Fenómeno de interacción dinámica suelo cimentaciones profundas estructura

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Grupo de Investigación en Geotecnia Facultad de Ingenierı́a Departamento de Ingenierı́a Civil y Ambiental. Fenómeno de Interacción Dinámica Suelo Cimentaciones Profundas Estructura. Fabian Alfredo Saade Ropaı́n Magister en Ingenierı́a Civil. Bogotá D.C., Enero 15 de 2008.

(2) Contenido. 1. Estado del conocimiento. 7. 1.1. Experimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.1.1. Ensayos a escala natural con pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.1.2. Ensayos con modelos a escala en mesas vibratorias . . . . . . . . . .. 10. 1.1.3. Ensayos de centrifugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.2. Investigación analı́tica y ensayos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.2.1. Análisis sin tomar en cuenta el fenómeno de IDSCE . . . . . . . . .. 13. 1.2.2. Modelo de Winkler (1867) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.2.3. Modelo de Winkler no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 1.2.4. Teorı́a elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2.5. Método de los Elementos Finitos (MEF) . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.2.6. Análisis basados en códigos de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2. Ecuaciones y/o modelos constitutivos. 24. 2.1. Modelo Elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.1.1. Ecuación Constitutiva Lineal Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.2. Modelo Plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.3. Modelo Hipoplástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3. Fenómeno ondulatorio y propagación de ondas. 40. 3.1. Vibraciones y Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.2. Sismologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 3.2.1. Ondas sı́smicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 3.2.1.1. Ondas Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.2.1.2. Ondas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.2.1.3. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.3. Propagación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. I.

(3) 3.3.1. Propagación de ondas en medios elásticos . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 3.3.2. Propagación de ondas en medios hipoplásticos. 57. . . . . . . . . . . . .. 3.3.3. Propagación de ondas en medios granulares utilizando procedimientos micromecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 4. Fenómeno de Interacción Dinámica Suelo Cimentación Estructura -IDSCE64 4.1. Análisis de respuesta del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 4.2. Interacción cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4.3. Interacción inercial suelo-estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4.4. Interacción por radiación. 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Investigación numérica. 71. 5.1. Modelos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 5.1.1. Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 5.1.2. Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 5.1.3. Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93. 5.1.4. Modelo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6. Conclusiones. 110. 7. Recomendaciones para futuras investigaciones. 112. II.

(4) Índice de figuras. 1.1. Esquema del modelo que representa a la estructura, suelo y solicitaciones sismicas [40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.2. Modelos simplificados para el problema de interacción suelo-estructura. (a) Modelo de un grado de libertad con cimentación rı́gida situada en un semiespacio elástico;(b) deformada del modelo (a); (c) modelo con tres grados de libertad: dos trasnacionales y una rotación; (d) deformada del modelo (c). .. 12. 1.3. Modelo de Winkler utilizando resortes y amortiguadores viscosos para representar el comportamiento del suelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.4. Modelo no lineal de Winkler utilizando curvas p-y, el pilote se subdivide en cinco partes, cada una de ellas amarradas a resortes no lineales. . . . . . . .. 17. 2.1. Tipos de elasticidad. a)Elasticidad no lineal b)Elasticidad lineal . . . . . . .. 26. 2.2. Relación esfuerzo-deformación para material plástico. . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.3. Reglas de flujo. a) Asociada. b) No asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.4. Criterios de falla. a) Tresca y Von Mises. b) Mohr-Coulomb y DruckerPraguer. c) Matsuoka-Nakai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.5. Esquema esfuerzo-deformación para ciclo de carga. . . . . . . . . . . . . . .. 35. 2.6. Esquema esfuerzo-deformación para ciclo de carga-descarga. . . . . . . . . .. 36. 2.7. Disminución de las relaciones de vacı́os caracterı́sticos ei , ec y ed con la presión efectiva normalizado con la dureza granular hs . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.1. Representación gráfica de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.2. Onda transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.3. Onda longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.4. Patrones de interferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.5. Ondas estacionarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.6. Reflexión de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. III.

(5) 3.7. Refracción de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.8. Difracción de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.9. Principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.10. Placas tectónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.11. Subducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 3.12. Ondas P y S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.13. Ondas R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.14. Ondas L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.15. Representación del paquete granular. Las partı́culas oscuras pertenecen a la frontera fija [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 3.16. Gráfica velocidad contra distancia desde la fuente para esqueleto granular sin fricción. [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 3.17. Velocidades de ondas como función de la relación de rigideces. Granos con fricción [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 4.1. Esquema del fenómeno Interacción dinámica suelo-cimentación profundaestructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 4.2. Función de transferencia (eje vertical) vs Frecuencia angular (eje horizontal) para un medio tı́pico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 5.1. Aceleraciones temblor de Loma Prieta, California, del 17 de octubre de 1989, registro de Corralitos, en Eureka Canyon componentes N-S (primeros 20 segundos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 5.2. Geometrı́a modelo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 5.3. Comparación entre la aceleración en la roca base y la aceleración en el punto 2 (punto sobre la superficie del suelo) para la condición de campo libre. . .. 76. 5.4. Comparación de aceleraciones en el punto 2 (punto sobre la superficie del suelo) para las condiciones de campo libre e IDSCE. . . . . . . . . . . . . .. 77. 5.5. Comparación de aceleraciones en el punto 3 (punto ubicado en la parte superior de la estructura) con IDSCE para suelo hipoplástico y sin IDSCE.. 78. 5.6. Comparación de desplazamientos en el punto 3 (punto ubicado en la parte superior de la estructura) con IDSCE para suelo hipoplástico y sin IDSCE.. 79. 5.7. Comparación de desplazamientos en el punto 3 (punto ubicado en la parte superior de la estructura) con IDSCE para suelo hipoplástico y elástico. . .. 80. 5.8. Comparación de aceleraciones en el punto 3 (punto ubicado en la parte superior de la estructura) con IDSCE para suelo hipoplástico y elástico. . .. 81. 5.9. Esfuerzos efectivos para condición de suelo hipoplástico con IDSCE para una profundidad de 10 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. IV. 82.

(6) 5.10. Esfuerzos efectivos para condición de suelo hipoplástico con IDSCE para una profundidad de 14 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 5.11. Esfuerzos efectivos para condición de suelo hipoplástico con IDSCE para una profundidad de 16 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 5.12. Esfuerzos efectivos para condición de suelo hipoplástico con IDSCE para diferentes profundidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 5.13. Presión de poros para condición de suelo hipoplástico con IDSCE para diferentes profundidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. 5.14. Comparación registros de aceleraciones: respuesta de la estructura en el punto 3 con IDSCE para suelo hipoplástico contra registro en la roca base.. 84. 5.15. Comparación respuesta sin IDSCE y con IDSCE para suelos elástico e hipoplástico para el punto 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 5.16. Comparación respuesta en aceleraciones para el punto 3. . . . . . . . . . . .. 86. 5.17. Respuesta en el punto 3 sin IDSCE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. 5.18. Respuesta en el punto 3 con IDSCE para suelo hipoplástico. . . . . . . . . .. 88. 5.19. Respuesta en el punto 3 con IDSCE para suelo elástico. . . . . . . . . . . .. 89. 5.20. Geometrı́a modelo 2. Diagrama esquematico del sistema y modelo equivalente 2D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 5.21. Gráfica factor de amplificación contra frecuencia de excitación, para una edificación de 50 m de alto y espesor del suelo H = 40 m para diferentes rigideces de la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. 5.22. Gráfica factor de amplificación contra frecuencia de excitación, para una edificación de 50 m de alto y espesor del suelo H = 40 m para diferentes rigideces de los pilotes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93. 5.23. Gráfica factor de amplificación contra frecuencia de excitación, para una edificación de 50 m de alto y espesor del suelo H = 40 m para suelos I, II y III cada uno con diferente módulo de cortante. . . . . . . . . . . . . . . . .. 94. 5.24. Geometrı́a modelo 3. Se referencian los puntos (en la estructura, suelo y cimentación) sobre los que se evalua la respuesta. . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 5.25. Grupo de pilotes bajo excitación armónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 5.26. Influencia del espaciamiento. Función de transferencia horizontal para onda SH propagandose verticalmente [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 5.27. Influencia del espaciamiento. Función de transferencia vertical para onda P propagandose verticalmente [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97. 5.28. Diferentes configuraciones de cimentación. Función de transferencia horizontal (aceleraciones) para onda SH propagandose verticalmente [15]. . . . . .. 98. 5.29. Diferentes configuraciones de cimentación. Función de transferencia vertical (aceleraciones) para onda P propagandose verticalmente [15]. . . . . . . . . V. 99.

