Puntos racionales en curvas elípticas y el teorema de Mordell
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(2) ijlklmonp qrpsjtpvuwrx yQz|{Y}M~HggP=0MgfoMN2~KNHV0g 0gVQ9H00 ¡¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ¥¤¦§0g¨[©ª¨[«¬g¯®g¨[ °0°g SB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f¥²ogN³¯®a¨g´gV¯ ¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ¶f¥·ag¨[®[®©D ¦¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f5¹ºQ©ª¨[®g¯®D¬N ©ª³¨>®»B¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f¥²oV0®g¯®H¬> ©ª³¨N®l¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f ±f¥¹ºQ©ª¨[®g¯®D¬N ©ª³¨>®´>ª0ª¼[ B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f ¶f¾g²o¯®H¬> ©ª³¨B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f £0¥·ag¨[®[®©D ¬¿HÀf¨¿[ ÁB¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f Âf¾Ã¦ªN0'B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ¶f5Ä2 ®ÅV°g¢¨N³¯ª¯¯ © ©ª¨[«ÆB¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B Ç:z|{Y}M~HggÈ2&ÉQ7}MÊ ±f5Ìa ©ª³¼ B¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f ±fc«0¨©DÍ¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ±f ¶fÎ0Ïg¨[© a¨g´gV¯ ÍB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B Ð7z|{Y}M~HggÒÑ=MH=>g ¶f5¤¦§0g¨[©ª¨[«ÓB¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ¶f ±f5¹º©ªQ©ª¨[®0Da°g¢Ôª¨[ª¯³¼¯sB¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ¶f ¶f5Ö]ª¬°g¢´gK®×B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ¶f £05ØP«¯¿GgVa§ÀfgÅ[©ª¨³¼&B¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B ]z|ÙÚ~}]ºÈ2P}2KDQ~gN=KM0= £05²og³¯®a°gB®¯°gª0g¨³¯®ÛB¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B £0 ±f5·a³0¼,¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B £0 ¶f5Ä2 ®¯ª¿°gª]°g ¯© ª0¯®¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B £0 £05Ä2 ®¯ª¿°g¢Ý|®¯°gªÓ¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢B¢BB¢B¢BB¢B Þ =ßPÒ=QÉQ~gàáÑ=. £ £. ¸. ¸. µ. ¸ D½ D± D¶ ª£ ª£ Ç0Ë ±¸ ±¸ ¶½ ÐQÐ ¶¶ ¶Õ ¶>µ £N½ :Ç £N± £N± £NÜ Âf âQÐ.
(3) . ã qruwrktpsnämoå mPpsjçæèêé ë g¨[ª¯®S°0[ÚV´¼©ª¨V|¿¨cìí¿¨¨V|:®îQÏKª¿°0°g®S ³¼|®:®³gg¨[°0°7ïo:®\îQÏ:ª ´Q³¼°g®³¼³¼BðN0òñ¢¬|Q³¼[ª³¼G°fg¼N³¯ ³¯®Gó0®¢¬|:®¢îQÏ:ª¿:®D¬°g®¨[ª¿\ô g¯ c®¿®|¿G0©¼î0®°g[®\ ³0°f¨VN³¯ °gÚ ³¯°gªQ³¼¿ªN³¯®0ïP[°gªÏK®|´¼Q³¯Ú°g¿¨õªfô ³0¨V¿®¬&¿¨P¨N³¯ª¯ö ¦:®¦V¦¿³¯ª¿÷³¨[©DGø¢D¨[ªBõ¨[© °g®gï7ðNg¨[ªS0®Ú¯«[® ¦g ´¼ ¿³¯ª¿÷³¨[© ®gïf¨0®Bg´¼g¯®ìù ¯®c¬\gQB´¼Kª¯¯®QfÝ&0©¼îQ´¼©ª¨V:®îQÏ:ªõ°f¨¨´¨úô °g® ³¯¦³¼ÏQñò®¬K®îQÏKª¿Gª0¯ªóQ°g®³¼³¼© ®¼°fg§N³¯B ³¯®©ªQ³¯®ó0®D ·sÌa®gïg0®©DÏKª|ª| ³¼\î0®ñ[®9´¼°g ©ª¨¿¨[ª³¯®9:®³¯®°g®gï0K®aîQÏ:ª¿B¿®³¼°g® ³¯ ©D¿¨0®ðN0 ¯© ®´Åùï7:®G ³¼B¨[ª¿g¯¿¨ºV°g®gï7K®Y:®D¬¿ïMD¬0°0¿¬|¯ªKª³¨¿ ðN0ª¼S©DQû|°gîQ© ª ³¯®S¬¿Y0©¼î0®S¿÷D¤¦>ª¯°0° ´¼©ª¨[Dﺬ Kª¯®5ðN0¨´N¿® ³¼D> ¼0°g®Vª³¼Qa°g¢N0 ³¼¨[°0oñágN³¯®D ·ü³¯®°g®¦¿¨[G¿¨´>®¢¿G0©¼îQ¢´¼©ª¨VDï:0®¯«[®Ú¯®SKª¯¯®QB°f¨´QB°g°f¿¨¼Dï]¨0®ðN0 °gª¿÷¢¼ÏKª °f¨[òìÒg³¼¦V¨[°0g[ªQ¿ª³¯\Gîg¨[©ª¨[ª¯®ðN0Y ³¯®¦ó0®¦°g\ ³0°f¨[®ìÒ0ª¼ ¨0©ª¯ªÅÏg[ ¬Ú°f¨Nª³¨[°g®D.
