Capitulo 6 - Dinámica - Dinámica circular

Concepto

Es una parte de la mecánica que estudia las

condi-ciones que deben cumplir una o más fuerzas que

actúan sobre un cuerpo, para que éste realice un

movimiento circular.

DINÁMICA CIRCULAR

DINÁMICA CIRCULAR

DINÁMICA CIRCULAR

DINÁMICA CIRCULAR

DINÁMICA CIRCULAR

FUERZA CENTRÍPET FUERZA CENTRÍPETFUERZA CENTRÍPET FUERZA CENTRÍPETFUERZA CENTRÍPETAAAAA

Es la resultante de todas las fuerzas radiales que

ac-túan sobre un cuerpo en movimiento circular y

vie-ne a ser la responsable de obligar a dicho cuerpo a

que su velocidad cambie contínuamente de

direc-ción , dando origen a la aceleradirec-ción centrípeta.

a_c =

v

_R

ACELERACIÓN CENTRÍPET ACELERACIÓN CENTRÍPETACELERACIÓN CENTRÍPET ACELERACIÓN CENTRÍPETACELERACIÓN CENTRÍPETA (A (A (A (aA ( _C)))))

Es una magnitud vectorial que mide la rapidez con

la cual cambia de dirección el vector velocidad.

➡

F m

F mvR

La fuerza centrípeta

no es una fuerza real

como el peso,

reac-ción, tensión, etc., es

más bien una

resul-tante de las fuerzas en

la dirección del radio

en cada instante. Siendo así, dicha fuerza se

pue-de representar pue-de la siguiente manera:

Fuerza Centrípeta: Resultante de Fuerzas Radiales

CASOS COMUNES

Analicemos el diagrama de cuerpo libre de un

mó-vil en movimiento circular en cuatro posiciones:

A,B,C y D, luego determinemos la fuerza centrípeta

en cada posición.

F

=

fuerzas hacia el centro -

fuerzas hacia afuera

En el punto “A”:

En el punto “B”:

En el punto “C”:

En el punto “D”:

FUERZA CENTRÍFUGA FUERZA CENTRÍFUGA FUERZA CENTRÍFUGA FUERZA CENTRÍFUGA FUERZA CENTRÍFUGA (SEUDO

(SEUDO (SEUDO (SEUDO

(SEUDO-FUERZA)FUERZA)FUERZA)FUERZA)FUERZA)

Esta “Fuerza” es mencionada en muchos libros,

pero realmente no existe.

Muchas personas afirman que la fuerza centrífuga

existe en algunos casos y se manifiesta como la

reacción de la fuerza centrípeta (acción); sin

em-bargo, todos sabemos que la tercera ley de Newton

(acción y reacción) sólo se cumple para fuerzas

rea-les (peso , reacción, tensión, etc) y no para

resultan-tes de varias fuerzas.

Muchos manifiestan que la fuerza centrípeta es la

que jala al cuerpo hacia el centro del circulo y la

centrífuga es la que jala hacia fuera del círculo; en

realidad esto es falso.

F mg T

F T

F T mg

F T mg

cos

−

Un disco acoplado a un motor.

Un medidor de frecuencia (R.P.M.)

−

Un cilindro de aproximadamente 1 m de

diá-metro y una altura no mayor de 50 cm.

−

Un borrador (determinar su peso en

kg

)

Cuando se representa el diagrama de cuerpo libre, el lector no dibujará la fuerza centrípeta y menos aún

la “fuerza centrífuga”.

ILUSTRACIONES

EXPERIENCIA: DINÁMICA CIRCULAR

Demostrar que la fuerza centrípeta obliga a

un cuerpo a describir como trayectoria una

circunferencia.

OBJETIVO

MATERIAL A EMPLEARSE

NÚMERO DE ALUMNOS:

Dos

1.-

Colocar los materiales según la figura mostrada.

PROCEDIMIENTO

2.-

Colocar el borrador en la pared interna del

ci-lindro, observar.

