Principios de aplicación de BN y dinámicas topológicas en la teoría de Ramsey

Texto completo

(1)Principios de aplicación de βN y dinámicas topológicas en la teoría de Ramsey por. Daniel Alberto Donado Rincón. Una tesis presentada al departamento de Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Matemático. Director: Stefano Ferri. Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Enero, 2008.

(2) Índice general 1. Ultraltros y la compacticación de Stone-ech de un espacio discreto 4 1.1.. Ultraltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2.. La construcción de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.3.. Límites mediante ultraltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. βD. 2. Álgebra de (βN, +). 19. 2.1.. Semigrupos topológicos por derecha compactos:. 2.2.. βN. 2.3.. Teorema de van der Waerden. en la Teoría de Ramsey. 4. (βN, +) .. . . . . .. 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3. Dinámicas Topológicas. 34. 3.1.. Sistemas Dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.2.. Dinámicas Topológicas en la teoría de Ramsey . . . . . . . . . . .. 38. 3.3.. Densidad y conexión con la Teoría Ergódica. 41. Bibliografía. . . . . . . . . . . . .. 48.

(3) 0.0. 1. Introducción. Los teoremas clásicos de la Teoría de Ramsey son conocidos por la elegancia y simplicidad de sus enunciados, ya que son armaciones claras fáciles de comprender y en cierta forma intuitivas. Pero por otro lado sus pruebas no son tan fáciles. Las pruebas originales de los teoremas que presentaremos son puramente combinatóricas y su complejidad es considerable. Sin embargo, desde mediados del siglo pasado se han desarrollado una serie de resultados fuertes en otras teorías cuya aproximación es más topológica, que proporcionan nuevas pruebas de éstos teoremas. Encontramos algunos de éstos resultados mediante la aplicación de la estructura algebraica de la compacticación de Stone-ech de los naturales. βN,. vista como semigrupo topológico a partir de la extensión de la operación. usual de la suma en los naturales al conjunto de ultraltros de. βN. N.. A partir de. planteamos una relación con las dinámicas topológicas, con la cual el prin-. cipal objetivo que buscamos es analizar las iteraciones de una transformación contínua en un espacio de Hausdor compacto y ver su comportamiento en el límite del número de iteraciones, con la denición de p-límite basada en los ultraltros mencionados anteriormente. La relación entre las dinámicas topológicas y la compacticación es en ambos sentidos y nos proporciona las herramientas para presentar las pruebas de los teoremas de la Teoría de Ramsey. Por un lado algunos conceptos propios de las dinámicas topológicas como el de conjunto sindético, son fundamentales para las pruebas usando ultraltros; mientras que la existencia de idempotentes e ideales minimales en. βN. da importantes resultados. de recurrencia en las transformaciones de los sistemas que nos van a conducir a pruebas de los mismos resultados. El objetivo de éste trabajo es establecer esa relación claramente y reejarla en la construcción de pruebas alternativas de los principales resultados mencionados. Los primeros resultados de la Teoría de Ramsey se pueden clasicar supercialmente por su tipo de enunciado en tres clases que representaremos con tres teoremas fundamentales. Las diferencias se explican por sí solas en sus enunciados:. Teorema de van der Waerden..

(4) 0.0. 2. Este teorema arma que si el conjunto de los naturales es particionado en nitas clases o nitamente coloreado en el lenguaje de la combinatoria, entonces una de las clases contiene progresiones aritméticas de longitud arbitraria. Éste teorema tal vez es el más representativo de los inicios de la Teoria de Ramsey y fue probado originalmente por van der Waerden en 1927. En realidad éste teorema llevó a el teorema prototipo de esta clase que es el teorema de Ramsey y que es por el cual ésta teoría lleva su nombre. (ver[6]). Teorema de Sumas Finitas. Éste fuerte teorema se debe a N. Hindman quien propuso su prueba en 1974. El teorema arma que para cualquier partición del conjunto de los naturales, existen sucesiones innitas de naturales tales que el conjunto de las sumas nitas de elementos de esas sucesiones está contenido en una de las clases. Éste resultado además de dar una propiedad algebráica muy importante y más fuerte que el anterior, es un ejemplo de resultados en la Teoría de Ramsey innita e implica otros resultados más primitivos como los de Schur y Hilbert, los cuales fueron hallados en 1916 y 1862 respectivamente. Siendo una generalización de ésos resultados, llama la atención que la prueba del teorema de sumas nitas fuese hallada más de 50 años después.. Teorema de Szemerédi. A primera vista el teorema de Szemerédi se ve como una modicación del teorema de van der Waerden, pero en términos de la complejidad en su prueba sí es muy diferente. Fue probado en 1975, e incluye una denición diferente a las de los casos anteriores que es la de densidad de un subconjunto de los naturales. Este concepto trata de referirse a la noción de esparcimiento del conjunto con respecto a. N.. Entre más distantes sean los puntos del subconjunto,. su densidad es menor. El teorema arma que si un conjunto tiene densidad positiva, entonces contiene progresiones aritméticas de longitud arbitraria. En 1977 Furstenberg desarrolló el principio de correspondencia que traslada éste problema al ámbito de la Teoría Ergódica, en la cual un resultado acerca de recurrencia sobre sistemas que preservan medida, conduce a ver el teorema de Szemerédi como un corolario. En el primer capítulo y parte del segundo desarrollaremos los preliminares para la construcción del semigrupo topológico. βN,. donde resaltamos el hecho que ésta. construcción vale para cualquier semigrupo discreto. Observamos en el capítulo y en general en el trabajo el uso constante de conocimientos adquiridos principalmente en el área de Topología. Como respaldo a varios resultados usados en las pruebas de éstos capítulos adjuntamos en la bibliografía [2] y [5]. Al nalizar el segundo capítulo formalizamos algunas propiedades algebraicas fundamentales de éste semigrupo y las aplicamos para obtener pruebas para los teoremas de van der Waerden y Hindman desde la aplicación de los ultraltros de capítulo introducimos las dinámicas topológicas y su relación. N. En el tercer con βN. Mediante. la construcción de un sistema dinámico particular conformado por el conjunto de Cantor y una transformación que deniremos como shift, planteamos pruebas y enunciados equivalentes a los teoremas desarrollados en el capítulo anterior..

(5) 0.0. 3. Luego introducimos los sistemas que preservan medida como objeto de estudio de la Teoría Ergódica. De nuevo aclaramos que los conceptos del curso de medida que utilizamos implícitamente se respaldan en la bilbiografía con [11]. Finalmente presentamos el principio de correspondencia de Furstenberg y su aplicación en la prueba del teorema de Szemerédi. El trabajo recopila los teoremas que marcan el camino a las construcciones y los teoremas deseados, por lo que no se cubre la totalidad de aplicaciones que tienen las dos herramientas que presentamos (que en realidad son muchas), pero sí se exponen claramente los detalles de cómo se llega a cada resultado. La única excepción es el teorema de la Teoría ergódica que es la base para la prueba del teorema de Szemerédi, donde no exhibimos la prueba por su complejidad y desarrollo que no está propiamente en el objetivo del trabajo, pero que si me deja motivación por saldar esta deuda e incursionar en el tema ergódico.. Daniel Donado..

(6) Capítulo 1 Ultraltros y la compacticación de Stone-ech de un espacio discreto Existen construcciones diferentes para la compacticación de Stone-ech de un espacio topológico, dado que ésta es la compacticación maximal de un espacio. X. en el sentido que siempre existe una aplicación continua sobreyectiva y cerrada. sobre cualquier otra compacticación de. X,. y por lo tanto cualquier compacti-. cación es equivalente a un espacio cociente de la compacticación de Stone-ech. Fue originalmente desarrollada en 1937 por M. Stone y E. ech de forma independiente, y se caracteriza por ser la compacticación con la propiedad de que cada función continua de. X. en un espacio de Hausdor compacto se puede extender de. manera única a la compacticación que se denota. βX . En el caso en que el espacio. es discreto, la compacticación de Stone-ech se puede ver como el conjunto de ultraltros en el espacio, siguiendo la construcción dada por H. Wallman que es la que nos va a ser útil en el trabajo y por tanto se muestra a continuación.. 1.1. Ultraltros Introducimos las siguientes deniciones.. Denición 1.1.1. conjuntos de en. D. (1). D. Sea. D. un conjunto. Denimos el conjunto de todos los sub-. como el conjunto. es una colección no vacía. Partes de D y lo denotamos por ℘(D). Un ltro. U ⊆ ℘(D). ∅∈ / U.. (2) Si. A, B ∈ U. entonces. A∩B ∈U. de subconjuntos de. D. que cumple:.