(4) ý ½f ½ ±. þ jçæu5èÿklnänämêj ·ag0ðN0V¢³¯ ®ÅVB°ga©ªgªÅg³¨[©Dõ¯îQ¢Nªg¨[°g®G°g ¼¯®V0°g®Y°g ¯°gîQ© ¿Y0©¯î0®õó0®Dï ©ª³Q¿ª³¯9îQ¢³¯ªg¨[°g®G´¼¨¿K®³¼0©ª¨VYK®õ0º¯ ©ª¨[ª³¯ c0¯®ªÚ°f¨úìùª¯ªN³¯ ÷¯Dc°gaV ¿³¯ª¿÷³¨[©DDM·a´g0®B°g\[®¢g¯®Ïg[ª¿B¿÷B© ®0®©ª¨[°g®Gª°g®0°g¯\g³¨¨ûHVB©ªg ªÅg³¨[©D¯®V¢ìí©ª³¯®¨ûH©ª¨[«°g9ª³¯ª¯®c¬ªKÎg³¨¿®Y³¯ ®¯ª¿\°g9ØQª¿³Df²P¼YªKg¨¿ª¯®gï îQD¬g´>®¨³¿®°gìí©ª³¯®¨ûH©ª¨[«°g9ª³¯ª¯®õðN0a0¼G©ªgcªÅg³¨[©DDï¬ c¿òñò®õðN0a[® ³¯ª¨[®¯ D¹º³¯®îQa¨[°g®a°gº´¼Yg³¨¨[°0°Yª\©ª¨g³¯®N©ª¼HìÒÅV ©ª³Q¿ªN³¯cÏQ0© ®2¬B© ®¿QógÅV ¨¿:®³¼N³¯ ¢0¼S©ªg¢ªÅg³¨[©D¦Q¼Ú© ®N°f¨úQ©D¢¨fìù®¿©ª¨[«5¯ ©ª¯ª³¼f ºD >ô Ä :²o¼Ú§ ¯ª´g0°g®g¯®Ïg[ª¿fïºÔ ¨[ g¯®Ï:«ðN0Q¼ p g¨¿®S¿D¬>®ðN0&¶fïo0®§Àf¨[³¯gQS©ªg ªÅg³¨[©D¯®Ïg¼ Q ïg°g¦VYìù®¿ °g®0°g. Y 2 = X(X + a)(X − b). a, b, (a + b). ¯®K®³¯ª0©ª¨V pô ö ¨¿a°g¢ª³¯ª¯®Dïg¬Ú ³¯®\¨¿g¨[©DðN0¢V\ ©ªQ©ª¨[« X3 + Y 3 = Z3. 0®G³¨[ª09¯®0©ª¨[®0 c0®G³¨¨V[ cª[®cª³¯ª¯®D²o¯ª´g³¼õ© ®¿®YVB°gªK³¯ ®¯ª¿Y°gaØQª¿³ Q¯ © ª|© ®0³¼³¯ª¿ª³¯Gª&V¿³¯ª¿÷³¨[©DDïQ°0°0gQ©§0\gVQfïQðN0ª¯ª¿®a¼Ï:ªa¨ ³¨[ª0¯®0©ª¨[®0 Yª5[®B¼©ª¨[®Q[ D N¨ºVB³¨[ª0ª[®Gª³¯ª¯®D N¨VBîQD¬>ï]©ªQ÷³¼ ¦ ¬ gÚ´>®¨³¿®YQ¼B°g ¯©ª¨Ïg¨V 9²P®N©Dõ°ga ³¼ºg¯ª´g³¼cîQ¨[°g®G© ®³¯ ³¼°0Dï>¿¨[ª³¼ ðN0õVa¿D¬>®ÅV¢¨´0ª¨[ª0°g®¦g¯®Ïg[ª¿cÏg¨[ª³¯®D¹o ³¼9³¯ ¨[o¯Ï:®¯°0¼÷¢ªg³¯ª¿¦°gõ[® gg³¯®°g¢© ®N®¯°gªQ°0¼©ª¨[®Q[ aªV©ªgªúÅg³¯¨©D¬Nª¯ª¿®a´gQg¯®g¨[ °0°g .
(5) ý ½f ½ ¶. ¨¿:®³¼N³¯ Dï0g¨0©ª¨Q¿ N³¯Yª]³¯ ®¯ª¿°gGÝ|®¯°gªíï0ðN0GH0¿ðN0B ³¯B© ®ñágN³¯® g ´g:®SÏ:ª¨V0®|0g¨³¼¿ª³¯Ú´>ª0ª¼°g®gºÝ|®¯°gªõ³¼¿YÏg¨[öªgV³¯ « gQ|© ®ñòª³g¼ ðN0ìÒ0 g¯®ÏQ°0:®GØQ³¨g´>Yª*Dܸ¶fï]ªV©ªQõH0¿«&ðN0\gQ©ªg°g´>ªN0YgKª¨[®\ ï ³¨[ª0G0g¨³¯®¦ggN³¯®¢°g\© ®N®¯°gªQ°0¢¼©ª¨[®Q[ D7ÖMg0ªÏQ°gªP³¯ ®¯ª¿°g\Ý|®¯°gªP¬& ´>ª0ª¼¨ûH©ª¨[«Ú¦©ªQ[ðNg¨[ª©D¿:®B°gõNÎg¿ª¯®¯ª0©ª0ªN³¼Bª¨[®o³¯§Àf³¯®º°gõ¿³¯ª¿÷³¨úô ©D2ND N¨ ï©D §H¹og:®³¯õ°gc ³¼a³¯ ¨[]ìÒ0¯ © ®´>ªo³¯®N°0P[aî0ª¼¿¨[ªN³¼o0 © ¼¨V Q¼ © ®¿g¯ª0¨[« ¬&°gª¿®³¼©ª¨[«]ï:¬NðN0Yö ³¼¦¯Yª0©ª0ªN³¼S¿Yg¬&°f¨[Kª¯¼9¬´>ªfô ª¼¿ª³¯¢ª© ®N³¯§Àf³¯®¿Gg¬ÚDgûH°g®Dïf¬g¯ ¯ª³¼V°g9¿0ª¼¨ú¿0¦¬g³¨¨ûH0°g®\[® ¿ª0®9:®¨Ïg[Gî0ª¼¿¨[ª³¼9ìÒ0ª³¯ 9¬&© ®¿g¨[©D°0D:¹oSªºõgųg[® ïK¯G>ª¼÷0Q© ®³¼ §Àfg¨[©D©ª¨[«°gVY©ªgBg¯®H¬> ©ª³¨G¬S0¢0¨0©ª¨úK Yg¯®g¨[ °0°g D2ÖM¿D¬>®ÅV°gV g0ªÏQYðN0¯ªg¯®N°f0©ª¨¿®Yg¯®D¨[ª0ª°g Øgg º¬ Ö]® ]¹oõgųg[®|± Bg¨0©ª¨Q¿ª³¯ gQ¨0³¼©ª¨[«|°gªMg¯®Ïg[ª¿ðN0B¯¢³¼³¼¼÷¿÷9°gªV³¯ï0:ª¯®Q¼©ª¨[§¯³¯®³¨K®°gB©ªgòô ¿÷õ¯ª0©ª¨VD²P¼G>ªcgQ÷¨[¨[¿÷cg¯®ìÒg0°g®gï>D >ô Ä ï õ íôòµN¹PªK©Dgųg[® ¶fﺨ³¯®N°f0©ª¨¿®>V©ªgªÅg³¨[©D¬ ª9´gK®°g&ggN³¯®Ú°g&© ®®¯°gªQ°0§©§¨[®Q[ D ÖMg¨0©ª¨QoìÒ0ªN³¯\Ïg¨Ïg¨[®´¼÷HQ©DQ¼Ú ³¯\©Dgųg[®ÚìÒ0 ¨ú ïMõ §ï:g0ðN0\Q¼gQ g¨¿ª¼\g¯®DÀf¨¿©ª¨[«ìÒ0ª¯®°ga´¼Úg³¨¨[°0°[®³Å[©ªg[® ²P®N® K¬ Ý&¨ Ø2¨Q¿ª³¯ïfª ªõõgųg[®£¯\g0ªÏQªº³¯ ®¯ª¿°gÝ|®¯°gªºQ¼©ª¨[ª³¯®³¨K®°g©ªgGªÅg³¨[©DD]ÖM ¿D¬>®ÅV°g[®¢[ª¿GðN0ÅcQ¯ © ª]ïM¯°gª¿G0 ³¼°g\ìù®¿Ú¿G0¬ ¨¿¨VGª³¯®N°0 VõìÒ0ª³¯ Dïf:ª¯®¯¦¨´g¨[«g¨0©ª¨Q¿ª³¯ õ ]¬ >ô Ä .