4.-

Colocar el borrador en la pared interna del

ci-lindro, observar.

5.-

Si el borrador ha caído, aumentar la

frecuen-cia del disco, para luego volver a colocar el

borrador en la posición mostrada.

6.-

Repetir el paso 5 hasta que el borrador no

caiga.

7.-

Conseguido el objetivo, anotar la frecuencia

del disco (R.P.M.)

8.-

Repetir todo el proceso cuatro veces más.

PREGUNTAS

1.-

Completar la tabla

2.-

Cuando el disco se encuentra estático y

colo-camos el borrador en la pared interna, ¿Por

qué cae? hacer su diagrama de cuerpo libre.

3.-

Cuando el disco gira lentamente y colocamos

el borrador en la posición indicada, ¿Por qué

cae? hacer su diagrama de cuerpo libre.

4.-

Cuando el disco gira lo suficiente para que el

borrador permanezca en su posición inicial.

¿Por qué no cae? se le ayudará

proporcionán-dole el diagrama de cuerpo libre del borrador.

5.-

¿Será la fuerza centrípeta la reacción normal

que empuja al borrador hacia el eje del

cilin-dro? Si - No.

6.-

¿Cuánto vale dicha fuerza centrípeta? (en

tér-minos de m = masa del borrador) recordar

F

= mv

/R.

7.-

Sabemos que la fuerza de rozamiento se

cal-cula f =

N. Si el cilindro no gira, entonces no

hay fuerza centrípeta, luego la normal sería

cero (N = 0). ¿Hacia donde iría el borrador?,

¿Por qué? ¿Describiría una circunferencia

como trayectoria?

8.-

En el momento que el borrador no cae, a que

es igual la fuerza de rozamiento.

A) mg

D) 4mg

B) 2mg

E) 5mg

C) 3mg

9.-

Calcule el coeficiente

entre el borrador y el

cilindro.

10.-

¿Es posible que el borrador suba cuando el

cilindro gira? experimente y comente.

f(RPM) f(RPS)

ω = 2πf

(rad/s) v = ωR

(m/s)

TEST

TEST

TEST

TEST

TEST

1.- Se debe ejercer una fuerza centrípeta sobre un cuer-po para mantenerlo en movimiento.

a) Rectilíneo.

b) Con aceleración constante.

c) Con cantidad de movimiento constante. d) Circular.

e) Uniforme.

2.- La fuerza centrípeta que actúa sobre un satélite en órbita alrededor de la Tierra se debe a:

a) La gravedad. d) La pérdida de peso. b) Los retro cohetes. e) Ley de la inercia. c) Los cohetes.

3.- ¿A qué representamos con v2/r ? ¿Porqué?

a) Aceleración tangencial – mantiene la velocidad constante.

b) Aceleración instantánea – cambia la dirección de la velocidad.

c) Aceleración centrípeta – la palabra significa bus-ca el centro.

d) Aceleración normal – cambia el valor de la velocidad. e) Ninguna de las anteriores.

4.- En la ecuación F = mv2 _{/r, ¿ se sobrentiende que la}

fuerza y la aceleración tienen la misma dirección y el mismo sentido?

a) No – porque no cumple para todas las fuerzas. b) Si – esto siempre es cierto para fuerzas

resultan-tes y aceleraciones.

c) Si – para algunos casos particulares.

d) No – solo para el movimiento unidimensional. e) N.A.

5.- En la posición “A” dibuje los vectores que representan la velocidad v, la aceleración a y la fuerza F que actúan sobre m. Considere que el movimiento es en el senti-do de las manecillas del reloj como se indica. a)

b)

c)

d) e) N.A.

6.- Un artista de circo guía una motocicleta por el lado inte-rior de un cilindro rugoso ver-tical. No se desliza hacia aba-jo en dicho cilindro.

