Matrices inversas. Matrices elementales. Rango.

Matrices Inversas. Rango

Matrices Elementales

´ Algebra

Araceli Guzm´

an y Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

Semestre 2018-1

Matrices identidad

Lamatriz identidad de tama˜non, es la matriz cuadradaIn= (δij)ntal que

δij=

(

1 i=j, 0 i6=j.

(Conocida como delta de Kronecker) Esto es,Intiene10sen su diagonal, y00sen el resto de

las entradas.

Por ejemplo,

I1= (1) I2=

1 0 0 1 I3=  

1 0 0 0 1 0 0 0 1



 I4=



  

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



  

Teorema

SiAes una matriz cuadrada de tama˜non, entonces

AIn=InA=A.

Si no hay lugar a confusi´on, podemos escribir simplementeI y obviar el tama˜no. Lo mismo haremos si, dado el contexto, podemos entender con toda seguridad el tama˜no.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices invertibles y matrices inversas

Dada una matriz cuadradaAde tama˜non, decimos queAesinvertiblesi existe una matrizB

tal que

AB=BA=In

Decimos en este caso queBes lainversadeAy usamos la notaci´onB=A−1_{. La nomenclatura} y la notaci´on queda justificada con el siguiente

Teorema

La matriz inversa de una matriz invertible es ´unica

Demostraci´on.

SiByB0 son inversas deA, entonces

B=BIn=B(AB0) = (BA)B0=InB0=B0.

Si una matriz cuadrada no es invertible decimos que essingular.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones

Teorema

Si una matriz cuadradaAde tama˜nones invertible, entonces para todo b∈ _Rn_{, el}

sistemaAx=btiene soluci´on ´unica.

Demostraci´on.

Solo hay que formalizar algunas de las observaciones que ya hemos hecho. (Prueba de existen-cia) Seabun vector cualquiera enRn. Seax=A−1_{b. Tenemos}

Ax=A(A−1b) = (AA−1)b=Inb=b.

(Prueba de unicidad) Supongamos ahora quey∈_Rn_{cumple la igualdad} Ay=b.

Tenemos

A−1_{(Ay) =A}−1_b

(A−1_A)y=A−1_b

Iny=A−1b

y=A−1b

Aes invertible

⇓

∀b∈_Rn_{(Ax=btiene soluci´on ´unica)}

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones

Teorema

Si una matriz cuadradaAde tama˜nones invertible, entonces para todo b∈ _Rn_{, el}

sistemaAx=btiene soluci´on ´unica.

Demostraci´on.

Solo hay que formalizar algunas de las observaciones que ya hemos hecho. (Prueba de existen-cia) Seabun vector cualquiera enRn. Seax=A−1_{b. Tenemos}

Ax=A(A−1b) = (AA−1)b=Inb=b.

(Prueba de unicidad) Supongamos ahora quey∈_Rn_{cumple la igualdad} Ay=b.

Tenemos

A−1_{(Ay) =A}−1_b

(A−1_A)y=A−1_b

Iny=A−1b

y=A−1b

Una cadenita de implicaciones

Aes invertible

⇓

∀b∈_Rn_{(Ax=btiene soluci´on ´unica)}

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones

Corolario

SeaAuna matrix cuadrada de tama˜non. Si Aes invertible, el sistema homog´eneo

Ax=0tiene ´unicamente la soluci´on trivialx=0.

Demostraci´on.

Para todob∈_Rn_{, el sistemaAx=btiene soluci´on ´unica.}

En particular, el sistema homog´eneoAx=0tiene soluci´on ´unica.

Pero la soluci´on trivialx=0es siempre soluci´on del sistema homog´eneo, de manera que ´esta debe ser ´unica.

Aes invertible

⇓

∀b∈Rn(Ax=btiene soluci´on ´unica)

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones

Corolario

SeaAuna matrix cuadrada de tama˜non. Si Aes invertible, el sistema homog´eneo

Ax=0tiene ´unicamente la soluci´on trivialx=0.

Demostraci´on.

Para todob∈_Rn_{, el sistemaAx=btiene soluci´on ´unica.}

En particular, el sistema homog´eneoAx=0tiene soluci´on ´unica.

