XX Encuentro Nacional y XII Internacional. Educación Matemática en carreras de ingeniería libro de actas.

XX ENCUENTRO NACIONAL Y XII INTERNACIONAL

EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN CARRERAS DE INGENIERÍA

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías

Universidad Nacional de Santiago de Estero

XX ENCUENTRO NACIONAL Y XII INTERNACIONAL

EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN CARRERAS DE INGENIERÍA

Libro de Actas

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías

Universidad Nacional de Santiago de Estero

Universidad Nacional de Santiago del Estero – Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías

EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN CARRERAS DE INGENIERÍA

XX ENCUENTRO NACIONAL Y XII INTERNACIONAL

Libro de actas: XX Encuentro Nacional y XII Internacional de Educación Matemática en Carreras de Ingeniería / Patricia Alejandra Có ... [et al.] ; compilado por María Inés Morales ; coordinación general de Nori Esther Cheeín de Auat. - 1a ed . - Santiago del Estero: Lucrecia, 2017.

Libro digital, PDF

Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-987-720-151-2

1. Educación. 2. Matemática. I. Có, Patricia Alejandra II. Morales, María Inés, comp. III. Cheeín de Auat, Nori Esther, coord.

PRESENTACIÓN

El XX Encuentro Nacional y XII Internacional de Educación Matemática en Carreras de Ingeniería (EMCI), se llevó a cabo durante los días 17, 18 y 19 de mayo de 2017 y fue organizado por el Departamento Académico de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías de la Universidad Nacional de Santiago del Estero.

El evento se propuso generar un espacio que reúna a docentes de Matemática en Carreras de Ingeniería, para un diálogo reflexivo, un lugar de convergencia y concertación de experiencias, vínculos y nuevos acuerdos, de comunicación de resultados de investigación, de análisis de proyectos colaborativos y de extensión en el área.

A partir de los propósitos mencionados, la participación giró en torno de los siguientes Ejes Temáticos: • Aplicaciones de la Matemática

• Investigación Educativa • Experiencias de Cátedra • Articulación y Extensión

Durante el encuentro se desarrollaron dos Conferencias:

- Sistema Nacional de Reconocimiento Académico de la Educación Superior

A cargo de la Sra. Directora Ejecutiva del Programa de Calidad Universitaria, Dra. Mónica Marquina. - Competencias de Egreso y el Perfil del Ingeniero Iberoamericano

A cargo del Sr. Decano de la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías de la Universidad Nacional de Santi ago del Estero, Ing. Héctor Rubén Paz.

Se aceptaron 11 Talleres:

- Herramientas de Google Drive para el diseño de evaluaciones

Adriana Favieri, Roxana Scorzo, Betina Williner

- Variedades lineales en

Liliana N. Caputo, Itatí S. Sosa, Paula D. Bordón

- Análisis de Textos para Seleccionar y Organizar Contenidos de Enseñanza

Gustavo Enrique Menocal

- Cinemática en el aula de matemática

María de las Mercedes Trípoli, Eugenio Devece, Patricia Torroba, Luisina Aquilano

- Aplicaciones de GeoGebra en 2D y 3D para la Optimización de Recursos en Ingeniería. Experiencia Didáctica en un Entorno Virtual

Zulma Elizabeth Zamudio, Segundo B. Marcos Ernesto Paredes, Gustavo Daniel Medina, Juan Carlos Barreto

- Cómo aportar a la formación de la competencia de resolución de problemas desde la Evaluación: Una reflexión desde la práctica docente

Carolina Carrere, Alberto Miyara, Emiliano Ravera, Leandro Escher, Iván Lapyckyj, Gustavo Pita De Dios, Diana Waigandt, Marisol Perassi

- Tensores y Aplicaciones a La Ingeniería

Pedro M. A. Santucho, Estela E. Reyna

- Pescando Números Irracionales con Polinomios Enteros. Una Propuesta de Articulación entre La Aritmética y El Álgebra

Elsa Fernández, Juan Pablo Simonetti

- Propuesta de enseñanza de las Cónicas con GeoGebra

Ana Cecilia Larrán, Lilian Nadia Plaza, Eugenia Elizabeth Gallardo

- Aplicación de indicadores para el desarrollo del pensamiento estadístico en alumnos de Ingeniería

Graciela H. Carnevali, Noemí M. Ferreri

- Aprovechando los cursos de Matemática para enseñar a razonar

María V. Artigue, Patricia M. Cerizola, José J. Flores, Eduardo M. Lacues

El Libro de Actas del XX Encuentro Nacional y XII Internacional de Educación Matemática en Carreras de Ingeniería contiene 106 trabajos, los cuales se muestran en cuatro capítulos respetando los Ejes Temáticos abordados durante el evento. Esperamos que esta publicación electrónica permita una gran difusión de los trabajos contenidos en ella, fomentando de este modo el diálogo de docentes e investigadores interesados en la temática del encuentro.

Munisipalidad de la ciudad de Santiago del Estero

Auspiciaron el Encuentro

Declararon al Encuentro de Interés Académico/Educativo

AUTORIDADES

COMISIÓN PERMANENTE

María Inés Lecich Marys Margarita Arlettaz

Nori Cheeín de Auat María de las Mercedes Suárez

Irma Beatriz Ruffiner Ana María Narváez María Beatriz Bouciguez Mónica Graciela Scardigli

Gloria Prieto Silvia Graciela Seluy Marta Graciela Caligaris

COMISIÓN EVALUADORA

Ana Elena Gruszycki Pedro Daniel Leguiza Nori Cheeín de Auat María de las Mercedes Suárez

Irma Beatriz Ruffiner Ana María Narváez María Beatriz Bouciguez

Mónica Scardigli Gloria Prieto Silvia Graciela Seluy Marta Graciela Caligaris

Mario José Mantulak Jorge Omar Morel María del Carmen Ibarra

MIEMBROS HONORARIOS

Veremundo Fernández Carlos Enrique Wüst

COMISIÓN ORGANIZADORA

Miriam Alagastino Cristina Basualdo Soria

Lilia Susana Cañete Nori Cheeín de Auat Ricardo Cordero

Diego Coria Lidia De Pablo Segundo Marcelo Díaz

Marcela Domski Norma Beatriz Fernández

Ariel Gerez Pedro González Ruíz

Lucía B. Hilal Viviana Ledda Alejandra Lima Gustavo López Marcelo Lugones María Inés Morales Yris Bettiana Rafael

Miriam Ríos Grabiela Robles

Ángel Rossi Pablo Saracho

María Mercedes Simonetti de Velázquez Elvio Suarez

Andrea Torres Walter Torres Mario R. Varone Ximena Villarreal

ÍNDICE

CAPÍTULO 1: Aplicaciones de la Matemática

Hacia el Uso de Tópicos de las Ciencias Básicas en el Marco de un Proceso de Diseño Instruccional. Una Aplicación en el Campo de la Ingeniería……….………….………

Alejandro Hossian, Lilian Cejas

3

Aplicación de Métodos Numéricos Simplécticos a Sistemas Mecánicos Conservativos……….………..……..

José Alberto Sánchez, Ernesto Farías de la Torre, Osvaldo Natali

12

Método del Prisma para la Determinación de la Dimensión Fractal de una Imagen. Algoritmo y Procedimiento Computacional………..………

Jesús Rubén Azor Montoya

22

Álgebra Lineal en el Contexto de la Mecánica Cuántica………

M. Graciela Benzal, M. Lourdes Fernández, Lourdes A. Urueña

31

Ajuste de Datos Mediante Polinomios que Pasan por un Punto Anguloso………..