(7) 1.1. 5. (3) Si. A∈U. Observe que. y. A ⊆ B ⊆ D,. D∈U. Ejemplo 1.1.2.. entonces. B ∈ U.. para cualquier ltro. U. sobre. D.. A ⊂ X . Entonces la colección {F ⊂ X : A ⊂ F } es un ltro en X . En particular, si X es un espacio topológico, el conjunto de todas las vecindades de un punto x ∈ X es un ltro en X llamado el ltro de vecindades Ux y guarda estrecha relación con las bases locales. Si. X. Sea. X. un conjunto no vacío y. es innito, la colección de los subconjuntos de. es un ltro en. X.. X. cuyo complemento es nito. Éste ltro es llamado el ltro de Fréchet y tiene la propiedad. de que la intersección de todos sus miembros es vacía. Además es el mínimo ltro en. X. (bajo contenencia) con ésta propiedad.. Denición 1.1.3.. Una colección. A. de conjuntos tiene la propiedad de intersec-. ciones nitas (PIF) si y sólo si para toda subcolección nita. A,. se tiene que la intersección de todos los elementos de. F. F. de elementos de. es no vacía.. A de subconjuntos de D con la PIF, considere la colección U de todos los A ⊆ D tales que existe un conjunto nito {B1 , B2 , . . . , Bn } ⊆ A tal que B1 ∩B2 ∩. . .∩Bn ⊆ A. Armamos que U es un ltro, ya que si B1 ∩. . .∩Bn ⊆ A 0 0 y C1 ∩ . . . ∩ Cm ⊆ A , entonces B1 ∩ . . . ∩ Bn ∩ C1 ∩ . . . ∩ Cm ⊆ A ∩ A . Las otras dos condiciones son triviales debido a la PIF de A. De la denición vemos que A ⊆ U y como cualquier ltro que extiende a A debe contener a todas las intersecciones nitas de elementos de A, se sigue que el ltro construido es el mínimo ltro en D que extiende A y se le denomina el ltro generado por A. Si tenemos una familia. Denición 1.1.4.. Un. ultraltro. en. propiamente en ningún otro ltro en Si. a ∈ D,. D es D.. es fácil ver que el conjunto. un ltro en. D. que no está contenido. e(a) = {A ∈ ℘(D) : a ∈ A}. ultraltro en D. Este ultraltro se denomina el. ultraltro principal. es un. denido por. a.. Los ultraltros principales son muy útiles ya que podemos identicar plenamente sus elementos, pero no todos los ultraltros son de ésta forma. En ZFC, el Lema de Zorn nos arma la existencia de un ultraltro dado un ltro, utilizando el siguiente teorema.. Teorema 1.1.5. Todo ltro U en un conjunto D está contenido en un ultraltro en D..

(8) 1.1. 6. Demostración.. Γ la colección de todos los ltros en D que contienen a U , parcialmente ordenados por inclusión. Claramente si Γ = ∅ entonces U es ultraltro. S Sea C una cadena ascendente en este orden. Veamos que V∈C V es un ltro que contiene a U . S (1) Como ∅ no pertenece a ningun elemento de C , ∅ ∈ / V∈C V . Sea. (2) Si dos subconjuntos de. D. están en. S. V∈C. V. entonces como la cadena de. contenencia es ascendente, estos subconjuntos deben estar en algún ltro que es elemento de tanto en (3) Si. S. V∈C. A ⊆ D. C,. luego su intersección también está en el ltro y por. V. está en. S. V∈C. V. y. A ⊆ B ⊆ D,. pertenecen a algún ltro que es elemento de a. S. V∈C. Entonces. S. entonces. C,. luego. A y por lo tanto B B también pertenece. V. V∈C. V. es cota superior de. de la colección. Como. C. C. ya que contiene a todos los elementos. es arbitraria, por el Lema de Zorn,. (ltro) maximal que es por denición, un ultraltro en Tenemos entonces que cualquier familia. D. Γ. tiene un elemento. que contiene a. A de subconjuntos de D. U.. con la PIF está. contenida en su ltro generado y por lo tanto, está contenida en un ultraltro de. D.. Veamos algunas propiedades importantes de los ultraltros.. Lema 1.1.6. Sea U un ltro en un conjunto D y sea A ∈ D. Entonces se tiene alguna de las siguientes: Existe algún B ∈ U tal que A ∩ B = ∅ ó El conjunto V ={C ⊆ D : ∃ B ∈ U (A ∩ B ⊆ C )} es un ltro en D Demostración.. B ∈ U , A ∩ B 6= ∅. Considere el conjunto V ={C ⊆ D : ∃ B ∈ U (A ∩ B ⊆ C )}. V es no vacío que para todo B se tiene A ∩ B ⊆ A, entonces A ∈ V . A ver que V es un ltro D. Suponga que para todo. (1) Claramente. ∅∈ /V. ya en. por hipótesis.. C, C 0 ∈ V entonces existen B, B 0 ∈ U tales que A ∩ B ⊆ C y A ∩ B 0 ⊆ C 0 . 0 0 0 0 Luego A ∩ (B ∩ B ) ⊆ C ∩ C y entonces C ∩ C ∈ V ya que B ∩ B ∈ U .. (2) Si. C ∈V yC ⊆H ⊆D Luego H ∈ V .. (3) Si. entonces existe. B ∈U. tal que. A ∩ B ⊆ C ⊆ H..

(9) 1.1. 7. Tenemos entonces que. V. es ltro en. D. De lo contrario tenemos la primera condi-. ción.. Teorema 1.1.7. Sea D un conjunto no vacío y U ⊆ ℘(D). Las siguientes son equivalentes. 1. U es un ultraltro en D. 2. U tiene la PIF y para todo A ∈ ℘(D) tal que A ∈/ U , existe un B ∈ U tal que A ∩ B = ∅. 3. U es maximal con respecto a la propiedad de intersecciones nitas (PIF). 4. U es un ltro en D y para todo E ⊂ D, se cumple E ∈ U ó D \ E ∈ U . 5. U es un ltro en D y para cada par de subconjuntos X, Y de D se cumple que X ∪ Y ∈ U ⇔ X ∈ U ó Y ∈ U . Demostración. (1 ⇒ 2). D. Por denición de ltro se tiene que cualquier intersección nita de elementos de U está en U , y como ∅ ∈ / U , entonces el ultraltro tiene la PIF. Sea A ∈ ℘(D) \ U y suponga que V ={C ⊆ D : ∃ B ∈ U (A ∩ B ⊆ C )} es un ltro. Claramente U ⊆ V y además tenemos que A ∈ V . Entonces U ⊂ V contradiciendo que U es ultraltro. Por el lema anterior tenemos entonces que existe algún B tal que A ∩ B = ∅.. (2 ⇒ 3). Sea. (3 ⇒ 4). Por la PIF, claramente. Sea. U. ultraltro en. V ⊆ ℘(D) con la PIF tal que U ⊂ V . Tome A ∈ V \ U (A 6= ∅). Entonces existe B ∈ U tal que A ∩ B = ∅. Pero B ∈ V lo cual contradice la PIF de V . Entonces U es maximal. ∅∈ / U . Dados A, B ∈ U , la colección U ∪ {A ∩ B} tiene la PIF, luego A ∩ B ∈ U por la maximalidad. Igualmente si a ∈ U y A ⊆ B ⊆ D , como U ∪ {B} tiene la PIF, entonces B ∈ U . Entonces U es ltro en D . Es claro que no puede ocurrir que E y D \ E pertenezcan a U . Suponga que no se cumple ninguna de las dos. Si E ∈ / U entonces U ∪ {E} no tiene la PIF, luego existe una subcolección nita G de U tal T que E ∩ ( G∈G G) = ∅. De igual forma puedo encontrar una subcolección T nita H de U tal que D \ E ∩ ( H∈H H) = ∅. Tomando la unión sobre T T las intersecciones tenemos (E ∪ (D \ E)) ∩ (( G∈G G) ∪ ( H∈H H)) = ∅ contradiciendo que U es un ltro ya que ambos términos de la intersección pertenecen a U ..

(10) 1.1. 8. (4 ⇒ 5). X ∪ Y ∈ U y que ni X ni Y pertenecen a U . Entonces tenemos que D \ X y D \ Y pertenecen al ltro y por lo tanto (D \ X) ∩ (D \ Y ) ∈ U . Pero (D \X)∩(D \Y ) = D \(X ∪Y ) contradiciendo que X ∪Y ∈ U . La otra implicación sigue de la denición de ltro ya que X ó Y están contenidos en X ∪ Y .. (5 ⇒ 1). Sea. Suponga que. V. un ltro en. D. tal que. U ⊂ V.. Sea. A ∈ V \ U.. Como. A∈ /U. y. A∪(D\A) = D ∈ U entonces D\A ∈ U ; pero entonces A y D\A pertenecen a V contradiciendo que V es ltro por su intersección vacía.. Vale la pena resaltar la correspondencia uno a uno que hay entre los ultraltros. D y las medidas nitamente aditivas denidas en {0, 1} pero no son idénticamente cero.. en un conjunto toman valores. en. (D, ℘(D)). U en D denimos una medida µ en (D, ℘(D))  1 si A contiene un elemento de U µ(A) = 0 si A no contiene ningún elemento de U. Dado un ultraltro. Como. ∅∈ /U. entonces. que. tal que. µ(∅) = 0.. U1 · · · Un ∈ ℘(D) disyuntos. Si para todo Ui , µ(Ui ) = 0 entonces i=1 µ(Ui ) = 0. Si para algún i, Ui contiene algún B ∈ U entonces µ(Ui ) = 1. 0 Luego para todo j 6= i, Uj no puede contener ningún B ∈ U , ya que necesaria0 mente B ∩ B = ∅ y U es ltro. Entonces para todo j 6= i se tiene µ(Uj ) = 0 lo Pn cual implica que i=1 µ(Ui ) = 1 y la medida es nitamente aditiva. Sean. Pn. µ en (D, ℘(D)) que toma valores en {0, 1} pero no es idénticamente cero, denimos V = {B ∈ D : µ(B) = 1}. Veamos que V es un ltro. Ahora, dada una medida nitamente aditiva. 1.. Claramente. 2.. Si. B, B 0 ∈ V. ∅∈ /V. ya que. µ(∅) = 0. por denición de medida.. B ∩ B 0 6= ∅ ya que de lo contrario µ(B ∪ B 0 ) = 2. Por 0 0 0 el mismo argumento, como µ((B \ (B ∩ B )) ∪ B ) = µ(B ∪ B ) = 1 por la 0 monotonicidad y el rango de la medida. Ahora, µ(B ) = 1 y entonces como 0 0 0 son disyuntos, µ(B \ (B ∩ B )) = 0. Igualmente µ(B \ (B ∩ B )) = 0 y por 0 0 lo tanto µ(B ∩ B ) = 1 luego B ∩ B ∈ V . entonces.