(6) !"$#&%')(+* , tu/. wré Í 0 xowrjlwré w21»jtpsé. -. 3 0lu5è43Ápsn æ5m5.. wré. 86 79687 :<;=?> @8ACBD@8EF@8AG@IHEFJ A KMLNKMLNKMLPO/Q+RTSVUNW+UYX5SGZ\[V]_^`[ UYQbadcMadQbe. ï7g5:®¨0®¿¨[®|ª°g®B¨VÏg[ Y© ®© ®§Q©ª¨[ªN³¯ \ª5g©D¿K®gfï ¬ M D F 0Q§Àf³¯ª0¨[« °0Y©D¿K®gï. D. f (x, y) ∈ K[x, y] P aij xi y j grad(f ) = máx{i + j | aij 6= 0} f (x, y) = i,j. K ⊆ F ⊆ K̄. ¬. Vhji&klnmobpmrq?mms9tuq °g§0g¨[°0\:® f v &wy0zùy0zùy0zxby f (x, y) ∈ K[x, y] hzrq grad(f ) > 0{T| qb}Yzrq?h |9~ Z (K̄) |9~ y q q y }Yz | z ~ } kmh y q¦c®¿® K̄ B´>ªÏg¼¨[©D¿ª³¯© ª¼°g®gï] 9¨f0g¨³¯®gD f (x, y) = a (x) + © ® a (x) ∈ K[x] N¨2? ¦½¬ a (x) = c ï (d, c) ∈ Z (K̄) Q¼³¯®°g® a (x)y + ... + a (x)y d ¨ a (x) 6= c, c ∈ K ïoªN³¯®0© ³¨[ª0ÚgQ ¼Åû a ª K̄ ¬ (a, b) ∈ Z (K̄) Q¼ d ∈ K ³¯®°g® b ∈ K V ¨ n > 0 ïo§Àf¨[³¯ª ¨f0g¨³¯® a ∈ K̄ ³¼[ ðN0 a (a) 6= 0 V D a ∈ K̄ ³¼ ðN0 a (a) 6= 0 ï f (a, y) ∈ K̄[y] ³¯¨ª0´¼°g®¿ ¬N®BðN0© ª¯®gï70ª´>®§Àf¨[³¯ b ∈ K̄ ³¼ðN0 ïg© ®¿®[® a ¯®¨úg0g¨³¯®DïgîQ ¬¨f0g¨³¯® (a, b) ³¼[ ðN0 (a, b) ∈ Z (K̄) f (a, b) = 0 v & wyQzÒyQzVÇ:z x | m)i&q/mrq y pupz { a ∈ A g(x) ∈ A[x] M qb}Yzrq?h |9~ (x − a) |9~ sjm_h}YzrkF | g(x) Zf (F ) = {(a, b) ∈ A2 (F ) | f (a, b) = 0}. Zf (K̄). f. 0. 1. n. n. i. 0. f. 0. f. n. n. f. ~ y ~ zrpz ~ y | z ~ } kmh y q8ºª Øg¼n ïf³¯ ®¯ª¿¶fï0© ®¯®V¨[®& {GQ~K=g~=yQzÒyQz[Ð7zx | m i&qgmrq y ppz { | y~ ~ zrpz ~ y g(a) = 0. A. f (x, y). f (a, y) = 0. a∈A. f (x, y) ∈ A[x, y]. b qb}Yzrq?h |9~. (x − a). |9~ sjm_h}Yzrk.
(7) ý Â. | z ~ } kmh y qa²2®°gª¿®>ªª:®¨0®¿¨[® © ®¿® g:®¨0®¿¨[®ª ïP© ® © ®¼0ô ©ª¨[ª³¯ ¦ª :¤¦Y ³¼ìù®¿fï7g¨[©D0°g®ª2[ª¿Ú³¯ª¨[®DïK³¯ª0ª¿®¢ªP¯ g³¼°g®Ú°g ¯DHô f (x, y). x. A[y] °g®g >o2=NuKüyQzÒyQz]z D·¾gg¨[®¬ f, g ∈ A[x]ï]© ® f (x) = a x + ... + a x + a ¬ gÖMk |9~ i&p}Ymrqb} | °g f ¬ g ³¼÷\°g§0g¨[°0\:® g(x) = b x + ... + b x + b n. m. m. 1. n. 1. 0. 0. an. an−1. 0. an. Res(f, g) =. . . an−1. bm bm−1. N¨ f = 0 ï0°g§0g¨¿® Res(f, g) = 0 v & wvyQzÒyQz:zFx | mi&q<_z y q y z |. ···. a0. . ··· an. ···. . ···. bm. bm−1. a0 ···. . an−1 · · · b0. . ···. ···. a0. b0. sjm_h}Yzrk y m_h y q&q y h9m xby qb}Yzrq?h |9~ | } y | q | q/ y l y ~ zrkFhz &qq?zhzrq ~ }Ymrqb} || q ~ y ~ zrpz ~ y | z ~ } kmh y q ç²o¨¿ª¯®a>D¿®MðN0 ¬ ³¨[ª0ªGgBìí©ª³¯®M© ®¿YÎgY¨¬¢¯®[®¨N§Àf¨³¼§ A[x]. an bm 6= 0. f. g. Res(f, g) = 0. :®¨0®¿¨[®\0®&Ng[® u, v ∈ A[x] ³¼[f \ðNg0 deg(u) < deg(f ) ï deg(v) < deg(g) ¬ vf − ug = 0 N¨ f = hu ¬ g = hv ï h ∈ A[x] ªN³¯®0© f v − gu = 0 7c®¿® deg(h) ≥ 1 ïKªN³¯®0© ©ªV¯®ðN0 deg(u) < deg(f ) ¬ deg(v) < deg(g) Ìa ©ªÅg¯®©D¿ªN³¯¢gK®g´N¿® f v − gu = 0 © ® deg(u) < deg(f ) ¬ deg(v) < deg(g) õ°0|ìí©ª³¯®¨¯ °f0©ª¨Ïg[&°g f °f¨¨[°g& ug ¬© ®¿® grad(u) < grad(f ) ïP0®S³¯®N°g® g0 °gª|°f¨¨[°f¨a u ïf:®[®³¼N³¯®´g0®°f¨¨[°gB g ±fNg:®g´N¿®ðN0 a b 6= 0 ¬¯D u ¬ v © ®¿®ª ò §ï u(y) = c y + ... + c ¬ gÖM© ®0°f¨[©ª¨[« vf − ug = 0 ðNg¨[G\ ¯©ª¨Ïg¨ v(y) = d y + ... + d n m. m−1. m−1. n−1. 0. n−1. 0.