Carlos Adolfo Calvo, Armando Imhof, Beatriz Morales, Rodolfo Rodrigo

39

Aplicación de Conceptos Teórico-Prácticos de Álgebra Lineal para el C álculo de Balances de Masa Utilizados en Ingeniería en Alimentos………

Lucrecia L. Chaillou, Valeria Corvalán

45

Determinación del Punto de Equilibrio del Mercado Usando MatLab………

Sonia Jacamo, María R. Castro

52

Aplicación de la Descomposición en Valores Singulares en la Compresión de Imágenes Digitales……….…………..…….

Luciano Savoie, María Mercedes Gaitán, Ernesto Klimovsky

61

Aplicaciones función variable compleja a flujo potencial usando software Mathematica……….……

Adriana Favieri, Diego Igareta

69

Métodos Geométricos de Grupos de Lie Aplicados a Recientes Desarrollos Computacionales en Tecnología………..

Daniel Juan Alberto Abud, Salvador Daniel Ramón Gigena

77

Lote Económico. Análisis desde la Ingeniería………

Daniel Juan Alberto Abud

85

Una Experiencia Positiva: Formación Docente Continua……….………

Pedro M. Santucho, Claudia A. Roitman, Daniel E. Pagot

91

Solución Numérica del Pandeo de una Columna con Extremos Articulados……….

Pablo Marcuzzi,Susana Ozán, Alejandra Garcés

98

Solución Numérica a las Ecuaciones Newtonianas del Equilibrio Hidrostático Aplicado a Enanas Frías……….………

Matías G. Flores, Sonia E. Capdevila

106

Utilización de Técnicas Estadísticas para la Toma de Decisiones Estratégicas en la Indutria Aceitera……….

Alicia M. Gaisch, Cecilia L. Martinefsky , Miriam Cocconi, Isabel C. Riccobene

112

Análisis del Proceso Productivo de una Pequeña Empresa de Manufacura: Un Enfoque Estadístico………..……..

Mario José Mantulak,Gilberto Hernández Pérez, René Abreu Ledón

118

Ajuste Intrínseco con Polinomios……….……….………

Carlos Adolfo Calvo, Armando Luis Imhof , Analía Moyano, Beatriz Morales

127

Competencias para el Modelado Matemático en Ingeniería Industrial: Una Necesidad Ineludible………

Víctor Kowalski, Dario Enriquez, Mercedes Erck, Iván Santelices

134

Diseño de Máquinas Usando el Paquete "Geogebra". Despuntadora de Madera Trapezoidal...………

Pedro Oscar Semeniuk

144

CAPÍTULO 2: Investigación Educativa

Los Protocolos de Corrección: Ventajas e Inconvenientes de un Sistema Estandarizado de Puntuación de Exámenes....

Alberto J. Miyara, Gustavo Pita, Carolina Carrere, Emiliano Ravera

153

Estrategias de Enseñanza de Funciones Recursivas en Ciencias de la Computación……….………

Mario Enrique Quintana, Jorge Enrique Sagula , Florencio Isidro Monzón

160

La Comparación del Desempeño de Dos Grupos de Estudiantes en la Resolución de un Problema para Evaluar una Actividad de Alfabetización Académica.………..………..………..

Vicente Messina, Teresa Gil, Carlos Pano

168

Un Estudio de Competencias Iniciales de los Ingresantes en la Facultad de Ciencias Forestales ……….………

Elsa Ibarra , Sylvia Nabarro, Claudia Cejas, Carolina Ger

174

Las Prácticas Educativas y el Desarrollo de Competencias Básicas en las Carreras de La Facultad de Ciencias Forestales

Sylvia Nabarro, Elsa Ibarra, Claudia Cejas, Carolina Ger

183

Rendimiento Académico de Alumnos de las Carreras de la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología de la UNT ante la Segunda Fase de Acreditación……….………

Ana María Sfer, Estela del V. Ruiz, P. Lorena Naidicz

190

Introducción al Estudio de la Función Signo Matricial……….……….

Leonor E. de la Torre, Graciela B. Ganyitano, Claudia R. Fernández, Sonia V. Jacamo

199

Revisando los Conceptos de Máximo y Mínimo de una Función. Análisis Histórico-Epistemológico……….………

Betina Williner, Adriana Engler

208

Repensar la Evaluación, Transformar la Enseñanza: Diálogos Posibles……….……….…………..…….

Ana María Espinoza, Ana Clara Torelli, Roxana Pagano, Silvina Muzzanti

216

Incluir Teoría de Grafos en la Currícula de Ingeniería: Una Propuesta a Considerar……….………….….……

Raquel Cognigni, María Lorena Alfonso, Teresa Braicovich

225

Revisión de las Prácticas Docentes: Metodologías Activas para la Enseñanza de Análisis Matemático I……..………..

Martha S. Rosso, Mercedes Soria, Jaquelina Aimar, Stella Vaira 231

Una Estrategia de Enseñanza Innovadora en la Asignatura Cálculo II………..……….

Mirta M. Arias, Silvia E. Busab, Amalia E. Nahas

240

Una Experiencia del Uso del Geogebra en los Temas: Circunferencia, Elipse e Hipérbola, en el Ciclo Básico de las Carreras de Ingeniería……….………..

Ruiz Collivadino Ignacio, Hurtado Julia M., Alurralde Florencia M., Giliberti José

250

Aplicaciones de la Matemática en Carreras de Ingeniería: una Debilidad en la Formación de Profesores de Matemática……….……….

Cintia C. Vernazza, Daniela V.Emmanuele

259

Una Propuesta Didáctica Mediada en las NTIC para el Aprendizaje del Tema Integral Indefinida……….………

Holgado Lisa, Marcilla Marta, Mercau Susana

268

La Enseñanza de la Matemática: el Desafío de Enseñar a Partir de los Errores……….

Roxana G. Ramírez, Irma M. Benítez, María I. Gandulfo, Diana C. Musto

275

El Proceso de Enseñanza y de Aprendizaje en el Departamento de Matemática de la FCEIA de la UNR: Realidades y Concepciones de los Profesores.……….……….……….………

Raúl D. Katz, Mabel A. Medina

284

¿Qué Competencias Aporta Análisis Matemático 2 al Graduado de Ingeniería? ……….……..………

Sara A. Alaniz, Gladys C. May, Marcela N. Baracco, Roberto J. Simunovich

291

Visualización Interactiva y Secuencia Didáctica de Fenómeno Runge y Polinomios de Tchebyshev en Cálculo Numérico ………

Oscar Enrique Ares

299

Relaciones Funcionales entre las Actitudes hacia la Matemática y los Resultados Académicos………..

Antonio Humberto Closas, Edgardo Alberto Arriola, Mariela Rosana Amarilla, Ethel Carina Jovanovich

Un Estudio Sobre los Saberes y Competencias de los Alumnos Ingresantes a la Universidad……….………..………..

Graciela del Valle Echevarría, Daniel Felizzia, María Agostina Cagnina

318

Introducción al Cálculo de la Raíz p_ésima Principal de una Matriz Cuadrada Real con Valores Propios Reales….…………

Claudia R. Fernández, Leonor E. de la Torre, Sonia V. Jácamo, Graciela B. Ganyitano

327

Determinación de Variables que Influyen en el Rendimiento Académico………..………..……….…………..

Myriam Herrera, Susana Ruiz, María Romagnano, María Inés Lund

337

Prácticas de M-learning en Álgebra Lineal……….………….…..