(7) 5.30. Diferentes configuraciones de cimentación. Función de transferencia horizontal (desplazamientos) para onda SH propagandose verticalmente [15]. . . . . 100 5.31. Diferentes configuraciones de cimentación. Función de transferencia vertical (desplazamientos) para onda P propagandose verticalmente [15]. . . . . . . 100 5.32. Geometrı́a modelo 4. Modelos usados para el estudio comparativo : cimentaciones superficial, monopilote y pilotes múltiples [6]. . . . . . . . . . . . . . 101 5.33. Campo libre. Velocidad contra tiempo para diferentes profundidades [6]. . . 102 5.34. Campo libre. Espectro de densidad de potencia para aceleraciones en los puntos A1, C2 y D3 [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.35. IDSCE. Evolución del desplazamiento vertical en la base de la estructura para los tres tipos de cimentación [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.36. IDSCE. Evolución del angulo de rotación en la base de la estructura para los tres tipos de cimentación [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.37. PDS para la aceleración horizontal en la roca y en el campo libre comparada con: a) respuesta en la parte superior de la estructura, b) sobre la superficie del suelo en cercanias de la estructura y c) en la base de la estructura; para los tres tipos de cimentación [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.38. Espectro de respuesta de aceleraciones para un sistema de un grado de libertad con 5 por ciento de amortiguamiento viscoso generado a partir de las historias de aceleraciones en la roca, campo libre, cabezal del grupo de pilotes, cimentación superficial y cabezal de la cimentación con un pilote [6]. 108 5.39. a) Señal sinusoidal de entrada de referencia. b) Respuesta en superficie sin el uso de ningún método de contorno [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.40. Comparación de la respuesta para diferentes condiciones de frontera. a) Fronteras periódicas. b) Elementos infinitos [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . 109. VI.

(8) Indice de tablas. 3.1. Velocidad de Propagación de ondas P y S en diferentes medios. . . . . . . .. 52. 5.1. Parametros suelo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 5.2. Parametros suelo Hipoplastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 5.3. Parametros material elastoplástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 5.4. Módulos de cortante de acuerdo al tipo de suelo. . . . . . . . . . . . . . . .. 92. 5.5. Parámetros del suelo y pilotes para evaluación de la interacción cinemática.. 96. 5.6. parámetros geométricos y mecánicos de la estructura para evaluación de la interacción inercial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97. 5.7. Configuraciones de cimentación para evaluación de la interacción inercial [15]. 98. VII.

(9) Introducción. La metafı́sica es un restaurante que ofrece un menú de treinta mil páginas pero nada de comer. Robert Pirsing. Introducción La masa de un cuerpo es una medida de la inercia o lentitud del mismo para reaccionar a cualquier esfuerzo que se haga para impulsarlo, detenerlo o cambiar de alguna forma su estado de movimiento. Los cuerpos materiales al ser sometidos a esfuerzos por lo general experimentan cambios en tamaño, forma o ambos; y muchos de ellos en mayor o menor grado tienen la propiedad de recuperar su tamaño y forma cuando se suprimen las fuerzas que producen las deformaciones (elasticidad) o por lo menos hacerlo de manera parcial (inelasticidad). La combinación de las dos propiedades anteriores de los cuerpos materiales, bajo la acción de fuerzas cambiantes en el tiempo conduce a lo que se podrı́a denominar efectos dinámicos sobre cuerpos deformables. El interior terrestre se encuentra en continuo cambio el cual se manifiesta por el desplazamiento relativo de las diferentes partes que lo constituyen, y como producto de esto, a través de ciertos mecanismos que serán tratados con posterioridad en el presente documento, se generan procesos de acumulación y liberación de grandes cantidades energéticas en intervalos de tiempo muy cortos, dicha liberación se realiza a través de ondas en el interior del planeta que se propagan en todas direcciones hasta llegar a la superficie, y a los cuales se les da el nombre genérico de sismos.. 1.

(10) MIC 2008-I-32. Las edificaciones que pululan en nuestras ciudades, construidas en concreto o cualquier otro material y los suelos sobre los que estas se apoyan, experimentan efectos dinámicos y elásticos cuando se ven sometidos a acciones de diversa ı́ndole, en particular a solicitaciones sı́smicas. Cuando las edificaciones (estructuras) están cimentadas sobre rocas o suelos muy rı́gidos, es decir sobre apoyos indeformables (no entra en juego la segunda de las propiedades arriba citadas), el estudio de los efectos dinámicos sobre la estructura se puede hacer sin tomar en consideración el suelo sobre el cual está apoyado. En tales casos, el movimiento inducido por el sismo en el contacto suelo-estructura es el mismo que el producido por un terremoto en condiciones de ausencia de la estructura. En caso contrario, cuando el suelo de cimentación sea deformable, las ondas sı́smicas sufren importantes modificaciones debido a la presencia de la estructura, al mismo tiempo el comportamiento de la estructura se ve afectado grandemente. Por ello, en el caso de suelo deformable es preciso incluir el efecto de la interacción suelo- estructura en el análisis dinámico que se realice de esta última. A nivel global el análisis dinámico y diseño sismo resistente de edificaciones, se basa en procedimientos claramente definidos que usualmente dejan de lado las propiedades del suelo y no toman en consideración el tipo de cimentación. El no incluir los efectos de interacción suelo-estructura es considerado comúnmente como benéfico para la respuesta sı́smica de la edificación ya que se supone incrementa los márgenes de seguridad, sin embargo, aun cuando esto es cierto para estructuras cimentadas sobre suelos rı́gidos, no se podrı́a extrapolar a situaciones de suelos mas blandos sin el debido análisis, especialmente para el caso de terremotos de gran magnitud, ya que no se conoce con certeza la influencia de la cimentación y el rol que juega el fenómeno de Interacción dinámica Suelo-CimentaciónEstructura (IDSCE) en la respuesta de la estructura, cimentación y el mismo suelo. Observaciones de edificios cimentados sobre pilotes bajo la acción de sismos intensos muestran que el comportamiento de los pilotes en suelos firmes generalmente es adecuado. Sin embargo, el comportamiento de estos y las estructuras a los que ellos soportan, en suelos blandos puede variar grandemente de excelente a deficiente, resultando en daño estructural o deformaciones excesivas de la edificación. El objetivo fundamental de este trabajo es el estudio del fenómeno IDSCE en general y en edificaciones con cimentaciones profundas (sobre pilotes) en particular; Utilizando para ello resultados de modelaciones en elementos finitos, considerando al suelo como un medio continuo con caracterı́sticas inelásticas (medio hipoplástico), y de ensayos de laboratorio realizado en diversas partes del mundo. Motivación de la Investigación. 2.

(11) MIC 2008-I-32. Los sismos son generados por una liberación repentina de energı́a en una localización particular denominada foco, en el interior de la corteza terrestre. La energı́a viaja en forma de ondas de esfuerzo propagándose desde el foco en todas las direcciones. Diferentes fenómenos ocurren durante la propagación de las ondas. La energı́a se atenúa con la distancia cuando la onda viaja dentro de un medio homogéneo, además, la presencia de discontinuidades en este permite la reflexión y refracción de las ondas, las cuales pueden cambiar la dirección de propagación, la amplitud e incluso el tipo de onda. Las ondas inducen movimientos oscilatorios en el medio, los cuales como se dijo con anterioridad, se propagan en todas las direcciones y al alcanzar la superficie del terreno generan movimientos en las estructuras que sobre esta se encuentran, pudiendo ocasionar daños o incluso el colapso de la misma. Debido a la disipación de la energı́a con la distancia, la amplitud de los movimientos deberı́a reducirse en la medida que la onda se aleje del foco, o al menos eso es lo que se esperarı́a. Sin embargo, la presencia de suelos blandos a una profundidad relativamente pequeña medida desde la superficie, producirı́a una amplificación del movimiento incluso en regiones bastante apartadas de la fuente del sismo. En el caso de cargas estáticas, los suelos blandos por lo general presentan baja capacidad de carga y alta deformabilidad, lo cual es compensado utilizando sistemas de cimentación especiales. El incremento de esfuerzos generado por las cargas estáticas (provenientes de la estructura) sobre las capas de suelo blando deberı́a de alguna manera reducirse o en su defecto transmitirse a estratos de suelo mas resistentes comúnmente localizados a una mayor profundidad, con el objetivo de mantener los asentamientos en valores aceptables; razón por la cual la utilización de cimentaciones profundas es normalmente considerada. Aún cuando este tipo de cimentaciones responde muy bien al caso de carga anteriormente expuesto, en requerimientos de resistencia y deformabilidad; también se ven sometidas a la acción de cargas sı́smicas, las cuales como se describió, no son más que el producto de una serie de fenómenos ondulatorios que, debido al contacto de las cimentaciones y estructuras con el suelo, y a la presencia de masa en el sistema, genera efectos inerciales sobre sus componentes. Aún cuando en los últimos años la respuesta del suelo, estructura y cimentación a este tipo de acciones, ha sido estudiado por muchos investigadores en el ámbito numérico, analı́tico y experimental; es claro no está completamente entendido. Por otra parte, el estudio de las estructuras sometidas a sismos demuestra que los fenómenos de interacción suelo-cimentación-estructura (IDSCE) tiene una gran influencia en la respuesta estructural del sistema, razón por la cual deberı́a considerarse dicho efecto en la 3.