(11) 1.2. 9. B ∈ V y B ⊆ C ⊆ D entonces µ(C) = 1 por monotonicidad de la medida ya que µ(B) = 1. Luego C ∈ V .. 3.. Si. Entonces. V. es ltro en. D.. A ⊆ D arbitrario. Como 1 = µ(D) = µ(A ∪ D \ A) entonces siempre se tiene que µ(A) = 1 ó µ(A) = 0 y por lo tanto µ(D \ A) = 1. Luego A ∈ V ó D \ A ∈ V . Entonces por el teorema 1.1.7. tenemos que V es ultraltro en D . Por el mismo teorema, la forma de identicar una medida con un ultraltro en D muestra que Sea. a cada medida se le asigna un único ultraltro y la asignación es uno a uno.. 1.2. La construcción de βD En ésta sección vamos a construir la compacticación de Stone-ech de un espacio. D. Recordemos que un embebimiento de un espacio topológico X en otro espacio topológico Z es una función f : X → Z continua inyectiva que dene un homeomorsmo de X sobre f (X). El estudio de las propiedades de los espacios discreto. que se pueden sumergir mediante un embebimiento en un espacio de Hausdor compacto se limita a los espacios caracterizados por la siguiente denición. (ver [1] pág 4).. Denición 1.2.1.. Un espacio topológico. juntos unipuntuales son cerrados en. x ∈ X \ A, f (A) = {0}.. y cualquier punto. f (x) = 1. y. X. X. es. completamente regular. si los con-. A en X f : X → [0, 1] tal que. y si para todo conjunto cerrado. existe una función continua. Por el lema de Urysohn ([5] sección 33) es fácil ver que un espacio de Hausdorf compacto (y por tanto normal) es completamente regular. La restricción de las funciones de la denición anterior hacen que un subespacio de un espacio completamente regular también lo sea, luego para ver un espacio sumergido en un espacio de Hausdorf compacto, éste espacio debe ser completamente regular.. Recíprocamente, si tenemos un espacio completamente regular. X,. las funciones. X en el intervalo [0, 1] denen un embebimiento ϕ de X en el cubo [0, 1] donde J es un conjunto que indexa el conjunto de ésas funciones (ver [5] Teorema 34.3). Luego podemos tomar la clausura en el cubo de ϕ(X) y tenemos una compacticación de X según la siguiente denición. continuas de. J.

(12) 1.2. 10. Denición 1.2.2. Sea X un espacio topológico. Una compacticación de X es un (f, Z) tal que Z es un espacio de X en Z , y f (X) es denso en Z .. par de. Hausdor compacto,. Cualquier espacio completamente regular. X. f. es un embebimiento. tiene una compacticación que co-. rresponde a la construida en el párrafo anterior. Ésta compacticación es maximal en el orden parcial sobre el conjunto de las compacticaciones dado por la relación. (f, Y ) (g, Z) si y sólo si existe una función h : Z → Y continua y sobre tal que h ◦ g = f . Se denomina la compacticación de Stone-ech de X y su maximalidad se garantiza en el siguiente teorema cuya prueba puede encontrarse en [2] (Teorema 19.5).. Teorema 1.2.3. Sea X un espacio topológico completamente regular. Existe una compacticación (ϕ, Z)de X única salvo isomorsmo, tal que dado cualquier espacio de Hausdor compacto Y y cualquier función continua f : X → Y , existe una función continua g : Z → Y tal que g ◦ ϕ = f en X . Es decir, que el siguiente diagrama conmuta.. Por la unicidad salvo isomorsmo de la compacticación, llamamos a ésta la compacticación de Stone-ech de denota por. X. y el conjunto. Z. de ésta compacticación se. βX .. Si tenemos un espacio. D. con la topología discreta, ya tenemos que los conjuntos. unipuntuales son abiertos y cerrados. Con la topología discreta, cualquier función. D es continua, entonces si tenemos un punto x ∈ D y un cerrado A ⊆ D \ {x}, la función f : D → [0, 1] tal que f (x) = 1 y f (y) = 0 para todo y ∈ A es continua, por lo cual el espacio discreto D es completamente regular. denida en. Ahora analicemos la convergencia de los ultraltros en verge a. x. D.. Un ltro. si y sólo si el ltro de vecindades está contenido en. U.. U. en. D. con-. Entonces los.

(13) 1.2. 11. ultraltros principales en el espacio discreto. D. claramente son el ltro de vecin-. dades de ése punto y por lo tanto convergen al punto que los genera. De ésta forma podemos identicar cada punto con su ultraltro principal que converge a él. Sin embargo no todos los ultraltros convergen a un punto en. D. (por ejemplo. considere el ultraltro que extiende al ltro de Fréchet). Ésto sugiere ver el conjunto de los ultraltros en. D. como una extensión de. D. donde los ultraltros no. principales clausuran el espacio. Efectivamente, mostraremos que el espacio de los ultraltros en. D. es la compacticación de Stone-ech de. D.. Para ésto procederemos a denir una topología en el conjunto de todos los ultraltros en un espacio topológico discreto. D. y estableceremos algunas propiedades. del espacio topológico resultante. Pasamos a usar minúsculas para denotar ultraltros en. D. ya que ahora queremos verlos como puntos en un espacio topológico.. Denición 1.2.4. 1.. βD = {p : p. 2.. Dado. D. un espacio topológico discreto. Denimos:. es un ultraltro en. A ⊆ D,. Es fácil ver que. Sea. denimos. b=∅ A. D}.. b = {p ∈ βD : A ∈ p}. A. si y sólo si. A = ∅.. Mostremos otras propiedades de los. b A. en el siguiente lema.. Lema 1.2.5. Sea D un conjunto y A, B ⊆ D b∩B b 1. (A\ ∩ B) = A b∪B b 2. (A\ ∪ B) = A \ b 3. (D \ A) = βD \ A. Demostración.. \ p ∈ (A ∩ B). A ∩ B ∈ p,. A y B pertenecen b∩B b . Ahora, si a p porque contienen a su intersección y entonces p ∈ A b∩ B b entonces A y B pertenecen a p, luego A ∩ B ∈ p y se tiene la otra p∈A 1.. Si. entonces. luego. inclusión. 2.. \ p ∈ (A ∪ B) entonces A∪B ∈ p y luego A (ó B ) pertenece a p por la parte b∪B b . La otra inclusión es trivial teniendo 5 del teorema 1.1.7. Luego p ∈ A b∪B b entonces A ∈ p ó B ∈ p. en cuenta que si p ∈ A. Si.

(14) 1.2. 3.. 12. b, D \ A ∈ p siempre que A ∈ / p, lo cual por denición ocurre si y sólo si p ∈ /A b. que es lo mismo que p ∈ βD \ A. Denición 1.2.6.. a ∈ D. Denimos la función e : D → βD por : a ∈ A}. Esta función manda a un elemento. Sea. e(a) = {A ⊆ D. de. ultraltro principal correspondiente. Del mismo modo, tenemos que si. D a su A ⊆ D,. e(A) = {e(a) : a ∈ A}. Con esta denición vemos que que contenga a. {a}, p. d e(a) = {a}. ya que si hay otro ultraltro. no puede estar contenido propiamente en. e(a). sería ltro maximal, y tampoco puede contener otro subconjunto de pertenezca a. e(a). ya que éste sería el complemento en. Probamos que los conjuntos. b A. A ⊆ D}.. βD. topológicas básicas. D. porque no. D. que no. de un elemento de. e(a).. tomando como base la colección. Por el lema 1.2.5 los complementos de los conjuntos de la. base son también elementos de ésta, entonces los para los cerrados en. en. son cerrados bajo intersecciones nitas, por lo. cual podemos denir una topología en. b : {A. D. p. b A. también forman una base. βD. El siguiente teorema describe algunas de las propiedades de βD con la topología dada.. Teorema 1.2.7. Sea D un conjunto discreto. 1. βD es un espacio de Hausdor compacto. 2. Para todo A ⊆ D, Ab es la clausura de e(A) en βD. 3. La función e es inyectiva y e(D) es un subconjunto denso de βD que contiene precisamente a los puntos aislados de βD Demostración. 1.. \ byD D \ A ∈ q . Luego A \A son conjuntos disyuntos que separan a p y q en βD y entonces βD es de Hausdor. Para mostrar la compacidad, consideremos una colección A de b que satisfacen la PIF. Sea B = {A ⊆ D : A b ∈ A}. Si conjuntos de la forma A T b = T\A F es una subcolección nita de B entonces existe un p ∈ A∈F A A∈F por la PIF de A y por lo tanto la intersección de los elementos de F pertenece T a p, luego F ∈F F 6= ∅ así que B también tiene la PIF. Ahora, de manera. Sean. p, q ∈ βD. diferentes. Si. A ∈ p\q. entonces. similar a la demostración del teorema 1.1.5, ordenamos parcialmente las.

(15) 1.2. 13. colecciones que contienen a. B y que cumplen la PIF, mediante la contenencia.. Luego si tomamos una cadena en este orden, es fácil ver que ésta es acotada por la unión de las colecciones de la cadena y aplicando lema de Zorn tenemos. U ∈ ℘(D) que es maximal respecto a todas las colecciones que contienen a B y que cumplen la PIF. Por el teorema 1.1.7, b ∈ A, U ∈ A b. Entonces T b A b 6= ∅ U es un ultraltro en D y para todo A A∈A y βD es compacto. que existe una colección. b y como A b es cerrado, entonces la a ∈ A, e(a) ∈ A b. Para ver la otra inclusión, sea p ∈ A b. clausura de e(A) está contenida en A b una vecindad básica de p. Entonces A y B pertenecen a p luego Sea B b entonces A ∩ B 6= ∅. Escogemos un a ∈ A ∩ B . Como e(a) ∈ e(A) ∩ B b 6= ∅ y p pertenece a la clausura de e(A). e(A) ∩ B. 2.. Claramente, para todo. 3.. Si. a, b ∈ D son diferentes, (D \ {a}) ∈ e(b) \ e(a) y entonces e(a) 6= e(b). b es una vecindad básica de Entonces e es inyectiva. Ahora, si p ∈ βD y A b. Entonces p en βD, para cualquier a ∈ A se tiene que e(a) ∈ e(D) ∩ A d es un abierto que sólo contiene a b = βD. Para todo a ∈ D, {a} e(D) = D e(a), luego e(a) es un punto aislado de βD. En el otro sentido, si p es un punto aislado de βD , entonces el abierto {p} tiene intersección no vacía con e(D) asi que p ∈ e(D).. e es inyectiva y continua. Además por la deniS d ción de los abiertos en βD , e(A) = a∈A {a} y la función es abierta. Luego la función e es un embebimiento de D en βD y tenemos entonces que (e, βD) es una compacticación de D , donde podemos identicar a D como un subconjunto de βD vía los ultraltros principales. Volviendo al tema de la convergencia, tenemos ultraltros de D que no convergen en D , pero como lo muestra el siguiente lema, en βD sí garantizamos que todos los ultraltros de D convergen. Como. D. es discreto, la función. Lema 1.2.8. Sea D un espacio discreto. Todo ultraltro de D converge en βD. Demostración.. Luego para todo. D que no converge en βD. cq de q (en βD) tal que básica A. Aq ∈ /. todo. como. p. βD. subcolección. q ∈ βD existe una vecindad cq = βD \ A cq . Entonces para B. p. de. q ∈ βD, Bq ∈ p. Ahora, cq }q∈βD de βD contiene una compacto, el recubrimiento abierto {A S n c1 , . . . , A cn } tal que c nita {A i=1 An = βD . Tomando complementos. Sea es. Suponga que existe un ultraltro.