(8) ý Õ m. . z. an. 0. . an−1 a0 . }|. n. a . an. {. 0. 1. z. }|. −bm. . −bm−1 an. −b0. . an−1. {. . . d 0 cn−1 c0. −bm. . =0 . . . −bm−1. a0. . . dm−1. −b0. º¹ ³¯¢¨[³¯ª¿Yî0®¿®´>öª0 ®³¨[ª0¢¯®0©ª¨[«0®\³¨¨V]¨:¬¯®[®¨7ª7°0§³¼§¯¿¨úKN³¯G°g9V ¿³¨ûõ M°f¨úìùª¯ªN³¯c°g©ªª¯®g¹º³¼¿³¨ûc ]V³¼g0 ³¼°g Res(f, g) © ®GVMÎg³¨¿ © ®g¿Q¿Gg³¨g¨[©D°0K® Vô¼ª0c®¿®:³¼:®0ª0®\©D¿GÏg¨V\ª7°gª³¯ª¿¨QN³¼ï ¬§]î0 ©¼î0®°g¢¿Yg³¨g¨[©Da:®F Vô¼ õ¯®[®©D¿GÏg¨VªM¨´0®°0 Res(f, g) ïgª³¯®0© a ³¯ ¨[³¯ª¿³¨[ª0¯®0©ª¨[«0®³¨¨Vc¨º¬S¯®V¿ªN³¯¨ Res(f, g) 6= 0 Pc® ³¯®¡¬ ò ðN0 °0\g¯®ÏQ°g®ª][ª¿f. ¢ NQ~&w*yQzÒyQz[â7z x | m i&qo+zrp y q?z y z y kk | ri+h yY£ p | q?z y z¥q?z y l y ~ yY£ p | o+zrk M qb}Yzrq?h |9~ |9~ q y }Yz | z ~ } kmh y q Ng:®g´N¿® ïªN³¯®0© f ∈ K̄[x, y]. Zf (K̄) ∩ Zg (K̄). f (x, y). g(x, y) ∈ K̄[x, y]. { i&qozrp yu¤. f (x, y) = c(x−a) Z (K̄)∩Z (K̄) = {(a, b) | c c ® ¿ ® 0 ® f ° ¨ [ ¨ g ° | ï ª N ¯ ³ ® 0 © K®ªa© ®¯®V¨[® ¶ g(a, b) = 0} (x − a) g(x, y) ïf0ª´>® ³¯B© ®ñágN³¯® õ0g¨³¯®g g(a, y) 6= 0 ·aî0®¼GgK®g´N¿®õðN0 f (x, y) 0®G º¨0D:ª x D¢V¦ìÒg0©ª¨[« p : Z (K̄) −→ K̄ ï °g®0°g p (a, b) = a fØ2¨ ñòª¿® a ∈ K̄ ïf© ®¿® f (x, y) c¨¯ °f0©ª¨Ïg[¢¬0®\ c¨0D]ª x ï ¬:®aª]© ®¯®V¨[®& ¶fï f (a, y) 6= 0 gÖ70ª´>® p (a) 0g¨³¯®g0¤¦¦V (x − a) - f (x, y) ¿¨[¿ìÒ®¯¿fïQ¨]³¯®¿¿®9g|gÏK© ®ñág³¯®0g¨³¯® C °g K̄ ï p (C) 0g¨³¯®gM ª´Îg ³¯®gïg¨ p (Z (K̄) ∩ Z (K̄)) c0g¨³¯®gï Z (K̄) ∩ Z (K̄) ³¼¿GÏg¨[öª[® D¦ D f (x, y) = P P ï ï¨[³¯®º© ®¿®¢:®¨0®¿¨[®Gª y ï>°g®0°g n = grad(f ) ¬ b (x)y a (x)y g(x, y) = 0ª´>® a (x)b (x) 6= 0 0c®0¨[°gª¯ª¿®aª7K®¨0®¿¨[® R(x) = Res(f, g) ï m = grad(g) ðN0aV¿¿®c¯ g³¼N³¯¦°g f ¬ g ¼ª: ©ª³¯®\BV¢¨VÏg[ y fc®¿® f ¨¯ °f0©ª¨Ïg[9¬ 0®¦°f¨¨[°g g 荒¯®0© PK®oªf[ª¿Y  R(x) 6= 0 D a ∈ K̄ ³¼fðN0 a (a)b (a) 6= ïHªN³¯®0© R(a) = Res(f (a, y), g(a, y)) ¬ a ∈ p (Z (K̄)∩Z (K̄)) ¨>¬B¯®[®a¨ f (a, y) 0 g. f. 1. f. 1. −1 1 −1 1. 1. n. i. i=0. i. f. g m. g. f. i. i. j=0. n. m. n. 1. f. g. m.
