XIII Escuela Venezolana para la
Enseñanza de la Matemática
Cálculo Diferencial
y Aplicaciones
José Heber Nieto Said
Prefacio
La importancia delCálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de éstas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas.
Para la enseñanza del Cálculo existe una gran cantidad de libros de texto, materiales audiovisuales ysoftware educativo, todo lo cual se incrementa cada año ya que su comercialización parece ser un buen negocio. También hay abun-dante material disponoble gratuitamente en Internet. Sin embargo los resultados alcanzados en los cursos por lo general no son satisfactorios. Un gran número de aplazados, repitientes crónicos y deserción escolar parecen ser las características constantes de estos cursos.
Estas notas se han escrito con el propósito de contribuir a la enseñanza del Cálculo y lograr mejores rendimientos y logros académicos en los cursos. Están dirigidas a profesores de enseñanza media y primeros años de educación superior que estén dictando cursos de Cálculo o tengan proyectado hacerlo. La concepción educativa que las anima es la siguiente:
1. No creemos que la función del profesor sea “transmitir conocimientos”, ni que dicha “transmisión” sea posible. El conocimiento es algo que se cons-truye em cada individuo a través de un complejo proceso que el profesor debe estimular, proponiendo diversas experiencias educativas. En el caso de la matemática, la resolución de problemas por parte del alumno es una actividad insustituible que el profesor debe propiciar cuanto pueda. 2. Es imposible que alguien aprenda algo si no deseaaprenderlo. Es por eso
que lamotivaciónjuega un papel sumamente importante en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
3. El profesor de matemática debe poseer un conocimiento profundo de su materia, aún cuando la enseñanza deba adaptarse al nivel de sus alumnos. Reconocemos, en algunos casos, la necesidad de la transposición didáctica, pero ésta debe partir de una seria formación científica de los profesores. 4. Muchos conceptos matemáticos actuales son el resultado de la evolución
histórico puede en muchos casos contribuir a la comprensión de esos con-ceptos, además de mostrar que la matemática es una actividad realizada por los seres humanos y no una especie de verdad revelada e inmutable. 5. La tecnología moderna, bien usada, puede aportar mucho al proceso de
enseñanza-aprendizaje.
En base a las ideas anteriores se ha estructurado un curso con el énfasis puesto en los siguientes aspectos, que lamentablemente se suelen descuidar:
1. La clarificación de los conceptos y resultados básicos.
2. Las aplicaciones, tanto dentro como fuera de la propia matemática. 3. El desarrollo histórico de la disciplina y las implicaciones del mismo sobre
su enseñanza.
4. Las posibilidades didácticas de algunos recursos tecnológicos modernos. Aunque se han hecho esfuerzos por escribir un texto autocontenido, no se trata de un curso introductorio. Se da por supuesto que el lector está familiari-zado al menos con el cálculo elemental de límites y las reglas de derivación. Por razones de tiempo y espacio no se cubre el cálculo integral, aunque hay nume-rosas referencias al mismo e incluso se tratan y resuelven por vías alternativas algunos problemas que se consideran típicos del cálculo integral.
Como material de apoyo y para mostrar su potencial didáctico se han di-señado algunas plantillas en GeoGebra que ilustran varios de los conceptos y problemas estudiados. Las mismas se hallan disponibles en
http://mipagina.cantv.net/jhnieto/apcal/
(GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que permite inter-actuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Cálculo. Su sitio web eshttp://www.geogebra.org)
El signoal comienzo de un párrafo o en un ejercicio advierte de unacurva peligrosa en el curso del pensamiento. El material así marcado puede pasarse por alto en una primera lectura.
El autor.
