Conjuntos. () April 4, / 32

Conjuntos

En general, un conjunto Ase de…ne seleccionando los elementos de un cierto conjunto _U dereferencia (o universal)que cumplen una determinada propiedad.

Ejemplo: El conjunto A de los números enteros menores que 2, está formado por los elementos del conjunto referencial Z(números enteros) que satisfacen la propiedad de ser menores que 2.

En general, un conjunto Ase de…ne seleccionando los elementos de un cierto conjunto _U dereferencia (o universal)que cumplen una determinada propiedad.

Ejemplo: El conjunto A de los números enteros menores que 2, está formado por los elementos del conjunto referencial Z(números enteros) que satisfacen la propiedad de ser menores que 2.

Conjuntos

Un conjunto se de…ne por extensióncuando se enumeran todos los elementos que lo constituyen.

Un conjunto se de…ne por comprensióncuando se indica el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza a sus elementos.

Un conjunto se de…ne por extensióncuando se enumeran todos los elementos que lo constituyen.

Un conjunto se de…ne por comprensióncuando se indica el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza a sus elementos.

Conjuntos

Ejemplo: SiA es el conjunto de las vocales

La de…nición por extensión es A=_fa,e,i,o,u_g

La de…nición por comprensión esA=_fx _{2 U} / x es una vocal_g,donde

U es el alfabeto.

Si P(x)es lafuncion proposicional´ : “x es una vocal”

A= _fx _{2 U} /P(x)_g=_fx_{2 U} : P(x)_g

a₂A porque P(a)esV.

b₂/Aporque P(b) esF.

Conjuntos

Ejemplo: SiA es el conjunto de las vocales

La de…nición por extensión es A=_fa,e,i,o,u_g

Si P(x)es lafuncion proposicional´ : “x es una vocal”

A= _fx _{2 U} /P(x)_g=_fx_{2 U} : P(x)_g

a₂A porque P(a)esV.

Conjuntos

Ejemplo: SiA es el conjunto de las vocales

La de…nición por extensión es A=_fa,e,i,o,u_g

La de…nición por comprensión esA=_fx _{2 U} / x es una vocal_g,donde

U es el alfabeto.

Si P(x)es lafuncion proposicional´ : “x es una vocal”

A= _fx _{2 U} /P(x)_g=_fx_{2 U} : P(x)_g

a₂A porque P(a)esV.

b₂/Aporque P(b) esF.

Conjuntos

Ejemplo: SiA es el conjunto de las vocales

La de…nición por extensión es A=_fa,e,i,o,u_g

La de…nición por comprensión esA=_fx _{2 U} / x es una vocal_g,donde

U es el alfabeto.

Si P(x)es lafuncion proposicional´ : “x es una vocal”

A= _fx _{2 U} /P(x)_g=_fx_{2 U} : P(x)_g

Conjuntos

Ejemplo: SiA es el conjunto de las vocales

La de…nición por extensión es A=_fa,e,i,o,u_g

La de…nición por comprensión esA=_fx _{2 U} / x es una vocal_g,donde

U es el alfabeto.

Si P(x)es lafuncion proposicional´ : “x es una vocal”

A= _fx _{2 U} /P(x)_g=_fx_{2 U} : P(x)_g

a₂A porqueP(a)esV.

b₂/Aporque P(b) esF.

Ejemplo: SiA es el conjunto de las vocales

La de…nición por extensión es A=_fa,e,i,o,u_g

La de…nición por comprensión esA=_fx _{2 U} / x es una vocal_g,donde

U es el alfabeto.

Si P(x)es lafuncion proposicional´ : “x es una vocal”

A= _fx _{2 U} /P(x)_g=_fx_{2 U} : P(x)_g

Cardinalidad y conjuntos especiales

La cardinalidadde un conjuntoA, que lo indicamos con_jA_j o#A, es el número o cantidad de elementos (distintos) de A.

Un conjunto unitarioestá formado por un único elemento.

El conjuntovacíoes el conjunto sin elementos, es decir que su cardinalidad es igual a cero. Si Aes un conjunto vacío escribiremos A=∅.

Cardinalidad y conjuntos especiales

La cardinalidadde un conjuntoA, que lo indicamos con_jA_j o#A, es el número o cantidad de elementos (distintos) de A.

Cardinalidad y conjuntos especiales

La cardinalidadde un conjuntoA, que lo indicamos con_jA_j o#A, es el número o cantidad de elementos (distintos) de A.

Un conjunto unitarioestá formado por un único elemento.

El conjuntovacíoes el conjunto sin elementos, es decir que su cardinalidad es igual a cero. Si Aes un conjunto vacío escribiremos A=∅.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjuntoAde las raíces terceras de 1,

A= w ₂C/w3 = 1 .

Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es_jA_j=3 y el conjunto A, dado por extensión es

A= ( 1 2+i p 3 2 , 1, 1 2 i p 3 2 ) .

2. Si elconjunto referencial U es el conjunto de los números reales.

A= w ₂R/w3 = 1

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjuntoAde las raíces terceras de 1,

1. Si elconjunto referencial _U es el conjunto de los números complejos,

A se de…ne por compresión como

A= w ₂C/w3 = 1 .

Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es_jA_j=3 y el conjunto A, dado por extensión es

A= ( 1 2+i p 3 2 , 1, 1 2 i p 3 2 ) .

2. Si elconjunto referencial U es el conjunto de los números reales.

A= w ₂R/w3 = 1

A=_f 1_g,y la cardinalidad de Aes_jA_j=1.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjuntoAde las raíces terceras de 1,

1. Si elconjunto referencial _U es el conjunto de los números complejos,

A se de…ne por compresión como

A= w ₂C/w3 = 1 .

Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es_jA_j=3 y el conjunto A, dado por extensión es

A= ( 1 2+i p 3 2 , 1, 1 2 i p 3 2 ) . A= w ₂R/w = 1 A=_f 1_g,y la cardinalidad de Aes_jA_j=1.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjuntoAde las raíces terceras de 1,

1. Si elconjunto referencial _U es el conjunto de los números complejos,

A se de…ne por compresión como

A= w ₂C/w3 = 1 .

Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es_jA_j=3 y el conjunto A, dado por extensión es

A= ( 1 2+i p 3 2 , 1, 1 2 i p 3 2 ) .

2. Si elconjunto referencial U es el conjunto de los números reales.

A= w ₂R/w3 = 1

A=_f 1_g,y la cardinalidad de Aes_jA_j=1.

Ejemplo: Calcular la cardinalidad del conjuntoAde las raíces terceras de 1,

1. Si elconjunto referencial _U es el conjunto de los números complejos,

A se de…ne por compresión como

A= w ₂C/w3 = 1 .

Ya que esta ecuación tiene 3 raíces, la cardinalidad de A es_jA_j=3 y el conjunto A, dado por extensión es

A= ( 1 2+i p 3 2 , 1, 1 2 i p 3 2 ) .

2. Si elconjunto referencial U es el conjunto de los números reales.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: a. Aes el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1.

A=_fx ₂R/x2 = 1_g

A=φ y jAj=0.

b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6.

B =_fn₂ N/ 2<n 6_g

B =_f3,4,5,6_g y _jB_j=4

c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6.

C =_fx ₂R / 2<x 6_g= (2,6].

Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjuntono …nitode elementos, no se puede expresar por extensión.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: a. Aes el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1.

A=_fx ₂R/ x2 = 1_g

b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6.

B =_fn₂ N/ 2<n 6_g

B =_f3,4,5,6_g y _jB_j=4

c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6.

C =_fx ₂R / 2<x 6_g= (2,6].

Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjuntono …nitode elementos, no se puede expresar por extensión.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: a. Aes el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1.

A=_fx ₂R/ x2 = 1_g

A=φ y jAj=0.

b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6

.

B =_fn₂ N/ 2<n 6_g

B =_f3,4,5,6_g y _jB_j=4

c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6.

C =_fx ₂R / 2<x 6_g= (2,6].

Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjuntono …nitode elementos, no se puede expresar por extensión.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: a. Aes el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1.

A=_fx ₂R/ x2 = 1_g

A=φ y jAj=0.

b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6.

B =_fn₂ N/ 2<n 6_g

c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6.

C =_fx ₂R / 2<x 6_g= (2,6].

Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjuntono …nitode elementos, no se puede expresar por extensión.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: a. Aes el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1.

A=_fx ₂R/ x2 = 1_g

A=φ y jAj=0.

b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6.

B =_fn₂ N/ 2<n 6_g

B =_f3,4,5,6_g y _jB_j=4

c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6.

C =_fx ₂R / 2<x 6_g= (2,6].

Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjuntono …nitode elementos, no se puede expresar por extensión.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: a. Aes el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1.

A=_fx ₂R/ x2 = 1_g

A=φ y jAj=0.

b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6.

B =_fn₂ N/ 2<n 6_g

B =_f3,4,5,6_g y _jB_j=4

c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

Ejemplo: a. Aes el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a 1.

A=_fx ₂R/ x2 = 1_g

A=φ y jAj=0.

b. B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6.

B =_fn₂ N/ 2<n 6_g

B =_f3,4,5,6_g y _jB_j=4

c. C es el conjunto de los números reales mayores que 2, y que no superan a 6.

C =_fx ₂R / 2<x 6_g= (2,6].

Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjuntono …nitode elementos, no se puede expresar por extensión.

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

d. P es el conjunto de los números enteros pares.

aes par_{, 9}k ₂Z : a=2k,

P = _fx ₂Z/x =2k _^ k ₂Z_g

= _fx ₂Z/₉k ₂ Z :x =2k_g

con abuso de notación

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

d. P es el conjunto de los números enteros pares.

Por de…nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero.

aes par_{, 9}k ₂Z : a=2k,

P = _fx ₂Z/x =2k _^ k ₂Z_g

= _fx ₂Z/₉k ₂ Z :x =2k_g

con abuso de notación

P =_f , 4, 2,0,2,4,6, _g

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

d. P es el conjunto de los números enteros pares.

Por de…nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero.

aes par_{, 9}k ₂Z : a=2k,

= _fx ₂Z/₉k ₂ Z :x =2k_g

con abuso de notación

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

d. P es el conjunto de los números enteros pares.