(9) ý µ ¬. ³ ¨[ª0ª5gQ¼Åû© ®¿GÎg5ª K̄ 7²2®Gªº[ª¿ ±fï] ³¯®0© °g¨o¬ ¯®[®¨ 2²P®\[®&³§N³¯® p (Z (K̄) ∩ Z (K̄)) ⊆ {a ∈ K̄ | a (a)b (a)R(a) = 0} R(a) = 0 ²Pª¯®© ®¿®ªºK®¨0®¿¨[® a (x)b (x)R(x) 6= 0 ï {a ∈ K̄ | a (a)b (a)R(a) = 0} 0g¨³¯®gïN0ª´>®Yª:© ®ñágN³¯® p (Z (K̄) ∩ Z (K̄)) º0g¨³¯®G¬© ®¿®\©DÏQ¿®õ°g9§Àfg¨[©D ³¼¿GÏg¨[öª&[® D Z (K̄) ∩ Z (K̄) g(a, y). 1. g. f. n. n. m. 1. n. m. m. g. f. g. f. zrq_z ~ ozrp y q?z y z ¨~ | q ~ 9| ~ q y }Yz. {GQ~K=g~= yQzÒyQzu§KzTxby f . Zf (K̄) ∩ Zg (K̄). | z ~ } kmh y qD ¹o³¯®0© . g. f (x, y) =. s Q. fi (x, y)ri. ïQ°g®0°g. K̄[x, y]. ~ y q¨sjm_h}Yzrk |9~ h9z &i q 9| ~9{| qb}Yzrq?h |9~ ï. fi (x, y) i = 1, ..., s. ïQ¯®&¨¯ °f0©ª¨Ïg[ D. i=1. Zf (K̄) ∩ Zg (K̄) = =. s [. Zfi (K̄). i=1 s [. i=1. !. ∩ Zg (K̄). Zfi (K̄) ∩ Zg (K̄). . ²P®Mª>³¯ ®¯ª¿¢ Õfï Z (K̄)∩Z (K̄) :0g¨³¯®Q¼ i = 1, ..., s ï K®][®³¼³¯® gQ\gg¨[«0g¨³¼°g¢© ®ñág³¯®0g¨³¯®Dïg0ª´>® õ0g¨³¯®g g. fi. Zf (K̄)∩Zg (K̄). KMLNKMLu©L«ª¬VS`^eerUNSd®5¬V¯Yc]_Qbe >o2=NuK yQzÒyQz[Ë7z f +°aggN³¯®gùfï Ï?cª ~ y q&±ri&pmrk¨ a° QÚ©ªg ªq?z ¤ ~ y q&±ri&pmrkªï7¨P0®© ®³¨[ª0\0¨ú0´ÎgSgg³¯® ¨g´gVDMN¨Iù fï Ï? 0® ag&0gN³¯®¨g´gVDï:°g§0g¨¿®9V}Ymrq&± | qb} | V©ªg | q | pbo¦i&qb}Yz ù fï Ï?õ © ®¿® °g®0°g ²d³ &w P=vyQzÒyQz7´ z D M¹ºBìí÷©ª¨c>ªYðNQ 0®³¯¨ª0ggN³¯® ∂f ∂x (a, b). =. ∂f ∂y (a, b). =0. f (x, y) ∈ K[x, y]. Zf (K̄). Zf (K̄). Zl (K̄). l(x, y) :=. ∂f ∂x (a, b)(x. − a) +. ∂f ∂y (a, b)(y. − b). ¨g´gV¯ B¬&:®B[®Ú³¼Nf³¼(x, ®Ú³y)¨[ª0=³¼yg´>−ªx³¯ G+ªSx ³¯®°g®¢[®¢gg³¯®Dï7KZ®G(K̄) òñòª¿g[®ÚVÚ³¼g´>ªN³¯ ª (1, 0) l(x, y) : x = 1 N¨ g(x, y) = y − x − x ï Z (K̄) ¨g´gVa¯®V¿ª³¯Bª&ª7gg³¯® (0, 0) 2. 2. 3. 2. g. 3. f.
(10) ý ± ¸ 3. 2. 1.5 2 1 1. 0. y. y. 0.5. 0. −0.5 −1 −1 −2 −1.5. ù _ =Ï? KMLNKMLuµLP¶/SVUN¯N¯^5e¯Y^dWcM¯YQbe >o2=NuK'yQzÒyQzÒyfÊ7z Dgf¥VÀ7ï ¬¦G§©D¿:® °gìÒ¼© ©ª¨[®0 °g D ï °g®0°gaìï ´ ¬ ª ¤¦ ©ª¨¿®ðN0 |9~ Y} · | q y _m ¬Úª³¯®0© | qs¸ ¨ >o2=NuK ¥yQzÒyQzÒyQyQz ³¼÷°g§0g¨[°0ª&² ¬ ¹ z}YÚm D±¦ ºgÏQg¨[®¢°g ¬Y© ®N³¨[ª0a _D ª ï ³¼MðN0 gî0®¿®¿®òQ¿®gïQ¬Ú a¯®Ïg¯¦9º ®³¯BðN0 ïgK® −3 −2. −1.5. −1. −0.5. 0. 0.5 x. 1. 1.5. 2. 2.5. −2 −2. 3. −1.5. −1. y 2 − x3 + x = 0. −0.5. 0 x. 0.5. φ(x, y) =. g(a, b) 6= 0. ∈ K[x, y]. P = (a, b). φ(P ) = φ(a, b) =. A2 (K). OP. 2. K(x, y). φ ∈ K(x, y). φ. f (a,b) g(a,b). OP = {φ ∈ K(x, y) : φ. φ (P ) = 0}. 1.5. y 2 − x3 − x2 = 0. K[x, y]. f (x,y) g(x,y). 1. }. K[x, y]. P. MP = {φ ∈ OP : K ψ : OP −→ K. Ker(ψ) = M [®\³¼³¯® ψ(φ) =∼= φ(P K ) ψ ¦ªN³¯®0© ¦¿HÀf¨¿íïQ¬© ®¿®³¯®N°g®9[®¦§[ª¿ª³¯®¦0®¨NNª³¨Ïg[ ¦°g O ³¼÷ © ®fô M ³¯ªg¨[°g®aª M ï0ªN³¯®0© a ª]Îgg¨[© ®¨[°gD]¿HÀf¨¿í0Ö70ª´>® O ª0&g¨[®[®©Dí P. OP MP. P. P. P. P. 687¼»½7 ¾A¦B@8¿ÀÁBF=ÁVÂ8J ¿`Ã?À>8Á. o² ¼ªN³¯ª0°gª&¿òñò®[® Q©ª¨[®g¯®D¬N ©ª³¨>®Dï 0 © ¼¨[®*Q¨ûH&g¨¿ª¯®g ©D¯® Q³¨[©ªgVDïªa°gªgV0®Sg¯®H¬> ©ª³¨N®g >ª¼÷S °g ¯©ª¨:©ª¨[« ´> ®¿öª³¨[©D¬´>ªÏg¼¨[©Dfﺬ 0Q¿ª³¯¢[®a Q©ª¨[®g¯®H¬> ©ª³¨N®ª´>ª0ª¼í. KMLu©LNKML«ª¯YcMSd^<[V]_^bZ5QbW&_UÄ5^. D K gQ©D¿K®&¬|³¯®¿ª¿®YªgV0® A (K) ë 0ª¯ª¿®\§Àf³¯ª0°gªY ³¯ Q©ª¨[®|Úg0® 0ª>® P (K) ðN0³¯ªg´N&´gQGg¯®g¨[ °0°g \°f¨[©ª¨[®Q[ DM²P®Yòñò§¿0®&ðNg¨[¨[öª¼¿®GðNQ ³¯®°0PVo¯ ©§³§o¯c¨³¯ª¯¯ ©ª³¼¼ªK®o[®¦¿ª0®P0\gg³¯®gïðN0ìÒ0ª¼¦© ®¿Q©ª³¯®¢¬G¿Y0©¯îQ ®³¼Y© ®¼DM²P§ö ³¯®³¯®¿ª¿®\°g®G¯ ©ª³¼GQ¼[ªV\°f¨úìùª¯ªN³¯ Y¬ V¿ª¿® m 5°f¨úô ¯ © ©ª¨[«] N¨ºVB¿¨¼÷¼¿®Yªªº¿Gg0°g®¯DíïM© ®¿®:®Gòñòª¿g[®V©D¨[ª¼°0g³¯ª]ï NªÅV¿®ðN0B¯¦¨N³¯ª¯¯ ©ª³¼|ªggg³¯®ª&ª7î0®¨ûD®³¯GMðN0¦g0©D\:®N°fÅV¿®a[ª´ND 2. 2.