Pero la soluci´on trivialx=0es siempre soluci´on del sistema homog´eneo, de manera que ´esta debe ser ´unica.

Una cadenita de implicaciones

Aes invertible

⇓

∀b∈Rn(Ax=btiene soluci´on ´unica)

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

Matrices inversas. Propiedades

Teorema

Supongamos queAes una matriz cuadrada invertible. Entonces:

1. A−1 _{es invertible y(A}−1₎−1_=A. 2. Siλ6= 0,λAes invertible y(λA)−1₌ 1

λA

−1_.

3. AT_{es invertible y(A}T₎−1_{= (A}−1₎T_.

4. Para cualquier naturalm >0,Ames invertible y(Am)−1= (A−1)m.

Demostraci´on.

1. Inmediato, puesto queAA−1_=A−1_A=I.

2. Tenemos que

₁

λA

−1

(λA) =λ λA

−1_A=I.

3. Nuevamente,

(AT)(A−1)T= (A−A)T=IT=I.

4. Se deja al estudiante.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices inversas. Propiedades

Teorema

SiAyB son matrices cuadradas invertibles del mismo tama˜no, entonces el producto

ABes invertible y

(AB)−1=B−1A−1.

Demostraci´on.

(B−1_A−1_{)(AB) =B}−1_(A−1_A)B=B−1_IB=B−1_B=I.

Corolario

SiA1, A2, ..., Anson matrices cuadradas invertibles del mismo tama˜no, entoncesB=

A1A2· · ·Anes invertible y

B−1= (A1· · ·An)−1=A−n1· · ·A

−1 2 A

−1 1 .

SiAes una matriz cuadrada inveritible yn >0es un n´umero entero, entonces definimos

A−n= (A−1)n

Operaciones Elementales

Recordemos que lasoperaciones elementales por rengl´onsobre matrices son de tres tipos:

1. Intercambiar un rengl´on por otro.

2. Multiplicar un rengl´on por un escalar distinto de cero. 3. Sumar a un rengl´on un m´ultiplo escalar de otro.

Decimos que dos matricesAyBson equivalentes (por rengl´on), lo que escribirmosA∼B, si

Bpuede obtenerse deAmediante operaciones elementales. Es claro queA∼A.

Pero obsevamos que de hecho, toda operaci´on elemental es reversible con una operaci´on del mismo tipo. As´ı que siBpuede obtenerse deAmediante operaciones elementales, entoncesA

puede obtenerse deBmediante operaciones elementales. Es decir,A∼Bsi y s´olo siB∼A. Por otra parte, siA,ByC son matrices tales queA∼ByB∼C, entonces es claro que

A∼B.

Por lo tanto, la equivalencia por rengl´on, es una relaci´on de equivalencia en el espacio de todas las matrices.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Formas escalonadas

Una matriz est´a enforma escalonada (por renglones)si tiene las siguientes propiedades

1. Todas las filas diferrentes de cero est´an arriba de cualquier fila con puros ceros

2. Cada entrada principal de una fila est´a en columna a la deracha de la entrada principal de una fila superior.

3. Todas las entradas de una columna que est´en debajo de una entrada principal son cero.

Si una matriz cumple adem´as las siguientes propiedades, entonces est´a en forma escalonada reducida (por renglones):

4. La entrada principal de cada fila diferente de cero es1.

5. Cada1principal es la ´unica entrada diferente de cero en su columna.

Formas reducidas y sistemas de ecuaciones

Teorema : Existencia y Unicidad de la Forma Escalonada Reducida

Toda matriz es equivalente a una ´unica matriz escalonada reducida

Teorema : Existencia y unicidad de las soluciones de un sistema

Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (tiene soluci´on) si y s´olo si, la forma escalonada reducida de la matriz aumentadanotiene un rengl´on de la forma

(0 0 0 · · · 0 b), conb6= 0.