En el diagrama hemos indica-do la fuerza gravitacional que actúa sobre el artista y la

mo-tocicleta. Dibuje las fuerzas que se necesita para que se mueva a lo largo de la circunferencia.

a) d) Imposible realizar.

b) e) Faltan datos.

c)

7.- ¿En un péndulo cónico tiene sentido hablar de la fuer-za centrífuga?

a) No – porque las fuerzas de reacción se aplican para fuerzas reales y no para las resultantes de estos.

b) Si – porque es la reacción de la fuerza centrípeta. c) No – porque no existe fuerza centrípeta. d) Si – porque siempre existe.

e) A y D son correctas.

8.- Un motociclista recorre las paredes internas de una esfera, en que punto sentirá mayor presión.

a) A b) B c) C d) D e) D y B

W

W

W

W

N F_r F_r

T mvR mgA= A2 −

mv

R mg TA A 2

= +

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUELTOS

TOS

TOS

TOS

TOS

A problemas de aplicación

9.- Señalar con V (verdadero) ó F (falso).

El sistema gira con velocidad an-gular constante. Las moscas repo-san sobre A y B y son de igual masa “m”, (las moscas están en las pare-des internas).

( ) La fuerza centrípeta que soportan es mayor en la mosca B.

( ) Las dos giran con la misma aceleración centrípeta. ( ) Entre las moscas existe una diferencia de fuerzas

radiales igual a mω2d

a) FVF b) VFV c) VFF d) FFF e) FFV

10.- Se suelta la esferita “m” desde el reposo en A , por la superficie esfé-rica lisa. Al pasar por B el diagrama de fuer-zas sobre “m” es:

a)

b)

c)

d)

e)

1.- Una masa de 10 kg, describe una trayectoria circular de radio 1 m y con una velocidad constante de 10 m/s. Cal-cular la fuerza (en Newton) que mantiene su trayectoria. Solución:

La fuerza resultante que obliga al cuerpo a describir una circunferencia, es la fuerza centrípeta.

Solución :

❏ En el punto “A”

Remplazando datos: 2.- Se hace girar una piedra en un plano vertical. Cuando

pasa por el punto “A” tiene una velocidad de 10 m/s, en “B” tiene una velocidad de 15 m/s y en “C” 20 m/s. Calcular la tensión en A, B y C sabiendo que m = 4 kg R = 2 m ( g= 10 m/s2_).

F mvRc= 2 ⇒ Fc=

2 10 10

1

b gb g

T mvRB= B2 ⇒ TB=450N ❏ En el punto “B”:

❏ En el punto “C”: F Tc B=

T mg F_c− = _c

3.- Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxi-ma y la tensión mínimáxi-ma de la cuerda es igual a 10 Newton. ¿ Cuál es la masa de la piedra? (considera g = 10 m/s2). Solución:

F Tc= _min+mg mv

R T mg

2

= _min+ ... (1)

mv

R T mg

2

= _max− ... (2)

0=T_{max min}−T −2mg 2mg T=

b

g

_{b g}

4.- Un carrito de masa “m” se desplaza con una velocidad “v” sobre una pista cóncava de radio “R” como se mues-tra en la figura. Determinar la fuerza que ejerce el ca-rrito sobre la pista en el punto más bajo (g es la acele-ración de la gravedad).

Solución:

El valor de la fuerza que ejerce el carrito sobre la pista es el mismo que la pista le ejerce al carrito:

5.- A un vaso con aceite se le hace describir un movimien-to circular uniforme, mediante un hilo de 2,5 m de lon-gitud. El movimiento se realiza en un plano vertical. Calcular la velocidad angular mínima con la que debe girar el vaso para que no caiga el aceite (g = 10 m/s2_).

Solución:

Para que la velocidad sea mínima, la tensión en la cuerda deberá ser nula.

❏ En la parte más alta:

Pero: T = 0

F N mg_c= − ⇒ mv_{R N mg}2= −

N mg mvR= + 2

F mg T_c= +

m R mgω2 =

F Fc= Σradiales

1.- Se muestra un auto venciendo la gravedad, si se co-nocen: “µ”, “R”

y “g”. ¿Cuál es el valor de la velocidad (cte), para que el auto no caiga?