María Inés Morales, Susana Herrera, Cristina Fennema, Rosa A. Palavecino

347

Evaluación de Competencias sobre Aplicaciones de las Derivadas de Alumnos en la Facultad de Ciencias Forestales.....

Carolina Ger, Elsa Ibarra, Sylvia Nabarro, Claudia Cejas

355

La Alfabetización Matemática de Recursos Tecnológicos……….……….

Claudia Cejas, Elsa Ibarra, Sylvia Navarro, Carolina Ger

365

Formulación de un Proyecto de Investigación sobre los Registros Semióticos de Representación en Geometría del Espacio………..

Ana E. Gruszycki, Mónica P. Maras, Pedro D. Leguiza, María Cristina Cardozo

373

Resultados de la Evaluación de un Proyecto de Investigación en Entornos Virtuales………..

Analía E. Almirón, Pedro D. Leguiza, Mariela B. Sánchez

381

Educación Matemática en Carreras de Ingeniería. Gráfica de Funciones y Continuidad

………..

Agustín Menuet, María Laura Aliaga

389

CAPÍTULO 3: Experiencias de Cátedra

Una Aplicación de las Integrales Definidas, Experiencia de Aula………...………

Sandra Barrile, Gabriela Righetti

401

Para Salir de la Rutina: Problemas sobre Continuidad y Derivabilidad donde Intervienen Parámetros……….……….…

Poggio M. Inés, Aloisio M. Alejandra,Jiménez M. Agustina

408

Propuesta de Diseño para una Clase sobre el Tema Curvas de Nivel ………..………..………..…

Patricia Cuadros, Sebastián A. Godoy

418

Diseño de Actividades de Transformación Conforme en Función de Habilidades Matemáticas de Acuerdo a la Taxonomía de Bloom……….

Favieri Adriana

425

Taller de Análisis Matemático II. Propuesta educativa innovadora en la Facultad Regional San Nicolás………..

Riccomi Humberto, Sacco Lucia

432

Aprendizajes Significativos de Matemática en Ingeniería Mediante el Uso de Nuevas Tecnologías……….

José Luis Galoppo, Adolfo Vignoli, Daniel Lucio Sandín, Laura Cecilia Díaz

442

Experiencia de Aprendizaje de Asíntotas de Funciones con Mathematica………..

Scorzo Roxana

448

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: una propuesta didáctica que integra tres enfoques………..………

Silvia Seminara, Gabriela Righetti

456

Búsqueda de Funciones Inversas de una Variable Real, Estrategias para Hallarlas, otra Mirada de Enseñanza...

Folino Patricia Nora, Boutet Stella

463

Una Experiencia Didáctica en Torno a Problemas de Distancia de la Geometría Analítica………..………….

Patricia Có, Mónica del Sastre

470

Uso del Aula Virtual en el Estudio de Casos en la Formación Matemática en Carreras de Ingeniería………

Mónica Scardigli, Alicia Álvarez , Carolina Cordon, Aída Miguel

477

Justificación Teórica del Diseño de Actividades Relacionadas con el Concepto de Derivada……….………

Favieri Adriana, Betina Williner, Scorzo Roxana, Falsetti Marcela

¿Cómo Evaluar el Rendimiento Académico de la Cátedra de Análisis Matemático II?………

Correa Zeballos Marta Adriana, Moya Mirtha Adriana, Gallo Ricardo Raúl

491

Uso de Indicadores para el Trabajo con Casos en el Primer Curso de Estadística para Ingeniería Industrial……….………...

Graciela H. Carnevali, Noemí M. Ferreri, Lucía de las Heras

501

Problematizando las Funciones Trigonométricas a través de la Simulación ………...……

Dirce Braccialarghe, Beatriz Introcaso, Alicia Matassa, Marisa Piraino

508

El Problema de la Generalización de Propiedades en la Enseñanza de Series Numéricas. Experiencia de Aula…….…...…..

Barrile Sandra Leonor, Boutet Stella Maris

514

Trabajo Práctico Integrador de Probabilidad y Estadística. Utilización de Datos Reales……….………..……

Diana R. Kohan, Marisa Battisti, Jorge S. Farabello

518

En búsqueda de Mejores Aprendizajes de las Distribuciones de Probabilidad: Algunos Logros Alcanzados y Nuevas Dificultades Emergentes………..………

María E. Álvarez, Noemí M. Ferreri, Raúl D. Katz

523

La Plataforma Moodle: Posibilidades para una Evaluación Continua de Aprendizajes en Cálculo de una Variable en la Universidad……….………

Mario Garelik, María Angélica Zurbriggen

531

Propuesta de Método Alternativo Matricial para la Resolución de Sistemas de 2x3 Aplicable a otras Dimensiones……

Pedro Oscar Semeniuk

541

Enseñanza de la Probabilidad Condicional Mediada por Estrategias de Simulación para Revertir Posibles Sesgos en la Comprensión del Concepto………..……….………

Andrea S. Arce, Andrea V. Álvarez, María C. Kanobel, Débora M. Chan

547

Sistema de Promoción de Elementos de Álgebra Lineal en carreras de Ingeniería………..………..

Juana Ester Vizchi, Estela Fátima Fernández

553

Autovalores y Autovectores: Una Experiencia Interfacultades en Ingeniería a través de Flipped Learning………..

Arce Andrea, Beherens Nadia, Moreno Alejandro, García Zatti Mónica

561

Cartesianas Vs Paramétricas, Duelo en un Mundo de Trayectorias………..……….

Graciela Paolini, Fernanda Lusente, Rafael Cornejo Endara

567

Coordinación de Registros de Representación Semiótica en el Tema Sistemas de Ecuaciones Lineales Utilizando Software GeoGebra……….

Gallo Humberto G., Herrera Carlos G.

573

Variables Marginales en la Economía desde la Ingeniería………..……….………

Daniel Juan Alberto Abud, Ernesto Guillermo Nieri

580

Actividades para Promover el Desarrollo de Habilidades Matemáticas en Torno al Concepto de Derivada: Diseño y Prueba Piloto……….………..

Betina Williner, Scorzo Roxana, Favieri Adriana

587

Dificultades en "Serie"……….……….………...………..

Poggio M. Inés, Bontti Griselda, Piedrabuena Andrea

597

Una Experiencia de Integración Articular Utilizando TIC………...………..

Diego Conte, Silvina Agnoli, Stella Farías, Susana Pintos

604

Competencias en Matemáticas de Alumnos Ingresantes a la Facultad de Agronomía y Agroindustrias de la Universidad Nacional de Santiago del Estero...

Valeria Corvalán, Lucrecia L. Chaillou

613

Ecuaciones en Diferencias. Distintos Enfoques……….……….………

Laura Oliva, Ivonne Esteybar

619

Una Propuesta Didáctica desde la Enseñanza para la Comprensión……….………..

Marisa Reid, Rosana Botta Gioda, Fabio Prieto

625

Uso de Objetos de Aprendizaje para el Desarrollo de Habilidades Matemáticas……….………

Marta Caligaris, Georgina Rodriguez, Adriana Favieri, Lorena Laugero

La Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática en los Nuevos Contextos……….……….

Pérez María Angélica, De Rosa Elisa, Veliz Margarita

642

Representación Geométrica de los Parámetros de una Función Utilizando un Recurso del GeoGebra……….

Haye Egle Elisabet

649

La Clase Invertida como Modelo para la Enseñanza de Integrales Indefinidas en un Curso de Ingeniería...

Georgina Rodríguez, María Celeste González, Carina Daniela Pacini

658

Laboratorio de Estadística Descriptiva: Aprendizaje e Incentivo para la Investigación……….……….…….