(11) ý ± Ü. · ³¯\gg³¯®[®ÚV¿¿®Bgg³¯®ªS¨f0g¨³¯®¬|®&´¯ª´N¿®Y Q©ª¨[® A (K) 7¤¦ ³¼ ìù®¿fïgQ¼©D°0°f¨¯ © ©ª¨[« m ïf³¼§Q§¿®agN0ªN®\g0N³¯®ª¨f0g¨³¯®ðN0¦:®N°gª¿®aV¿ 7¹o³¯®0© P (K) = A (K) ∪ {∞ | m gQ°f¨¯ © ©ª¨[« } M º9®³¯ðN0\ªº© ®ñág³¯®°g ∞ V°f¨¯ © ©ª¨[®0 9 ðNg¨[BM© ®ñágN³¯®°g¢V¯ ©ª³¼aðN0¦Q¼K®aª]®¨´>ª] 2. 2. m. 2. m. ¦¤ G ³¼\ìù®¿î0ª¿®9®Ïg³¯ªg¨[°g®g| Q©ª¨[®°g®0°gY°g®a¯ ©ª³¼9°f¨úìùª¯ª³¯ 9¯B¨N³¯ª¯¯ ©ª³¼ ª g¯®[®agg³¯®gï¬BK®o°g®2gg³¯®P°f¨úìùª¯ª³¯ PQ¼gQ9¯®V¯ ©ª³¼fÅaÏ0¯ª>ª¿®oðN0V2¯ ©ª³¼ ª P (K) ¯®5[G¯ ©ª³¼Y°g A (K) °g®0°g©D°0gQ&©ª®³¨[ª0g5gg³¯®&ª5¨f0g¨³¯®&¬ V ¯ ©ª³¼ðN0¢© ®³¨[ª0¢³¯®°g®[®ggN³¯®aª¨f0g¨³¯®gïQðN0¦V¿¿®¯ ©ª³¼ª¨f0g¨³¯®g ¹o A (K) ï¨ m cVG°f¨¯ © ©ª¨[«°gagQG¯ ©ª³¼YðN0aQ¼B:®ª:®¨´>ª]ï:®N°gª¿®°g ¯©ª¨Ïg¨V :®c¿ °f¨[®Y°gagQGQ¯òñ (a, b) ï Ò© ®¿®GVõ© ®N®¯°gªQ°0°gª:> ©ª³¯®õ°f¨¯ ©ª³¯® º:ª¯®Y õ®ÏN¨[® ðN0 (λa, λb) ïg°gª³¯ª¿¨Q\VY¿¨[¿\°f¨¯ ©ª¨[« m ïfV¿¿® (a : b) Y ³¼\°f¨¯ © ©ª¨[«&¬ P (K) P© ®ñágN³¯®°gGV9°f¨¯ © ©ª¨[®0 D:ÄMª0ª¿®¢ªN³¯®0© ¦ðN0 P (K) = A (K) ∪ P (K) Q¤¦ª¿® î0®¼\gQ°g§0g¨[©ª¨[« ´>ªÏg¼¨[©D¬0ª´>®>ª¯ª¿®aðN0¢¯® ðNg¨[ªN³¯ D >o2=Nu KyQzVÇ:zÒyQz õ®0¨[°gª¯ª¿®V\¨´g¨[ª³¯¢¯ªV©ª¨[«|°g¢ ðNg¨[ª0©ª¨Vª A (K) Æ ¨ ³¼oðN0 (a, b, c) = λ(a , b , c ) KÖ7V¿ª¿® ù Æ Ï Æ © 9V (a, b, c) ∼ (a , b , c ) ∃λ ∈ K 6= 0 ©ªV¯°gÚ ðNg¨[ª0©ª¨V °g ùfï Ï]ï © §P¹o obpmrq?zobkz | h} y lnz P (K) = {(a : b : c) | (a, b, c) ∈ A (K) − {(0, 0, 0)}} D¿®ðN0¦V°g®a°g§0g¨[©ª¨®Qª9© ®¨0©ª¨[°gª]:c®0¨[°gª¯ª¿®aV\¨´g¨[ª³¯¦ìÒg0©ª¨[« 2. 2. 2. 1. 2. 2. 1. 3. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 3. {(a : b : c) | (a, b, c) 6= 0} −→ A2 (K) ∪ P1 (K) ( ( ac , cb ), c 6= 0 (a : b : c) 7−→ (a : b) ∈ P1 (K),. ¨. ¨. c=0.