Por de…nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero.

aes par_{, 9}k ₂Z : a=2k,

P = _fx ₂Z/x=2k _^ k ₂Z_g

= _fx ₂Z/₉k ₂ Z :x =2k_g

con abuso de notación

P =_f , 4, 2,0,2,4,6, _g

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

d. P es el conjunto de los números enteros pares.

Por de…nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero.

aes par_{, 9}k ₂Z : a=2k,

P = _fx ₂Z/x=2k _^ k ₂Z_g

= _fx ₂Z/₉k ₂Z :x =2k_g

Cardinalidad y conjuntos especiales. Ejemplos

d. P es el conjunto de los números enteros pares.

Por de…nición, un entero es par si y sólo si es el duplo de algún entero.

aes par_{, 9}k ₂Z : a=2k,

P = _fx ₂Z/x=2k _^ k ₂Z_g

= _fx ₂Z/₉k ₂Z :x =2k_g

con abuso de notación

P =_f , 4, 2,0,2,4,6, _g

Diagrama de Venn

Ejemplo: De…nimos la relación dedivisibilidad enN mediante

a _jb si y sólo si ₉n ₂N: b =a.n

Se lee: a divide ab,ó aes divisor deb ób es múltiplo dea. Consideremos los conjuntos

A=_fx/ x_j6_g B =_fx/ x_j8_g C = _fx/x 2_g La representación por extensión de tales conjuntos es

A=_f1,2,3,6_g B = _f1,2,4,8_g C =_f1,2_g

Diagrama de Venn

Ejemplo: De…nimos la relación dedivisibilidad enN mediante

a _jb si y sólo si ₉n ₂N: b =a.n

Se lee: a divide ab,ó aes divisor deb ób es múltiplo dea.

A=_fx/ x_j6_g B =_fx/ x_j8_g C = _fx/x 2_g La representación por extensión de tales conjuntos es

Diagrama de Venn

Ejemplo: De…nimos la relación dedivisibilidad enN mediante

a _jb si y sólo si ₉n ₂N: b =a.n

Se lee: a divide ab,ó aes divisor deb ób es múltiplo dea. Consideremos los conjuntos

A=_fx/ x_j6_g B =_fx/ x_j8_g C = _fx/x 2_g

La representación por extensión de tales conjuntos es

A=_f1,2,3,6_g B = _f1,2,4,8_g C =_f1,2_g

Diagrama de Venn

Ejemplo: De…nimos la relación dedivisibilidad enN mediante

a _jb si y sólo si ₉n ₂N: b =a.n

Se lee: a divide ab,ó aes divisor deb ób es múltiplo dea. Consideremos los conjuntos

A=_fx/ x_j6_g B =_fx/ x_j8_g C = _fx/x 2_g La representación por extensión de tales conjuntos es

Diagrama de Venn

Ejemplo: De…nimos la relación dedivisibilidad enN mediante

a _jb si y sólo si ₉n ₂N: b =a.n

Se lee: a divide ab,ó aes divisor deb ób es múltiplo dea. Consideremos los conjuntos

A=_fx/ x_j6_g B =_fx/ x_j8_g C = _fx/x 2_g La representación por extensión de tales conjuntos es

A=_f1,2,3,6_g B = _f1,2,4,8_g

C =_f1,2_g

Ejemplo: De…nimos la relación dedivisibilidad enN mediante

a _jb si y sólo si ₉n ₂N: b =a.n

Se lee: a divide ab,ó aes divisor deb ób es múltiplo dea. Consideremos los conjuntos

A=_fx/ x_j6_g B =_fx/ x_j8_g C = _fx/x 2_g La representación por extensión de tales conjuntos es

Diagrama de Venn

A=_f1,2,3,6_g B =_f1,2,4,8_g C =_f1,2_g

Diagrama de Venn

Ejemplo: Consideremos el conjunto referencial _U de todos los triángulos; si I denota el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros y R

de los triángulos rectángulos, veri…que las relaciones planteadas por el siguiente diagrama:

Ejemplo: Consideremos el conjunto referencial _U de todos los triángulos; si I denota el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros y R

de los triángulos rectángulos, veri…que las relaciones planteadas por el siguiente diagrama:

Conjuntos y Subconjuntos

SeanA yB dos conjuntos, si todos los elementos deApertenecen a B, diremos que Aesta incluido enB,o queA es unsubconjuntodeB, y escribimos A B.

A B si ₈x :x ₂A₎x ₂B.

Dos conjuntos AyB son igualessi Aesta incluido en B yB esta incluido en A

A=B siA B yB A,

Conjuntos y Subconjuntos

SeanA yB dos conjuntos, si todos los elementos deApertenecen a B, diremos que Aesta incluido enB,o queA es unsubconjuntodeB, y escribimos A B.

A B si ₈x :x ₂A₎x ₂B.

Conjuntos y Subconjuntos

SeanA yB dos conjuntos, si todos los elementos deApertenecen a B, diremos que Aesta incluido enB,o queA es unsubconjuntodeB, y escribimos A B.