Si el sistema es consistente, entonces el conjunto soluci´on contiene ya sea una soluci´on, cuando no existen variables libres, o un n´umero infinito de soluciones, cuando existe al menos una variable libre.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Formas reducidas y sistemas de ecuaciones

Teorema

SeaA= (aij)n×nuna matriz cuadrada de tama˜non. El sistema homog´eneoAx=0n

tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0nsi y s´olo si,Aes equivalente por rengl´on a la

matriz identidadIn.

Demostraci´on.

Supongamos que el sistema homog´eneoAx=0ntiene ´unicamente la soluci´on trivial. Esto es,

los siguientes sistemas son equivalentes

En otras palabras, si aplicamos al algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz aumentada del sistmea, entonces

As´ı queInes la forma reducida deA.

Una cadenita de implicaciones

Aes invertible

⇓

∀b∈Rn(Ax=btiene soluci´on ´unica)

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

m

A∼I

Formas reducidas y sistemas de ecuaciones

Teorema

SeaA= (aij)n×nuna matriz cuadrada de tama˜non. El sistema homog´eneoAx=0n

tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0nsi y s´olo si,Aes equivalente por rengl´on a la

matriz identidadIn.

Demostraci´on.

Supongamos que el sistema homog´eneoAx=0ntiene ´unicamente la soluci´on trivial. Esto es,

los siguientes sistemas son equivalentes

En otras palabras, si aplicamos al algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz aumentada del sistmea, entonces

As´ı queInes la forma reducida deA.

Una cadenita de implicaciones

Aes invertible

⇓

∀b∈Rn(Ax=btiene soluci´on ´unica)

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

m

A∼I

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices Elementales

Unamatriz elemental (por rengl´on)E, de tama˜non, es la que resulta de realizar alguna de las operaciones elementales sobre la matriz identidadIn.

Operaciones y Matrices Elementales

Teorema : Operaciones elementales por producto de matrices

Si una matriz elementalE es el resultado de realizar una cierta operaci´on por rengl´on sobre la identidadIm, yAes una matriz dem×n, entonces el productoEAes la matriz

que resulta cuando realizamos la misma operaci´on sobreA.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Operaciones y Matrices Elementales

Operaciones y Matrices Elementales

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices Elementales y Equivalencia por Rengl´

on

Corolario

SeanAyBmatrices. EntoncesA∼Bsi y s´olo si, existe una sucesi´on finitaE1, ..., Ek de matrices elementales tales que

B=E1E2· · ·EkA.

Demostraci´on.

Supongamos queBse obtiene desdeAmediantekoperaciones elementales. Podemos hacer una interpretaci´on “algor´ıtmica”, en el sentido de queBse obtiene deAenkpasos sucesivos, cada paso corresponde a la aplicaci´on de una operaci´on elemental. Para cada1≤i≤k, sea

Eila matriz elemental correspondiente a la operaci´on deli-´esimo paso. La matrizBse obtiene sucesicamente del modo siguiente

A,

E1A,paso 1: aplicamos la primera operaci´on elemental

E2E1A,paso 2: aplicamos la segunda operaci´on elemental

. . .

. . .

B=Ek· · ·E2E1A,paso k: aplicamos lak-´esima (y ´ultima) operaci´on elemental

Inversas de Matrices Elementales

Teorema : Inversas de Matrices Elementales

Toda matriz elemental es invertile, y la inversa es tambi´en una matriz elemental. M´as a´un, la inversa de una matriz elementalEse obtiene con una operaci´on sobre la identidad del mismo tipo con la que se obtuvoE.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Operaciones y Matrices Elementales

Inversas de Matrices Elementales

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Determinante de Matrices Elementales

Teorema

SiEes una matriz elemental,|E| 6= 0. Especif´ıcamente,

1. SiE se obtiene de multiplicar porλ6= 0el rengl´onideI, entonces|E|=λ. 2. SiE se obtiene de intercambiar dos renglones deI, entonces|E|=−1. 3. SiE se obtiene de sumarλ∈_Rveces el rengl´onjal rengl´onideI, entonces

|E|= 1.