(16) 1.2. 14. tenemos que que. p. Tn. i=1. cn = ∅, B. y entonces. Tn. i=1. Bn = ∅,. luego. ∅∈p. contradiciendo. es ltro.. De éste modo vemos que por la denición de las vecindades básicas, el espacio. βD. se puede ver como el conjunto de los límites de todos los ultraltros del espacio discreto. D. donde además cada ultraltro de. D. converge a un punto distinto en la. compacticación. Ésta propiedad es característica de la compacticación de Stoneech. Antes de introducir el teorema mas importante de esta sección, probaremos un lema necesario.. Lema 1.2.9. Sea D un espacio discreto, Y un espacio de Hausdor compacto y sea f : D → Y una función continua. Para cada p ∈ βD sea Ap = {f (A) : A ∈ p}. Entonces, para cada p ∈ βD, Ap tiene la PIF. Demostración.. A, B ∈ p, f (A) ∩ f (B) = ∅. Entonces como Y es normal, existen U y V abiertos de Y tales que f (A) ⊂ U , f (B) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Entonces tenemos que en D, A ⊂ f −1 (U ), B ⊂ f −1 (V ) y además f −1 (U ) ∩ f −1 (V ) = ∅, por lo que entonces tendríamos que A ∩ B = ∅ contradiciendo que p es ultraltro. Podemos repetir este argumento Tn Tn inductivamente teniendo en cuenta que i=1 f (Ai ) ⊆ i=1 f (Ai ) para concluir que Ap = {f (A) : A ∈ p} tiene la PIF. Sea. p ∈ βD. y suponga que para. Teorema 1.2.10. Sea D un espacio discreto. Entonces (e, βD) es una compacticación de Stone-ech de D. Demostración.. Ya vimos que. (e, βD) es una compacticación de D. Ahora probe-. mos que se cumple la propiedad que caracteriza a la compacticación de Stone-. Ap tiene la PIF y sus elementos son subconjuntos cerrados de Y , tenemos que A∈Ap A 6= ∅ T y denimos para todo p ∈ βD la función g : βD → Y tal que g(p) ∈ A∈Ap A. Veamos primero que el diagrama conmuta. Sea x ∈ D . Luego {x} ∈ e(x), y entonces g(e(x)) ∈ f ({x}) por la denición de la función g . Pero f ({x}) = {f (x)} = {f (x)} ya que los singleton son cerrados. Luego para todo x ∈ D, g ◦ e(x) = f (x) como se quería. Para ver que g es continua, sean p ∈ βD y U una vecindad abierta de g(p) en Y . Como Y es normal y por tanto regular, podemos encontrar −1 otra vecindad V de g(p) tal que V ⊆ U y tomamos A = f (V ). Suponga que D \ A ∈ p. Entonces g(p) ∈ f (D \ A) y entonces como V es vecindad de g(p), ech. Sea. Y. un espacio de Hausdor compacto y sea. f :D →Y.. Como. T.

(17) 1.3. 15. V ∩ f (D \ A) 6= ∅, b es una emos que A. A ∈ p, y tenb vecindad de p en βD . Vamos a ver que g(A) ⊆ U , así que b tal que procedemos por contradicción suponiendo que existe un ultraltro q ∈ A g(q) ∈ / U . Entonces Y \ V es una vecindad abierta de g(q), y como g(q) ∈ f (A) por la denición de g , tenemos que (Y \V )∩f (A) 6= ∅, lo cual de nuevo contradice b es una vecindad de g(p) que está contenida en U y que V = f (A). Luego g(A) entonces la función g es continua. lo cual contradice que. Finalmente hemos probado que. Entonces. es la compacticación de Stone-ech de. D.. D con los ultraltros b=A generados por esos puntos en βD podemos ver que D ⊆ βD y además que A en βD para todo A subconjunto de D (teorema 1.2.7). Como. e. βD. V = f (A).. es un embebimiento, identicando los puntos de. 1.3. Límites mediante ultraltros En un espacio topológico de Hausdor compacto de puntos. hxs is∈D. indexada con elementos de. D.. X. podemos denir una familia. Podemos analizar un tipo de. convergencia de esta familia desde los subíndices, relacionado con la convergencia de redes que veremos rápidamente a continuación. (para ver más sobre redes, ver [2] secciónes 11 y 12). Denición 1.3.1. relación. . en. λ λ,. Λ. Un conjunto. Λ. es un. conjunto dirigido. si y sólo si existe una. que satisface:. para cada. Si. λ1 λ2. Si. λ1 , λ2 ∈ Λ. y. λ ∈ Λ.. λ2 λ3 ,. entonces. λ 1 λ3 .. entonces existe un. λ3 ∈ Λ. tal que. λ1 λ3. y. λ2 λ3 .. El concepto de red puede ser introducido usando un conjunto dirigido arbitrario, lo que generaliza el concepto de sucesión donde el conjunto dirigido es. N.. En. este sentido, una red converge en el mismo modo que una sucesión si para toda vecindad del punto de convergencia, existe un. λ0. tal que para todo. λ λ0 , x λ. está en la vecindad.. Denición 1.3.2.. Una. red. en un conjunto. X. es una función. P :Λ→X. donde. Λ es un conjunto dirigido. El punto P (λ) se denota por xλ , y la red se denota por hxλ iλ∈Λ ..

(18) 1.3. 16. La siguiente denición nos da una correspondencia que a cada ltro le asigna una red en un espacio, y el siguiente teorema nos indica la idea detrás del tipo de convergencia que vamos a usar.. Denición 1.3.3.. ΛU = {(x, B) : x ∈ B ∈ U}. Entonces ΛU se puede dirigir por la relación (x1 , B1 ) (x2 , B2 ) si y sólo si B2 ⊂ B1 , luego la función P denida por P (x, B) = x es una red en X . Se denomina la red basada en U . Si. U. es un ltro en. X,. sea. Teorema 1.3.4. Un ltro U converge a x en X si y sólo si la red basada en U converge a x. Ahora introducimos la denición de p-límite en un espacio topológico atribuye a Z. Frolík. Sea. hxs is∈D. X. que se. una familia de puntos de un espacio topológico. de Hausdor compacto, indexada por los elementos de un espacio discreto Si tomamos un ultraltro. p. en. D. queremos analizar la convergencia en. red que resulta de identicar la red basada en subíndices. Queremos que la notación. p. con la red. p − lı́ms∈D xs = y. hxs is∈D. X. D.. de la. mediante los. signique que. xs. está. y . La cercanía esta dada por las vecindades de y , y el casi siempre es determinado por los miembros de p si recordamos que un ultraltro puede ser visto como una medida en {0, 1}. Como veremos, esta dención tiene. casi siempre cerca de. la ventaja de que en un espacio compacto, el p-límite siempre converge.. Denición 1.3.5.. p ∈ βD; sea hxs is∈D un conjunto indexado de elementos de un espacio topológico X , y sea y ∈ X . Entonces p − lı́ms∈D xs = y si y sólo si para toda vecindad U de y , {s ∈ D : xs ∈ U } ∈ p. Sea. D. un espacio discreto,. Teorema 1.3.6. Sea D un espacio discreto, p ∈ βD y sea hxs is∈D un conjunto indexado de elementos de un espacio topológico X . Si X es compacto, entonces p − lı́ms∈D xs existe. Demostración.. p − lı́ms∈D xs no existe y para cada y ∈ X tome una vecindad abierta Uy de y tal que {s ∈ D : xs ∈ Uy } ∈ / p. Entonces {Uy : y ∈ X} es un recubrimiento abierto de X , luego existe un subrecubrimiento S nito para X de esta colección. Sea F ⊆ X nito tal que X = y∈F Uy . Entonces S D = y∈F {s ∈ D : xs ∈ Uy } ya que a todo s ∈ D le corresponde un elemento de X en la sucesión. Como D es unión nita sobre los y seleccionados y claramente D ∈ p, por el teorema 1.1.7. existe un y ∈ F tal que {s ∈ D : xs ∈ Uy } ∈ p, lo Suponga que. cual contradice que el límite no existe..