A B si ₈x :x ₂A₎x ₂B.

Dos conjuntos AyB son igualessi Aesta incluido en B yB esta incluido en A

A=B siA B yB A,

Conjuntos y Subconjuntos

SeanA yB dos conjuntos, si todos los elementos deApertenecen a B, diremos que Aesta incluido enB,o queA es unsubconjuntodeB, y escribimos A B.

A B si ₈x :x ₂A₎x ₂B.

Conjuntos y Subconjuntos

SeanA yB dos conjuntos, si todos los elementos deApertenecen a B, diremos que Aesta incluido enB,o queA es unsubconjuntodeB, y escribimos A B.

A B si ₈x :x ₂A₎x ₂B.

Dos conjuntos AyB soniguales si Aesta incluido en B yB esta incluido en A

A=B siA B yB A,

Conjuntos y Subconjuntos

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son iguales. 1.

Conjuntos y Subconjuntos

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son iguales. 1.

M =_fx ₂N/x<5_g N =_f1,2,3,4_g,

2.

A= x₂ Z/x2 =1 B =_fx ₂Z/ _jx_j=1_g.

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan () April 4, 2014 14 / 32

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan () April 4, 2014 14 / 32

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan () April 4, 2014 14 / 32

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan () April 4, 2014 14 / 32

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q ,

Conjuntos y Subconjuntos

A noes subconjunto de B,A_*B, si es falso que A B.

Lema: Ano es subconjunto deB,si y sólo si₉x:[ x ₂A _^ x ₂/B]

Demostración. Ano es subconjunto deB _, (₈x :x ₂A₎x ₂B) De…nición de inclusión , 9x : (x ₂A₎x ₂B) Negación del cuanti…cador existencial , 9x : ( (x₂ A)_{_}x₂B) p )q p_{_}q , 9x :[x ₂A _^ x2/B] Ley de Morgan () April 4, 2014 14 / 32

Conjuntos y Subconjuntos

A essubconjunto propiodeB cuandoA B yA₆=B, lo denotaremos por A B,o A B. 1. A A, 2. φ A, 3. φes único. Demostración. ...

Conjuntos y Subconjuntos

A essubconjunto propiodeB cuandoA B yA₆=B, lo denotaremos por A B,o A B.

Proposición: Para cualquier conjunto A

1. A A, 2. φ A, 3. φes único. Demostración. ... () April 4, 2014 15 / 32

A essubconjunto propiodeB cuandoA B yA₆=B, lo denotaremos por A B,o A B.

Proposición: Para cualquier conjunto A

1. A A, 2. φ A, 3. φes único.

Demostración. ...

Conjunto de Partes

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes deA=_f2,3,4_g.

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

f2,3_{g f}2,4_{g f}3,4_g

A

P(A) =_fφ,f2g,f3g,f4g,f2,3g,f2,4g,f3,4g,Ag. Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto vacio,φ,esP(φ) =fφg.

Conjunto de Partes

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A).

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

f2,3_{g f}2,4_{g f}3,4_g

A

P(A) =_fφ,f2g,f3g,f4g,f2,3g,f2,4g,f3,4g,Ag. Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto vacio,φ,esP(φ) =fφg.

Conjunto de Partes

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes deA=_f2,3,4_g.

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

f2,3_{g f}2,4_{g f}3,4_g

A

P(A) =_fφ,f2g,f3g,f4g,f2,3g,f2,4g,f3,4g,Ag. Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto vacio,φ,esP(φ) =fφg.

Conjunto de Partes

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes deA=_f2,3,4_g.

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

P(A) =_fφ,f2g,f3g,f4g,f2,3g,f2,4g,f3,4g,Ag. Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto vacio,φ,esP(φ) =fφg.

Conjunto de Partes

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes deA=_f2,3,4_g.

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

f2,3_{g f}2,4_{g f}3,4_g

A

P(A) =_fφ,f2g,f3g,f4g,f2,3g,f2,4g,f3,4g,Ag. Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto vacio,φ,esP(φ) =fφg.

Conjunto de Partes

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes deA=_f2,3,4_g.

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

f2,3_{g f}2,4_{g f}3,4_g

A

Conjunto de Partes

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes deA=_f2,3,4_g.

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

f2,3_{g f}2,4_{g f}3,4_g

A

P(A) =_fφ,f2g,f3g,f4g,f2,3g,f2,4g,f3,4g,Ag.

Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto vacio,φ,esP(φ) =fφg.

Sea Aun conjunto, llamamosconjunto de partesde Aal conjunto formado por todos los subconjuntos de A

P(A) =_fX / X A_g

Lema: Sea Aun conjunto, entonces A₂P(A) yφ2 P(A). Ejemplo: Determinar el conjunto de partes deA=_f2,3,4_g.

φ

f2_{g f}3_{g f}4_g

f2,3_{g f}2,4_{g f}3,4_g

A

Operaciones entre Conjuntos

Sea Aun conjunto el complementodeA es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen aA.Lo denotamos por Ac _{o A,}

Ac =_fx _{2 U} : x ₂/A_g.