(12) MIC 2008-I-32. estimación de esta. En cuanto al suelo de fundación, la particular conformación del mismo hace que este material presente marcadas caracterı́sticas de comportamiento no lineal e inelástico ante solicitaciones dinámicas, en especial las inducidas por los sismos intensos (regı́menes de altas deformaciones), lo cual lleva a pensar que los modelos elásticos lineales usualmente utilizados para representarlo no reproducen fidedignamente la fı́sica del problema. Por lo anteriormente expuesto y tomando en consideración que en la mayorı́a de los procedimientos de análisis y diseño estructural no se evalúa el fenómeno de interacción dinámica suelo- cimentación-estructura y cuando se hace no se modela al suelo con caracterı́sticas no lineales e inelásticas, se estima pertinente investigar sobre dicho fenómeno (IDSCE) y elucubrar sobre los efectos que sobre las estructuras, la cimentación y el suelo se puedan presentar debido al mismo. Estructura general del documento y breve reseña de los diferentes capı́tulos Para tener una visión global y poder entender de manera clara el fenómeno IDSCE tal y como se va a analizar en el presente documento, es necesario adquirir un conocimiento previo sobre diferentes temas, entre los cuales están:. Estado del conocimiento En términos generales dentro de este capı́tulo se revisa la literatura internacional que existe con respecto a la investigación del fenómeno de IDSE, siguiendo lı́neas experimentales, analı́ticas, semi-empı́ricas y especialmente en lo referente a métodos numéricos de elementos finitos. Como parte final de esta sección, se presenta de manera somera las recomendaciones de algunos códigos de diseño para realizar análisis y diseños tomando en consideración el efecto de IDSCE y algunas pautas especiales en ellos consignadas para tratar el desempeño sı́smico de cimentaciones con pilotes.. Materiales (Modelos constitutivos) Este tema que será abordado en el capı́tulo 2, versa sobre los diferentes modelos que permite, mediante ecuaciones, establecer relaciones entre esfuerzos y deformaciones de un material especı́fico. Estas ecuaciones, elaboradas para tomar en consideración las caracterı́sticas de los medios materiales, como anteriormente se dijo usualmente relacionan. 4.

(13) MIC 2008-I-32. esfuerzos con deformaciones (como en el caso de sólidos elásticos), esfuerzos con tasa de deformación (fluidos) o tasa de esfuerzos con tasa de deformación (medios hipoplásticos). En el presente documento se utilizarán los modelos constitutivos elástico lineal, elastoplástico e hipoplástico para representar al suelo, cimentación y estructura. Razón por la cual se estima pertinente introducir una descripción sucinta de cada uno de ellos.. Propagación de Ondas y sismologı́a En el capı́tulo 3 se explican las principales propiedades del fenómeno ondulatorio, que no es más que la transferencia de energı́a de una fuente a un receptor distante sin que se transfiera materia entre los puntos, debido a la imposibilidad de confinar la energı́a en una determinada localización en el espacio-tiempo. Las ondas a estudiar corresponderán principalmente a aquellas que se generan en los cuerpos deformables debido a cambios de esfuerzos en estos y de manera especial las producidas en el interior de la corteza terrestre por los sismos. También se dará en este capı́tulo una descripción sucinta de los mecanismos de formación de los sismos y sus caracterı́sticas primordiales, ası́ como las diferencias fundamentales entre la propagación de ondas en medios elásticos y no elásticos. En adición a lo anterior y como parte principal del documento, se incluyen las secciones referentes al estudio del fenómeno de Interacción Dinámica Suelo-Cimentación-Estructura propiamente dicho, los modelos numéricos planteados y los resultados y conclusiones obtenidas:. Fenómeno de IDSCE El capı́tulo 4 explica las diferentes facetas del fenómeno, abarcando los métodos existentes para su estudio y evaluación.. Investigación Numérica Aquı́ se indican las caracterı́sticas de los modelos numéricos utilizados en el estudio, excitación sı́smica, parámetros del suelo, estructura y demás consideraciones referentes a los mismos, además, se hará la presentación y discusión de resultados. Corresponde al capı́tulo 5 del documento.. 5.

(14) MIC 2008-I-32. Conclusiones Ya casi para finalizar se presentarán las conclusiones obtenidas de los resultados de las modelaciones y de la revisión bibliográfica realizada.. Recomendaciones para futuras investigaciones Como última parte de la disertación se propondrán algunos puntos claves en los cuales se podrı́a ahondar en futuros trabajos de investigación e interrogantes con respecto al fenómeno.. 6.

(15) Capı́tulo 1. Estado del conocimiento Encontramos distintos tipos de pensamiento y en correspondencia con cada uno de ellos una visión diferente de las cosas, una expresión singular de la naturaleza, pero a través de la ciencia podemos fusionarlo en uno solo -el conocimiento-.. Como preludio a la revisión de la extensa literatura que con respecto al fenómeno de IDSCE existe, se estima pertinente explicar de manera cualitativa las caracterı́sticas generales del mismo. Para esto se ilustrará de manera comparativa la respuesta dinámica de una estructura cimentada en roca y esta misma apoyada en suelo blando. Cuando se habla de respuesta dinámica de la estructura se refiere principalmente al estudio y/o determinación de los campos de desplazamiento, velocidad, aceleración, esfuerzo y deformación asociados a la misma, por efecto de cargas dinámicas impuestas, en este documento en particular cargas de naturaleza sı́smica. Un esquema del modelo a utilizar para representar los diferentes entes materiales participantes (estructura, cimentación y suelo), ası́ como las solicitaciones dinámicas, se muestra en la figura 1.1 Se aprecian en la figura 1.1 dos estructuras idénticas cimentadas sobre una base rı́gida, para el caso 1 la estructura está apoyada en roca o suelo muy rı́gido y para el caso 2 en suelo blando, que suprayace al estrato rocoso ya mencionado. La señal de entrada (solicitación sı́smica) corresponde a un acelerograma, que debido a la proximidad entre ambas estructuras, puede considerarse como el mismo para los puntos rocosos bajo estas. Para la estructura del caso 1 (cimentada en roca) el acelerograma o señal de entrada para la roca puede aplicarse sin ningún tipo de modificación a la base de la estructura (punto A en la figura 1.1), con el consecuente efecto inercial sobre toda la estructura. Durante el. 7.

(16) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. Figura 1.1. Esquema del modelo que representa a la estructura, suelo y solicitaciones sismicas [40]. movimiento de la estructura se producen un momento y una fuerza cortante en la base de esta. Debido a la alta rigidez de la roca no se producen deformaciones adicionales sobre la base que puedan generar nuevos efectos sobre el sistema. Por lo anteriormente expuesto, se puede concluir que la respuesta sı́smica de la estructura depende únicamente de sus propiedades y de ninguna manera de las caracterı́sticas del suelo que la soporta. Para la estructura del caso 2 (cimentada en suelo blando) el acelerograma o señal de entrada en la base (punto c en la figura 1.1), no corresponde al de la roca propiamente dicho, ya que la señal es modificada debido a la propagación de la onda en un suelo o material con diferentes propiedades al de la roca. Para conocer como la presencia del suelo afecta la respuesta dinámica de la estructura, serı́a conveniente distinguir entre los tres efectos siguientes. En primer lugar debe considerarse el movimiento del suelo en ausencia de la estructura y la cimentación, el cual es llamado Respuesta de Campo Libre. El cual se obtiene por efecto de la propagación de las ondas en el suelo y que usualmente representa una respuesta amplificada a la señal de entrada. En segundo lugar, el insertar la cimentación dentro del suelo y ubicar la estructura sobre esta, genera modificaciones en el movimiento del suelo anteriormente expuesto debido principalmente al cambio de rigidez del medio, además el cambio en la densidad redunda en respuestas inerciales modificadas (en este punto no se toma en cuenta la masa de la estructura, solo de la cimentación y el suelo) del sistema, induciéndose desplazamientos y rotaciones en la base de la estructura que distan mucho de las estimadas para el caso 1, a este efecto se le denomina Interacción Cinemática.. 8.

