997a]). Nos referimos a lasconsideraciones epistemol´ogicas y fenomenol´ogicas sobre el conocimiento ma-tem´atico en el marco de una intencionalidad did´actica y a una red de relaciones de dependencia espec´ıficas entre dichas componentes ([Gonz´alez y otros, 1994, Gonz´alez, 1998]); dos aspectos que no intervienen en la aproximaci´on interdisci-plinar y que caracterizan un enfoque “mixto” de los fen´omenos que se traduce en
procesos de indagaci´on con dos partes diferenciadas:
(a) Una primera parte espec´ıfica que organiza el campo, define el problema y proporciona el marco te´orico y metodol´ogico adecuado.
(b) Una parte interdisciplinar en la que, al amparo de las consideraciones del apartado (a), tienen cabida las investigaciones, los m´etodos y resultados de otras aproximaciones no espec´ıficas.
Esto es lo que se realiza en la investigaci´on que presentamos. En ella se uti-lizan m´etodos cualitativos y cuantitativos propios de la investigaci´on pedag´ogica y psicol´ogica para contrastar la validez de un modelo te´orico local sobre una parte de los fen´omenos en estudio. Dicho modelo es construido previamente con la informaci´on proporcionada por una metodolog´ıa no emp´ırica espec´ıfica que denominamos An´alisis Did´actico ([Gonz´alez, 1998]).
1.2.5. Sobre la docencia y la investigaci´on en la Universidad
Uno de los aspectos importantes de la investigaci´on en Educaci´on Matem´atica se refiere a las caracter´ısticas propias de los niveles educativos, edades e institu-ciones en las que se desarrollan los estudios. En nuestro caso no se trata s´olo de una investigaci´on en niveles universitarios, sino que, adem´as, involucra a la docencia en dichos niveles, factor esencial del estudio que presentamos y al que hemos de dedicar un breve an´alisis.
En el T´ıtulo Preliminar, art´ıculo 1o, de la LRU (BOE de 1 de septiembre de 1983) se especifican las siguientes funciones generales de la Universidad:
(a) La creaci´on, desarrollo, transmisi´on y cr´ıtica de la ciencia, de la t´ecnica y de la cultura.
(b) La preparaci´on para el ejercicio de actividades profesionales que exijan la aplicaci´on de conocimientos y m´etodos cient´ıficos o para la creaci´on art´ısti-ca.
(c) El apoyo cient´ıfico y t´ecnico al desarrollo cultural, social y econ´omico de la sociedad.
El cumplimiento de estas funciones se realiza a trav´es de la docencia, el estudio y la investigaci´on que llevan a cabo los profesores en el seno de los Departamen-tos. Pero de dichas tareas, la transmisi´on de conocimientos, la preparaci´on de los
1.2. Principios generales 37
alumnos y la docencia en general son, sin duda y por diversos motivos, aspectos necesitados hoy d´ıa de una atenci´on especial. De hecho, los dise˜nos y desarrollos curriculares de los estudios universitarios carecen, por lo general, de una funda-mentaci´on tan amplia y detallada como la que es usual en otros niveles educativos. Ello genera, entre otras cosas, dudas razonables sobre la calidad de la formaci´on y la idoneidad de su control; dudas que a veces se intentan disipar apelando al car´acter voluntario de los estudios y haciendo recaer sobre el alumnado la mayor parte de la responsabilidad de su formaci´on.