Es usual también obtener el complemento de un conjuntoA,respecto de otro B,

CBA= fx 2B : x2/Ag

Sea Aun conjunto el complementodeA es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen aA.Lo denotamos por Ac _{o A,}

Ac =_fx _{2 U} : x ₂/A_g.

Es usual también obtener el complemento de un conjuntoA,respecto de otro B,

Operaciones entre Conjuntos

Sea Aun conjunto el complementodeA es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen aA.Lo denotamos por Ac _{o A,}

Ac =_fx _{2 U} : x ₂/A_g.

Es usual también obtener el complemento de un conjuntoA,respecto de otro B,

CBA= fx 2B : x 2/Ag

La unióndeAyB:

Operaciones entre Conjuntos

La unióndeAyB:

A_[B =_fx/ x₂A _{_} x ₂B_g.

La interseccióndeA yB :

Operaciones entre Conjuntos

La interseccióndeA yB :

A_\B =_fx/ x₂A _^ x ₂B_g.

Operaciones entre Conjuntos

Operaciones entre Conjuntos

A B =_fx/x ₂A_^x 2/B_g.

De la de…nición se sigue queA B =A_\Bc_.

La diferenciadeAyB:

Operaciones entre Conjuntos

La diferencia simétricadeAyB es

A∆B = (A_[B) (A_\B) =_fx : (x ₂A _{_} x ₂B)_^(x 2/A_\B)_g

La diferencia simétricadeAyB es

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que: A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g A_\B = _f3,4,5_g A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B) A_\C =∅ (son disjuntos) A_[C = _f1,2,3,4,5,7,8,9_g=A∆C. () April 4, 2014 22 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que:

A_\B = _f3,4,5_g

A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B)

A_\C =∅ (son disjuntos)

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que: A_[B = f1,2,3,4,5,6,7_g A_\B = _f3,4,5_g A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B) A_\C =∅ (son disjuntos) A_[C = _f1,2,3,4,5,7,8,9_g=A∆C. () April 4, 2014 22 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que:

A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g

A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B)

A_\C =∅ (son disjuntos)

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que: A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g A_\B = f3,4,5_g A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B) A_\C =∅ (son disjuntos) A_[C = _f1,2,3,4,5,7,8,9_g=A∆C. () April 4, 2014 22 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que:

A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g

A_\B = _f3,4,5_g

A_\C =∅ (son disjuntos)

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que: A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g A_\B = _f3,4,5_g A∆B = f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B) A_\C =∅ (son disjuntos) A_[C = _f1,2,3,4,5,7,8,9_g=A∆C. () April 4, 2014 22 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que:

A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g

A_\B = _f3,4,5_g

A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B)

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que: A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g A_\B = _f3,4,5_g A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B) A_\C = ∅ (son disjuntos) A_[C = _f1,2,3,4,5,7,8,9_g=A∆C. () April 4, 2014 22 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que:

A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g

A_\B = _f3,4,5_g

A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B)

Operaciones entre Conjuntos

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que: A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g A_\B = _f3,4,5_g A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B) A_\C =∅ (son disjuntos) A_[C = f1,2,3,4,5,7,8,9_g=A∆C. () April 4, 2014 22 / 32

Dos conjuntos AyB sondisjuntos siA_\B = ∅.

Ejemplo: Sea _U =_f1,2,3, ...,9,10_gel conjunto de referencia,

A=_f1,2,3,4,5_g,B =_f3,4,5,6,7_gyC =_f7,8,9_g tenemos que: A_[B = _f1,2,3,4,5,6,7_g A_\B = _f3,4,5_g A∆B = _f1,2,6,7_g= (A_[B) (A_\B) A_\C =∅ (son disjuntos) A_[C = _f1,2,3,4,5,7,8,9_g=A∆C.

Operaciones entre Conjuntos

Teorema: SeanA yB dos conjuntos, entonces

1. A_\B A A_[B.

3. A∆B = (A B)_[(B A)(Ejercicio)

Operaciones entre Conjuntos

Teorema: SeanA yB dos conjuntos, entonces

Operaciones entre Conjuntos

Teorema: SeanA yB dos conjuntos, entonces

1. A_\B A A_[B.

3. A∆B = (A B)_[(B A)(Ejercicio)

Operaciones entre Conjuntos

Demostración. Tenemos que probar:

a. A_\B A y b. A A_[B.

x ₂A_\B ₎

def de_\. x2A^x2B p_^)q₎p x 2A.

Operaciones entre Conjuntos

Demostración. Tenemos que probar:

a. A_\B A y b. A A_[B.

Demostración de a. Debemos probar que₈x :x₂A_\B ₎x ₂A.

x ₂A_\B ₎

def de_\. x2A^x2B p_^)q₎p x 2A.

Demostración de b. Similar...

Operaciones entre Conjuntos

Demostración. Tenemos que probar:

a. A_\B A y b. A A_[B.

Demostración de a. Debemos probar que₈x :x₂A_\B ₎x ₂A.

x ₂A_\B ₎

def de _\.

Operaciones entre Conjuntos

Demostración. Tenemos que probar:

a. A_\B A y b. A A_[B.