(17) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. Por último, pero no menos importante, se tiene el llamado efecto de Interacción Inercial. Las fuerzas inerciales aplicadas a la estructura producen momentos y fuerzas cortantes en la base de la estructura, que generan deformaciones en el suelo, modificando ası́ el movimiento de la base. Estos dos últimos efectos se producen de manera casi simultánea, sin embargo para efectos ilustrativos es conveniente descomponer el problema en las tres fases descritas anteriormente. No es necesario que los tres fenómenos se analicen por separado (de hecho para tomar en consideración efectos no lineales es necesario que el análisis se realice en un solo paso, en el llamado frecuentemente análisis directo), sin embargo, en la práctica usualmente se hace por comodidad, y aquı́ como ya se dijo anteriormente para ilustrar mejor el problema. Con lo anteriormente expuesto en mente, como en cualquier actividad de carácter cientı́fico y de ingenierı́a, el estudio del fenómeno de IDSCE es realizado por la comunidad internacional siguiendo lı́neas experimentales, analı́ticas, semi-empı́ricas y últimamente con métodos numéricos. En este documento se prestará especial atención al fenómeno de Interacción Dinámica Suelo - Cimentaciones Profundas - Estructuras. En términos de las cargas aplicadas a los pilotes se debe establecer una diferencia importante entre las cargas aplicadas en la cabeza del pilote y las producidas por efectos de excitación dinámica del suelo. En las segundas la influencia de la inercia, ası́ como las propiedades del suelo en la respuesta del sistema juegan un rol preponderante. Además, la duración y rapidez en la aplicación de la carga, afectan la resistencia al cortante, la rigidez y el amortiguamiento del suelo, ası́ como la disipación en la presión de poros.. 1.1.. Experimentación. Debido a la carencia de registros del comportamiento del sistema Suelo-CimentaciónEstructura durante la ocurrencia de sismos, la comunidad internacional ha desarrollado una extensa investigación de tipo experimental, dirigida principalmente a estimar el comportamiento de pilotes embebidos en el suelo, más no ası́ a determinar el comportamiento del sistema completo (cimentación-suelo-estructura) ante solicitaciones de diversa ı́ndole. Gran cantidad de investigación ha sido desarrollada en pruebas con cargas cı́clicas aplicadas en la cabeza del pilote. En estos ensayos, la degradación de la rigidez del suelo con el incremento de los ciclos de carga, comparada con la rigidez bajo cargas monotónicas es investigada. Sin embargo, la extensión de los resultados obtenidos en estos ensayos, a 9.

(18) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. condiciones de carga sı́smica tiene muchas limitantes. Mientras en los ensayos en los cuales se aplica la carga en la cabeza del pilote, el suelo actúa como un simple receptor, en los eventos sı́smicos el suelo a través del fenómeno de propagación de ondas es quien aplica la carga al pilote. Los experimentos desarrollados se pueden clasificar de la siguiente manera:. 1. Ensayos a escala natural con pilotes 2. Ensayos con modelos a escala en mesas vibratorias 3. Ensayos de centrifugas. Comúnmente se utilizan suelos arenosos para confinar el pilote. Una gran variedad de técnicas son usadas para colocar el suelo e instalar los pilotes. Muchas veces el suelo se coloca primero y luego se instalan los pilotes. En otras ocasiones, son los pilotes los que primero se ubican y luego el suelo alrededor de estos.. 1.1.1.. Ensayos a escala natural con pilotes. Estos ensayos se han realizado con una amplia gama de tipos de pilotes, métodos de instalación, condiciones del suelo y restricciones de apoyo. Como ventaja fundamental de estos ensayos a escala natural, está el utilizar suelo, pilotes y condiciones de esfuerzo suelo-cimentación reales. Pese a esto, tiene como limitante fundamental el hecho de que la carga se aplica directamente en la parte superior del pilote, no tomando en consideración los efectos de interacción inercial debido a la superestructura, ni los efectos de superposición de ondas debido a la excitación sı́smica. Dentro de los investigadores que han conducido experimentos de este tipo y a los cuales se puede referir el lector para mayor documentación se encuentran H. Matlock, L.C. Resse y L. Feagin entre otros.. 1.1.2.. Ensayos con modelos a escala en mesas vibratorias. Dentro de las ventajas de este tipo de ensayos está el relativo poco costo y que se pueden desarrollar bajo condiciones controladas de laboratorio. Como la mayorı́a de estos se desar-. 10.

(19) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. rollan bajo la categorı́a de ensayos de 1-g, presentan problemas debido a efectos de escala y de frontera. Los primeros limitan la aplicabilidad de los modelos a prototipos, lo cual no es muy adecuado desde el punto de vista practico, sin embargo son muy útiles en el desarrollo de estudios paramétricos para examinar efectos relativos. Se requiere mucha cautela al extrapolar los resultados obtenidos en estos ensayos a las situaciones reales. Principalmente debido a que la distribución de la presión en el suelo, el movimiento de las partı́culas y los niveles de esfuerzos en condición de reposo son factores influenciados por efectos de escala. Los segundos adquieren relevancia si el tamaño del recipiente es muy pequeño en relación con el del modelo a escala del pilote. La mayorı́a de de los ensayos de mesa vibratoria a escala presentados en la literatura, están dirigidos a investigar la respuesta sı́smica de pilotes individuales o grupos de pilotes hincados en suelos arenosos. La mayorı́a de las señales de entrada utilizadas en estos, corresponden a movimientos ondulatorios de carácter sinusoidal, solo pocos de ellos utilizan excitaciones basadas en registros de sismos reales. Algunos de los estudiosos que han realizado este tipo de ensayos y cuyos trabajos se encuentran disponibles al público son K. Kubo, T. Kagawa, L. M. Kraft y H. Liu y K. Chen.. 1.1.3.. Ensayos de centrifugas. Las centrı́fugas son utilizadas para llevar a cabo modelos para el estudio de problemas geotécnicos en general (tales como resistencia, rigidez y capacidad de fundaciones, etc.). La centrifuga es muy útil para la modelación a escala de cualquier problema en el cual estén presentes aceleraciones. La ventaja fundamental de este tipo de ensayos reside en el hecho de que puede reproducir condiciones de esfuerzo-deformación de un prototipo en un modelo reducido a escala. Se pueden modelar solicitaciones de tipo sı́smico y de cargas laterales en la cabeza del pilote. Al igual que en el anterior método mencionado debe prestarse especial cuidado al manejo de los esfuerzo parásitos generados por las condiciones de borde del modelo. Dentro de los pioneros en este tipo de ensayos se pueden mencionar a R. Scott, H. Liu, W. Gohl, W. Finn, J. Hamilton y T. Dunnavant.. 11.

(20) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. 1.2.. Investigación analı́tica y ensayos numéricos. El estudio del problema de IDSE desde el punto de vista analı́tico y numérico constituye uno de los mayores retos del cálculo sı́smico. Ello es debido a la gran complejidad que representa la introducción del suelo en el modelo a analizar. Dicha complejidad es debida fundamentalmente a tres factores:. 1. En primer lugar está la dificultad que representa el conocer de forma exacta la excitación sı́smica en las zonas de suelo consideradas de interés. 2. En segundo lugar está la propia modelización de las caracterı́sticas tenso-deformacionales del terreno. Si en el cálculo estático dicha modelización ya tiene un alto grado de complejidad, en el cálculo dinámico las dificultades se acrecientan. 3. Finalmente, aparecen problemas ligados a la zona de suelo a considerar en el análisis, es decir, problemas debidos a la introducción de contornos artificiales.. Los primeros estudios realizados acerca de la interacción suelo-estructura estaban basados en modelos dinámicos simplificados como por ejemplo, el indicado en la figura 1.2.. Figura 1.2. Modelos simplificados para el problema de interacción sueloestructura. (a) Modelo de un grado de libertad con cimentación rı́gida situada en un semiespacio elástico;(b) deformada del modelo (a); (c) modelo con tres grados de libertad: dos trasnacionales y una rotación; (d) deformada del modelo (c).. 12.