Índice general
1. Perspectiva histórica 1
1.1. Antecedentes . . . 2
1.2. El nacimiento del Cálculo . . . 5
1.3. Crecimiento y desarrollo . . . 8
1.4. Rigor y Fundamentación . . . 8
2. Conceptos Básicos 11 2.1. Los números reales . . . 11
2.2. Funciones . . . 18
2.2.1. Operaciones con funciones . . . 19
2.2.2. Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones . . . 20
2.3. Límites . . . 21
2.3.1. Límites laterales e infinitos . . . 21
2.3.2. Operaciones con límites . . . 23
2.3.3. Asíntotas . . . 26
2.3.4. Límites de sucesiones . . . 27
2.4. Continuidad . . . 28
2.4.1. Operaciones con funciones continuas . . . 30
2.4.2. Propiedades de las funciones continuas . . . 30
2.5. Derivadas . . . 33
2.5.1. Derivadas laterales . . . 34
2.5.2. Interpretación geométrica . . . 34
2.5.3. Interpretación cinemática . . . 35
2.5.4. Propiedades de las funciones derivables . . . 36
2.5.5. Derivadas de orden superior . . . 43
2.5.6. Infinitésimos e infinitos . . . 44
2.5.7. Fórmula de Taylor . . . 45
2.6. Funciones convexas . . . 48
2.7. Teorema fundamental del Cálculo . . . 51
3. Máximos y mínimos 55 3.1. Crecimiento y decrecimiento de una función . . . 55
3.2. Extremos locales . . . 56
3.3. Extremos globales . . . 57
3.4. Algunos ejemplos geométricos . . . 58
3.5. Ley de Snell . . . 62
3.6. Extremos sin cálculo . . . 64
4. Aplicaciones matemáticas 65 4.1. Gráficas de funciones . . . 65
4.2. Raíces de ecuaciones . . . 69
4.3. Longitud de arco . . . 70
4.4. Funciones vectoriales . . . 72
4.5. Curvas parametrizadas . . . 73
4.5.1. Curvas regulares . . . 75
4.5.2. Involutas y evolutas . . . 77
4.5.3. Trayectorias de una bicicleta . . . 80
4.5.4. Envolvente de una familia de rectas . . . 84
4.5.5. Coordenadas polares . . . 86
4.6. Desigualdades . . . 89
4.6.1. Desigualdad de Jensen . . . 90
4.6.2. Desigualdad aritmético-geométrica . . . 90
4.6.3. Desigualdad entre medias generalizadas . . . 91
4.6.4. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski . . . 93
5. Aplicaciones físicas 96 5.1. Movimiento en un campo constante . . . 96
5.2. Desintegración radioactiva . . . 98
5.3. Ecuaciones diferenciales . . . 100
5.4. Ecuación de la catenaria . . . 105
5.5. El Teorema de Torricelli . . . 106
5.6. La cicloide es tautócrona . . . 108
5.7. El problema de la braquistócrona . . . 110
5.8. Las leyes de Kepler . . . 111
6. Aplicaciones a otras ciencias 116 6.1. Modelos Ecológicos . . . 116
6.1.1. Modelo Exponencial . . . 116
6.1.2. Modelo logístico . . . 117
6.1.3. Modelo predador-presa . . . 118
6.2. Economía . . . 120
6.2.1. Índice de precios e inflación . . . 121
6.2.2. Precios, oferta y demanda . . . 121
Soluciones a ejercicios seleccionados 123
Bibliografía 131
Índice alfabético 132
Capítulo 1
Perspectiva histórica
La derivada fue primerousada; luego fuedescubierta; luego fueexploradaydesarrolladay finalmente fuedefinida. Judith V. Graviner [4]
El cálculo infinitesimal, o simplemente elCálculo, como se le llama común-mente, es sin duda alguna uno de los grandes logros intelectuales de la hu-manidad. La amplitud y alcance de sus aplicaciones ha hecho que sea materia obligada en los planes de estudio de casi todas las carreras científicas y técnicas. A pesar de que existe una inmensa variedad de libros de texto y recursos de todo tipo para su estudio, su enseñanza y aprendizaje no están libres de esco-llos, sobre todo debido a la dificultad que presenta, para muchos estudiantes, la comprensión de algunos de sus conceptos fundamentales, como el delímite.
Ahora bien, resulta interesante comprobar que la mayor parte del desarrollo del cálculo y sus primeros éxitos en la resolución de variados problemas matemá-ticos y de otras disciplinas, durante los siglos XVII y XVIII, se realizóantesde disponer de definiciones precisas de los conceptos fundamentales. Varios ejem-plos particulares de lo que hoy llamamosderivadasfueron usados por Fermat y otros para resolver diversos problemas durante la primera mitad del siglo XVII. Durante la segunda mitad de ese siglo, Newton y Leibniz identificaron los con-ceptos subyacentes a los ejemplos mencionados, dando así origen al nacimiento del cálculo. Durante el siglo XVIII el cálculo continuó desarrollándose vigorosa-mente, así como sus aplicaciones matemáticas y físicas. Y fue recién en el siglo XIX cuando Cauchy y Weierstrass dieron definiciones precisas de los conceptos básicos y convirtieron el cálculo en una teoría matemática rigurosa.
a la matemática su sólida estructura lógico-deductiva, pero no debe olvidarse que el orden histórico es por lo común bastante diferente.