Demostración de a. Debemos probar que₈x :x₂A_\B ₎x ₂A.

x ₂A_\B ₎

def de _\. x2A^x 2B p_^)q₎p

x ₂A.

Demostración de b. Similar...

Operaciones entre Conjuntos

Demostración. Tenemos que probar:

a. A_\B A y b. A A_[B.

Demostración de a. Debemos probar que₈x :x₂A_\B ₎x ₂A.

x ₂A_\B ₎

Operaciones entre Conjuntos

Demostración. Tenemos que probar:

a. A_\B A y b. A A_[B.

Demostración de a. Debemos probar que₈x :x₂A_\B ₎x ₂A.

x ₂A_\B ₎

def de _\. x2A^x 2B p_^)q₎p x 2A.

Demostración de b. Similar...

Operaciones entre Conjuntos

Teorema: Los conjuntos AyB son disjuntos si y sólo siA_[B =A∆B.

En este caso:

p : Los conjuntos A yB son disjuntos, es decir,A_\B = φ

Operaciones entre Conjuntos

Teorema: Los conjuntos AyB son disjuntos si y sólo siA_[B =A∆B. Demostración. Usamos la ley lógica: “p _,q” que eslógicamente equivalente a “(p₎q)_^(q₎p)”.

En este caso:

p : Los conjuntos A yB son disjuntos, es decir,A_\B = φ

q : A_[B =A∆B

Operaciones entre Conjuntos

Teorema: Los conjuntos AyB son disjuntos si y sólo siA_[B =A∆B. Demostración. Usamos la ley lógica: “p _,q” que eslógicamente equivalente a “(p₎q)_^(q₎p)”.

En este caso:

Operaciones entre Conjuntos

Teorema: Los conjuntos AyB son disjuntos si y sólo siA_[B =A∆B. Demostración. Usamos la ley lógica: “p _,q” que eslógicamente equivalente a “(p₎q)_^(q₎p)”.

En este caso:

p : Los conjuntos AyB son disjuntos, es decir,A_\B = φ

q : A_[B =A∆B

Operaciones entre Conjuntos

a. Probemos que el condicional p ₎q es verdadero.

[ ∆ ∆ [

A) Veamos que A_[B A∆B. Sea x ₂A_[B.

Por hipótesis los conjuntosA yB son disjuntos(A_\B =φ),entonces

x 2/A_\B.

Luego, x ₂ A_[B yx 2/A_\B.

Por lo tantox ₂A∆B (por de…nición de ∆) Luego hemos probado que

Operaciones entre Conjuntos

a. Probemos que el condicional p ₎q es verdadero.

Supongamos que p es verdadera y demostraremosA_[B =A∆B,lo haremos por la doble inclusión (A_[B A∆B yA∆B A_[B)

A) Veamos que A_[B A∆B. Sea x ₂A_[B.

Por hipótesis los conjuntosA yB son disjuntos(A_\B =φ),entonces

x 2/A_\B.

Luego, x ₂ A_[B yx 2/A_\B.

Por lo tantox ₂A∆B (por de…nición de ∆) Luego hemos probado que

A_[B A∆B

Operaciones entre Conjuntos

a. Probemos que el condicional p ₎q es verdadero.

Supongamos que p es verdadera y demostraremosA_[B =A∆B,lo haremos por la doble inclusión (A_[B A∆B yA∆B A_[B) A) Veamos que A_[B A∆B.

Sea x ₂A_[B.

Luego, x ₂ A_[B yx 2/A_\B.

Por lo tantox ₂A∆B (por de…nición de ∆) Luego hemos probado que

Operaciones entre Conjuntos

a. Probemos que el condicional p ₎q es verdadero.

Supongamos que p es verdadera y demostraremosA_[B =A∆B,lo haremos por la doble inclusión (A_[B A∆B yA∆B A_[B) A) Veamos que A_[B A∆B.

Sea x ₂A_[B.

Por hipótesis los conjuntosA yB son disjuntos(A_\B =φ),entonces

x 2/A_\B.

Luego, x ₂ A_[B yx 2/A_\B.

Por lo tantox ₂A∆B (por de…nición de ∆) Luego hemos probado que

A_[B A∆B

Operaciones entre Conjuntos

a. Probemos que el condicional p ₎q es verdadero.

Supongamos que p es verdadera y demostraremosA_[B =A∆B,lo haremos por la doble inclusión (A_[B A∆B yA∆B A_[B) A) Veamos que A_[B A∆B.

Sea x ₂A_[B.

Por hipótesis los conjuntosA yB son disjuntos(A_\B =φ),entonces

x 2/A_\B.

Luego, x ₂ A_[B yx 2/A_\B.

Luego hemos probado que

Operaciones entre Conjuntos

a. Probemos que el condicional p ₎q es verdadero.

Supongamos que p es verdadera y demostraremosA_[B =A∆B,lo haremos por la doble inclusión (A_[B A∆B yA∆B A_[B) A) Veamos que A_[B A∆B.

Sea x ₂A_[B.

Por hipótesis los conjuntosA yB son disjuntos(A_\B =φ),entonces

x 2/A_\B.