(21) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. El modelo de la figura 1.2(a), por ejemplo, consiste en un sistema con un solo grado de libertad situado sobre una placa rı́gida, representando la cimentación de la estructura. La deformada de este modelo, figura 1.2(b), puede obtenerse modelando la cimentación rı́gida mediante el sistema dinámico de la figura 1.2(c), en el cual se considera para la placa rı́gida dos grados de libertad: uno de traslación y otro de rotación. Puede verse que la deformada de este último modelo, dibujada en la figura 1.2(d), coincide con la del modelo inicial representado en la figura 1.2(b). El método de los elementos finitos proporciona modelos dinámicos más rigurosos para la resolución de problemas de interacción suelo - estructura. Lógicamente, a medida que se complica el modelo aparecen dificultades numéricas nuevas. La predicción, mediante técnicas analı́ticas y numéricas, del comportamiento de pilotes dentro del suelo debido a excitaciones de carácter sı́smico sigue siendo hoy en dı́a una difı́cil tarea, en especial cuando el suelo de soporte puede experimentar el fenómeno de licuefacción. Las técnicas comunes de diseño sismo resistente de edificaciones consideran el fenómeno de IDSCE beneficioso para el comportamiento de las estructuras. Es de común creencia que la flexibilidad de la cimentación reduce la rigidez total del sistema suelocimentación-estructura y debido a esto los picos en la respuesta del sistema se reducen para un movimiento dado del suelo. Incluso si esto fuera cierto en muchos casos, existe la posibilidad de la ocurrencia de resonancia debido a la modificación de la frecuencia natural de vibración del sistema suelo-cimentación-estructura. Esto puede conducir a grandes fuerzas de inercia actuando dentro y en los alrededores de la estructura. Como resultado de estas grandes fuerza inerciales, causadas por la oscilación de la estructura en su frecuencia natural, la estructura ası́ como el suelo de soporte pueden experimentar deformaciones plásticas. Es de notar, que la frecuencia natural del sistema suelo-cimentación-estructura cambia de manera reiterativa, debido al cambio continuo del suelo durante el movimiento sı́smico. Las deformaciones plásticas generadas, a su vez, modifica como se dijo anteriormente la rigidez total del sistema haciendo que cualquier predicción referente al comportamiento del sistema sea supremamente complicada. A continuación se presentará una corta exposición sobre los diferentes tipos de acercamiento al análisis del fenómeno de IDSCE que actualmente se utilizan.. 1.2.1.. Análisis sin tomar en cuenta el fenómeno de IDSCE. El movimiento sı́smico es aplicado directamente a la base de la estructura considerando además a la estructura como un sistema elástico dinámico (análisis dinámico elástico). 13.

(22) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. De manera alternativa y con una formulación matemática más sencilla, se aplican fuerzas estáticas discretas distribuidas a lo largo de la altura de la estructura, proporcionales a la aceleración en la base, el cual se denomina método de la fuerza horizontal equivalente y corresponde a una simplificación del primer método enunciado haciendo dos aproximaciones fundamentales: limitar la respuesta sı́smica al primer modo de vibración e igualando la masa efectiva (masa que se activa al vibrar la estructura) del primer modo a la masa total de la estructura. Además de los anteriores, están los considerados métodos inelásticos de análisis sı́smico dentro de los cuales se podrı́a incluir el análisis por ”Push Overçomo una opción interesante. Todos estos métodos de análisis pueden considerarse una alternativa razonable para estructuras flexibles sobre suelos rı́gidos, ya que en tales casos, el campo de desplazamientos y el estado del suelo no se modifica por la presencia de la estructura y cimentación. Para estructuras rı́gidas sobre suelos no tan rı́gidos, el movimiento sı́smico deberá ser aplicado al suelo, y en el modelo deberı́a incorporarse la propagación del movimiento mediante ondas de esfuerzo al suelo circundante, su interacción con la estructura y la radiación de ondas desde la estructura (como se explicó en el ejemplo planteado al inicio de este capı́tulo). La respuesta del sistema pilote-estructura depende en gran medida de la frecuencia natural del mismo, situación esta que pone en tela de juicio los análisis pseudo estáticos para esta condición. Infortunadamente, en la práctica actual del diseño sismo resistente prevalece la creencia que al realizar el análisis sı́smico para cualquier condición del sistema suelo-cimentación-estructura, sin tomar en cuenta los efectos de IDSCE, se está del lado de la seguridad; lo cual puede ser completamente errado.. 1.2.2.. Modelo de Winkler (1867). Este método también denominado teorı́a de la reacción de la subrasante, es el mas antiguo de los utilizados para evaluar el comportamiento suelo-estructura. En este el suelo se reemplaza por una cama de resortes idénticos, igualmente espaciados y que actúan independientemente entre sı́ (ver figura 1.3). En efecto, este modelo constituye un modelo mecánico que permite involucrar la respuesta del suelo de soporte en la solución de problemas de interacción fundación-suelo. En el se supone que la presión, p, que actúa en un punto de la interfase fundación-suelo, es una función lineal de la deflexión, y, del terreno en el mismo punto, cuya constante de proporcionalidad, ko , permite expresarla ası́:. p = ko y. 14. (1.1).

(23) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. Figura 1.3. Modelo de Winkler utilizando resortes y amortiguadores viscosos para representar el comportamiento del suelo. La constante ko se ha denominado módulo de reacción del terreno o coeficiente de balasto, a pesar de que es función de la rigidez relativa cimentación-suelo. Su comportamiento fı́sico resulta simulado, como ya antes se dijo, por una cama de resorte-suelo en la que cada uno de ellos actúa independientemente, es decir, en forma desconectada. El principal motivo para recibir atención privilegiada radica en que el tratamiento matemático del comportamiento del pilote en una fundación modelo de Winkler es definitivamente el menos complejo y muchas de las funciones involucradas han sido convenientemente tabuladas y graficadas por un gran número de tratadistas e investigadores. El comportamiento de un pilote individual puede ser analizado utilizando la ecuación de una viga elástica soportada sobre una fundación elástica, la cual es representada por la ecuación diferencial de cuarto orden para una viga en flexión:. Ep Ip. ∂4y ∂2y + Q + ko y = 0 ∂z 4 ∂z 2. (1.2). Donde Ep es el módulo de elasticidad del pilote, Ip es el momento de inercia de la sección del pilote, Q es la fuerza axial en el pilote, z es la profundidad medida verticalmente e y es la deflexión lateral del pilote en el punto a la profundidad z medida a lo largo del pilote. El modelo de Winkler debe utilizarse conociendo sus limitaciones. El modulo de reacción 15.

(24) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. de la subrasante utilizado no es una propiedad objetiva del suelo ya que depende de manera intrı́nseca de la interacción de este con el pilote, o de manera equivalente de la rigidez de la cimentación, de la magnitud de la deflexión y del estado del suelo en términos de esfuerzos y densidad. En términos generales como resumen de las desventajas del método se tiene lo siguiente:. 1. La caracterización del suelo de fundación como un sistema desacoplado de resortessuelo”(los resortes se comportan independientemente de tal forma que los desplazamientos en un punto no están afectados por los desplazamientos y esfuerzos de puntos en su entorno) es una representación irreal del comportamiento de interacción suelofundación. 2. Como anteriormente se mencionó, el módulo de reacción del suelo es una propiedad ficticia que depende de las condiciones de carga, estructura y tipo de material. Ello ha conducido a una gran diversidad de recomendaciones para su determinación. 3. No resulta conveniente para condiciones complejas de contorno. 4. No es recomendable para precisar asentamientos o desplazamientos de los pilotes cuando ellos son dominantes en el diseño.. La principal ventaja del modelo de Winkler reside en la simplificación matemática para el tratamiento del problema.. 1.2.3.. Modelo de Winkler no lineal. En la gran mayorı́a de los casos encontrados en la literatura especializada, el análisis del comportamiento de pilotes sometidos a cargas laterales se realiza utilizando un modelo de viga sobre cimentación elástica con curvas p-y no lineales. En este modelo, el suelo es representado a través de curvas p-y no lineales las cuales varı́an con la profundidad dependiendo del tipo de suelo en el cual se encuentre. En la figura 1.4 se muestra un esquema del mismo, en el cual un pilote considerado como una viga sobre una cimentación elástica representada por resortes cuya relación fuerza - deformación es mostrada en el lado derecho de la misma, es cargado en su parte superior. Este modelo no toma en consideración la interacción entre las diferentes capas de suelo y es incapaz de representar los cambios de rigidez y geometrı́a del pilote. Las deflexiones, rotaciones y momentos flexionantes en el pilote son calculados resolviendo la ecuación 1.2 16.