Si pensamos que desde el nacimiento del cálculo hasta la primera exposición rigurosa del mismo, basada en nuestra actual definición de límite, pasaron más de dos siglos, no debería extrañarnos que un alumno al que se le expone sin preparación previa dicha definición por primera vez, quede completamente en blanco. Las definiciones precisas son frecuentemente el final, y no el principio, de un tema.
Además conocer el verdadero desarrollo histórico de la matemática muestra a los matemáticos en su labor de creación, que es en definitiva lo que hace a esta disciplina tan interesante.
1.1.
Antecedentes
El Cálculo es la matemática del cambio y de lo continuo, y por lo tanto para su desarrollo es imprescindible el conjunto de los números reales, también conocido como elcontinuo. Los orígenes de los números reales se pueden rastrear en la matemática babilónica, que desarrolló un sistema de numeración posicional capaz, en principio, de representar la medida de una magnitud con la precisión deseada. Los griegos fueron mucho más parcos en cuanto a lo que consideraban números, y sólo designaban con este nombre a los enteros positivos a partir del dos. El uno era la unidad, la mónada, y estaba en una clase aparte. Y lo que nosotros llamamos fracciones eran para ellos razones de números, pero no números propiamente dichos. Los pitagóricos creyeron, al principio, que la razón de dos magnitudes del mismo tipo (como por ejemplo dos longitudes) se podía expresar siempre como la razón de dos números, pero el descubrimiento de magnitudesinconmensurables(como el lado y la diagonal de un cuadrado) echó por tierra esa creencia. Este hecho sin embargo dió lugar a una de las creaciones más profundas de la matemática griega: la teoría de las razones de magnitudes de Eudoxo de Cnido, que aparece expuesta en el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta teoría permitió a los geómetras griegos comparar razones de magnitudes, aunque éstas fuesen inconmensurables. Arquímedes mostró cómo varias de esas razones inconmensurables podían ser aproximadas por números racionales, pero debido a la carencia de un sistema de numeración apropiado la matemática griega no avanzó mucho más en esa dirección.
hicie-1.1 Antecedentes 3
ron accesibles gracias al novedoso uso de la imprenta. Los algebristas italianos continuaron desarrollando el álgebra hasta obtener la solución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado (Tartaglia y Cardano) y con el francés François Viète, a fines del siglo XV el álgebra simbólica quedó definitivamente establecida.
La invención de la geometría analítica se sitúa generalmente alrededor de 1630, y se atribuye a Descartes (1596-1650) y a Fermat (1601-1665), indepen-dientemente. Sin embargo sus raíces aparecen ya en la geometría griega. Fijados un origenOy un puntoAen una recta, a cada puntoBde la semirrecta−→OAse le puede hacer corresponder la medida del segmento OB respecto a la unidad OA, lo cual para los griegos era una razón de magnitudes y para los modernos un número real. Los griegos no consideraron números negativos, pero si conve-nimos en tomar como negativa la medida del segmento OB cuandoB está en la semirrecta opuesta a −→OA, entonces a cada punto de la recta le corresponde un número real único, llamadoabscisa del puntoB. Recíprocamente, para cada número realxexiste un único puntoBen la recta que tiene axcomo abscisa. Si se hace esto en dos rectas perpendiculares (ejes cartesianos) entonces se puede establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales, haciéndole corresponder a cada punto el par orde-nado(x, y)formado por las abscisas de las proyecciones del punto sobre los ejes. Y a cada ecuación R(x, y) = 0 en las variablesxey le corresponde una figura geométrica, a saber el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas
(x, y)satisfagan la ecuación.