Por otra parte, la ense˜nanza universitaria exige la simbiosis entre la investi-gaci´on y la docencia:
“La relaci´on entre docencia e investigaci´on se encuentra en la base misma del concepto y funciones de la Universidad, y ambas deben tener una articulaci´on coherente. Y esta misma relaci´on permitir´a que el profesor sea capaz de ense˜nar mediante sus propias incertidumbres; incertidumbres propias de todo proceso de investigaci´on, que incluye la capacidad de autoaprendizaje y del autodesarrollo.”([Benedito, 1992])
Y esta simbiosis debe alcanzar no s´olo a la investigaci´on sobre los propios conocimientos disciplinares, sino tambi´en, de forma complementaria, a la inves-tigaci´on sobre los procesos de ense˜nanza y aprendizaje de dichos conocimientos. Tanto es as´ı que la concepci´on de la docencia como una experimentaci´on, como una indagaci´on permanente, hace que se entienda la din´amica del aula como la ocasi´on id´onea para crear y recrear situaciones de aprendizaje, para impulsar, fa-cilitar y mejorar los flujos de informaci´on, para avivar los procesos de discusi´on, para estimular la capacidad de sugerir alternativas y que los alumnos partici-pen y se sientan protagonistas del proceso did´actico y no s´olo destinatarios de ´el ([Gonz´alez, 1999c]). En cualquier caso, la integraci´on entre docencia e investiga-ci´on es efectiva cuando se realiza en equipo, no s´olo porque es dif´ıcil concebir la investigaci´on como tarea aislada, sino porque es la instituci´on la que asume ese doble y unificado compromiso ante la sociedad. As´ı, hemos realizado el estudio que se presenta y los diferentes trabajos previos relacionados con ´el, conjugando la experiencia y los conocimientos de los profesores que han participado en cada caso.
La ense˜nanza universitaria se encuentra tambi´en afectada por circunstancias y factores negativos (formaci´on did´actica del profesorado, abandono institucional,
masificaci´on, condiciones materiales) y sometida a algunas paradojas: importan-cia te´orica que se concede a la formaci´on de ense˜nantes frente a la indiferencia real respecto a la misma; preocupaci´on pol´ıtica por la docencia frente a la su-premac´ıa real que se otorga a la investigaci´on y las publicaciones; preocupaci´on por la calidad frente a la admisi´on masiva de alumnos y el recorte presupues-tario; importancia del Departamento frente a la vigencia, en muchos casos, del individualismo del profesor, etc.
A pesar de los inconvenientes se˜nalados, la profesi´on docente universitaria tiene una excepcional importancia en funci´on de su triple proyecci´on: intelectual, cultural y social, con las que contribuye al servicio de la educaci´on como una inversi´on social y un derecho de todos los ciudadanos. Es con este convencimiento con el que venimos desarrollando los trabajos de la l´ınea de investigaci´on para la innovaci´on curricular en estudios universitarios de Ingenier´ıa, asumiendo la responsabilidad que ello supone y esperando responder a la confianza que la sociedad y los ciudadanos tienen depositada en la instituci´on universitaria y en sus profesores.
1.3.
Descripci´
on general del problema
El trabajo de investigaci´on se apoya en los tres grandes pilares siguientes, que vamos a desarrollar brevemente a continuaci´on:
(A) El marco te´orico.
(B) El problema espec´ıfico.
(C) El marco metodol´ogico en el que se ha desarrollado el estudio y que viene determinado por los dos aspectos anteriores.
En primer lugar, en cuanto al marco te´orico (A), la investigaci´on forma parte de una l´ınea de estudio en Did´actica de la Matem´atica denominada Inves-tigaci´on para la innovaci´on curricular en la acci´on en el aula de Matem´aticas5
([Gonz´alez, 2003]):
Innovaci´on porque se orienta expl´ıcitamente a la mejora.
5
L´ınea abierta en el ´area de conocimiento deDid´actica de la Matem´atica de laUniversidad de M´alagacon tres investigaciones puntuales finalizadas y cuatro m´as en fase de realizaci´on.
1.3. Descripci´on general del problema 39
Curricularporque dicha mejora pretende incidir en el dise˜no y, sobre todo, en el desarrollo curricular ordinarios.
En la acci´onporque la intervenci´on directa sobre la realidad educativa es el contexto adecuado para comprender los fen´omenos educativos matem´aticos con la finalidad de modificarlos para mejorar la eficacia de los procesos correspondientes.
En el aula de Matem´aticasporque se trata de un modelo surgido en el ´
ambito de la investigaci´on en Educaci´on Matem´atica.