(25) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. utilizando para ello técnicas numéricas (elementos o diferencias finitas), para lo cual se subdivide el pilote en pequeñas secciones a lo largo del fuste y se analiza utilizando las curvas p-y como la representación de la resistencia del suelo.. Figura 1.4. Modelo no lineal de Winkler utilizando curvas p-y, el pilote se subdivide en cinco partes, cada una de ellas amarradas a resortes no lineales. Aun cuando este modelo representa de mejor manera el fenómeno que el modelo original de Winkler, presenta muchas limitaciones, dentro de las cuales están las siguientes:. 1. La naturaleza continua del suelo no es representada adecuadamente debido a que las curvas p-y se asumen independientes entre sı́. 2. La determinación y calibración de las curvas es muy difı́cil, incluso para el caso de ensayos a escala real, debido a las diferentes combinaciones geométricas para el pilote y tipo de suelo utilizado. Por lo cual su aplicación no es universal. 3. El reemplazar el suelo continuo por resortes discretos, restringe la utilización del modelo a casos de pilotes individuales, ya que para grupos de pilotes es imposible tomar en cuenta la interacción entre estos.. 1.2.4.. Teorı́a elástica. Para esta se asume que los pilotes son delgados elementos verticales de longitud L, diámetro D, con rigidez a la flexión Ep Ip . Los pilotes se dividen en n+1 elementos, entre cada 17.

(26) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. elemento se asume un esfuerzo p como función de la coordenada axial z. También se asume que los desplazamientos horizontales del pilote son iguales a los del suelo adyacente y que el suelo es un material elástico, homogéneo, isotrópico y semi-infinito, definido por los parámetros elásticos Es y νs . El desplazamiento del suelo ys puede expresarse como:. [ys ] =. D [Is ] [P ] Es. (1.3). donde [ys ] es el vector de los desplazamientos, [P ] es el vector de fuerzas horizontales entre el suelo y el pilote, e [Is ] es la matriz de n+1 por n+1 de factores de influencia de los desplazamientos del suelo, determinados a partir de la integración de las ecuaciones de Mindlin utilizando el método de elementos de frontera. Luego se utiliza la solución por diferencias finitas para hallar el vector de los desplazamientos, usando la ecuación de flexión de la viga. La forma de la ecuación varı́a, de acuerdo a las condiciones de frontera y/o apoyo de los pilotes. Este método al igual que los anteriormente expuestos, presenta limitaciones. La principal de estas es la determinación de un módulo elástico, Es , apropiado para el suelo. Ya que el mismo varı́a con un simple ciclo de carga. Además, el manejo de la solución de las ecuaciones de Midlin y su adaptación para el caso de comportamiento no lineal del suelo es muy compleja.. 1.2.5.. Método de los Elementos Finitos (MEF). El método de los elementos finitos proporciona la herramienta más poderosa en la actualidad para realizar análisis de Interacción Dinámica Suelo-Cimentación-Estructura. Dentro de las ventajas que provee el método esta la capacidad de realizar análisis de IDSCE para estructuras soportadas en pilotes individuales o en conjunto de pilotes de manera totalmente acoplada, es decir, sin tener la necesidad de realizar análisis por separado para la estructura y el suelo. Se puede modelar cualquier perfil de suelo con las condiciones de contorno que se deseen. Además, presenta las siguientes caracterı́sticas particulares:. 1. Puede modelar ecuaciones constitutivas apropiadas para los suelos, para deformaciones finitas o infinitesimales, con dependencia de la rapidez de carga e incluso degradación de la rigidez. 2. Es posible tomar en consideración efectos de instalación de los pilotes y la estructura.. 18.

(27) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. 3. Tiene la capacidad para implementar dentro del modelo el desarrollo de agrietamiento o fisuras entre el pilote y el suelo.. Usualmente el método de los elementos finitos, considera al suelo como un material continuo. En la mayorı́a de los programas disponibles, los desplazamientos y esfuerzo de flexión al interior del pilote son calculados resolviendo la ecuación de flexión de la viga (ecuación 1.2) haciendo uso de técnicas numéricas. El modelo puede discretizarse unidimensional, bidimensional o tridimensionalmente, siendo este último bastante oneroso desde el punto de vista computacional. El método de los elementos finitos puede utilizarse para complicadas condiciones de carga (mezcla de efectos axiales, torsionales y transversales). Es posible obtener a partir del análisis con el MEF el comportamiento del modelo en función del tiempo, lo cual lo hace especialmente propicio para el estudio de la respuesta del sistema ante solicitaciones de carácter sı́smico y con condiciones de estratos de suelos inclinados. Se utiliza para diferentes relaciones de esfuerzo-deformación. A pesar de todas las ventajas expuestas, el realizar análisis tridimensionales requiere de considerable tiempo para generar las salidas e interpretar los resultados. Razón por la cual se utiliza mucho en proyectos de investigación pero raramente en la práctica común del diseño. En la utilización del MEF surge el concepto de error de dos maneras diferentes. La primera tiene que ver con lo que se denomina verificación, y está asociada a la imposibilidad de la discretización para producir soluciones continuas, o de manera equivalente a la imposibilidad de igualar la energı́a interna a la energı́a externa con el modelo discreto. La determinación del mismo se realiza reemplazando la solución discreta en el modelo discreto obteniendo ası́ el error de la solución hallada. La segunda tiene que ver con la comparación de los resultados obtenidos con la observación de la realidad, y se denomina validación. La utilización del MEF genera algunos problemas asociados principalmente a la precisión numérica y a la estabilidad del mismo, y a la modelación de la interfase suelo-pilote. La precisión de la simulación numérica de la IDSCE es controlada principalmente por dos parámetros: a) el espaciamiento de los nodos del modelo de elementos finitos y b) el tamaño de los intervalos de tiempo de análisis considerados. Con el ánimo de proveer suficiente precisión y estabilidad en los resultados, es necesario verificar la convergencia de las soluciones. Por esta razón, se deberı́an tomar intervalos de tiempo de 0.0005 segundos y refinar las mallas de tal modo que se pueda verificar hasta que punto las dimensiones de las misma afectan el modelo. 19.

(28) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. Con respecto a la estabilidad del modelo, es necesario indicar que el intervalo de tiempo a utilizar en los análisis de propagación de ondas en medios no lineales debe limitarse aún mas que en otros análisis debido a que cuando un frente de onda se propaga en el espacio, este va alcanzando un nodo tras otro del modelo, si el intervalo de tiempo es demasiado grande el frente de onda puede alcanzar dos nodos consecutivos al mismo tiempo. Esto vioları́a propiedades fundamentales de la propagación de ondas generando por lo tanto inestabilidad. Por lo anterior el intervalo de tiempo ∆t debe cumplir:. ∆t ≤. ∆h v. (1.4). Donde v es la máxima velocidad de onda esperada y ∆h representa el máximo espaciamiento de la malla. Además, debe tenerse en cuenta también la limitante debido al periodo fundamental del sistema (Tn ), el cual usualmente se toma como. ∆t Tn. ≤ k, donde k es un valor previamente. definido (usualmente 1/10). En relación con la modelación de la interfase suelo-pilote, debe recordarse que esfuerzos de compresión de cualquier magnitud pueden transmitirse en la interfase, sin embargo solo pequeños esfuerzos de tensión deberı́an hacerlo. Es por esto que usualmente los esfuerzos de tensión se desprecian. Los esfuerzos cortantes en la interfase se generan debido al desplazamiento relativo de los puntos materiales que están inicialmente en contacto entre las superficies de los dos medios, alcanzando un máximo a cierto nivel de desplazamiento dependiendo de la rigidez del suelo y de la rugosidad de la superficie del pilote y/o estructura. En general, la modelación de la interfase se puede hacer de diferentes maneras. La más simple de todas corresponde a la utilización de los mismos nodos para el suelo y la cimentación y/o estructura. En cuyo caso no se permiten desplazamientos relativos y por ende no se generarı́an esfuerzos en la interfase. Otra forma consistirı́a en considerar elementos de interfase que si permiten el desplazamiento relativo y la generación de esfuerzos de contacto en ella. A parte de lo anterior, es importante modelar de la manera más realista la formación de grietas o espacios entre el pilote y el suelo que lo rodea, para esto es necesario inferir si en la situación fı́sica esto se podrı́a presentar.. 20.