Figura 1.1: Fermat Además de las rectas, las circunferencias y las
có-nicas, los griegos sólo habían considerado unas pocas curvas más (como la espiral de Arquímedes y algunas otras definidas como lugares geométricos), y fueron capaces de resolver varios problemas relacionados con ellas, notablemente el trazado de tangentes. Pero la geometría analítica provocó una explosión en el nú-mero de curvas posibles. Los métodos sintéticos de los griegos para el trazado de tangentes ya no eran aplicables, y se requería algo más general. Lo mis-mo ocurría con el cálculo de áreas y longitudes y los problemas de máximos y mínimos. Fermat desarrolló un método para hallar extremos de funciones polinó-micas que hoy identificaríamos con hallar los puntos donde se anula la derivada. Sin embargo, no define la derivada ni nada parecido, ni justifica su método. A
pesar de ello, lo utilizó con indudable éxito para resolver algunos problemas no triviales. Por ejemplo, formuló el principio óptico según el cual la luz viaja de un punto a otro siguiendo la trayectoria que haga mínimo el tiempo empleado (hoy conocido como Principio de Fermat) y de allí dedujo la ley de refracción de Snell.
curva al que se aplicaba era la circunferencia, para la cual una recta es tangente si y sólo si tiene un único punto en común con ella (las rectas secantes tienen dos puntos en común con la circunferencia y las exteriores ninguno). Pero ya para la parábola la situación es más complicada, ya que las rectas paralelas al eje la cortan en un solo punto, igual que las tangentes. Se agregó entonces a la noción de tangente la condición de que la recta no atravesara la curva. Para curvas más generales, esta definición tampoco resulta apropiada. Intuitivamente, las tangente comenzaron entonces a considerarse como secantes para las cuales los puntos de contacto se aproximaban indefinidamente uno al otro hasta coincidir.
Figura 1.2: Secante y tangente
A pesar de que nadie era capaz de explicar con precisión este proceso median-te el cual las secanmedian-tes se convertían en tangenmedian-tes, Fermat (y otros mamedian-temáticos del siglo XVII como Descartes, John Wallis e Isaac Barrow) utilizaron la idea para calcular efectivamente tangentes.
El método, aplicado a una curva de ecuación y =f(x), consistía en consi-derar la recta secante que pasa por dos puntos (x, f(x)), (x+h, f(x+h)) y calcular supendiente
f(x+h)−f(x)
h . (1.1)
Ahora bien, si al coincidir los puntos de contacto la secante se convierte en tangente, para calcular la pendiente de ésta simplemente hay que ponerh= 0
1.2 El nacimiento del Cálculo 5
f(x) =x3−x+ 3calculaban f(x+h)−f(x)
h =
(x+h)3−(x+h) + 3−(x3−x+ 3) h
= x
3+ 3x2h+ 3xh2+h3−x−h+ 3−(x3−x+ 3)
h
= 3x
2h+ 3xh2+h3−h
h = 3x
2+ 3xh+h2 −1,
y ahora haciendoh= 0se obtiene la pendiente de la recta tangente en(x, f(x)), a saber3x2−1.
Vemos entonces que estos matemáticos, a pesar de carecer de una definición satisfactoria del concepto de recta tangente, eran capaces, en muchos casos, de calcularlas correctamente. También se hizo evidente que este método para hallar tangentes era prácticamente el mismo que el usado por Fermat para hallar extremos.
1.2.
El nacimiento del Cálculo
Con una sobresimplificación excesiva, la “invención” del Cálculo se atribuye algunas veces a dos hombres, Newton y Leibniz. En realidad, el Cálculo es el producto de una larga evolución que no fue ni iniciada ni terminada por Newton y Leibniz, pero en la cual ambos jugaron un papel decisivo.