B problemas complementarios

T mvR mgc= C2 + ⇒ TC=840N

F T_c= _max−mg

❏ Tensión mínima: Punto A

❏ Tensión máxima: Punto B

❏ _{(2) en (1):}

m=0 5,kg ω= g= ⇒ ω=

Solución:

❏ Verticalmente: (equilibrio)

❏ Horizontalmente:

❏ De (1) y (2) F mg=

µN mg= ... (1)

F F_c=Σ_radiales=N mv

R N 2

= ... (2)

µ=gR ⇒ µ =

v2 v gR2

v gR= µ

2.- ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre las llan-tas de un auto de 1 000 kg y la calzada, si la velocidad máxima con que

puede desarrollar una curva es 50 m de radio, sin pati-nar, es de 72 km/h? (g = 10 m/s2_).

Solución:

La fuerza que obliga al auto a dar la vuel-ta es la fuerza centrí-peta y ésta es conse-cuencia de por lo menos una fuerza real y radial ( fuerza de rozamiento)

❏ Verticalmente:

❏ Horizontalmente: D.C.L. (auto)

D.C.L. (auto)

N mg= ... (1)

f mvR= 2 µN mvR= 2

... (1)

... (2)

❏ De (1) y (2):

3.- Una esferita rueda con una velocidad “v” a lo largo de una circunferencia hori-zontal dentro de un cono hueco, tal como se muestra. Determinar “v” en función de “y”. Solución:

De la figura:

❏ Verticalmente:

❏ Horizontalmente:

❏ (1) : (2)

µ =v

gR 2

g=10m s/ 2 R=50m

;

µ= 20 ⇒ µ=

10 50 0 8

2

b g

b gb g

;

tanθ =R

y

ΣF=0

... (1)

F mvRc= 2

... (2)

4.- Un cuerpo descansa sobre una platafor-ma horizontal, y se encuentra a 2 m del eje; si µ = 0,20.

Calcu-lar la velocidad angu-lar máxima de la pla-taforma para que el cuerpo no salga dis-parado (g = 10 m/s2_).

tanθ =gR

v2 R

y=gRv2 ⇒ v gy= Nsen mgθ =

Ncosθ =mv_R2

Solución:

La fuerza que obliga al cuerpo a describir una circun-ferencia es la fuerza centrípeta y ésta es consecuen-cia de por lo menos una fuerza real y radial (fuerza de rozamiento).

❏ Verticalmente:

❏ Horizontalmente:

❏ (2) : (1)

D.C.L. ( cuerpo)

ΣF=0

F m rc= ω2

µN m r= ω2 ... (2)

... (1) N mg=

µ=ω2r ⇒ ω= µ

g rg

5.- Una piedra de masa 4 kg se hace girar en un plano hori-zontal mediante una cuerda de 50 cm, la resistencia a la rotura de la cuerda es 200 N. ¿ Cuál es la máxima veloci-dad angular a la que se podrá hacer girar la piedra?

Solución:

❏ Horizontalmente:

D.C.L. (piedra)

Tmax=200N F T_c=

m r Tω2 ω 200

4 0 5

= ⇒ _max=

,

b gb

g

ω_max=10rad s/

6.- Una bolita se encuentra atada a una cuerda y gira en un plano vertical, si en el instante mostrado su veloci-dad tangencial es de 4 m/s. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (m = 7 kg ; g = 10 m/s2_).

Solución:

7 4

2 7 10 12

2

b g

b g

= −

F

HG

I

KJ

7.- Un motociclista efec-túa un movimiento circular muy peligro-so, con un radio de 4 metros. ¿ Cuál debe ser su velocidad míni-ma que debe tener para no caer? El coefi-ciente de fricción en-tre las llantas y la pis-ta es 0,5 (g = 10 m/s2_).