(29) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. 1.2.6.. Análisis basados en códigos de diseño. En esta sección se examinarán de manera general las recomendaciones de algunos códigos de diseño para realizar análisis y diseños tomando en consideración el efecto de IDSCE y algunas pautas especiales para tratar el desempeño sı́smico de cimentaciones con pilotes.. Recomendaciones del Uniform Building Code El Uniform Building Code del año 1997 no provee ningún requerimiento adicional para considerar el estudio de los efectos de IDSCE. En el capı́tulo 16 del mismo ”Structural Design Requirements.especifica para el diseño sı́smico análisis basados en espectros de respuestas y análisis contra el tiempo, sin embargo no menciona por ningún lado métodos para considerar el efecto de IDSCE.. Código de Construcciones de la Ciudad de México. Esté carga consigo las enseñan-. zas del terremoto de 1985 en la ciudad de México e incluye un método simplificado para considerar los efectos de IDSCE. El objetivo primordial es obtener un periodo -flexiblede la estructura para usar con el método de respuesta espectral, el cual es función de la rigidez traslacional y rotacional de la base. Métodos para calcular las diferentes rigideces son incluidos. El código también especifica que los elementos de cimentación deberán ser diseñados tomando en cuenta fuerzas inerciales horizontales actuantes en un volumen de suelo debajo de ella y que pueda potencialmente moverse en caso de una falla por cortante del suelo sujeto a aceleraciones de (0.04 a 0.15) g. En resumen el código de la Ciudad de México contiene los elementos básicos de las recomendaciones del NEHRP, especı́ficamente dirigidas a las estructuras cimentadas sobre suelos arcillosos profundos de largos periodos, además es de los pocos que establece diferencias en las respuestas de cimentaciones con pilotes.. Código de Diseño de Construcciones de la República China. En este código se. reconocen los efectos benéficos del fenómeno de IDSCE para las estructuras con periodos largos, ası́ como el incremento en el amortiguamiento de las mismas, permitiendo la reducción del valor de las fuerzas sı́smicas en este tipo de estructuras; sin embargo, no considera el poco conservador y potencial incremento de fuerzas dinámicas en aquellas que poseen periodos cortos. En relación con las cimentaciones profundas en suelos con potencial de licuación, el código requiere la utilización de pilotes con cierto grado de penetración en capas más estables, pero este requerimiento ignora el posible daño derivado de zonas con cambios abruptos de rigidez.. 21.

(30) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. Criterios de diseño sı́smico para puentes en California, EEUU El Applied Technology Council (ATC) define en el ATC-32 cuatro tipos de puentes, dos categorı́as de evaluación sı́mica y cuatro niveles de análisis para ser aplicados. Análisis estáticos equivalentes pueden ser desarrollados solo para pequeños puentes y para estos no se toman en consideración los efectos de la IDSCE. Análisis dinámicos elásticos realizados con técnicas de análisis modal espectral son permitidas y la posible interacción entre los pilotes y el suelo es representada con la utilización de resortes elásticos traslacionales y rotacionales. Análisis Inelásticos estáticos son requeridos para puentes de alto nivel de importancia con el fin de evaluar la respuesta inelástica del puente ante cargas laterales. Este tipo de análisis conocidos como -Push Over- pretende capturar la respuesta no lineal de todo el sistema, incluida la interacción no lineal entre el suelo y los pilotes. Las especificaciones generales exigen que los pilotes tengan la capacidad suficiente para resistir las fuerzas horizontales transmitidas desde la superestructura. En resumen, las guı́as del ATC-32 proveen un método eficiente y seguro para evaluar la respuesta sı́smica de los puentes. Aún cuando no exijan un modelo no lineal detallado para los efectos IDSCE, considera de manera simplificada las principales caracterı́sticas de este y proporciona un método de diseño práctico para estructuras de puentes.. Normas de Construcción Europeas (Eurocódigo). El Eurocódigo en su capı́tulo. ocho determina que los efectos de la IDSCE deben tenerse en cuenta en los siguientes casos:. 1. Estructuras donde los efectos P -∆ (2do orden) jueguen un papel importante. 2. Estructuras con cimentaciones profundas o masivas, tales como muelles, Caissons o Silos. 3. Estructuras delgadas altas, tales como torres y chimeneas. 4. Estructuras cimentadas en suelos muy blandos con un promedio de velocidad de onda de corte máxima de 100 m/s.. Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente (NSR-98) Básicamente en las NSR-98 se parte de las premisa que el efecto de IDSCE es benéfico (en la mayorı́a de los casos) y se calculan las fuerzas sı́smicas a partir de un análisis espectral con valores del periodo y coeficiente de amortiguamiento modificados (por lo general mayores a. 22.

(31) MIC 2008-I-32. CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. los obtenidos sin IDSCE) según ciertas formulas allı́ expuestas, las cuales han sido tomadas directamente de las recomendaciones del ATC. De manera sucinta podrı́a decirse, que la mayorı́a de los códigos de construcción a nivel mundial no abordan con la profundidad requerida los efectos que la IDSCE pueda generar sobre las diferentes estructuras, casi que ignoran o simplifican en deması́a las caracterı́sticas dinámicas del fenómeno, no consideran el comportamiento no lineal e inelástico del suelo asumiendo en últimas que el hacerlo conduce a resultados conservadores. Lo anterior, debido fundamentalmente a lo complejo del fenómeno y a la poca disponibilidad de técnicas de análisis validadas y estandarizadas para su estudio.. 23.

(32) Capı́tulo 2. Ecuaciones y/o modelos constitutivos Aun cuando en el género humano no existe una expresión única para representar la relación entre el hombre y la mujer, en los materiales de uso ingenierı́l es posible hallarla en los modelos constitutivos que unen esfuerzos con deformaciones.... La materia está constituida por moléculas, las cuales a su véz están formadas por átomos y particulas subatómicas. Por lo anterior, podrı́a decirse que la materia no es continua. Pese a lo descrito, existen muchas situaciones en lo que respecta al estudio de los materiales, para las cuales es posible realizar una descripción apropiada del comportamiento de los mismos sin tomar en consideración su estructura molecular. La teorı́a que permite describir el comportamiento de los materiales sin visualizar la estructura a pequeña escala de ellos, es conocida como mecánica de medios continuos. En la mecánica de medios continuos, se considera a la materia como infinitamente indivisible, aceptando la idea de que un volumen de caracter infinitesimal en dicho medio representa a una partı́cula del mismo, y que en cada entorno de esta hay infinitas partı́culas presentes. Ası́ el concepto de material continuo como una representación matemática idealizada del mundo real es aplicable a problemas en los cuales la estructura microscópica de la materia puede ser ignorada, admitiendo que la descripción matemática del medio y sus propieddes se puede realizar mediante funciones continuas. En el caso particular del fenómeno Interacción Dinámica Suelo Cimentación Estructura (IDSCE), los materiales presentes, especialmente el suelo, son susceptibles de modelarse 24.

(33) CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y/O MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2008-I-32. como un medio contı́nuo. En la mecánica del continuo, existen principios generales bien establecidos los cuales son aplicables a todos los medios, dichos principios corresponden a las ecuaciones de conservación-balance (conservación de la masa, de la energı́a, balance de la cantidad de movimiento, etc). Además de estas, existen otras ecuaciones y/o modelos que son aplicables a cada material en partı́cular, estas son las ecuaciones constitutivas. Las ecuaciones constitutivas son funciones matemáticas que establecen relaciones entre esfuerzos y deformaciones de materiales partı́culares, que permiten completar el número de ecuaciones necesarias para resolver el problema de determinar el movimiento de todas las partı́culas del medio, cuando está sujeto a algún tipo de solicitacion. El número de incognitas asociadas a este problema es de quince (15), tres funciones de desplazamiento, seis de deformación y seis de esfuerzo (debido a la condición simétrica de los tensores de esfuerzo y deformación). Existe un número importante de ecuaciones constitutivas, las cuales podrı́an agruparse en modelos elásticos e inelásticos. Los primeros son aplicables a sustancias que tienen la propiedad de recuperar su tamaño y forma cuando se quitan las fuerzas que producen deformaciones. Se encuentra esta propiedad casi que en todos los materiales cuando las fuerzas y en consecuencia los desplazamientos relativos de los diferentes puntos dentro del material son muy pequeños. Los segundos son apropiados cuando las limitantes de los modelos elásticos (de mas facil uso) los hacen inapropiados para predecir el comportamiento real de los materiales, como en el caso de los suelos.. 2.1.. Modelo Elástico. Se dice que un material exhibe un comportamiento elástico cuando al remover una carga previamente impuesta al medio, este recupera su estado inicial. En términos fı́sicos lo anteriormente enunciado representa condiciones simétricas en carga y descarga, o en otros términos podria decirse que el material carece de memoria (ya que al cargarlo nuevamente es como si nunca antes se hubiese sometido a este proceso). Expresado matematicamente σ = f (), es decir, es posible establecer una relación biunivoca de tipo funcional entre esfuerzos y deformaciones. La respuesta elástica de un material puede ser lineal o no lineal, dependiendo del tipo de curva que relacione a los esfuerzos con las deformaciones (figura 2.1). Usualmente el modelo elástico mas ampliamente usado corresponde al Elástico Lineal, cuyas hipótesis simplificativas se reducen a las siguientes: 25.