(19) 1.3. 17. La noción de un límite es la base para la continuidad de funciones. En topología. f :X →Y vecindad U. una función existe una. x ∈ X si para toda vecindad V de f (x), f (U ) ⊆ V . A continuación mencionamos. es continua en de. x. tal que. el concepto general de límite en un espacio topológico que se relaciona con el concepto de continuidad.. Denición 1.3.7.. X y Y espacios topológicos y f : X → Y . Sea x ∈ X y y ∈ Y . Entonces lı́ma→x f (a) = y si y sólo si para toda vecindad V de y , existe una vecindad U de x tal que f (U ) ⊆ V . Observe que si. Sean. lı́ma→x f (a). existe, es único en un espacio de Hausdor. Y clara-. mente vemos que por la denición, una función. lı́ma→x f (a) = f (x).. f. es continua en. x. si y sólo si. Veamos que si una función es continua entonces el p-límite. se comporta de manera análoga al límite normal.. Teorema 1.3.8. Sea D un espacio discreto, p ∈ βD y sean X y Y espacios topológicos. Sea hxs is∈D un conjunto indexado de elementos de X y una función f : X → Y . Si f es continua y p − lı́ms∈D xs existe, entonces p − lı́ms∈D f (xs ) = f (p − lı́ms∈D xs ). Demostración.. f (p − lı́ms∈D xs ) y tome una vecindad V de p − lı́ms∈D xs tal que f (V ) ⊆ U . Sea A = {s ∈ D : xs ∈ V }. Entonces A ∈ p y A ⊆ {s ∈ D : f (xs ) ∈ U }. Sea. U. vecindad de. Para funciones denidas en un espacio topológico cualquiera, los p-límites pueden coincidir o no con los límites dependiendo de la escogencia del ultraltro nuestro objetivo vamos a considerar p-límites en el mismo espacio. βD,. p.. Para. así que lo. importante es ver que los p-límites y los límites coinciden para funciones denidas en. D, que se extienden a los puntos límites en la compacticación βD garantizando. la existencia de estos límites.. Teorema 1.3.9. Sea D un espacio discreto, Y un espacio topológico; p ∈ βD y y ∈ Y . Si f : D → Y , entonces p − lı́ms∈D f (s) = y si y sólo si lı́ms→p f (s) = y . Demostración.. p − lı́ms∈D f (x) = y . Entonces si V es una vecindad b es una vecindad de p y f (B) ⊆ V . de y , f (V ) ∈ p. Sea A = f (V ). Entonces A Ahora suponga que lı́ms→p f (s) = y . Entonces si V es una vecindad de y , existe −1 una vecindad U de p en βD tal que f (U ) ⊆ V . Ahora, U ∈ p y como U ⊆ f (V ), −1 entonces f (V ) ∈ p. Luego p − lı́ms∈D f (x) = y . −1. Suponga que. −1.

(20) 1.3. 18. En particular, viendo a. hsis∈D. como una familia en. βD. p ∈ βD y b está básico A. indexada, si. A ∈ p tal que el abierto b y este último contenido en U . Luego {s ∈ D : s ∈ U } = {s ∈ D : s ∈ A} conjunto es claramente el conjunto A. Entonces p − lı́ms∈D s = p, lo cual tiene sentido en βD donde claramente p − lı́ms∈D s = lı́ms→p s = p. U. es una vecindad de. p,. entonces existe un.

(21) Capítulo 2 Álgebra de (βN, +) En este capítulo vamos a dar una estructura algebraica a la construcción de la compacticación de Stone-ech expuesta en el capítulo anterior. Para poder empezar a formular resultados interesantes en nuestro objetivo combinatorio, vamos a centrarnos en la compacticación de los naturales y mostraremos cómo extender su estructura algebraica con la operación de la suma vista como una función en. N. a la compacticación. En general, si tenemos un semigrupo discreto, su operación se puede extender a la compacticación de Stone-ech del semigrupo, dándole una estructura de semigrupo topológico por derecha compacto. La teoría algebraica de los semigrupos topológicos por derecha compactos tiene varios teoremas acerca de idempotentes e ideales minimales que se reejarán en resultados en la teoría de Ramsey. Empecemos dando algunos preliminares puramente algebraicos que nos conducirán a mostrar que. βN. es un semigrupo topológico por derecha compacto.. 2.1. Semigrupos topológicos por derecha compactos: (βN, +) Denición 2.1.1. Un semigrupo es un par (S, ∗) donde S es un conjunto no vacío y. ∗. es una operación binaria asociativa en. Es fácil ver que. (N, +). S.. es un semigrupo, ya que la suma ordinaria es asociativa.. Usamos otras deniciones provenientes de la teoría de anillos. Dados unos sub-. A, B de un semigrupo (S, ∗) denotamos como AB el conjunto {a ∗ b : a ∈ A y b ∈ B}. Para ver ejemplos interesantes de semigrupos, ideales. conjuntos. idempotentes ver [3], capítulo 2.. e.

(22) 2.1. 20. Denición 2.1.2.. Sea. (S, ∗). un semigrupo.. x ∈ S es un idempotente si idempotentes de S se denota por E(S).. 1.. Un elemento. 2.. L. es un. ideal izquierdo. 3.. R. es un. ideal derecho. 4.. I. 5.. Dado. es un. Un ideal. ideal. de. S. de. de. de. S. tal que. S. si y sólo si. si y sólo si. ∅= 6 L⊆S. ∅= 6 R⊆S. y. y. El conjunto de. SL ⊆ L.. RS ⊆ R.. si y sólo si es ideal izquierdo y derecho de. x ∈ S , ρx : S → S. I. S. x ∗ x = x.. y sólo si. I 6= S. es denida por. S.. ρx (y) = y ∗ x.. es un ideal propio de. S.. Un ideal es minimal si lo. es con respecto a la inclusión. Ahora nos concentramos en enunciar algunos teoremas sobre ideales minimales que nos conducirán a aplicaciones en la estructura algebraica que le daremos a. βN. Veamos cómo están relacionados todos los ideales. izquierdos minimales.. Teorema 2.1.3. Sea S un semigrupo, L un ideal izquierdo minimal de S y sea T ⊆ S . Entonces T es un ideal izquierdo minimal de S si y sólo si existe un a ∈ S tal que T = La. Demostración.. S y sea a ∈ T . Como L es ideal izquierdo, tenemos que SL ⊆ L y por lo tanto SLa ⊆ La. Ahora como T tambien es ideal izquierdo, La ⊆ Sa ⊆ ST ⊆ T ; luego La es un ideal izquierdo contenido en T y por la minimalidad, T = La. Para la otra implicación, suponga que T = La y por lo anterior, T es un ideal izquierdo de S . Sea B un ideal izquierdo de S tal que B ⊆ La, y tome A = {s ∈ L : sa ∈ B}. Entonces A ⊆ L y A 6= ∅. Para t ∈ S y s ∈ A arbitrarios, tenemos que sa ∈ B , luego tsa ∈ B . Como s ∈ L, ts ∈ L y por tanto ts ∈ A, de manera que A es ideal izquierdo de S . Entonces por minimalidad de L tenemos que L = A, luego La ⊆ B . Asi tenemos que T = La = B y T es minimal. Suponga que. T. es ideal izquierdo minimal de. Corolario 2.1.4. Sea S un semigrupo. Si S tiene un ideal izquierdo minimal entonces todo ideal izquierdo de S contiene un ideal izquierdo minimal. Demostración. de. S.. Tome. Sea. a ∈ J.. L. un ideal izquierdo minimal de. S. y sea. Entonces por el teorema anterior,. minimal contenido en. J.. La. J. un ideal izquierdo. es un ideal izquierdo.

(23) 2.1. Un semigrupo. 21. S. puede tener un ideal minimal con respecto a la inclusión que. sería único ya que no puede haber ideales disyuntos e intersección de ideales es. K(S). Veamos una condición simple para semigrupos de K(S).. ideal. Vamos a denotarlo por que garantiza la existencia. Teorema 2.1.5. Sea S un semigrupo. Si S tiene un ideal izquierdo minimal, entonces K(S) es la unión de todos los ideales izquierdos minimales de S . Demostración.. S , luego por hipótesis I 6= ∅. Sea x ∈ I y s ∈ S . Tome el ideal izquierdo minimal L de S tal que x ∈ L, luego sx ∈ L ⊆ I . Por otro lado, por el teorema 2.1.3, Ls es un ideal izquierdo minimal de S , luego xs ∈ Ls ⊆ I . Entonces I es un ideal de S . Ahora 0 considere un ideal J de S cualquiera. Sea L un ideal izquierdo minimal contenido en J . De nuevo por el teorema 2.1.3, cualquier otro ideal izquierdo minimal de S 0 0 0 es de la forma L s para algún s ∈ S , y como L ⊆ J , entonces L x ⊆ J . Luego cualquier ideal izquierdo minimal está contenido en J y por tanto I ⊆ J . Como J es arbitrario, I = K(S). Sea. I. la unión de todos los ideales izquierdos minimales de. El siguiente lema muestra otra caracterización de. K(S).. Lema 2.1.6. Sea S un semigrupo y sea I un ideal de S . Entonces I es el ideal minimal si y sólo si IxI = I para todo x ∈ I . Demostración.. IxI ⊆ II ⊆ I . Si I es el ideal minimal y x ∈ I , entonces IxI es claramente ideal de S y tenemos que IxI = I por minimalidad. Ahora suponga que IxI = I para todo x ∈ I y sea J un ideal tal que J ⊆ I . Tome x ∈ J . Entonces I = IxI ⊆ IJI ⊆ J ya que ambos son ideales. Tenemos entonces que J = I luego I es el ideal minimal. Como. I. es ideal,. xI ⊆ I ,. luego. La existencia de idempotentes va a ser fundamental para las aplicaciones en combinatoria que mostraremos en el trabajo siguiente. Ahora veamos un par de resultados acerca de ellos, en los cuales la hipótesis de la existencia de un ideal izquierdo minimal que contiene un idempotente es básica. (ver [3], ejemplos 2.26 y 2.32). Teorema 2.1.7. Sea S un semigrupo y suponga que existe un ideal izquierdo minimal de S que tiene un idempotente. Entonces todo ideal izquierdo minimal tiene un idempotente..