Solución:

❏ Verticalmente:

Para que no caiga:

❏ Horizontalmente:

❏ _{(1) : (2)}

f mg=

µN mg= ... (1)

F mvRc= 2

N mvR= 2 ... (2)

µ =gR ⇒ =

v2 v

b gb g

Dato: ❏

ΣF=0

f m r= ω2

ω= 0 20 10 ⇒ ω=

2 1

, _/

b

gb g

F T mgc= − cos60°

mv

R T mg 2

60

= − cos °

T=91N

8.- Dos esferitas se encuentran unidas mediante un ca-ble del modo como se muestra en la figura, despre-ciando todo tipo de

fricción determinar con qué velocidad angular constante debe girar la esferita “1” para que la esferita “2” permanezca en equilibrio.

(m₂ = 5m₁; g = 10 m/s2_).

Solución:

❏ Equilibrio vertical (m₂):

❏ Luego: (β) = (α)

D.C.L. (m₂)

T m g= ₂

❏ Horizontalmente (m₁): D.C.L. (m 1)

... (α)

F T_c=

... (β)

9.- Calcular la velocidad angular del anillo de masa”m” que gira en torno al eje mostrado. El anillo está sujeto por un cable inextensible (g = 10 m/s2_).

m r m g_{1 2}ω = ₂

m r m g1 2ω =

b

g

❏ Verticalmente:

❏ Horizontalmente:

❏ (2) : (1)

Nótese que la ten-sión es la misma por ser la misma cuerda, ya que pasa por un anillo.

Cálculo del radio “R”

... (1)

... (2)

ω= ⇒ ω=

10 18

5 53

ω2=g ⇒ ω=

R Rg

Solución:

m r T_{1 2}ω =

R sen=6 37 185° = m

ΣF=0

mg T= cos53° +Tcos37°

mg T=

b

g

m R Tsenω2 = 53° +Tsen37°

m R T senω2 =

b

g

ω2 53 37

53 37

4 5 35 3 5 45

1 R

g =sen ° +° +sen °°= +

+ =

cos cos

ω= 5 = ⇒ ω=

2g 52 10

b g

1.- En la figura, “A” es una rueda motriz de 4 m de radio,”B” es una rueda movida por fricción y tiene un radio de 0,5 m. En qué relación están sus aceleraciones centrípe-tas?a_{cp (A)} / a_{cp (B)} = ??

Rpta.

2.- Un bloque gira en un plano horizontal atado a una cuer-da de 0,1 m de longitud. Calcular la velocicuer-dad angular máxima si se sabe que la máxima tensión en la cuerda sin romperse es de 9 veces su peso (g = 10 m/s2_).

Rpta. 30 rad/s

3.- Un piloto de 80 kg de masa quiere hacer un lazo de 30 m de radio con una velocidad de 50 m/s. Deter-minar la reacción mínima sobre el asiento del pilo-to en Newpilo-ton (g = 10 m/s2_).

Rpta. 5 866,7 N

4.- En la figura se muestra una plataforma lisa, en la cual se ha colocado un cuerpo de 2 kg unido a un resorte de constante igual a 20 N/cm. Si la plataforma está gi-rando a razón de 20 rad/s. Determinar la deformación del resorte.

Rpta. 8 cm

5.- Una esferita unida a un hilo de longitud “R” se le hace girar en un plano vertical a partir del extremo libre del hilo. Encontrar una relación entre la velocidad angular, g y R , para la cual la cuerda siempre permanezca tensa. Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

6.- Estando un resorte ingrá-vido no deformado y el ta-blón girando, se une a su extremo un bloque pe-queño. Encontrar una re-lación entre la velocidad angular, K y m, para la cual el resorte no se deforme ilimitadamente.

Rpta.

7.- Un avión da “una vuelta mortal” de radio igual a 500 m, a una velocidad constante de 360 km/h. Hallar el peso del piloto en el punto superior si su masa es de 70 kg (g = 10 m/s2_).

Rpta. 700 N

8.- Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente (ve-locidad angular cte) en un plano vertical. Encontrar la masa de la piedra, si la diferencia entre la tensión máxi-ma y mínimáxi-ma en la cuerda es 20 N ( g = 10 m/s2_).