Silvana Sofía Nelli, Alfredo Roberto Pauluk, Mario José Mantulak

665

Análisis de funciones asintóticas utilizando “Geogebra”………..…………..

Pedro Oscar Semeniuk

672

Misceláneas……….…………..………..….

José I. Gómez, Elsa del V. Ibarra

678

Una Mirada Crítica a los Cursos de Estadística para Ingeniería Industrial………..……….

Graciela H. Carnevali, Pablo Parodi, Juan Manuel Rinaldi, Cecilia Rustichelli

686

Diseño de una Propuesta Didáctica para Análisis Matemático Utilizando un Modelo de Entorno de Aprendizaje Ubicuo en Ingeniería……….

Ricardo D. Cordero, María M. Simonetti de Velázquez, Saritha G. Figueroa

693

Resolución de Problemas Empleando Matlab: un Análisis de las Prácticas Educativas……….………..

Cristina Elizabeth Basualdo, Pablo E. Zurita Bianchini, María Inés Morales, Cristian Eduardo Benítez

701

Innovadora Estrategia para Enseñar Calidad en Carreras de Ingeniería………..…………..….

Alejandro Daniel Ponce, Sonia Elisabeth Capdevila

709

Aplicación Motivadora de Matrices a las Ciencias Biológicas………..

María Gimena Perez Mercado, Sonia Elisabeth Capdevila, Ana Dominguez

713

¿Qué Enseñar de la Herramienta Esencial del Ingeniero?...

Pedro M. A. Santucho, Estela E. Reyna

719

Utilización de Casos en el Curso de Probabilidad y Estadística: una Experiencia con Alumnos de Ingeniería Industrial….

Noemí M. Ferreri, Facundo Martínez, Jesica Romero, Amancay Scaglia

727

La Gestión del Conocimiento y Resolución de Problemas Matemáticos en Entornos Virtuales……….

Miriam E. Ríos, Gustavo J. López, Sebastián I. Scaglione, Eve L. Coronel

733

Propuesta Metodológica para la Enseñanza de Matemática con Modalidad B-Learning en el Nivel Universitario……….

Analía Mena, Marta Golbach, Elsa Rodríguez Areal, Graciela Abraham

741

Un Ejemplo de Construcción de un Universo Matemático Local: El Universo de la Derivada………..………..

José Ismael Gómez, Elsa del Valle Ibarra

751

Una Experiencia Didáctica Basada en el Uso de Video Lecciones………..

Gloria Prieto, Stella Maris Figueroa, María Laura Distéfano, Sandra Baccelli

760

Evolución del Rendimiento Académico de los Alumnos de Matemática en Primer Año de las Carreras de Ingeniería a partir de la Incorporación de Estrategias de Enseñanza………..………..

Silvia G. Seluy, Agostina M. Zucarelli

768

La Actitud hacia la Implementación de Aulas Virtuales para el Aprendizaje de la Asignatura Matemática en el Nivel Universitario………....

María de los Ángeles Juarez, Alejandra Fernández, Eduardo López Ávila, Melina Delgado

775

CAPÍTULO 4: Articulación y Extensión

Un Acercamiento entre Ingeniería y Sociedad y Álgebra y Geometría Analítica………...………

Ana María Narvaez, Luis Gomez

Ecuaciones Trigonométricas: Análisis y Mejora de una Secuencia Didáctica……….……….…

Eliana Lucía Pennisi, María Florencia Agüero, Andrea Aznar, Gloria Prieto

793

Reflexiones que Optimizan los Procesos Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría………

María Rosa Rodríguez, Sandra Noemí Franco

800

Una experiencia de articulación con el tema expresiones algebraicas……….

María de las Mercedes Ganim, María Eugenia Roig, Isabel del Valle Lomas, Juana Ester Vizchi

808

Análisis Estadístico Aplicado en la Proposición de una Red de Ciclovías en el Gran San Juan……….

Mariana Laura Espinoza, Aníbal Leodegario Altamira

815

Herramientas TIC para aulas del nivel secundario: una experiencia de articulación bajo la modalidad b-learning………… Saritha G. Figueroa, Verónica E. Leiva, Ricardo D. Cordero, Pedro J. Basualdo

Hacia el Uso de Tópicos de las Ciencias Básicas en el Marco de un

Proceso de Diseño Instruccional. Una Aplicación en el Campo de la

Ingeniería

Alejandro Hossian, Lilian Cejas

Grupo de Investigación en Ciencias Básicas aplicadas a la Ingeniería – Facultad Regional Neuquén – Universidad Tecnológica Nacional – Plaza Huincul – Provincia de Neuquén – Argentina.

[email protected], [email protected]

Resumen. La presente propuesta metodológica se enmarca dentro de un proyecto de investigación con asentamiento en el departamento de Ciencias Básicas de la Facultad Regional Neuquén de la Universidad Tecnológica Nacional. La metodología propuesta incluye cuatro fases que se desarrollan en forma gradual para que el estudiante esté en condiciones de desarrollar un análisis conceptual del caso de estudio. En este sentido, se analiza un caso de aplicación en el campo de la Ingeniería con una marcada inclinación a la exploración de las ecuaciones que conforman el modelo matemático del caso de aplicación, en aras de la consecución de un diseño robusto en un nivel que sea alcanzable por un estudiante medio de la carrera de Ingeniería. Los autores se basan en las teorías prescriptivas del diseño instruccional para su investigación, dado que las mismas están orientadas hacia la práctica y estimulan el análisis crítico y reflexivo de situaciones problemáticas ingenieriles.

Palabras Clave: Ciencias básicas, Proceso de instrucción, Modelo matemático, Teorías prescriptivas, Desarrollo cognitivo.

1

Introducción

El principal soporte del presente trabajo de investigación lo constituye la tesis de maestría en el campo de la Ingeniería de Software desarrollada y defendida en la Universidad Politécnica de Madrid: “Sistema de Asistencia

para la Selección de Estrategias Instruccionales”, que consistió en la construcción de un sistema experto que

recomienda estrategias y actividades de enseñanza en función de variables educativas tales como: características del estudiante, tipo de contenido a enseñar, objetivos y ambiente de aprendizaje entre otras [1].

Se asume como hipótesis de partida de este trabajo que el estudiante medio de la carrera de ingeniería atraviesa por una serie de etapas hasta adquirir el grado de madurez suficiente para elaborar y resolver un modelo simplificado de la realidad asociada con un determinado problema que se le presenta. En este sentido, se analiza un caso de estudio en el campo de la Ingeniería con una fuerte impronta de tópicos de las Ciencias Básicas, entre los cuales se destacan contenidos curriculares pertenecientes a asignaturas tales como: Análisis Matemático I, Análisis Matemático II, Álgebra y Geometría Analítica y Física I; entre otras.

Esta interesante experiencia intercátedra, en la cual colaboran a modo de soporte los equipos de las cátedras de las materias mencionadas a los efectos de que los estudiantes logren un análisis robusto y satisfactorio del caso presentado, tiene lugar en un escenario de cooperación entre las asignaturas que intervienen en el proceso de instrucción se ilustra en la Fig. 1:

La idea central de esta experiencia, se basa en proporcionar al estudiante las herramientas necesarias que le permitan alcanzar el grado de madurez suficiente para abordar la tarea de construcción y resolución de modelos asociados a un problema real.

2

Marco Teórico

En esta sección se exponen los fundamentos de los conceptos de “instrucción” y de las “teorías de la instrucción”, los cuales constituyen la base teórica de este proceso de instrucción.

2.1 Concepto de Instrucción

La instrucción puede ser vista como la creación intencional de condiciones en el ambiente de aprendizaje con el objeto de facilitar la obtención de ciertos objetivos educacionales [2, 3].