(24) 2.1. 22. Demostración.. Sea. e ∈ L, Se ⊆ L. y claramente. L. un ideal izquierdo minimal de. S. con idempotente. e.. Como. Le ⊆ L. Además sabemos que Le es ideal izquierdo minimal, luego L = Le ⊆ Se. Entonces L = Se. De ésta forma, eL = eSe es un grupo ya que e es identidad para eSe; y dado un x ∈ eL ⊆ L, como Lx = L entonces existe un y ∈ L tal que yx = e. Luego ey ∈ eL y eyx = ee = e entonces ey es el inverso de x. Ahora, sea J un ideal izquierdo minimal cualquiera. Por el teorema 2.1.3 existe un a ∈ S tal que J = La, y sea b el inverso de eae en el grupo eSe. entonces ba ∈ La = J y por la denición del grupo tenemos que baba = (be)a(eb)a = b(eae)ba = eba = ba.. Teorema 2.1.8. Sea S un semigrupo y suponga que existe un ideal izquierdo minimal de S que tiene un idempotente. Sea T ⊆ S . Entonces T es ideal izquierdo minimal de S si y sólo si existe un e ∈ E(K(S)) tal que T = Se. Demostración.. L un ideal izquierdo minimal de S y f el idempotente contenido en L. Como Sf es un ideal izquierdo contenido en L entonces por minimalidad, L = Sf y como en la prueba del teorema anterior, tenemos que f Sf es un grupo. Tome cualquier a ∈ T y sea x el inverso de f af en el grupo. Luego x(f af ) = f y tenemos que xaxa = xa. Además xa ∈ T por ser ideal izquierdo y por lo tanto xa ∈ K(S) por el teorema 2.1.5. Luego xa ∈ E(K(S)). Para la otra implicación considere e ∈ E(K(S)). De nuevo por el teorema 2.1.5. tome T el ideal izquierdo minimal de S que contiene a e. Claramente Se = T por Sea. minimalidad. El siguiente teorema nos ayuda a identicar el ideal minimal de un subsemigrupo, lo cual va a ser muy útil el las aplicaciones que daremos más adelante.. Teorema 2.1.9. Sea S un semigrupo y suponga que existe un ideal izquierdo minimal de S que tiene un idempotente. Sea T un subsemigrupo de S y suponga que T también tiene un ideal izquierdo minimal con idempotente. Si K(S)∩T 6= ∅. entonces K(T ) = K(S) ∩ T . Demostración.. K(S) no es vacío y como K(S) ∩ T es ideal de T , tenemos que K(T ) ⊆ K(S) ∩ T . Para la otra inclusión, tome x ∈ K(S) ∩ T . T x es un ideal izquierdo de T , luego por el corolario 2.1.4 y el teorema anterior, T x contiene un ideal izquierdo minimal de T de la forma T e para algún idempotente e ∈ T . Ahora como x ∈ K(S), podemos tomar un Por el teorema 2.1.5 tenemos que.

(25) 2.1. 23. L de S tal que x ∈ L. Entonces L = Sx y e = ee ∈ T e ⊆ L = Se y para algún s ∈ S , x = se = see = xe. Entonces. ideal izquierdo minimal. T x ⊆ Sx = L, luego x ∈ T e ⊆ K(T ).. Si le damos una topología a un semigrupo, podemos ver la operación del semigrupo como una función en él. De ésta forma, nos interesamos en ver los semigrupos en los que la operación es continua cuando se ja un elemento del semigrupo y se opera por la derecha. En todo el trabajo siguiente vamos a asumir que los espacios topológicos que usaremos son Hausdor.. Denición 2.1.10. Sea (S, ∗) un semigrupo. Un semigrupo topológico por derecha es una tripla. (S, ∗, τ ). (S, ∗) es semigrupo, (S, τ ) es a ∈ S , ρa : S → S es continua.. donde. de Hausdor, y para todo. Si el espacio es compacto,. (S, ∗, τ ). un espacio topológico. es un semigrupo topológico por derecha com-. pacto, y éstos son los que tienen importancia especial para nosotros. El siguiente teorema y su corolario son fundamentales ya que nos arman la existencia de idempotentes en el semigrupo.. Teorema 2.1.11. Sea S un semigrupo topológico por derecha compacto. Entonces S tiene un idempotente. Demostración.. T T ⊆ T }. Es decir que A es el conjunto de los subsemigrupos topológicos compactos de S , que se pueden ordenar parcialmente por contenencia. Vamos a mostrar que A tiene un elemento minimal usando el lema de Zorn. Como S ∈ A, A = 6 ∅. Sea C una cadena en A. Entonces C es una colección de subconjuntos cerrados del espacio compacto S que T claramente cumple la PIF. Entonces C= 6 ∅; es cota inferior de C y tambien es un T semigrupo compacto. Entonces C ∈ A y por Zorn podemos tomar un elemento minimal A de A. Sea x ∈ A y considere el conjunto Ax. Tenemos que Ax = ρx (A), luego Ax Sea. A = {T ⊆ S : T 6= ∅, T. compacto, y. es compacto por ser imagen continua de un compacto. También tenemos que. AxAx ⊆ AAAx ⊆ Ax, así que Ax ∈ A. Como Ax ⊆ AA ⊆ A y A es minimal, se sigue que Ax = A. Ahora considere el conjunto C = {y ∈ A : yx = x}. Como x ∈ A = Ax, C 6= ∅ y por otro lado tenemos que C = A ∩ ρ−1 x ({x}), entonces C es cerrado y por tanto compacto. Dados y, z ∈ C es claro que yzx = yx = x, por lo que yz ∈ C y entonces CC ⊆ C . Entonces C ∈ A y como C ⊆ A y A es minimal, C = A, luego x ∈ C y tenemos que xx = x..

(26) 2.1. 24. Anteriormente dimos un par de teoremas que tenían como hipótesis. S un semigrupo y suponga que S que contiene un idempotente.. Sea de. existe un ideal izquierdo minimal. Por el corolario que sigue a continuación, podremos incorporar todos estos resultados a los semigrupos topológicos por derecha compactos.. Corolario 2.1.12. Sea S un semigrupo topológico por derecha compacto. Entonces todo ideal izquierdo de S contiene un ideal izquierdo minimal. Los ideales izquierdos minimales son cerrados y cada ideal izquierdo minimal contiene un idempotente. Demostración.. Si. L. is cualquier ideal izquierdo de. un ideal izquierdo compacto contenido en continua. ρx. de. S.. L. S. y. x ∈ L,. entonces. Sx. es. ya que es la imagen de la función. De ésta forma, cualquier ideal izquierdo minimal es cerrado y. por el teorema anterior, contiene un idempotente. Falta sólo mostrar que cualquier. S contiene un ideal izquierdo minimal. Sea L un ideal izquierdo de S y sea A = {T : T es ideal izquierdo cerrado de S y T ⊆ L}. Aplicando el lema de Zorn para A del mismo modo que en el teorema anterior, obtenemos un ideal izquierdo minimal M entre todos los ideales izquierdos cerrados contenidos en L. Pero como todo ideal izquierdo contiene un ideal izquierdo cerrado, M es ideal izquierdo de. un ideal izquierdo minimal. Ya con estos preliminares procederemos a dar estructura algebraica a la construcción del capítulo anterior para poder usarlos y obtener resultados acerca de la compacticación de Stone-ech de los naturales. Consideremos el semigrupo. (N, +). Ahora vamos a extender la operación en este semigrupo a su compacticación de Stone-Č ech. Recordemos que según el capítulo anterior podemos identicar un n ∈ N con su ultraltro principal en βN y de esta forma, N ⊆ βN. discreto. Teorema 2.1.13. Existe una única operación binaria ⊕ : βN → βN que satisface las siguientes condiciones: 1. Para todos n, m ∈ N, n ⊕ m = n + m. (Extiende la suma de N) 2. Para cada n ∈ N, la función λn : βN → βN donde λn (q) = n ⊕ q , es continua. 3. Para cada q ∈ βN, la función ρq : βN → βN donde ρq (p) = p ⊕ q , es continua..

(27) 2.1. 25. Demostración. ⊕. Estableceremos la existencia y la unicidad al tiempo, deniendo. ⊕ en N × βN. Dado ln (m) = n + m. Entonces. como estamos forzados a denirla. Primero denamos. : N → N ⊆ βN denida por por el teorema 1.2.10. como βN es la compacticación de Stone-ech podemos extender esta función a una función continua λn : βN → βN de manera que si q ∈ βN, denimos a la nueva operación por λn (q) = n ⊕ q . Entonces (1) y (2) se satisfacen y la extensión λn es única ya que como N es denso en βN, cualesquiera funciones continuas que coinciden en N deben ser iguales. Ahora para extender la denición de ⊕ al resto de βN × βN, considere cualquier q ∈ βN y sea rq : N → βN denida por rq (m) = m ⊕ q . De nuevo podemos extender esta función a una función continua ρq : βN → βN de manera que si p ∈ βN , denimos la nueva operación por ρq (p) = p ⊕ q . De nuevo la extensión es cualquier. n ∈ N,. sea ln. única y se satisface (3), luego ésta es la única denición para la nueva operación que satisface las condiciones requeridas. Se acostumbra a denotar la operación en operación en. βN. del hecho de que. n∈N. y. igual que la suma normal de. N.. La. tiene una caracterización en términos de límites. Ésta se sigue. λn. es contínua para todo. q ∈ βN,. n ∈ N , ρq. es contínua para todo. q ∈ βN. βN.. y los p-límites coinciden en. Si. βN. entonces. s + q = lı́m s + t = q − lı́m s + t t→q. Si. p, q ∈ βN,. t∈N. entonces. p + q = lı́m(lı́m s + t) = p − lı́m(q − lı́m s + t). s→p t→q. s∈N. t∈N. Teorema 2.1.14. La operación suma extendida en βN es asociativa. Demostración. a, b, c. denotan. p, q, r ∈ βN. Considere lı́ma→p lı́mb→q lı́mc→r (a +b)+c, donde elementos de N. Sean. lı́m lı́m lı́m(a + b) + c = lı́m lı́m(a + b) + r. a→p b→q c→r. a→p b→q. (λa+b continua). = lı́m (a + q) + r. (ρr ◦ λa continua). = (p + q) + r. (ρr ◦ λa continua). a→p.