Luego, x ₂ A_[B yx 2/A_\B.

Por lo tantox ₂A∆B (por de…nición de ∆)

Luego hemos probado que

A_[B A∆B

a. Probemos que el condicional p ₎q es verdadero.

Supongamos que p es verdadera y demostraremosA_[B =A∆B,lo haremos por la doble inclusión (A_[B A∆B yA∆B A_[B) A) Veamos que A_[B A∆B.

Sea x ₂A_[B.

Por hipótesis los conjuntosA yB son disjuntos(A_\B =φ),entonces

x 2/A_\B.

Luego, x ₂ A_[B yx 2/A_\B.

Operaciones entre Conjuntos

Luego hemos probado que

A∆B A_[B

Por lo tanto resulta:

q :A_[B =A∆B es verdad.

Operaciones entre Conjuntos

Luego hemos probado que

A∆B A_[B

Por lo tanto resulta:

Operaciones entre Conjuntos

Luego hemos probado que

A∆B A_[B

Por lo tanto resulta:

q :A_[B =A∆B es verdad.

Operaciones entre Conjuntos

Luego hemos probado que

A∆B A_[B

Por lo tanto resulta:

Operaciones entre Conjuntos

Luego hemos probado que

A∆B A_[B

Por lo tanto resulta:

q :A_[B =A∆B es verdad.

Operaciones entre Conjuntos

Luego hemos probado que

A∆B A_[B

Operaciones entre Conjuntos

Luego hemos probado que

A∆B A_[B

Por lo tanto resulta:

q :A_[B =A∆B es verdad.

Operaciones entre Conjuntos

b. Probemos que la implicación “q ₎p” es verdadera.

A_\B ₆=φ)A[B 6=A∆B. A_\B ₆=φ ) 9y :y 2A\B ) A_\B A_[B 9y :y 2A\B^y 2A[B ) def.de∆9y :y 2A[B^y 2/A∆B ) def.de=A[B 6=A∆B

Operaciones entre Conjuntos

b. Probemos que la implicación “q ₎p” es verdadera.

Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: “vp ₎vq” lo cual es: A_\B ₆=φ)A[B 6=A∆B. A_\B ₆=φ ) 9y :y 2A\B ) A_\B A_[B 9y :y 2A\B^y 2A[B ) def.de∆9y :y 2A[B^y 2/A∆B ) def.de=A[B 6=A∆B

como queríamos demostrar.

Operaciones entre Conjuntos

b. Probemos que la implicación “q ₎p” es verdadera.

Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: “vp ₎vq” lo cual es: A_\B ₆=φ)A[B 6=A∆B. A_\B ₆=φ ) A_\B A_[B 9y :y 2A\B^y 2A[B ) def.de∆9y :y 2A[B^y 2/A∆B ) def.de=A[B 6=A∆B

Operaciones entre Conjuntos

b. Probemos que la implicación “q ₎p” es verdadera.

Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: “vp ₎vq” lo cual es: A_\B ₆=φ)A[B 6=A∆B. A_\B ₆=φ ) 9y :y 2A\B ) A_\B A_[B 9y :y 2A\B^y 2A[B ) def.de∆9y :y 2A[B^y 2/A∆B ) def.de=A[B 6=A∆B

como queríamos demostrar.

Operaciones entre Conjuntos

b. Probemos que la implicación “q ₎p” es verdadera.

Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: “vp ₎vq” lo cual es: A_\B ₆=φ)A[B 6=A∆B. A_\B ₆=φ ) 9y :y 2A\B ) A_\B A_[B 9y :y 2A\B^y 2A[B ) def.de=A[B 6=A∆B

Operaciones entre Conjuntos

b. Probemos que la implicación “q ₎p” es verdadera.

Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: “vp ₎vq” lo cual es: A_\B ₆=φ)A[B 6=A∆B. A_\B ₆=φ ) 9y :y 2A\B ) A_\B A_[B 9y :y 2A\B^y 2A[B ) def.de∆9y :y 2A[B^y 2/A∆B ) def.de=A[B 6=A∆B

como queríamos demostrar.

b. Probemos que la implicación “q ₎p” es verdadera.

Haremos una demostración por el contrarecíproco, es decir probaremos: “vp ₎vq” lo cual es: A_\B ₆=φ)A[B 6=A∆B. A_\B ₆=φ ) 9y :y 2A\B ) A_\B A_[B 9y :y 2A\B^y 2A[B ) def.de∆9y :y 2A[B^y 2/A∆B ∆

Operaciones entre Conjuntos

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Conmutatividad A[B =B[A A_\B =A_\B Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Distributividad A[(B\C) = (A[B)\(A[C) A_\(B_[C) = (A_\B)_[(A_\C) Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Ley de Absorción A[(A\B) =A A_\(A_[B) =A Universo y Vacío A[A=U A_\A=φ A_{[ U} = _U A_{\ U} =A A_[φ=A A_\φ= φ () April 4, 2014 29 / 32