(34) CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y/O MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2008-I-32. Figura 2.1. Tipos de elasticidad. a)Elasticidad no lineal b)Elasticidad lineal Deformaciones infinitesimales: Los desplazamientos y sus gradientes son pequeños. Existencia de un estado neutro: Estado en el cual las deformaciones y tensiones son nulas. Proceso de deformación Isotérmico y Adiabático: Deformación a temperatura constante y sin transferencia de calor.. 2.1.1.. Ecuación Constitutiva Lineal Elástica. La ley de Hooke para problemas unidimensionales supone la proporcionalidad entre el esfuerzo, σ, y la deformación, , por medio de la constante de proporcionalidad llamada módulo elástico, E:. σ = E. (2.1). y la proporcionalidad entre la deformación transversal, 12 , y la deformación longitudinal, 11 , a través de la constante denominada relación de Poisson, como se muestra en la siguiente ecuación:. 12 = −υ11. (2.2). En el modelo elástico multidimensional, esta proporcionalidad se generaliza suponiendo la linealidad de la relación entre las componentes del tensor de tensiones σij y de deformaciones ij en lo que se denomina ley de Hooke generalizada. En notación indicial dicha ley. 26.

(35) CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y/O MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2008-I-32. se representa tal y como se muestra en la ecuación (2.3):. σij = Cijkl kl. (2.3). La ecuación constitutiva Elástica-Lineal mas general para un medio isotrópico, la cual es válida en cualquier sistema de coordenadas (cartesianas, esféricas, cilı́ndricas, etc) dentro de un espacio Euclideano expresada en forma covariante, se define de la siguiente manera:. σij = λgij g mn mn + µ (ij + ji ). (2.4). Donde λ y µ son las constantes de Lamé, gij y g mn son el tensor métrico expresado en forma covariante y contravariante, respectivamente. Esta ecuación permite determinar el esfuerzo como una función de la deformación sin importar el sistema de coordenadas en el cual se esté trabajando. Es pertinente indicar que para cada sistema (coordenadas esféricas, cilı́ndricas, cartesianas, etc) cambian las componentes del tensor métrico. Por ejemplo para el caso cartesiano el tensor métrico se reduce al delta de Kronecker (δij ). Es posible generar transformaciones de un sistema de coordenadas cartesiano y i , i = 1, 2, 3 a un sistema de coordenadas general (coordenadas esféricas, cilı́ndricas, etc) xi , i = 1, 2, 3, para lo cual se emplean las siguientes relaciones:. σ mn = σij. ∂y i ∂y j ∂xm ∂xn. (2.5). mn = ij. ∂y i ∂y j ∂xm ∂xn. (2.6). De las ecuaciones 2.5 y 2.6 se evidencia el hecho de que las componentes de los tensores de segundo orden de esfuerzo y deformación definen sendos tensores covariantes. Finalmente el tensor métrico, gij , el cual corresponde a un tensor de segundo orden covariante que permite expresar la función de distancia de manera invariante como ds = gij dxi dxj , se puede obtener de la siguiente manera:. 27.

(36) CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y/O MODELOS CONSTITUTIVOS. g ij =. ∂y m ∂y m ∂xi ∂xj. MIC 2008-I-32. (2.7). Los tensores métricos en forma de componentes para los sistemas de coordenadas esféricas, cilı́ndricas y cartesianas se muestran a continuación: Coordenadas esféricas.  1 0  gij = 0 ρ2 0. 0. 0. . 0.  . 2. (2.8). (ρsenϕ). Coordenadas cilı́ndricas.   1 0 0   gij = 1 r2 0 0 0 1. (2.9).   1 0 0   gij = 0 1 0 0 0 1. (2.10). Coordenadas cartesianas. Reemplazando el tensor métrico para el caso cartesiano gij = δij , en la ecuación (2.4), se obtiene la conocida expresión:. σij = λrr δij + 2µij. (2.11). De la ecuación (2.11) se infiere que el material queda completamente caracterizado por dos constantes, λ y µ o el módulo de Young E y de deformación transversal G. Las relaciones entre los dos primeros y los últimos y el coeficiente de poisson ν se detallan enseguida:. E=. µ (3λ + 2µ) λ+µ. 28. (2.12).

(37) CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y/O MODELOS CONSTITUTIVOS. G=µ=. ν=. 2.2.. MIC 2008-I-32. E 2 (1 + ν). λ 2 (λ + µ). (2.13). (2.14). Modelo Plástico. Los modelos elastoplásticos son utilizados en los problemas de la mecánica de medios continuos con el fı́n de representar el comportamiento mecánico de materiales cuando se sobrepasan ciertos lı́mites en los valores de los esfuerzos (o las deformaciones) y dicho comportamiento deja de ser representable mediante modelos más sencillos como son los elásticos. En esta sección se estudiaran dichos modelos considerando, al igual que en el caso elástico, que las deformaciones son infinitesimales. De manera general, puede decirse que la plasticidad introduce tres grandes modificaciones sobre los modelos elásticos lineales presentados en el apartado anterior:. Ausencia de linealidad (los esfuerzos ya no son proporcionales a las deformaciones). Advenimiento del concepto de deformación plástica o permanente. Un porción de la deformación que se genera durante el proceso de carga no se recupera durante el proceso de descarga. A diferencia del caso elástico, no existe unicidad en la relación tensión-deformación. Un mismo valor de la deformación puede corresponder a infinitos valores de la tensión y viceversa. El valor de la tensión depende, además de la deformación, de la historia de carga.. El anterior comportamiento puede ser visualizado, para el caso unidimensional, por medio de una gráfica que relacione los esfuerzos con las deformaciones (figura 2.2). El formalismo matemático utilizado para definir la elastoplasticidad involucra el siguiente esquema: Descomposición aditiva de las deformaciones: El tensor de deformaciones se obtiene como el resultado de sumar las deformaciones elásticas, eij , y las plásticas, pij .. 29.

(38) CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y/O MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2008-I-32. Figura 2.2. Relación esfuerzo-deformación para material plástico.. ij = eij + pij. (2.15). Superficie de fluencia: Este artificio se utiliza básicamente para establecer distinción entre carga y descarga del material. Corresponde geométricamente a una superficie en el espacio de tensiones principales. Únicamente aquellos incrementos que empiezan en esta superficie y apuntan hacia fuera son considerados como estados de carga, los demás se consideran como descarga. La función de fluencia f = f (σij , pij ) define la superficie de fluencia para valores de f = 0. Para materiales idealmente plásticos (sin endurecimiento) aquellos estados de esfuerzo que no se ubiquen al interior de la región delimitada por la superficie de fluencia o sobre esta, no son factibles. El estado de carga del material se define mediante la siguiente condición: f =0 ∧. ∂f dσij > 0 ∂σij. (2.16). f >0 ∧. ∂f dσij < 0 ∂σij. (2.17). y la descarga por:. Cuando. ∂f ∂σij dσij. = 0 no existe carga o descarga (también se le denomina carga neutral).. Condición de consistencia: El considerar el incremento de la función de fluencia igual a cero o lo que es lo mismo df =. ∂f ∂f dσij + dij = 0 ∂σij ∂ij. (2.18). implica que la superficie de fluencia sea llevada detras del punto de esfuerzos cambiante. Potencial plástico: Para el caso de carga del material la regla de flujo establece que el. 30.