El fin primordial de esta forma de acercamiento a los problemas, cuyos prin-cipios y caracter´ısticas aparecen en el apartado 1.4 y desarrollados m´as exten-samente en [Padilla, 2003] y [Gal´an, 2003] y en el cap´ıtulo 3, es el de analizar y comprender, con prop´ositos de innovaci´on, los fen´omenos educativos en Ma-tem´aticas, tal y como se producen, all´ı donde se producen, con la participa-ci´on directa de los principales protagonistas y con las m´ınimas modificaciones compatibles con las condiciones reales del desarrollo did´actico y con las orien-taciones curriculares legalmente establecidas. En particular, los estudios dentro de esta tendencia parten de los conceptos de curr´ıculo y de innovaci´on curri-cular establecidos por [Howson y otros, 1981] y completados por [Rico, 1997a], de los estudios comparativos y longitudinales sobre ense˜nanza de las Matem´ ati-cas ([Romberg y Carpenter, 1986]) y de los estudios sobre materiales y modelos curriculares que se mencionan en [Grouws, 1992]. Su finalidad principal es la de comprobar la incidencia positiva de determinadas modificaciones curriculares de-sarrolladas en grupos naturales y en sus propias aulas, durante el horario oficial y con la participaci´on directa de sus propios profesores, sobre el proceso educativo real y sus resultados.
Como se puede comprobar consultando las referencias citadas, se trata de una tendencia acu˜nada recientemente y que viene a completar y mejorar una de las l´ıneas desarrolladas en Italia en los ´ultimos a˜nos bajo la denominaci´on Investi-gaci´on para la innovaci´on ([Arzarello, 1999, Bartolini, 1998]). Su origen se sit´ua en el an´alisis cr´ıtico de las caracter´ısticas de dicha tendencia ([Gonz´alez, 1999a, Gonz´alez, 1999b]) ante el reconocimiento de sus carencias y limitaciones y el deseo de dar respuesta a la necesidad, sentida desde hace tiempo por educadores ma-tem´aticos e investigadores en Educaci´on Matem´atica ([Kilpatrick y otros, 1994, Rico, 1997a]), de optimizar la investigaci´on en condiciones hol´ısticas y naturales,
adaptar los modelos te´oricos a dichas condiciones y, en definitiva, contribuir a un mayor acercamiento entre la investigaci´on y sus resultados y la pr´actica docente ordinaria.
En segundo lugar (B), de acuerdo con los principios y modelos del mar-co te´orico mencionado, hemos desarrollado un estudio sistem´atico espec´ ıfi-co de innovaci´on curricular centrado en el proceso real de ense˜nanza y apren-dizaje del tema Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja
([Rodr´ıguez y Gal´an, 2000]) de la asignatura Ampliaci´on de Matem´aticas6 de
segundo curso del plan de estudios de la titulaci´on Ingenier´ıa T´ecnica de Te-lecomunicaci´on de la Universidad de M´alaga. En dicha investigaci´on se mo-difica la metodolog´ıa did´actica usual mediante la sustituci´on de una parte de las clases tradicionales de pizarra por clases en el labora-torio de inform´atica en las que se utiliza la programaci´on como re-curso7 did´actico y, en particular, la realizaci´on de comandos con el programa Derive ([Llorens, 2001, Camacho y Depool, 2002, Kempski, 2002, Rodr´ıguez y otros, 2002a, Rodr´ıguez y otros, 2002d, B¨ohm, 2002, Ortega, 2002b, Rodr´ıguez y otros, 2003b]). La modificaci´on propuesta se presume previamente, como as´ı ocurre y se constata en el estudio realizado, que produce efectos positivos sobre distintos aspectos del proceso de ense˜nanza-aprendizaje y sus resultados.
Los n´ucleos que delimitan la investigaci´on desde el punto de vista del problema analizado son: el contenido matem´aticoDerivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja, el nivel correspondiente a losestudios universitarios de Inge-nier´ıa,lautilizaci´oncomo recurso did´acticodel programa Deriveen su vertiente
de programaci´on, y la metodolog´ıa de ense˜nanza utilizada para el desarrollo de dicho contenido en los niveles indicados y empleando el recurso mencionado. Des-de este punto Des-de vista poDes-demos Des-decir que se ha Des-desarrollado una investigaci´on para la innovaci´on curricular en la acci´on en el aula de Matem´aticas sobre una metodolog´ıa did´actica mixta con la ayuda de Derive para el desarrollo del contenido Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja en estudios universitarios de Ingenier´ıa.