Ejemplos

SeanE1=

λ 0 0 1

,E2=

0 1 1 0

yE3=

1 λ 0 1

. Entonces

|E1|= λ 0 0 1 =λ

|E2|= 0 1 1 0

=−1

|E3|=

1 λ 0 1

= 1.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices Elementales y Sistemas Homog´

eneos de Ecuaciones

Teorema

Para toda matrizB,B∼Isi y s´olo si,Bes el producto de matrices elementales.

Demostraci´on.

SiB∼I, entonces existen matrices elementalesE1, E2, ..., Ektales queB=E1E2· · ·EkI. PeroIes elemental. As´ı queBes el producto de matrices elementales.

Por otra parte, si B = E1E2· · ·Ek, donde cada Ei es elemental, i = 1, ..., k, entonces simplemente escribimosB=E1E2· · ·EkI. Por lo tantoB∼I.

Teorema

El sistema homog´eneo tiene soluci´on unica (trivial) si y s´olo si Aes el producto de matrices elementales

Aes invertible

⇓

∀b∈_Rn_{(Ax=btiene soluci´on ´unica)}

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

m

A∼I

m

A=E1E2· · ·Ek, conE1, E2, ..., Ekson matrices elementales

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices Elementales y Sistemas Homog´

eneos de Ecuaciones

Teorema

Para toda matrizB,B∼Isi y s´olo si,Bes el producto de matrices elementales.

Demostraci´on.

SiB∼I, entonces existen matrices elementalesE1, E2, ..., Ektales queB=E1E2· · ·EkI. PeroIes elemental. As´ı queBes el producto de matrices elementales.

Por otra parte, si B = E1E2· · ·Ek, donde cada Ei es elemental, i = 1, ..., k, entonces simplemente escribimosB=E1E2· · ·EkI. Por lo tantoB∼I.

Teorema

El sistema homog´eneo tiene soluci´on unica (trivial) si y s´olo si Aes el producto de matrices elementales

Una cadenita de implicaciones

Aes invertible

⇓

∀b∈_Rn_{(Ax=btiene soluci´on ´unica)}

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

m

A∼I

m

A=E1E2· · ·Ek, conE1, E2, ..., Ek son matrices elementales

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices Elementales y Matrices Invertibles

Teorema

SiAes un producto de matrices elementales, entoncesAes invertible.

Demostraci´on.

Las matrices elementales son invertibles, as´ı que siAes un producto de matrices elementales,

Aes invertible.

Aes invertible

⇓

∀b∈_Rn_{(Ax=btiene soluci´on ´unica)}

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

m

A∼I

m

A=E1E2· · ·Ek, conE1, E2, ..., Ekson matrices elementales

⇓

Aes invertible

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Matrices Elementales y Matrices Invertibles

Teorema

SiAes un producto de matrices elementales, entoncesAes invertible.

Demostraci´on.

Las matrices elementales son invertibles, as´ı que siAes un producto de matrices elementales,

Aes invertible.

Una cadenita de implicaciones

Aes invertible

⇓

∀b∈_Rn_{(Ax=btiene soluci´on ´unica)}

⇓

Ax=0tiene ´unicamente soluci´on trivialx=0

m

A∼I

m

A=E1E2· · ·Ek, conE1, E2, ..., Ek son matrices elementales

⇓

Aes invertible

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

SeaAuna matriz cuadrada de tama˜non. Son equivalentes:

1. Aes invertible.

2. Ax=btiene soluci´on ´unica para todob∈Rn. 3. Ax=0ntiene ´unicamente soluci´on trivialx=0n.

4. La forma escal´on reducida deAesIn.

5. Aes el producto de matrices elementales.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Ejemplo

Ejemplo

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

M´

etodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

Si Aes una matriz cuadrada invertible de tama˜non, entonces existe una sucesi´on finita de matrices elementalesE1, ..., Ektales que

In=Ek· · ·E2E1A

Por lo tanto, si multiplicamos (por la derecha) ambos lados de esta ´ultima igualdad porA−1_,

A−1_=E

k· · ·E2E1In.

Esta ´ultima igualdad nos dice que la misma secuencia de operaciones por rengl´on que sirven para reducirAenIn, sirven para reducirInenA−1.

En vista de esta observaci´on, podemos establecer un m´etodo para encontrar matrices inversas el cual ilustramos a continuaci´on con algunos ejemplos.