Desde un punto de vista didáctico, la instrucción consiste en un conjunto de actividades de aprendizaje que se vinculan con todo lo que se espera que realicen los estudiantes con la finalidad de aprender, practicar, aplicar y evaluar entre otras cosas [4]. Estas actividades se articulan en determinadas estrategias de instrucción [5], las cuales ofrecen una guía explícita acerca de la forma más adecuada de implementar estas actividades.

2.2 Teorías de Instrucción

Los fundamentos teóricos que sustentan lo expuesto en la sección anterior se pueden analizar desde una perspectiva “descriptiva” o “prescriptiva” [6]:

 Perspectiva Descriptiva: se consideran a estas teorías como un conjunto de descripciones concernientes a qué resultados se observan como consecuencia de la aplicación de un proceso de instrucción dado y bajo ciertas condiciones del entorno de aprendizaje. Es decir, ayudan a describir los efectos que se producen cuando tiene lugar una determinada clase de sucesos causales.

 Perspectiva Prescriptiva: estas teorías pueden ser vistas como un conjunto de prescripciones tendientes a identificar cuál será el proceso de instrucción óptimo para obtener los resultados deseados bajo determinadas condiciones del ambiente educativo. A estas teorías se las llama “Teorías del Diseño Instruccional” o “Teorías de Diseño Educativo” [7, 8] y están orientadas hacia la práctica o hacia un objetivo. Por ejemplo, si se desea fomentar la retención a largo plazo de algún tipo de información nueva (un objetivo educativo), se sugiere ayudar al estudiante a que relacione esa información con otro tipo de conocimientos asociados que haya recibido con anterioridad (un método educativo).

3

Caso de estudio en el campo de la Ingeniería

Este caso de estudio tiene lugar en el marco de un proceso de instrucción que se compone de cuatro “etapas”, donde el estudiante comienza introduciendo aquellos conceptos que conforman la base del dominio correspondiente al problema que debe resolver, luego elabora las asociaciones existentes entre estos conceptos [9, 10], confecciona el modelo matemático que mejor representa la realidad del caso y resuelve el modelo haciendo uso de una batería de tópicos de las Ciencias Básicas que dispone en esta instancia del proceso de instrucción.

A continuación, se detallan cada una de las cuatro fases del proceso de instrucción propuesto.

Etapa I: Incorporación de los conceptos base del domino del problema a la estructura cognitiva del estudiante.

En esta etapa el estudiante incorpora los conceptos más relevantes en relación con el dominio que se le presenta. Los procesos cognitivos que se presentan con mayor frecuencia en esta etapa son la adquisición de conocimientos y la comprensión, y las estrategias de enseñanza más apropiadas son:

2) Estrategias que promueven la asociación de los conocimientos previos que posee el estudiante con los conceptos que están presentes en el problema.

A continuación se presenta un caso de estudio real en el campo de la Ingeniería en el cual se analiza el problema del análisis y diseño de una montaña rusa en ausencia de fricción. Se considera una situación a nivel de proyecto preliminar, sin datos numéricos (lo que permite realizar un análisis más profundo de la situación), donde se asume como condición de diseño que la fuerza normal ejercida sobre el carro no exceda de un valor admisible estipulado en las especificaciones del proyecto si la curva representativa de la montaña se corresponde con una función de segundo grado. En base a esta condición se necesita obtener dicha función.

En Fig. 2 se representa la situación real en estudio de acuerdo a la siguiente configuración:

Fig. 2. Esquema de situación real del caso de estudio.

Los conceptos básicos que se presentan en la estructura cognitiva del estudiante en esta instancia son numerosos y corresponden a las asignaturas mencionadas; entre los más relevantes se destacan los siguientes: fuerza, masa, aceleración, relaciones trigonométricas, descomposición de fuerzas y leyes de la dinámica [11]. El estudiante identifica estos conceptos y pasa al desarrollo de la siguiente etapa del proceso.

Etapa II: Construcción de un modelo conceptual del problema en la estructura cognitiva del estudiante.

En esta etapa el estudiante asocia los conceptos reconocidos en la etapa anterior y añade otros que le pueden ser de utilidad. Los procesos cognitivos vinculados a esta etapa consisten en la aplicación de leyes y teoremas. Las estrategias que mejor se ajustan son:

1) Articulación de los contenidos.

2) Procesamiento de la información teórica.

3) Articulación las diferentes ideas que surgen del proceso de análisis del problema.

Para hacer operativas estas estrategias, se realizan experiencias en laboratorio y se usan transparencias para un desarrollo más ágil del proceso de instrucción. Asimismo, el estudiante incorpora al análisis del problema conceptos como el de aceleración centrípeta, balance de energía y el concepto de radio de curvatura que le permitirá acometer la dificultad de tratarse de una curva representativa de una parábola. Estos conceptos se asocian con los identificados en la etapa I por medio del planteo del “diagrama de cuerpo en libertad” realizado para un punto B genérico de la trayectoria del carrito, tal como se puede observar en Fig. 3.

Otro detalle conceptual que comienza a aflorar en la mente del estudiante como paso preliminar a la próxima etapa de confección del modelo matemático, es la dependencia del radio de curvatura con las derivadas primera y segunda de la curva representativa de la función de segundo grado propuesta en las consideraciones de diseño (y’(x) e y’’(x)).

Fig. 3. Diagrama de Cuerpo en Libertad en un punto B genérico de la curva donde P es el peso del cuerpo, N es la fuerza normal que el plano ejerce sobre el cuerpo y ϴ es el ángulo entre P y N.

Etapa III: Construcción del modelo matemático representativo del problema.

En esta etapa el estudiante diseña un modelo matemático ajustado a la situación real del problema que se plantea. Los procesos cognitivos que se implementan en esta etapa consisten en sintetizar e integrar los conceptos que se identificaron en las etapas anteriores. Las estrategias que se aplican son:

1) Estimular en el estudiante la tarea de reflexión. 2) Estimular en el estudiante el proceso de inferencia.

3) Estimular en el estudiante la tarea de asociación de conceptos.

Para realizar estas estrategias, se diseñan actividades tales como experiencias más avanzadas en laboratorio y la simulación de mecanismos en gabinetes de informática con la utilización del software apropiado. El estudiante exige su capacidad de abstracción por medio de un proceso mental para sintetizar e integrar todos los conceptos identificados en las etapas I y II aplicando dos leyes claves para la obtención modelo matemático de la situación real:

 Leyes Newton de la Dinámica.

 Ley de Conservación de la Energía.

Con la batería de conceptos de las ciencias básicas a disposición de uso y las dos leyes mencionadas, se está en condiciones de pasar a la confección de las ecuaciones que conforman el modelo matemático en cuestión. Se plantea la conservación de la energía mecánica (ausencia de fuerzas no conservativas como la de fricción) entre los puntos A y B, teniendo en cuenta que yA = H y que para una abcisa xB del punto B, le corresponde una

ordenada yB = axB 2 (recordar que la función general propuesta es y=ax2 con el sistema de referencia de Fig. 2).

Si se asume que el carro parte del reposo desde el punto A y llega al punto B con una cierta velocidad vB, el

planteo matemático de la conservación de la energía es el que muestra la ecuación (1):

)

(

2

2

1

2

1

B B

B B

B B

MB

MA

E

mgH

mgy

mv

mgH

mgax

mv

v

g

H

ax

E





















Se plantea las leyes de la dinámica en base al diagrama de cuerpo libre de figura en la dirección de la fuerza normal, tomando positiva el sentido de dicha fuerza. A la fuerza normal en el punto B se la expresa como NB,al

ángulo como ϴB y al radio de curvatura ρB.