(12) ý ±. Ç. D½. ¨NNª¯¼ (x, y) ∈ A2 (K) 7−→ (x : y : 1). (x : y) ∈ P1 (K) 7−→ (x : y : 0). ª¨úQðN0ª¿®ðN0Bª§ìù ©ª³¯®¯®¨>ª¯¼ Æ. N¨ c 6= 0 ï (a : b : c) −→ a , b −→ a : b : 1 = (a : b : c) N¨ c = 0 ï (a : b : c) −→ (ac: b)c −→ (a : cb : 0)c = (a : b : c) Ìa ©ªÅg¯®N©D¿ª³¯ï (a, b) −→ (a : b : 1) −→ (a, b) (a : b) −→ (a : b : 0) −→ (a : b) ¹ z}Ym ±f ¦± ¦·r[®gg³¯®°gV ìù®¿ (a : b : 0) ª P (K) ïo[®V¿¿®ggN³¯®ª ¨f0g¨³¯®g >o2=Nu K yQzVÇ:z[Ð7z °9Q k | h}Ym¨obkz | h} y lnmªÚ cªK© ®ñág³¯®Y°ga¯®0©ª¨[®0 õ°gagQB ©ªQ©ª¨[« °g¢VGìù®¿ aX + bY + cZ = 0 D¿®BðN0\ ³¼Ú°g§00¨©ª¨[«© ®¨0©ª¨[°g© ®Vg¨¿ª¼ðN0°f¨¿®D5 Ng:®g´N¿®GðN0 a ® b ¯®°f¨úìùª¯ª³¯ a°gB½fb f (x : y : z ) ∈ L ï0¨ z 6= 0 ïf[®K®°gª¿®¨[°gªN³¨úQ©D9© ®&ª7gg³¯® ðN0¢ ³¼÷ªV\Å0D l : aX + bY + c = 0 ∈ A (K) , N¨ z = 0 ï (x : y : z ) = (−b : a : 0) ¬Ú[®¨[°gª³¨úQ©D¿®¦© ®|ªMgg³¯® (−b : a) ∈ P (K) ï ðN0G© ®¯ :®0°g\[°f¨¯ © ©ª¨[«S°gBV¯ ©ª³¼ôíϦ¬ ¦HÀ7Q²P®9Îg³¨¿®¨ a = b = 0 ïQ®Ïg³¯ª0ª¿® VY¯ ©ª³¼ Z = 0 ðN0¢ Pñá0³¼¿ª³¯¢VY¯ ©ª³¼ª¨f0g¨³¯®gKc®& ³¯®\³¯ª0ª¿®³¯®°0V¯ ©ª³¼ ðN0¦îQÏgÅV¿®a°0ª¯©ª¨³¯®g 2. 0. x 0 y0 z0 z0. 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. KMLu©Lu©L«Èen[VcMW+UY^5e[V]_^bZ5QbW&_UÄ5^5e®`QbSdQ¦]_cM¯YQbe. MÖ B§Àf³¯ª0¨[«°g A (K) P (K) ¯g0 °gîQ© ªcª©ªQ[ðNg¨[ªc°f¨¿ª0¨[«]gc®¿®GªªQ©D¯® °gª0gV0®gï>°0¿®ºg¨¿ª¯®BgQ¢°g ¯©ª¨:©ª¨[«Ï0³§©§³§B³¯ º°g¨³¯®N°f0©ª¨V© ®N®¯°gªQ°0D >o2=Nu KyQzVÇ:z]z D V g& Q©ª¨[®> ©ª³¯®¨V2¯®Ïg¯ f0Ö7V¿¿® P(V ) M© ®ñág³¯®°g [®gÏ: Q©ª¨[®°gB°f¨¿ª0¨[«g0®°g V b ¢°0¼Q0 dim(P(V )) = dim V − 1 N¨ dim(V ) = 2 ï P(V ) ¯ÚV¿É k | h}Ymobkz | h} y lnmïo¨ dim(V ) = 3 ï P(V ) ¯V¿g obpmrq?z obkz | h} y lnz¬Ú¨ dim(V ) = 1ï P(V ) © ®0¨[³¯B°g¦g&¯®[®\gg³¯®g >o2=Nu KvyQzVÇ:z :z D V g Q©ª¨[®N ©ª³¯®¨Vo¯®Ïg¯ K °g\°f¨¿ª0¨[« n + 1? °aQ¯ ©ª³¼ g¯®H¬> ©ª³¨G°gªK Q©ª¨[® P(V ) gÚgÏK© ®ñág³¯®Y°g P(V ) °gV¦ìù®¿ P(U ) °g®0°g U g gÏ: Q©ª¨[®°0 V °gB°f¨¿ª0¨[«|±f 2. 2.
(13) ý ±. . v &w yQzVÇ:z[â7z¥x | m i&q |9~ om_h y z< | y | q ~ y qGÊ& z ~ k | h}Ym ~ obkz | h} y lnm ~| q y qb} | k ~Ë| hË}Ymnq | qi&q ~ zrpz½obi&qb}Yz | z ~ } kmh y qD ïP¬ °g®¯ ©ª³¼g¯®H¬> ©ª³¨ª ïo°g®0°g ï &N¨ ï0 © ¼¨V¿ª³¯ gÏ: Q©ª¨[®°g © ® V. ~Ë|. P(V ). ¯ ® V dim(U ) = dim(W ) = 2 P(U ) 6= P(W ) U 6= W Ö70ª´>® U + W = V ¬ dim(U ∩ W ) = 1 K²2®¦°g§0g¨[©ª¨[«]ï P(U ) ∩ P(W ) = P(U ∩ W ) ïQðN0 © ®0³¼°g¦g&¯®[®ª[ª¿ª³¯®g v &wSyQzVÇ:zu§KIz x | m V i&q |9~ om_h y z¥ | y | q ~ y q n + 1 m__z ~ _z ~ obi&qb}Yz ~ y ~ } y qb}Yz ~| q P(V ) P(U ). P(W ). P(V ). U W. |Ì y ~ } | i&q?m ~ zrpm¥k | h}Ym obkz | h} y lnm | q Í i | h9zrqb} y | q | pz ~ _z ~ obi&qb}Yz ~ | z ~ } kmh y qD ¬ °g®\gg³¯®°f¨[³¨N³¯®ª ïPª³¯®0© ¬ fÄ2ª0ª¿®0 © ¼¨V¿ªN³¯GðN0 ¬ª³¯®0© ²P®[®³¼N³¯® gQS¯ ©ª³¼ ¬ D ®³¼¯ ©ª³¼Úg¯®H¬> ©ª³¨ðN0© ®³¯ªg´N g¯®H¬> ©ª³¨ðN0© ®³¨[ª0 P(V ). P(U ). P(W ). U 6= W. dim(W ) = 1. W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) = 2. . P(V ). dim(U ) =. U ∩ W = {0}. dim(U +. P(U + W ). ¬ P(U ). P(U ) P(W ) P(Y ) ï 7 0 ª > ´ ® ¬ Mc®¿®³¨[ª0ªVÚ¿¨[¿°f¨¿ª0¨[«]ï P(W ) dim(Y ) = 2 U + W ⊆ Y ïg¬K®[®\³¼³¯® P(Y ) = P(U + W ) U +W =Y ³¯®N°f0©ª¨¿®oî0®¼aªN¨[³¯ª¿°g© ®®¯°gªQ°0PªGgY Q©ª¨[®ag¯®D¬N ©ª³¨>®gD V gY Q©ª¨[® °gB°f¨¿ª0¨[« n + 1 ïf¬ {e , e , ..., e } gQ\ÏQ¯¦Q¼ V gÖ2GìÒg0©ª¨[« 0. 1. n. ϕ:V. −→ An+1 (K). c0 e0 + c1 e1 + ... + cn en 7−→ (c0 , c1 , ..., cn ). 2gQaÏg¨¬N © ©ª¨[«]¤¦®oª[ª¿ªN³¯® v ¬ v ª V ´>ª0ª¼ªf¿¨[¿®¦gÏK Q©ª¨[®¢°g V ¨¬Y¯®[® ¨ ∃λ ∈ K − {0} ³¼2ðN0 v = λv :c®0¨[°gª¯ª¿®9V¨´g¨[ªN³¯G¯ªV©ª¨[« °gG ðNg¨[ª0©ª¨Vª ¨ ³¼KðN0 (c , c , ..., c ) = λ(c , c , ..., c ) A (K) Æ (c , c , ..., c ) ∼ (c , c , ..., c ) ∃λ ∈ K Ö7V¿ª¿® (c : c : ... : c ) \V\©ªV¯B°g¢ ðNg¨[ª0©ª¨V°g (c , c , ..., c ) >o2=Nu K yQzVÇ:z[Ë7z D P (K) = (A (K) − {(0, 0, ..., 0)})/ ∼ oÖ7V¿¿® P (K) ª © ®ñág³¯®°g¦gg³¯®© ®&© ®®¯°gªQ°0aª K °gª] Q©ª¨[®g¯®H¬> ©ª³¨N®°g¢°f¨¿ª0¨[«&] D P g|ggN³¯®Úª P(V ) ïQ0ª´>® P = P(U ) °0®0°g dim(U ) = 1 ïQ¬ªN³¯®Q©ª U = hc e + Kc®0¨[°gª¯ª¿®VYìÒg0©ª¨[« Æ c e + ... + c e i 0. ϕ. 0. n. 0. 1. 0. 0 0. n. 1. 0 1. 0 n. n. n. 0. 1. n. 0. 1. n. 0 0. n. 0 1. 0 n. n. 0 0. 1 1. n n. φ : P(V ) −→ Pn (K) P(hc0 e0 + c1 e1 + ... + cn en i) 7−→ (c0 : c1 : ... : cn ). φ. gQ\Ïg¨¬Nª© ©ª¨[«&¬K®°gª¿®¨[°gªN³¨úQ©D¦M Q©ª¨[®. P(V ). © ®. Pn (K). .