M´

etodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

M´

etodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

M´

etodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Determinantes y Matrices Elementales

Lema

SeanBuna matriz cuadrada yEuna matriz elemental del mismo tama˜no deB. Entonces

|EB|=|E||B|.

Ejemplos

SeanE1=

λ 0 0 1

,E2=

0 1 1 0

yE3=

1 λ 0 1

. Y sea.B=

a b c d

. Entonces

|E1B|= λ 0 0 1 a b c d = λa λb c d =λ a b c d

=|E1||B|.

|E2B|= 0 1 1 0 a b c d = c d a b =− a b c d

=|E2||B|

|E3B|= 1 λ 0 1 a b c d =

a+λc b+λd

c d = a b c d + λc λd c d = a b c d

=|E3||B|.

Matrices Escalonadas

Lema

SiAes una matriz cuadrada en forma escal´on reducida por rengl´on, entoncesA=I, o bienAtiene un rengl´on o una columna de ceros.

Demostraci´on.

Veamos el caso de una matriz cuadrada de tama˜no3.

Sea puesA= (aij)3×3una matriz cuadrada de tama˜no3, y supongamos queAest´a en forma escal´on reducida y sin columnas ni renglones de ceros. En particular esto significa quea11= 1 (de lo contario, la primera columna ser´ıa de ceros). Por lo tantoa21= 0 =a31.

Ahora, sia22= 0, entoncesa32= 0, y dado queAno tiene columnas ni renglones de ceros, tambi´ena126= 0(de hechoa12= 1) ya336= 0(de hechoa33= 1). Pero de ello tambi´en se sigue quea23= 0. Luego, el rengl´on 2 es de ceros. Contradicci´on.

Por tantoa22= 1. Y en consecuencia,a12= 0 =a32.

De ello se sigue finalmente quea33= 1, y por tantoa31= 0 =a32.

Esto es,A=I3.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Determinantes de matrices escalonadas

Lema

SiAes una matriz cuadrada en forma escalonada reducida por rengl´on, entonces|A|= 1

siA=Io bien|A|= 0en otro caso. Demostraci´on.

Inmediato del lema anterior.

Lema

SeaAuna matriz cuadrada y seaRsu forma escal´on reducida por rengl´on. Entonces

|A|= 0si y s´olo si|R|= 0(o equivalentemente|A| 6= 0si y s´olo si|R| 6= 0). Demostraci´on.

Para una colecci´on finita de matrices elementalesE1, E2, ..., Ek, se cumple la igualdadR=

EkEk−1· · ·E2E1A. Luego,

|R|=|EkEk−1· · ·E2E1A|

=|Ek||Ek−1· · ·E2E1A| .

. .

. . .

=|Ek||Ek−1| · · · |E2||E1||A|.

La conclusi´on del lema se sigue puesto que|Ei| 6= 0para todai= 1, ..., k.

Matrices Invertibles

Teorema

Una matriz cuadradaAes invertible si y s´olo si|A| 6= 0.

Demostraci´on.

SeaRla forma escal´on reducida deA.

SiAes invertible, entoncesR=I, y por el lema anterior,|A| 6= 0puesto que|I|= 1. Rec´ıprocamente, si|A| 6= 0, entonces nuevamente por el lema anterior,|R| 6= 0. Y comoR

est´a en forma escal´on reducida, se sigue queR=I, as´ı queAes invertible.

Observaci´on

Hay que notar que esta prueba no usa en absoluto la Regla de Cramer.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

SeaAuna matriz cuadrada de tama˜non. Son equivalentes:

1. Aes invertible.

2. Ax=btiene soluci´on ´unica para todob∈Rn. 3. Ax=0ntiene ´unicamente soluci´on trivialx=0n.

4. La forma escal´on reducida deAesIn.

5. Aes el producto de matrices elementales. 6. |A| 6= 0.

Matrices Invertibles

Corolario

Sean Ay B matrices cuadradas del mismo tama˜no, tales queAB = I ´o BA = I, entoncesAes invertible yB=A−1_.

Demostraci´on.