El estudiante llega a la siguiente ecuación del modelo, dada por la ecuación (2):

B B B

B B B

v

m

mg

N

v

m

mg

N









2

B

cos

cos









Tal como se explicitó en el comentario final de la etapa anterior, el estudiante asocia el concepto de radio de curvatura con las expresiones de las derivadas primera y segunda de la curva propuesta, cuya expresión general está dada por la ecuación (3):





''

'

1

y

y







En el punto B se tiene que: yB = axB 2, yB’(xB) = 2axB e yB’’(xB) = 2a. Reemplazando estas expresiones en la

ecuación 3, se obtiene la expresión (4):





a

x

a

2

4

1







Habida cuenta de que la condición de diseño especificada en el proyecto está estrictamente vinculada con la admisibilidad de la fuerza normal ejercida sobre el carro, el estudiante se percata de que la ecuación 2 es clave en el análisis del problema y que es importante intentar homogeneizar la expresión.

De esta forma, considerando que tg (ϴB) = yB’(xB) = 2axB; y por consiguiente tg2 (ϴB) = yB’2(xB) = 4a2 xB2;

que reemplazadas en la siguiente relación trigonométrica entre coseno y tangente especializada en el punto xB, se

tiene la expresión (5):

2 2 2 2

4

1

1

cos

)

(

1

1

cos

)

(

1

1

cos

x

a

tg

x

punto

el

para

tg



























En esta instancia del proceso de instrucción, el estudiante identifica las ecuaciones que conforman el modelo matemático del caso de estudio:

)

(

2

2

B

B

g

H

ax

v





B B B

v

m

mg

N





cos









a

x

a

2

4

1







2 2

4

1

1

cos

x

a







Las ecuaciones (1), (2), (4) y (5) conforman el modelo matemático de la realidad presentada para el caso planteado, a la vez que constituyen el núcleo central del proceso de instrucción.

mecánica (dinámica y conservación de la energía) y surgen de manera natural del análisis del caso, las ecuaciones (3) y (4) constituyen herramientas matemáticas sustanciales para resolver el modelo (cálculo diferencial y trigonometría). Por tal razón, las ecuaciones (1) y (2) el estudiante las identifica con el núcleo conceptual del modelo, mientras que las (3) y (4) actúan a modo de soporte de este núcleo.

Etapa IV: Resolución del modelo matemático y análisis crítico y discusión de los resultados obtenidos

En esta etapa el estudiante resuelve el modelo matemático planteado en la etapa III. Los procesos cognitivos asociados a esta fase consisten en:

 Resolución del modelo matemático en función de los parámetros que establece el problema y con las herramientas matemáticas disponibles.

 Análisis crítico y discusión de los resultados obtenidos a partir del desarrollo del proceso 1.

En esta etapa del proceso de instrucción el estudiante desarrolla modelos mentales de la situación que analiza con una mayor flexibilidad cognitiva respecto a las etapas anteriores. Las estrategias que se adoptan consisten en técnicas de comunicación que activen formas de pensamiento cooperativo y el trabajo grupal; y se implementan actividades tales como el uso de software de matemática para agilizar los cálculos y el manejo de las funciones que se ajusten al caso, para que el estudiante se focalice en el análisis de los resultados. Continuando con el caso de estudio, el estudiante comienza sintetizando el primer proceso cognitivo asociado a esta etapa: Resolución del

modelo matemático.

Tal como se mencionó en el desarrollo de la etapa anterior la condición de diseño especificada en el proyecto está estrictamente vinculada con la admisibilidad de la fuerza normal ejercida sobre el carro; por tal razón, a partir del manejo de las ecuaciones del modelo es importante intentar obtener una expresión de NB en función de

alguna de las variables que le resulte más familiar y que sea fácilmente medible en el entorno real, como por ejemplo xB.

Es importante que el estudiante comprenda la necesidad de establecer esta relación funcional (NB (xB)) más

que en resolver numéricamente el modelo matemático. En otros términos, y en el intento de progresar hacia estadios cognitivos más avanzados y de mayor poder de abstracción para los estudiantes, la misión didáctica consiste en que estos avancen hacia la conformación de una estructura funcional que vincule estas dos variables. También es importante destacar, que la robustez del modelo obtenido le permite al estudiante seleccionar otra variable u otra forma de expresar a NB, o manejar distintas alternativas en función de otros criterios de diseño.

Para abordar la resolución del modelo de ecuaciones en términos de hallar esta relación funcional, se sustituyen las expresiones (1), (4) y (5) en (2) y se obtiene la siguiente expresión analítica (6) para NB:





_



_



2 2 2

4

1

4

4

1

)

(

x

a

ax

H

amg

x

a

mg

x

N











Cabe señalar, que la ecuación (6) no conforma el modelo matemático obtenido en la etapa III, sino que es una consecuencia del trabajo del estudiante con las ecuaciones del mismo. Con la idea de adentrarse en la fase de diseño el estudiante explora la expresión 6 e intenta obtener el valor de xB para el cual NB alcanza su máximo

valor; de esta manera, podrá contrastar este valor con el valor admisible establecido en las especificaciones del proyecto (NADM).

Si bien el estudiante puede hacer uso del cálculo diferencial para obtener el valor máximo de la fuerza normal, de la inspección de la expresión, como así también de aplicar una lógica estructural, se observa que N alcanza su valor máximo cuando xB = 0. Y se arriba a la siguiente expresión (7):

)

4

(

)

0

(

x

mg

amgH

N

N









Una vez alcanzada la expresión (6) para NMAX, el estudiante sintetiza el segundo proceso cognitivo asociado a

esta etapa: Análisis crítico y discusión de los resultados obtenidos.

En este estadio del proceso de instrucción, el estudiante está en condiciones de llevar a cabo el siguiente análisis a los efectos de satisfacer los requerimientos de diseño:

 De acuerdo a las especificaciones de diseño se debe cumplir que NMAX ≤ NADM; condición esta que será de

gran utilidad para la obtención de la función representativa de la curva de la montaña rusa (y = ax2_{), lo cual}

 En línea con lo expuesto en el punto anterior el planteo de la condición de diseño en base a la expresión (7), lo lleva a cabo el estudiante de la siguiente manera obteniendo la expresión (8):

ADM ADM

MAX

N

mg

amgH

N

N







(



4

)



 De esta expresión se obtiene el parámetro “a” haciendo llegar al esfuerzo normal máximo hasta el valor admisible (NMAX = NADM); es decir, planteando la igualdad en 7 el estudiante procede a despejar el valor de

“a”. Es de hacer notar al estudiante en este punto del desarrollo, que a nivel de proyecto de detalle el valor de NADM ya está afectado por un coeficiente de seguridad que está en función del material a utilizar y del

criterio del proyectista; en otros términos, se tiene que NADM = NROT /γ (donde NROT es el valor al cual rompe

el material y γ es el coeficiente seguridad adoptado. Para el presente caso se propone al estudiante que trabaje con NADM, no sin dejar de mencionar su relación con el valor de rotura y el coeficiente de seguridad.