Rpta. 1 kg

9.- Un cuerpo de 5 kg de masa atado a un cable de 1 m de longitud gira en un plano vertical constante con una velocidad tangencial de 10 m/s. Si la tensión mí-nima del cuerpo es 450 N y la máxima 550 N. Hallar la tensión en “c” (g = 10 m/s2_).

Rpta. 500 N

10.- Una esfera de masa “M” se sujeta a una cuerda de lon-gitud “L”, haciéndola girar en un circulo horizontal, for-mando la cuerda un ángulo “α” con la vertical.

Deter-minar la velocidad angular de la esfera.

Rpta. 1

8

ω > g

R

ω < K

m

ω

α = g

B problemas complementarios

1.- Acerca de la fuerza centrípeta, es falso que: a) Es una fuerza resultante radial.

b) Es necesario para que exista movimiento circular. c) Origina una aceleración normal ó centrípeta. d) Determina cambios en la dirección de la velocidad. e) Origina cambios en el módulo de velocidad tangencial de los cuerpos que realizan movimien-to circular.

Rpta. E

2.- Una esfera de 0,5 kg, es soltada en el punto A. Si al pasar por B y C tiene rapidez de 5 m/s y 3 m/s respectivamente. Calcu-lar las reacciones nor-males en dichos puntos (g = 10 m/s2).

Rpta.

3.- Una cuerda de longitud 60 cm cuya resistencia de ro-tura es 100 kg hace girar a un objeto de 8 kg en un plano horizontal.

¿Cuál es la máxi-ma velocidad que puede comuni-carse a dicho ob-jeto (g = 10 m/s2_).

Rpta.

4.- Que velocidad mínima será necesaria darle a un móvil que está atado a una cuerda para que describa una tra-yectoria circular vertical en la parte superior? ( R = 5 m) (g = 10 m/s2_).

Rpta. 7 m/s

5.- Un automóvil se desplaza en una pista horizontal de 200 m de radio. ¿Con qué rapidez máxima se puede desplazar dicho automóvil en dicha pista? El coeficien-te de rozamiento entre la pista y los neumáticos es 0,8 (g = 10 m/s2_).

Rpta. 40 m/s

6.- Determinar la velocidad que debe tener un tren sobre el Ecuador terrestre, de manera que no exista fuerza de con-tacto entre el tren y el camino, R_T = 6 400 km.

Rpta. 8 km/s

7.- Calcular la máxima velocidad angular con la cual puede gi-rar el sistema tal que el anillo se encuentre a una distancia de 0,5 m respecto del vértice “O”. El coeficiente de roza-miento estático entre el anillo y la barra es 0,5 (g = 10 m/s2_).

Rpta.

8.- Dos esferas de 1 kg, cada uno están unidos por una cuer-da de 0,5 m de longitud y una de ellas mediante otra cuerda de 0,5 m unida a un eje vertical que gira con velocidad

an-gular constante de 10 rad/s. Cal-cular las tensio-nes que sopor-tan cada cuer-da cuando las esferas giran en un plano hori-zontal liso.

Rpta. T₁ = 150 N ; T₂= 100 N

9.- Dos bolas idénticas unidas por un hilo de longitud ”L = 10 m” se mueven con velocidades iguales “v” por una mesa horizontal lisa. El centro del hilo choca contra un clavo. ¿Cuál será la tensión del hilo en el instante que éste haga contacto con el clavo? las velocidades de las bolas forman un ángulo de 30° respecto al hilo y la masa de las bolas es m = 1 kg, v = 10 m/s.

Rpta. 5 N

10.- Un péndulo doble gira alrededor del eje vertical, de ma-nera que los hilos

ya-cen en un mismo pla-no y forma con la verti-cal, ángulos constantes de 37º y 53º. Las longi-tudes de los hilos son iguales a 5 m ¿Cuál es la velocidad angular de rotación del péndulo?

Rpta. ω = 1,38 rad/s

R N

R N

B

C

=

=

165 8 45 8

5 3

5 2 rad/s