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Asignatura adscrita al ´area de conocimiento de Matem´atica Aplicada y cuyo programa se encuentra desarrollado en el ap´endice E.
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Empleamos el t´ermino recurso en el mismo sentido que le atribuyen [Carretero y otros, 1995] (p´aginas 82–83). Asimismo, esta forma de utilizaci´on se encuentra dentro de la categor´ıa que Coriat ([Coriat, 1997b], p´aginas 168–170) denomina “recursos simb´olicos”.
1.3. Descripci´on general del problema 41
En tercer lugar (C), para abordar con garant´ıas los fen´omenos y problemas descritos, en las condiciones mencionadas y con las restricciones y principios indi-cados, hemos tenido necesidad de emplear una metodolog´ıa de investigaci´on
mixta, compleja, compatible y adaptada a las caracter´ısticas del problema y del marco te´orico, tal y como se expone con detalle en el apartado 1.9 del presente cap´ıtulo. Pero no han sido s´olo las caracter´ısticas del estudio espec´ıfico las que han delimitado el m´etodo a emplear sino que se han tenido en cuenta, adem´as, las investigaciones desarrolladas anteriormente dentro de la misma l´ınea de in-vestigaci´on (op. cit.).
En definitiva, se han utilizado las siguientes t´ecnicas y procedimientos meto-dol´ogicos:
Instrumentos propios del paradigma interpretativo-cualitativo, tales como las entrevistas, la observaci´on y la triangulaci´on ([Taylor y Bogdan, 1986, Goetz y Lecompte, 1988, Denzin y Lincoln, 1994]).
Un enfoque parcial8 de los principios de la Investigaci´on en la Acci´on en grupos naturales y desarrollada por los propios profesores ([Jackson, 1975, Cohen y Manion, 1990, Goyette y Lessard H´ebert, 1988, Stenhouse, 1984, Stenhouse, 1987, Elliot, 1993]).
Procedimientos propios del paradigma cuantitativo, tales como el dise˜no y estudio cuasiexperimental y el contraste de hip´otesis ([Bisquerra, 1989, Latorre y otros, 1996]).
En definitiva, desde el punto de vista de la metodolog´ıa, podemos decir que se presenta una investigaci´on para lainnovaci´on curricular en la acci´on sobre una metodolog´ıa did´actica experimental para el desarrollo del conteni-do Derivaci´on e Integraci´on de Funciones de Variable Compleja con la ayuda de Derive en los estudios universitarios de Ingenier´ıa, apli-cando una metodolog´ıa de investigaci´on mixta, compleja, compatible y adaptada y empleando principios de la Investigaci´on en la Acci´on.
Los tres pilares mencionados, marco te´orico, problema espec´ıfico y marco me-todol´ogico, han sido objeto de atenci´on desigual a lo largo del desarrollo del
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Formalmente se ha desarrollado un s´olo ciclo en el presente estudio, aunque informalmente y desde el punto de vista de la l´ınea de investigaci´on se trata realmente de un segundo o tercer ciclo basado en los estudios precedentes.
estudio. El marco te´orico se ha puesto a prueba en el caso espec´ıfico estudiado bajo la forma de modelo te´orico. A su vez, el problema espec´ıfico ha sido anali-zado por s´ı mismo y como objeto de la l´ınea de estudio definida por el modelo te´orico. Por ´ultimo, aunque de forma secundaria, el marco metodol´ogico ha si-do tambi´en objeto de reflexi´on en cuanto a la pertinencia y efectividad de las medidas tomadas con respecto al problema espec´ıfico y a las exigencias impues-tas por las caracter´ısticas y condiciones del modelo te´orico. Los tres aspectos mencionados se pueden reducir a dos, que a su vez se encuentran estrechamente relacionados9:problema espec´ıfico y modelo te´orico; no olvidemos que el marco metodol´ogico est´a pr´acticamente determinado por los otros dos, en especial por el modelo te´orico.