(28) 2.1. 26. Por otro lado tenemos:. (λa ◦ λb continua). lı́m lı́m lı́m a + (b + c) = lı́m lı́m a + (b + r). a→p b→q c→r. a→p b→q. = lı́m a + (q + r). (λa ◦ ρr continua). = p + (q + r). (ρq+r continua). a→p. (a + b) + c = a + (b + c) ya que (N, +) es límites tenemos que (p + q) + r = p + (q + r).. Ahora como de los. semigrupo; por la unicidad. Como consecuencia de este teorema podemos armar que. (βN, +). es un semi-. grupo topológico por derecha compacto, luego todos los resultados obtenidos anteriormente se aplican en esta construcción. Antes de continuar desarrollando la teoría, analizamos un poco la suma en queremos saber cuáles subconjuntos de. Denición 2.1.15.. Sea. A⊆N. y. βN. Como los elementos N pertenecen a p + q .. son ultraltros,. n ∈ N −n + A = {m ∈ N : n + m ∈ A}. Por denición ya tenemos que para cualesquiera naturales. n, m. la suma de los. ultraltros principales generados por ellos es el ultraltro principal generado por. (n + m). Ahora para generalizar la denición, si tenemos n ∈ N y q ∈ βN, la suma sería:. n + q = lı́mt→q n + t = q − lı́ma∈N n + a Entonces para toda vecindad si. A ∈ (n + q),. entonces. b es A. U. (n + q), {a ∈ N : n + a ∈ U } ∈ q . Por lo tanto vecindad de (n + q) y tenemos que el conjunto. de. una. b = {a ∈ N : n + a ∈ A} = −n + A {a ∈ N : n + a ∈ A} pertenece a. q.. −n+A ∈ q y suponemos que A ∈ / n+q , entonces N\A ∈ q y por lo anterior −n+(N\A) ∈ q , lo cual es contradicción ya que (−n+A)∩(−n+(N\A)) = ∅. Luego tenemos que A ∈ (n + q). Por otro lado, si. Entonces tenemos que. Ahora si. p, q ∈ βN,. A∈n+q. si y sólo si. la suma sería:. p + q = lı́mt→p t + q = p − lı́ma∈N a + q. −n + A ∈ q.

(29) 2.2. 27. Entonces para toda vecindad. A ∈ (p + q),. entonces. b es A. U. una. (p + q), {a ∈ N : a + q ∈ U } ∈ p. Por lo tanto si vecindad de (p + q) y tenemos usando el resultado de. anterior que. b = {a ∈ N : A ∈ a + q} = {a ∈ N : −a + A ∈ q} {a ∈ N : a + q ∈ A} pertenece a. p.. La suciencia de esta condición se sigue de una contradicción similar a la anterior ya que. {a ∈ N : −a + A ∈ q}. Entonces tenemos que. y. {a ∈ N : −a + (N \ A) ∈ q}. A ∈ (p + q). si y sólo si. son disyuntos.. {a ∈ N : −a + A ∈ q} ∈ p.. 2.2. βN en la Teoría de Ramsey A grandes rasgos se puede armar que los primeros resultados clásicos en el área de las matemáticas conocida como la Teoría de Ramsey clasican las parejas. (X, G). donde. X. es un conjunto y. G. es una colección de subconjuntos de. X. que. cumplen una propiedad combinatórica particular, de manera que siempre que. X =. Sr. i=1. Ai , r ∈ N ,. existe un. i ∈ {1, 2, . . . , r}. y un. G∈G. tales que. G ⊆ Ai .. Entre éstos encontramos los resultados de Hilbert (1862), Schur (1916) y van der Waerden (1927) cuyas pruebas originales fueron completamente combinatóricas. En 1930 Frank Ramsey publicó un resultado que encierra el concepto mencionado anteriormente y de ahí el nombre de ésta rama de las matemáticas (ver [6]). En éste sentido, vamos a aprovechar la construcción realizada para presentar pruebas de estos teoremas, partiendo de que este concepto de los problemas en la Teoría de Ramsey se traduce en un problema acerca de ultraltros.. Teorema 2.2.1. Sea X un conjunto y sea G ⊆ ℘(X). Las siguientes armaciones son equivalentes. (a) Si X =. Sr. i=1. Ai , r ∈ N, existen i ∈ {1, 2, . . . , r} y G ∈ G tales que G ⊆ Ai .. (b) Existe un ultraltro p en X tal que para todo A ∈ p, existe G ∈ G tal que G ⊆ A. Demostración.. contrario la conclusión sería trivial. Considere la colección todo. ∅∈ / G , ya que de lo A = {B ⊆ X : para. Para ver que (a) implica (b), Asumimos que. G ∈ G, B ∩ G 6= ∅}.. Veamos que. A. cumple la PIF. Supongamos que existen.

(30) 2.2. 28. T B1 , . . . , Br tales que ri=1 Bi = ∅. Entonces tomando complementos tenemos que Sr i=1 (X \ Bi ) = X , luego por la hipótesis existe un i y un G ∈ G tal que G ⊆ (X \ Bi ), de manera que G ∩ Bi = ∅ lo cual es una contradicción. Entonces existe un ultraltro p en X que extiende la colección A, luego si A ∈ p tenemos que X \A ∈ / A y por lo tanto existe un G ∈ G tal que G ∩ (X \ A) = ∅, luego G ⊆ A. Sr Para ver que (b) implica (a) basta con darse cuenta que si X = i=1 Ai , entonces algún Ai debe pertenecer a p por ser ultraltro. Las pruebas que vamos a dar a continuación de las primeras aplicaciones de la estructura algebraica de. βN en la teoría de Ramsey establecen la gran importancia. que tienen los idempotentes, y su relación con las sumas nitas de naturales. Mostraremos ésto en el teorema de Sumas Finitas que fué probado en 1974 por N. Hindman, para el cual añadimos las siguientes deniciones.. Denición 2.2.2. Dada una sucesión innita hxn i∞ n=1 en N, denimos el conjunto de las sumas nitas de elementos de la sucesión por. SF (hxn i∞ n=1 ) = {. P. n∈F. xn : F ∈ ℘(N). y. F. es nito}.. hxn im n=1 , : F ∈ ℘({1, . . . , m})}.. Del mismo modo, dada una sucesión nita. SF (hxn im n=1 ) = {. P. Denición 2.2.3.. n∈F. xn. A⊆Ny A (p) = {x ∈ A : −x + A ∈ p}. Sea. sea. p ∈ βN.. denimos. Denimos. ∗. βN, tenemos directamente que si p ∈ βN es un idempotente, entonces para todo A ∈ p = p + p, {x ∈ N : −x + A ∈ p} ∈ p y ∗ ∗ claramente A (p) = A ∩ {x ∈ N : −x + A ∈ p}, luego A (p) ∈ p y por la denición ∗ ∗ ∗ de ultraltro A (p) 6= ∅. Si a ∈ A (p), −a + A ∈ p y entonces (−a + A) (p) ∈ p. Por la denición de la suma en. De hecho, necesitamos un lema un poco más fuerte.. Lema 2.2.4. Sea A ⊆ N y sea p ∈ βN un idempotente. Entonces para cualquier a ∈ A∗ (p) se tiene que −a + A∗ (p) ∈ p. Demostración.. (−a + A)∗ (p) ∈ p y tome un t ∈ (−a + A)∗ (p). Por denición tenemos que t ∈ −a + A y por tanto, a + t ∈ A. ∗ Por otro lado, tenemos que −(a+t)+A = −t+(−a+A) ∈ p, luego a+t ∈ A (p) y ∗ ∗ ∗ claramente, t ∈ −a + A (p). Entonces (−a + A) (p) ⊆ −a + A (p) y por denición Sea. a ∈ A∗ (p).. Entonces. de ultraltro tenemos el resultado..

(31) 2.3. 29. Teorema 2.2.5 (Teorema de Sumas Finitas). Sea r ∈ N y sea N = ri=1 Ai . Entonces existe un i ∈ {1, ..., r} y una sucesión hxn i∞ n=1 en N tal que las sumas ∞ nitas de la sucesión hxn in=1 están contenidas en Ai S. Demostración.. βN es semigrupo topológico por derecha compacto, contiene un idempotente p. Por ser ultraltro, para algún i ∈ {1, ..., r} Ai ∈ p. Considere ∗ el conjunto B = Ai (p). Vamos a construir la sucesión inductivamente. Para el caso inicial, tome x1 ∈ B . Tenemos entonces que SF ({x1 }) = {x1 } ⊆ B . Suponga que existe una sucesión n n n nita hxj ij=1 ⊆ N tal que SF (hxj ij=1 ) ⊆ B . Si a ∈ SF (hxj ij=1 ) entonces −a+Ai ∈ p y por el lema anterior, −a + B ∈ p. Entonces como SF (hxj inj=1 ) es nito, T T −a + B ∈ p, luego podemos tomar xn+1 ∈ B ∩ a∈SF (hxj in ) −a + B . a∈SF (hxj in j=1 ) j=1 n Tenemos entonces que xn+1 ∈ B y para todo a ∈ SF (hxj ij=1 ), a + xn+1 ∈ B , luego todas las sumas nitas nuevas que incluyan a xn+1 también van a estar en B y entonces SF (hxj in+1 j=1 ) ⊆ B . Siguiendo el argumento inductivo, construimos ∞ la sucesión innita de manera que SF (hxn in=1 ) ⊆ B ⊆ Ai Como. Este teorema cuya prueba resulta relativamente sencilla usando ultraltros, provee la base para los resultados clásicos de la Teoría de Ramsey que mencionamos al principio de la sección. Algunos de éstos teoremas cuyas pruebas en combinatoria fueron temas de alta complejidad resultan siendo consecuencias del teorema de Sumas Finitas, y los citamos a continuación. En el lenguaje de la combinatoria se usan armaciones sobre conjuntos coloreados, así que si reemplazamos en cada. S r ∈ N y sea N = ri=1 Ai por Sea r ∈ N y sea N conclusión . . . ⊆ Ai . por ... es monocromático. tenemos los. teorema la armación Sea r-coloreado. y la. resultados en su forma original.. Corolario 2.2.6 (Schur(4)). Sea r ∈ N y sea N = {1, . . . , r} y existen x, y ∈ N tales que {x, y, x + y} ⊆ Ai .. Sr. i=1. Ai . Existe un i ∈. Corolario 2.2.7 (Hilbert(4)). Sea r ∈ N y sea N = ri=1 Ai . Para todo m ∈ N existe un i ∈ {1, . . . , r}, una sucesión hxn im n=1 en N y un conjunto innito B ⊆ N m tales que para todo a ∈ B , a + SF (hxn in=1 ) ⊆ Ai . S. Para el Teorema de van der Waerden necesitamos desarrollar un poco más la teoría incursionando un poco en las dinámicas topológicas. Es por ésto que le dedicamos la siguiente sección..