Supongamos queBA=I. Consideremos el sistema homog´eneoAx=0. (Recordemos que un sistema homog´eneo tiene siempre soluci´on trivial). Multiplicamos por la derecha porB,

BAx=B0 Ix=0

x=0.

Esto implica que esl sistema homog´eneo tiene una ´unica soluci´onx=0.

Por elTeorema Fundamental de las Matrices Invertibles(TFMI),Aes invertible. Y si ahora multiplicamos por la derecha ambos lados deBA=I, obtenemos

BAA−1=IA−1

BI=A−1

B=A−1

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

SeaAuna matriz cuadrada de tama˜non. Son equivalentes:

1. Aes invertible.

2. Ax=btiene soluci´on ´unica para todob∈_Rn_.

3. Ax=0ntiene ´unicamente soluci´on trivialx=0n.

4. La forma escal´on reducida deAesIn.

5. Aes el producto de matrices elementales. 6. |A| 6= 0.

7. Existe una matrizBtal queAB=I. 8. Existe una matrizBtal queBA=I.

Regla del Producto del Determinante

Corolario

SeanAyBmatrices cuadradas del mismo tama˜no. Entonces

|AB|=|A||B|.

Demostraci´on.

Partiremos la demostraci´on en dos casos, a saber,Ainvertible yAno invertible.

Supongamos que Aes invertible. Entonces, por el TFMI,A =E1E2· · ·Ek, donde Ei es elemental para todai= 1,2, .., k. Luego, por uno de los lemas probado anteriormente,

|AB|=|E1E2· · ·EkB|

=|E1||E2· · ·EkB| . . . . . .

=|E1||E2| · · · |Ek||B|

=|E1E2||E3· · ·EkB| . . . . . .

=|E1E2· · ·Ek||B|

=|A||B|.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Regla del Producto del Determinante

Corolario

SeanAyBmatrices cuadradas del mismo tama˜no. Entonces

|AB|=|A||B|.

Demostraci´on.

Supongamos queAno es invertible. Vamos a verificar queABno es invertible. Si lo fuera, entonces para alguna matrizCse tiene

A(BC) = (AB)C=I.

Se sigue queAes invertible (por el corolario anterior). Contradicci´on. Por lo tanto

|AB|= 0 = 0|B|=|A||B|.

Rango de una matriz

Elrangode una matrizA= (aij)m×n es igual al n´umero de renglones distintos del rengl´on

cero de la forma escalonada reducida deA. Usamos la notaci´on rank(A).

Observe que0≤rank(A)≤m. Pero se puede probar que rank(A) =rank(AT_{). Por lo tanto} tambi´en se cumple que0≤rank(A)≤n.

Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales

Rango de una matriz

Teorema

Una matriz cuadradaAde tama˜nones invertible si y s´olo si, rank(A) =n.

Demostraci´on.

SiAes invertible, entonces por el TFMI, su forma escal´on reducida esIn. Y desde luego, el

n´umero de renglones distintos del rengl´on cero deInesn.

Rec´ıprocamente, si rank(A) =n, entonces la forma escal´on reducida deAtienenrenglones distintos del rengl´on cero. Pero ya probamos que la forma escal´on reducida de una matriz cuadrada es la identidadIno bien tiene al menos un rengl´on de puros ceros. Como no sucede

lo segundo, se tiene que la forma escal´on reducida deAesIn. Por el TFMI,Aes invertible.

Teorema

SeaAuna matriz den×mtal que rank(A) =r, y seab∈ _Rn_{. Supongamos que el}

sistemaAx=b es consistente. Entonces la soluci´on general del sistema tienen−r

par´ametros (variables libres).

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles

SeaAuna matriz cuadrada de tama˜non. Son equivalentes:

1. Aes invertible.

2. Ax=btiene soluci´on ´unica para todob∈_Rn_.

3. Ax=0ntiene ´unicamente soluci´on trivialx=0n.

4. La forma escal´on reducida deAesIn.

5. Aes el producto de matrices elementales. 6. |A| 6= 0.

7. Existe una matrizBtal queAB=In.

8. Existe una matrizBtal queBA=In.

9. rank(A) =n.