Los dos bloques mencionados recibir´an un tratamiento m´as detallado en los apartados que siguen. As´ı, en el apartado 1.4 se expone un resumen de los prin-cipales aspectos del modelo te´orico utilizado, mientras que en el apartado 1.5 se explica detenidamente el problema espec´ıfico abordado. A continuaci´on, en los apartados 1.6, 1.7 y 1.8, se exponen distintos aspectos formales del problema de investigaci´on, como son su origen y evoluci´on, los objetivos que se espera alcanzar y las conjeturas que se someten a consideraci´on.
1.4.
Modelo te´
orico
Se exponen aqu´ı los principales fundamentos, principios y condiciones que conforman el marco que sustenta la investigaci´on y el modelo te´orico que ha servido de gu´ıa para el desarrollo del trabajo. Como se ha mencionado, tomamos como referencia las consideraciones realizadas en tal sentido en [Gal´an, 2003] y [Padilla, 2003], que ser´an resumidas a continuaci´on y ampliadas en los cap´ıtulos 2 y 3.
La exposici´on que sigue se estructura en los siguientes apartados: objeto del estudio y tipo de problema, fines generales que persigue el modelo te´orico y condi-ciones curriculares y de otro tipo que delimitan el modelo. Estas consideracondi-ciones se ir´an concretando y adaptando al problema espec´ıfico tratado a medida que se vaya avanzando en la exposici´on de las diferentes partes y cap´ıtulos de la memoria.
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No podemos olvidar que lo que denominamos como problema espec´ıfico se analiza dentro de un marco te´orico cuyas caracter´ısticas influyen decisivamente sobre el estudio y sus resultados.
1.4. Modelo te´orico 43
1.4.1. Objeto del estudio y tipo de problema
Desde un punto de vista general, se trata de abordar, de manera fundada, sistem´atica y con prop´ositos de innovaci´on, problemas o fen´omenos educativos espec´ıficos de car´acter curricular en el marco del dise˜no y desarrollo curricula-res ordinarios en grupos naturales de asignaturas de Matem´aticas de planes de estudios oficiales. Dicho de otro modo, se pretende abordar problemas de inves-tigaci´on relacionados con la pr´actica educativa real en el aula de Matem´aticas, lo que obliga, por un lado, a considerar los fen´omenos en su globalidad y com-plejidad y como sucesos singulares e irrepetibles y, por otro, a realizar peque˜nas aproximaciones en lugar de investigaciones amplias, complejas o demasiado am-biciosas. En este caso, se tratar´ıa de estudios que requieran el dise˜no y desarrollo de modificaciones curriculares puntuales, en las mismas condiciones naturales y con las m´ınimas intervenciones posibles sobre los aspectos no modificados. Del desarrollo curricular resultante se analiza su viabilidad, sus efectos sobre determi-nados factores del proceso educativo y las diferencias con respecto al tratamiento did´actico est´andar o usual tomado como tratamiento control. Del estudio se ob-tiene una nueva aproximaci´on did´actica sujeta a replicaci´on y a modificaciones posteriores m´as precisas.
1.4.2. Finalidad
Con el modelo de trabajo se pretende:
Conocer a fondo los procesos reales, sin manipulaciones que distorsionen su naturaleza y caracter´ısticas.
Identificar y valorar las posibilidades reales de cambio curricular.
Innovar; introducir modificaciones novedosas en los procesos educativos rea-les en Matem´aticas, para su optimizaci´on y la mejora de sus resultados.
Crear y difundir conocimientos fundados sobre los fen´omenos curriculares relacionados con la Educaci´on Matem´atica en el aula ordinaria.
Sustituir paulatinamente y de manera fundamentada, dise˜nos, modelos, m´etodos, pr´acticas, contenidos y tareas que se muestran obsoletas o ine-ficaces, por nuevos elementos adaptados a las condiciones cambiantes y a las nuevas necesidades del individuo y de la sociedad.