(32) 2.3. 30. 2.3. Teorema de van der Waerden Los teoremas clásicos de la teoría de Ramsey se caracterizan por la elegancia de sus resultados. Éste es el caso del teorema de van der Waerden que arma que si los naturales son nitamente coloreados, entonces alguna de las clases monocromáticas contiene progresiones artiméticas de longitud arbitraria. A pesar de la sutileza de su enunciado, la prueba original de 1927 no lo es tanto. La prueba que mostraremos utiliza una construcción en el producto de espacios de ultraltros, y necesita de un poco más de teoría la cual desarrollamos a continuación.. Es fácil ver que el producto cartesiano de semigrupos es tambien un semigrupo con la operación denida coordenada a coordenada. La función de operación por derecha para el producto de semigrupos denida coordenada a coordenada por las funciones respectivas, preserva la continuidad si cada una de ellas es continua. Entonces, el producto cartesiano de una familia de semigrupos topológicos por derecha es tambien un semigrupo topológico por derecha con la topología producto. Si los semigrupos son compactos, por Tychono el producto también es compacto. De ésta forma, el producto. Q. i∈I. βN. es un semigrupo topológico por. derecha compacto.. Lema 2.3.1. Sea hSi ii∈I una familia de semigrupos topológicos derechos y sea Q S = i∈I Si . Si para cada i ∈ I Si tiene un ideal minimal K(Si ), entonces K(S) = Q i∈I K(Si ). Demostración.. Q. K(Si ) es un ideal de S ya que la opQ eración es coordenada a coordenada. Sea ~ u ∈ K(S). Entonces ( i∈I K(Si )) ∗ ~u ∗ Q Q Q ( i∈I K(Si ))= i∈I (K(Si ) ∗ ui ∗ K(Si )) = i∈I K(Si ) por el lema 2.1.6. Luego Q por el mismo lema tenemos que K(S) = i∈I K(Si ). Q∞ Vamos a necesitar construir una compacticación del producto i=0 N, donde Primero notamos que. i∈I. utilizaremos también algunas propiedades algebráicas. Por lo tanto damos la siguiente denición general para semigrupos topológicos y un teorema que nos será útil en la demostración nal.. Denición 2.3.2. Sea S un semigrupo topológico. Una compacticación de semigrupo de S es un par (ϕ, Z) donde Z es un semigrupo topológico por derecha comϕ : S → Z es un homeomorsmo continua y ϕ(S) es denso en Z .. pacto y. λx. es. continuo, tales que para todo. x ∈ ϕ(S),.

(33) 2.3. 31. Teorema 2.3.3. Sea S un semigrupo discreto y sea (ϕ, Z) una compacticación de semigrupo de S . Sean A ⊆ B ⊆ S . Suponga que B es subsemigrupo de S . Entonces ϕ(B) es subsemigrupo de Z y si A es ideal izquierdo de B , entonces ϕ(A) es ideal izquierdo de ϕ(B). Demostración.. p, q ∈ ϕ(B). U vecindad de pq en Z . Por la con−1 tinuidad de ρq , podemos tomar una vecindad V = ρq (U ) de p y como p ∈ ϕ(B) existe un x ∈ U ∩ϕ(B). Ahora como x ∈ S , tenemos que λx es continua y podemos tomar una vecindad W = λx −1(U ) de q de forma que existe un y ∈ W ∩ ϕ(B). Como ϕ(B) es semigrupo, xy ∈ ϕ(B) y claramente, xy = λx (y) ∈ U . Luego pq ∈ ϕ(B) y ϕ(B) es subsemigrupo de Z . Si A es ideal izquierdo de B , sea p ∈ ϕ(B) y q ∈ ϕ(a). Entonces pq = lı́ms→p lı́mt→q st, donde s es un elemento de B y t es un elemento de A. Luego st ∈ A por ser ideal izquierdo y ϕ(st) ∈ ϕ(A). Entonces pq ∈ ϕ(A). Considere. y sea. Volviendo al caso particular de los naturales, ahora vamos a introducir unas deniciones que provienen de las dinámicas topológicas en. A⊆N. Un conjunto. es sindético si tiene saltos acotados en el orden natural. Si la cota de los. saltos es. N. entonces en cualquier intervalo de los naturales de tamaño. puedo encontrar un miembro del conjunto con nitas traslaciones del conjunto por partes si existe una cota ja saltos de. A. están acotados por. Denición 2.3.4. nito tal que 2.. (N, +).. 1.. N=. b. b.. A.. n∈G. lo cual me permitiría cubrir todo. En el mismo sentido,. A⊆N. N. es sindético. Veamos las deniciones formales.. A ⊆ N es sindético. si y sólo si existe. G⊆N. −n + A.. A ⊆ N es sindético por partes si y sólo S {−n + ( t∈G −t + A) : n ∈ N} tiene la PIF.. Un conjunto tal que. siempre. e intervalos arbitrariamente grandes donde los. Un conjunto. S. A,. N. si existe. G⊆N. nito. A continuación probamos un par de teoremas que caracterizan los conjuntos sindéticos y sindéticos por partes de de. βN,. N. mediante los elementos del ideal minimal. y que son fundamentales para la prueba del teorema principal de esta. sección que nos da como corolario el teorema de van der Waerden.. Teorema 2.3.5. Sea p ∈ βN. Si p ∈ K(βN) entonces para todo A ∈ p, {n ∈ N : −n + A ∈ p} es sindético. Demostración. minimal que. A ∈ p y sea B = {n ∈ N : −n+A ∈ p}. Sea L es ideal izquierdo contiene a p. Para cualquier q ∈ L, tenemos que p ∈ L = βN + q . Sea.

(34) 2.3. 32. βN, βN + q = ρq (N) ⊆ ρq (N). Además como N es cerrado y por tanto compacto, ρq (N) es compacto y por tanto cerrado (ya que βN es compacto). Luego tenemos que βN + q = N + q . Como A es una vecindad de p, para algún t ∈ N, t + q ∈ A y entonces q ∈ −t + A. Luego tenemos que los conjuntos de la forma −t + A para t ∈ N forman un recubrimiento abierto del ideal izquierdo minimal compacto L, por lo tanto existe un G ⊆ N nito tal que S L ⊆ t∈G −t + A. Ahora sea a ∈ N. Entonces a + p ∈ L, y existe un t ∈ G tal que a + p ∈ −t + A. De ésta forma −t + A ∈ a + p, luego −(t + a) + A = −a + (−t + A) ∈ p y t + a ∈ B , por lo que entonces a ∈ −t + B . Como el a es arbitrario, tenemos que S N ⊆ t∈G −t + B y B es sindético. Como. ρq. es continua en. Teorema 2.3.6. Sea A ⊆ N. Entonces A ∩ K(βN) 6= ∅ si y sólo si A es sindético por partes. Demostración.. B = {n ∈ N : −n + A ∈ p}. Por el S teorema anterior B es sindético, luego N = t∈G −t + B para algún G ⊆ N nito. Para cada a ∈ N, a ∈ −t + B para algún t ∈ G y −a + (−t + A) ∈ p. Entonces S S −a + ( t∈G −t + A) ∈ p y como p es ultraltro, {−a + ( t∈G −t + A) : a ∈ N} tiene la PIF. Luego A es sindético por partes. S Para la otra implicación, sea G ⊆ N nito tal que {−a + ( t∈G −t + A) : a ∈ N} S tiene la PIF. Tome q ∈ βN tal que {−a + ( t∈G −t + A) : a ∈ N} ⊆ q . Luego S para todo a ∈ N, −a + ( t∈G −t + A) ∈ q y por la denición de la operación S S en βN, ( t∈G −t + A) ∈ a + q , luego a + q ∈ ( t∈G −t + A) y como el a es S arbitrario, tenemos que N + q ⊆ ( t∈G −t + A). Tomando las clausuras, βN + q ⊆ S ( t∈G −t + A). Como βN es ideal izquierdo, podemos entonces tomar un y ∈ (βN + q) ∩ K(βN) y tenemos que y ∈ −t + A para algún t ∈ G, luego −t + A ∈ y y de nuevo por la denición de la operación ésto implica que A ∈ t + y , luego t + y ∈ A. Por otro lado t + y ∈ βN + y ⊆ βN + K(βN) ⊆ K(βN) y tenemos nalmente que t + y ∈ A ∩ K(βN). Sea. p ∈ A ∩ K(βN). y sea. Ahora probaremos el teorema importante de esta sección, donde veremos la fuerza de la denición de un conjunto sindético por partes para capturar las progresiones aritméticas.. Teorema 2.3.7. Sea A ⊆ N un conjunto sindético por partes, y sea l ∈ N. Existen a, d ∈ N tales que {a, a + d, a + 2d, ..., a + ld} ⊆ A..