Operaciones entre Conjuntos

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Distributividad A[(B\C) = (A[B)\(A[C) A_\(B_[C) = (A_\B)_[(A_\C) Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Ley de Absorción A[(A\B) =A A_\(A_[B) =A Universo y Vacío A[A=U A_\A=φ A_{[ U} = _U A_{\ U} =A A_[φ=A A_\φ= φ

Operaciones entre Conjuntos

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Conmutatividad A[B =B[A A_\B =A_\B Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Distributividad A[(B\C) = (A[B)\(A[C) A_\(B_[C) = (A_\B)_[(A_\C) Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Ley de Absorción A[(A\B) =A A_\(A_[B) =A Universo y Vacío A[A=U A_\A=φ A_{[ U} = _U A_{\ U} =A A_[φ=A A_\φ= φ () April 4, 2014 29 / 32

Operaciones entre Conjuntos

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Conmutatividad A[B =B[A A_\B =A_\B Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Ley de Absorción A[(A\B) =A A_\(A_[B) =A Universo y Vacío A[A=U A_\A=φ A_{[ U} = _U A_{\ U} =A A_[φ=A A_\φ= φ

Operaciones entre Conjuntos

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Conmutatividad A[B =B[A A_\B =A_\B Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Distributividad A[(B\C) = (A[B)\(A[C) A_\(B_[C) = (A_\B)[(A_\C) Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Ley de Absorción A[(A\B) =A A_\(A_[B) =A Universo y Vacío A[A=U A_\A=φ A_{[ U} = _U A_{\ U} =A A_[φ=A A_\φ= φ () April 4, 2014 29 / 32

Operaciones entre Conjuntos

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Conmutatividad A[B =B[A A_\B =A_\B Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Distributividad A[(B\C) = (A[B)\(A[C) A_\(B_[C) = (A_\B)[(A_\C) Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Universo y Vacío A[A=U A_\A=φ A_{[ U} = _U A_{\ U} =A A_[φ=A A_\φ= φ

Operaciones entre Conjuntos

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Conmutatividad A[B =B[A A_\B =A_\B Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Distributividad A[(B\C) = (A[B)\(A[C) A_\(B_[C) = (A_\B)[(A_\C) Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Ley de Absorción A[(A\B) =A A_\(A_[B) =A Universo y Vacío A[A=U A_\A=φ A_{[ U} = _U A_{\ U} =A A_[φ=A A_\φ= φ () April 4, 2014 29 / 32

SeanA,B yC conjuntos, entonces se veri…can las siguientes igualdades: Involución A=A Idempotencia A[A=A A_\A=A Conmutatividad A[B =B[A A_\B =A_\B Asociatividad A[(B[C) = (A[B)[C A_\(B_\C) = (A_\B)_\C Distributividad A[(B\C) = (A[B)\(A[C) A_\(B_[C) = (A_\B)[(A_\C) Leyes de De Morgan A[B =A\B A_\B =A_[B Ley de Absorción A[(A\B) =A A_\(A_[B) =A

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo: Mostrar queA= (A_\B)_[(A_\B).

Una primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena guía) consistiría en dibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad....

Para una prueba rigurosa podríamos utilizar, como lo hemos venido haciendo, de doble inclusión.

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo: Mostrar queA= (A_\B)_[(A_\B).

Una primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena guía) consistiría en dibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad....

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo: Mostrar queA= (A_\B)_[(A_\B).

Una primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena guía) consistiría en dibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad....

Para una prueba rigurosa podríamos utilizar, como lo hemos venido haciendo, de doble inclusión.

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. (A_\B)_[(A_\B) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (4) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (2)y (4) =A_\ (B_[A)_\ B_[B (8) =A_\[(B_[A)\ U] (8)y (3) =A_\(A_[B) (7) =A

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. Propiedades (A_\B)_[(A_\B) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (4) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (2)y (4) =A_\ (B_[A)_\ B_[B (8) =A_\[(B_[A)\ U] (8)y (3) =A_\(A_[B) (7) =A () April 4, 2014 31 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. Propiedades (A_\B)_[(A_\B) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (4) =A_\ (B_[A)_\ B_[B (8) =A_\[(B_[A)\ U] (8)y (3) =A_\(A_[B) (7) =A

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. Propiedades (A_\B)_[(A_\B) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (4) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (2)y (4) =A_\ (B_[A)_\ B_[B (8) =A_\[(B_[A)\ U] (8)y (3) =A_\(A_[B) (7) =A () April 4, 2014 31 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. Propiedades (A_\B)_[(A_\B) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (4) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (2)y (4) =A_\ (B_[A)_\ B_[B (8) =A_\(A_[B) (7) =A

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. Propiedades (A_\B)_[(A_\B) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (4) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (2)y (4) =A_\ (B_[A)_\ B_[B (8) =A_\[(B_[A)\ U] (8)y (3) =A_\(A_[B) (7) =A () April 4, 2014 31 / 32

Operaciones entre Conjuntos

Ejemplo (continuación) Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas. Propiedades (A_\B)_[(A_\B) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (4) = A_[(A_\B) _\ B_[(A_\B) (2)y (4) =A_\ (B_[A)_\ B_[B (8) =A_\[(B_[A)\ U] (8)y (3) =A_\(A_[B) (7)