Proporcionar nuevas v´ıas para la formaci´on inicial y permanente del Profe-sorado, basadas en la implicaci´on personal en procesos de innovaci´on de la propia pr´actica docente.
Poner de manifiesto la necesidad de contemplar la investigaci´on entre las actividades profesionales del profesor de Matem´aticas, como medio para alcanzar una inmersi´on profunda en el propio objeto de su trabajo y de ad-quirir un conocimiento pr´actico puro sin descuidar las necesarias reflexiones te´oricas sobre dicha pr´actica.
1.4.3. Papel y formaci´on del profesor
Qu´e duda cabe de que el profesor-investigador ocupa un lugar destacado en la consecuci´on de los fines anteriores. Es por ello que vemos necesario incluir algunas de las consideraciones de las que partimos sobre la formaci´on del mismo.
En primer lugar, adoptamos para la formaci´on ideal del profesor de Matem´ ati-cas el programa que se propone en el seno delparadigma ecol´ogico ([P´erez, 1985], p´agina 125, [Shulman, 1986], p´aginas 18–33), en el que, entre otros aspectos, se contempla:
La necesidad de la investigaci´on en el aula para dilucidar los entramados de relaciones y significados, lo que desemboca en la importancia de la in-vestigaci´on-acci´on para una correcta y completa formaci´on.
La consideraci´on de que la vida en el aula se genera en la interacci´on y en el intercambio, siendo a trav´es de la participaci´on directa como se puede conocer con detalle su naturaleza y modo de funcionamiento.
La necesidad de preparar al profesor para el an´alisis cr´ıtico y la interpreta-ci´on subjetiva que proporciona significado a la realidad global de los fen´ ome-nos educativos.
Asimismo, estamos de acuerdo con las consideraciones de [Oliveras, 1996] (p´agina 107), de entre las que destacamos las siguientes:
El profesor aprende como llega a conocer, es decir, por enculturaci´on.
1.4. Modelo te´orico 45
El producto del aprendizaje es un modelo personal hol´ıstico de funciona-miento.
En los siguientes apartados, en particular en el apartado 1.4.5, se ampliar´an los aspectos anteriores con nuevos puntos de vista al respecto.
1.4.4. Condiciones curriculares y modificaciones permitidas
Las investigaciones que se lleven a cabo dentro del marco analizado se han de ajustar a los siguientes compromisos, que act´uan como gu´ıas de los procesos de indagaci´on y como pautas reguladoras de las actuaciones permitidas:
1. Compromiso de respeto a la realidad del aula.
Se han de adoptar las modificaciones estrictamente imprescindibles, es decir, s´olo las requeridas por el problema y las que necesite el desarrollo de la metodolog´ıa prevista. Con ello se obliga a la realizaci´on de estudios con el m´aximo control de las variables y de las relaciones causa-efecto, y en los que se presenta al mismo tiempo la integridad y autenticidad de los fen´omenos.
2. Compromiso de perjuicio cero e intenci´on innovadora.
S´olo se deben desarrollar aquellas modificaciones de las que haya indicios razonables o datos fiables previos (a trav´es de experiencias informales, es-tudios exploratorios o informaciones fidedignas) de su incidencia positiva o, al menos, de sus efectos previsibles no negativos sobre el proceso did´actico y sus resultados. Con ello se obliga, como creemos que as´ı debe ser, a la rea-lizaci´on de estudios que no causen perjuicios al aprendizaje, a las actitudes y a la formaci´on general de los alumnos, argumento esgrimido con raz´on para invalidar o eliminar las investigaciones en el aula ordinaria realizadas durante el desarrollo del proceso educativo reglado.
3. Compromiso de compatibilidad con el dise˜no y de respeto a las directrices y orientaciones de la Administraci´on Educativa.
S´olo se deben implementar modificaciones que de antemano se compruebe que son compatibles con el dise˜no curricular oficial, lo que significa que deben ser viables y aplicables en las condiciones usuales, sin ninguna otra intervenci´on a˜nadida que no sea la de los observadores y colaboradores en el estudio. Con ello se obliga a la realizaci´on de estudios que no requieran