Se obtiene la siguiente expresión para “a” la expresión (9):

mgH

mg

N

a

4





 Esta expresión es el colofón de este análisis; por lo que resulta de sumo interés analizarla en función de los parámetros de los cuales depende, y que a priori se asumen que se pueden establecer. En este sentido, el estudiante realiza las siguientes inferencias:

i.Una primera deducción de interés es que dado que la parábola abre hacia arriba, es decir que el parámetro

“a” debe ser positivo (a > 0). Esto se traduce en que debe cumplirse NADM > mg (curva S genérica en las

Fig. 4 y Fig. 5).

ii.Para una masa m dada y una altura H establecida, se ve que a mayor NADM (lo que se puede interpretar como

un material de mejor calidad o más resistente a la rotura), crece el parámetro “a”. Esto se interpreta como que la curva puede ser más cerrada (curva S’ en la Fig. 4), con lo que se ahorraría espacio en horizontal en la construcción de la montaña, para el mismo H. Consecuentemente, a menor NADM disminuye “a” y la curva

sería más abierta (curva S’’ en la Fig. 4) para un H dado.

iii. Para una masa m dada y una NADM establecida, se ve que a mayor H (mayor altura de la montaña),

disminuye el parámetro “a”. Esto se interpreta como que la curva puede ser más abierta (curva S1 en la Fig.

5), para el mismo NADM. En otras palabras, este hecho puede ser interpretado como que se necesita una

curva más suave para atenuar el efecto de una mayor H. Consecuentemente, a menor H crece “a” y la curva sería más cerrada (curva S2 en la Fig. 5) para un NADM dado.

iv. A modo de cierre parcial del presente análisis, una consideración de importancia a tener en cuenta por el estudiante es la siguiente: una vez obtenido el valor de “a” en función de una determinada H, una masa dada y una cierta NADM, es posible sustituir este valor en la ecuación 5 y así monitorear los diferentes valores

que, aunque sean menores que NMAX, puede tomar la fuerza normal N para distintos puntos xB. Este factor

puede ser importante para el usuario, ya que pueden existir determinados puntos en los cuales sea de interés conocer N (lugares susceptibles de falla o por detalles de construcción).

Fig. 5. Diagrama de curvas para distintos valores de H con una masa m y NADM establecidas.

4

Conclusiones y trabajos futuros

Teniendo en cuenta que el presente proyecto se encuentra en pleno desarrollo, tanto las conclusiones como los futuros lineamientos a considerar son de carácter parcial.

Respecto a las conclusiones:

 El desarrollo del proceso de instrucción en etapas, se adapta al estadio del desarrollo cognitivo que posee el estudiante.

 Se observa un ligero incremento de la maduración cognitiva de los estudiantes cuando logran comprender el significado de las expresiones analíticas obtenidas.

 Se observa un incremento en el nivel de motivación de los estudiantes cuando analizan situaciones que se corresponden con actividades vinculadas al diseño.

 Se observa que ciertos estudiantes intentan superarse para ubicarse en niveles cognitivos similares a otros que se encuentran en un nivel mayor.

Respecto a las actividades futuras:

 Potenciar el grado de interacción con asignaturas del ciclo básico, para lograr un proceso de instrucción más integral.

 Actualmente, está en desarrollo una V etapa cuyo objetivo consiste en la elaboración de una base de casos de análisis, los cuales no se almacenan como entidades aisladas, sino que se relacionan y se integran dando lugar a la conformación de ciertos “patrones” de análisis [12].

 Promover una mayor articulación con los ciclos superiores para realizar un seguimiento adecuado del proceso en dichos ciclos.

 Incorporar casos con espíritu crítico y analítico de manera gradual en el curso de ingreso/nivelación a la facultad de ingeniería.

Referencias

1. Hossian Alejandro. Sistema de Asistencia para la Selección de Estrategias Instruccionales. Tesis de Maestría no publicada. Tesis de Magíster en Ingeniería del Software. Instituto Tecnológico de Buenos Aires. Universidad Politécnica de Madrid. España. (2003).

2. Gagné R. M., Briggs L. J. & Wager W. W., Principles of Instructional Design, Ed. Wadsworth/Thomson Learning. Belmont, CA. USA., 1992.

3. Adler, M. The Paedeia proposal: An Educationmanifiesto.,Ed. Nueva York: Mc Millan., 1982.

4. Merrill, M. D., Instructional Transaction Theory: Instructional Design Based on Knowledge Objects, Ed. Educational Technology, 36, 30-37., 1996.

6. Reigeluth, Charles. M. Instructional design theories and models: a new paradigm of instructional theory., Ed. Lawrence Erlbaum Associates., 1999.

7. Jonassen, D. H. Certainty., Determinism and Predictability in Theories of Instructional Design: Lessons from Science., Ed. Educational Technology., 1997.

8. Perkins, D. N. Smart schools: Better thinking and learning for every child., Ed. Nueva York: The Free Press., 1992. 9. Ausubel, D. P. Psicología Educativa., Un punto de vista cognoscitivo., 2° Edición., Ed. Trillas., México., 1983. 10. Schuel, T. J., Cognitive Conceptions of Learning., Ed. Review of Educational Research., Vol 56 (4) pp. 411-436., 1996 11. Bútikov, M., Bíkov, A. & Kondrátiev, A., Física en ejemplos y problemas., Ed. Mir., Moscú., 1991.

12. Alexander C., A Timeless Way of Building., Ed. Oxford University Press., 1999.

Aplicación de Métodos Numéricos Simplécticos a Sistemas Mecánicos

Conservativos

José Alberto Sánchez1_{, Ernesto Farías de la Torre}1_{, Osvaldo Natali}2

Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales – Universidad Nacional de Córdoba

1_{Departamento de Física} 2_{Departamento de Matemática}

Avenida Vélez Sarsfield 1611 (CP 5000) Córdoba. Argentina.

[email protected], [email protected], [email protected]

Resumen. En el presente trabajo mostramos la propiedad de simplecticidad –preservaciónde las áreas- de los sistemas Hamiltonianos y su gran importancia para resolver problemas de sistemas mecánicos conservativos, a través de métodos numéricos simplécticos que aseguran la conservación de la función Hamiltoniana – energía mecánica total- y de las áreas en el espacio de fases, permitiendo buenos resultados después de largos períodos de tiempo. Se toma como ejemplo de aplicación de éstas técnicas numéricas al péndulo simple no lineal –grandes oscilaciones-.

Palabras Clave. Ecuaciones de Hamilton, Sistemas Hamiltonianos, Métodos numéricos Simplécticos, Métodos numéricos geométricos, Péndulo simple

1

Introducción

Los algoritmos simplécticos, como parte de la integración numérica geométrica, constituyen un método importante en creciente desarrollo para resolver sistemas Hamiltonianos que cubren casi todos los procesos físicos reales con disipación de energía despreciable, tales como el movimiento de cuerpos celestes y satélites artificiales o la dinámica molecular.

Una propiedad fundamental de los sistemas Hamiltonianos es que su flujo en el espacio de fases preserva la estructura geométrica simpléctica. Sin embargo los métodos numéricos convencionales descuidan esta especial característica y conllevan un aumento ó disipación artificial de la energía mecánica total.

Una ventaja importante de los algoritmos simplécticos es que son adecuados para el seguimiento durante largos períodos de tiempo y para simulaciones cualitativas.

Tomamos como ejemplo el péndulo simple por su importancia como un modelo clásico en ciencia y en educación ya que muchos fenómenos no lineales pueden ser descriptos mediante ecuaciones diferenciales similares y además, porque conocemos su solución exacta expresada mediante funciones elípticas [1], lo que nos permite determinar el error de los experimentos numéricos ensayados.

1.1 Ecuaciones de Lagrange

Un sistema mecánico de d grados de libertad se describe en cada instante de tiempo t mediante el vector q = (q1,…,qd) de coordenadas generalizadas (coordenadas cartesianas, ángulos, longitud de arco de una curva, etc.).