(14) ý ±. D±. KMLu©LuµLÏάd]Ä?cMeª]_^bZ5QbW&_UÄcMe. o² ¼B°g§0g¨õ©ªgc§Ú§K Q©ª¨[®Gg¯®D¬N ©ª³¨>® P (K) 0 © ¨³¼¿®c0¼º:®¨0®¿¨[®õ°g n + 1 ¨VÏg[ DïP¬°gª¿÷0 © ¨³¼¿®ðN0Ú¨gggN³¯® (c : c : ... : c ) ³¼÷ ªV ©ªgfï ³¼¿YÏg¨[öª [® ³¯ö (tc : tc : ... : tc ) °g®0°g t ∈ K ïQ¬NðN0Y¯®|V¿¨[¿©ªV¯K²P¼ ³¯® °g§0g¨¿®[®:®¨0®¿¨[®î0®¿®´>öª0 ®D >o2=Nu KçyQzVÇ:z ´7z °a:®¨0®¿¨[® F (x , x , ..., x ) ∈ K[x , · · · , x ] Ðz z±Ñq | z °g ´¼°g®°¨ Æ n. 0. 0. 1. 1. n. X. F (x0 , ..., xn ) =. > o2=NuKryQzVÇ:zÒyfÊ7z D © ®ñág³¯®. n. n. 0. . 1. ij ≥0 i0 +...+in =d. F ∈ K[x0 , x1 , x2 ]. 0. n. ci0 ···in xi00 · · · xinn. ïog*:®¨0®¿¨[®5î0®¿®´>öª0 ®°g´¼°g®5°7¹o. ¯ ¦V¿hji&klnm obpmrq?m½obkz | h} y lnmQ¹o]© ®ñág³¯® X (K) §M© ®ñágN³¯®°g¢ggN³¯®a© ®© ®®òô °gªQ°0ª K Ò® K ôí¼©ª¨[®Q[ õ°g9V\©ªgYgVQYg¯®H¬> ©ª³¨\°g§0g¨[°0\K® F ï¬ ³¼÷YÏg¨[ª °g§0g¨[°g®¬N\ðN0 ∀λ ∈ K ï F (λx , ..., λx ) = λ F (x , ..., x ) >o2=Nu KyQzVÇ:zÒyQyQzÒ z z9± | q | y m_h y q |9~ Ðz z± | q | y m_h y q Æ Dà ∈ K̄[X , ..., X ] ïagvK®¨0®¿¨[®î0®¿®´>öª0 ®g NÓ |9~ Ðz z9± | q | y m_h y q4k |9~ o | h}YzGm pm¡lnmrk y m £ p | X |§G:®¨0®¿¨[® g (x , ..., x ) = G(1, x , ..., x )aÌa ©ªÅg¯®N©D¿ª³¯ï9°0Hô °g®gä:®¨0®¿¨[® g ∈ K̄[x , ..., x ] °g´¼°g® °7ï4 Ðz z± | q | y m_h y qü &§GK®¨0®¿¨[® , ..., G(X , ..., X ) = X g ¹ z}Ym ±fD¦± 8D f (x, y) ∈ K[x, y] ¬ F (X, Y, Z) &î0®¿®´>ª0ª¨ûH©ª¨V«]:¹o ´g0®9¨Ïg¯® V©ªgg¯®D¬N ©ª³¨ X (K̄) ¯ ©ª¨Ï:ª0®¿YÏg¯°g©ªV0g¼g¯®H¬> ©ª³¨°gV©ªggVQ HìÒÅ Z (K̄) >o2=Nu K yQzVÇ:zÒyfÐ7z D F gÚK®¨0®¿¨[®î0®¿®´>öª0 ®°g9´¼°g®\°7 °aÚggN³¯® ù Æ Ï Æ © cªV ©ªg X (K̄) ~ y q&±ri&pmrk\¨ (a, b, c) = ... = (a, b, c) = (0, 0, 0) ¹º³¼S°g§0g¨[©ª¨[« 0®°gªKª0°0°gª¯ªg¯ ¯ªN³¼³¯&°g (a : b : c) ïP¬N ðN0 ï i = 1, ..., d ï ³¼¿YÏg¨[öª& gK®¨0®¿¨[®î0®¿®´>öª0 ®g ²d³ & wP=yQzVÇ:zÒy]z D f (x, y) = y −x −x © ®¿®aªYªNòñòª¿g[®Y Üf N¨>îQ®¿®´>§Q§¨û¿® ïf®Ïg³¯ª0ª¿® F (X, Y, Z) = Y Z − X − X Z fÖMY©ªg X (K̄) ³¨[§Q¦°g®cggN³¯®¨g´fô f V¯ Dï (0 : 0 : 1) ¬Úª7gg³¯®ª¨f0g¨³¯® (0 : 1 : 0) XF (K) := {(a0 : ... : an ) ∈ Pn (K) | F (a0 , ..., an ) = 0} F. ∗. 0. 0. 0. 1. n. 0. n. n. 0. 0. d. n. d 0. X1 X0. 1. n. 1. n. n. Xn X0. F. f. F. ∂F ∂X1. ∂F ∂Xd. ∂F ∂Xi. 2. 2. 3. 3. 2. 2. F.
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