El vector ̇ = ( ̇1,…, ̇n) representa las velocidades generalizadas.

Para el caso de sistemas conservativos se define la función Lagrangiana L = T – U, donde T = T ( ̇) es la energía cinética del sistema mecánico y U = U ( ) es la energía potencial del mismo.

El movimiento del sistema se determina resolviendo las ecuaciones de Lagrange:

̇

Ejemplo: Péndulo Simple

Tiene un grado de libertad. Tomamos a como coordenada generalizada y a ̇ como velocidad generalizada.

( ̇ ̇ ) ̇

̇

La ecuación de Lagrange es

̇

, que se expresa: ̈ , o equivalentemente

̈

1.2 Ecuaciones de Hamilton

Hamilton, mediante la introducción de los momentos generalizados ó momentos canónicos conjugados

̇ ( ̇) simplificó las ecuaciones de Lagrange y las transformó en ecuaciones con una notable simetría.

Definimos el hamiltoniano como función de p y q:

( ) ̇ ( ̇) (6)

teniendo en cuenta que ̇ es una biyección continuamente diferenciable para todo q dada por la transformada de Legendre.

Teorema 1. Las ecuaciones de Lagrange (1) son equivalentes a las ecuaciones de Hamilton:

̇

( ) ̇

( ) (7)

Prueba

̇ ̇

̇

̇

̇

̇

̇

̇

1.3 Caso de energía cinética cuadrática.

Si ( ̇) ̇ ( ) ̇, entonces ( ) –matriz de masa- es una matriz simétrica definida positiva y ( ) ̇. Reemplazando ̇ por ( ) _{en la definición (6) de ( ) se obtiene:}

( ) ( ) _{( ( ) )}

( ) _{( ) ( ) ( ) ( )}

De donde se obtiene que el hamiltoniano es la suma de la energía cinética y de la energía potencial del sistema mecánico; es decir que H es la energía mecánica total del sistema.

1.4 Integrales primeras

Definición 1. Una función no constante ( ) es una integral primera del sistema de ecuaciones diferenciales

̇ ( ) si toda solución ( ) del sistema satisface ( ( )) , lo que es equivalente a:

( ) ( ) para todo y (12)

En un sistema hamiltoniano, la función hamiltoniana ( ) es una integral primera del sistema (3).

En efecto, tomando en cuenta que ( ) ( ⁄ ⁄ ) y las ecuaciones (3) ̇ , ̇ se obtiene:

(

)

(

) El hecho de que la función hamiltoniana H(p,q) sea una integral primera de las ecuaciones de Hamilton implica, por supuesto, la conservación de la energía mecánica total del sistema.

1.5 Ejemplo

En el caso del péndulo simple tenemos que y _{̇ ̇} ̇ , por simplicidad designaremos a y como y respectivamente.

También supondremos que .

En consecuencia ( )

y las ecuaciones de Hamilton para este caso se escriben:

̇ ̇

2

Transformaciones Simplécticas

Consideremos paralelogramos bidimensionales en _{. Supongamos que el paralelogramo está generado por dos}

vectores

(

)

,

(

)

en el espacio ( ) con ( ) como { }. En el caso d=1 consideremos el área orientada

( ) (

)

Para el caso se reemplaza esta área por la suma de las áreas orientadas de las proyecciones de P sobre los

planos coordenados de P sobre los planos coordenados ( ); es decir, por

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) (16)

La ecuación (16) define una forma bilineal que actúa sobre vectores de _{de gran importancia en los sistemas}

hamiltonianos. En notación matricial, esta transformación tiene la forma:

( ) con (

) (17) Donde es la matriz identidad de dimensión .

Definición2. Una transformación lineal _{se denomina simpléctica si}

o, equivalentemente, si ( ) ( ) para todo _.

Fig. 1. Una gráfica que representa la Simplecticidad (preservación del área) de una transformación lineal.

En el caso , donde la expresión ( ) representa el área del paralelogramo P, la simplecticidad de una transformación lineal A es por lo tanto la preservación del área (ver Fig. 1). En el caso general ( ), la simplecticidad significa que la suma de las proyecciones de las áreas orientadas de P sobre ( ) es la misma que para los paralelogramos transformados ( ).

Definición 2. (para transformaciones no lineales)Una transformación diferenciable _{(donde U es un}

conjunto abierto) se llama simpléctica si la matriz jacobiana ( ) es simpléctica para todo ( ) . Es decir, si

( ) ( ) ó ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) (19)

Utilizaremos la notación ( ) y escribiremos el sistema hamiltoniano en la forma

̇ ( )

donde J es la matriz que vimos antes y ( ) ( )

El flujo _{de un sistema hamiltoniano es una transformación que traslada cada solución en el}

tiempo t, es decir, ( ) ( ( ) ( ), donde ( ( ) ( ) es la solución del sistema con los valores iniciales ( ) ( ) .

Utilizando la notación ( ), ( ) podemos escribir ( ) ( ( ) ( ),

Teorema 2.(Poincaré 1899 – [5])

Para cada tiempo t fijo, el flujo ( ) de un sistema hamiltoniano con una función dos veces continuamente diferenciable ( ) define una transformación simpléctica, es decir

(

( )) (

( )) (21)

Prueba: Ver (Hairer y otros 2006, págs. 184-185 [2]) o (Arnold 1989, cap. 8 [3])

Lo que significa que los sistemas hamiltonianos generan flujos simplécticos sobre el espacio de fases.

La ecuación (21) provee una definición intrínseca para sistemas hamiltonianos en el sentido de que cualquier función continuamente diferenciable _{puede ser localmente escrita como}

( ) para una adecuada función hamiltoniana ( ) si el flujo generado por ̇ ( ) es simpléctico para todo y suficientemente pequeño.

Formalizaremos lo expresado anteriormente mediante el siguiente teorema (Hairer y otros 2006, págs. 185-186 [2]):

Teorema 3. (Propiedad carácterística de los sistemas hamiltonianos) Sea _{continuamente}

diferenciable. Entonces, ̇ ( ) es localmente Hamiltoniana si y sólo si su flujo ( ) es simpléctico para todo y para todo tiempo suficientemente pequeño.

Fig. 2. Una gráfica que representa las Curvas de nivel ( ) para el problema del péndulo (figura izquierda) y preservación del área de su flujo exacto (figura derecha).

3

Integradores numéricos simplécticos

Los métodos numéricos más simples para sistemas de ecuaciones diferenciales ̇ ( ) son el método de Euler explícito:

( ) ( )

y el método de de Euler implícito:

( ) ( )

Mostraremos la simplecticidad de algunos métodos numéricos cuando son aplicados a sistemas Hamiltonianos en las variables ( ).

̇

( )

(25)

̇

( )

ó equivalentemente

̇ ( )

donde y denotan los vectores columna de derivadas parciales de la función hamiltoniana ( ) con respecto a y respectivamente.

Definición3. Un método numérico de un paso se llama simpléctico si la transformación de un paso

( )

es simpléctica cuando el método se aplica a un sistema Hamiltoniano suave.

Teorema 4. (de Vogelaere 1956). Los denominados métodos simplécticos de Euler

(

)

(

)

(28) ó (29)

(

)

(

)

son métodos simplécticos de orden 1.

Prueba

Consideraremos sólo el método de la izquierda. Escribimos esas ecuaciones en la forma:

(

)

(30)

(

)

Diferenciando con respecto a ( ) obtenemos:

(

) (

)

(

₎

(

)

donde todas las derivadas parciales de son evaluadas en ( ).

Esta ecuación permite calcular

(

₎

(

)

(