R. Courant, H. Robbins [3]
Figura 1.3: Newton El terreno estaba preparado para la aparición de
nuevas ideas que unificaran lo que se había logrado hasta el momento. Es así que, en el último tercio del siglo XVII, Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), en forma indepen-diente, “inventan” el cálculo. Esta invención (o, pa-ra algunos, descubrimiento) tiene dos aspectos fun-damentales. El primero consiste en haber reunido la gran variedad de métodos existentes hasta ese mo-mento para calcular tangentes, extremos y áreas en un cuerpo de teoría basado en dos conceptos fundamen-tales, que hoy llamamos derivada e integral. Newton llamó a nuestra derivada fluxión y la definió de tres maneras diferentes: (a) como la razón de “cambios in-finitesimales” en dos variables, (b) como el límite de la razón entre incrementos,∆x/∆t, cuando∆t
disminu-ye hasta desaparecer, y (c) como una tasa de cambio o velocidad. La notación newtoniana para la fluxión era x. Para Leibniz la derivada era una razón de˙
notacióndy/dx. Del mismo modo su notaciónR
y dxpara la integral sugiere una suma (el signoR
es unaS estilizada) de cantidades infinitesimalesy dx. En segundo lugar, tanto Newton como Leibniz establecieron lo que ahora se llama elTeorema Fundamental del Cálculo, según el cual la derivación y la inte-gración son operaciones mutuamente inversas. Veamos cómo Newton visualizaba este resultado.
O x x + h
C(x,y)
D
K(x,v)
H(x+h,v)
Figura 1.4: Teorema Fundamental del Cálculo
Dada una curva, seaz(x)el área limitada por ella, el eje de lasxy las rectas verticales de abscisas 0 yx. Sea C= (x, y)el punto de la curva con abscisa x, yD el punto con abscisa x+h. Tomemos la ordenadav de los puntos K yH de manera que el rectángulo de vértices (x,0), (x+h,0), K yH tenga igual área que la región limitada por la curva, el eje horizontal y las rectas verticales por C yD, es decir de manera quez(x+h)−z(x) = vh, o dividiendo ambos miembros entreh,
z(x+h)−z(x)
h =v.
Ahora Newton afirma que sih“disminuye indefinidamente, hasta desaparecer”, vse hará igual ay. Por lo tanto la tasa de variación del área bajo la curva hasta el puntoCes igual al valor de la ordenada de ese punto. Además se observa que ese valor es el mismo que obtendríamos al calcular la pendiente de la tangente a la curvay=z(x), lo que muestra que el problema del área y el de la tangente están íntimamente vinculados. En vez de nuestrahNewton usó una pequeñao, con lo cual aparentemente quería transmitir la pequeñez y cercanía al 0 de esa cantidad. Leibniz dió argumentos similares sobre este asunto.
1.2 El nacimiento del Cálculo 7
Figura 1.5: Principia
Aunque Newton formuló sus leyes del movimiento en palabras, y la exposición y desarrollo de las mis-mas contenida en sus famosos Philosophiae naturalis principia mathematica (1687) siguen mayormente el modelo geométrico, una vez expresadas en el lengua-je del cálculo se convirtieron en una herramienta de tremendo poder. El mismo Newton logró deducir, a partir de sus principios, las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas, explicó las mareas y la precesión de los equinoccios, analizó al movimiento de los cuerpos en medios que ofrecen una resistencia como el aire y los líquidos, etc. Pero desde un punto de vista lógico y matemático estricto, el Cálculo de New-ton y Leibniz tenía obvias debilidades. La pequeña o utilizada por Newton para designar los incrementos, que “disminuyen hasta desaparecer”, ¿es cero o no lo es? Si lo es, ¿cómo se puede dividir entre ella? Si no lo es, ¿no se comete un error al despreciarla?
Figura 1.6: Leibniz Para Leibnizdy/dxera un “cociente diferencial”, y
para algunos de sus discípulos, como Johann Bernou-lli, era una razón de infinitésimos. El problema de este planteamiento es que el orden entre los infinitésimos no es arquimediano, por lo que la teoría clásica de las proporciones no se les puede aplicar. En sus Princi-piaNewton trató de superar esta dificultad afirmando que una fluxión no debe entenderse como una razón entre cantidades infinitesimales, sino como el límite de la razón entre incrementos evanescentes. Esto sue-na muy bien, pero lamentablemente no está claro qué entendía Newton por límite, ya que inmediatamente dice que las razones entre incrementos se aproximan al límite más cerca que cualquier diferencia dada, “pero nunca lo sobrepasan ni lo alcanzan”.
En 1734 el obispo George Berkeley (1685–1753), en un artículo titulado El Analista: o un discurso dirigido a un matemático infiel, argumentó que los fundamentos del cálculo no eran firmes. Una cantidad, decía, es cero o no lo es, no hay una tercera posibilidad. Entre sus mordaces críticas se hicieron famosas estas palabras:
¿Qué son estos incrementos evanescentes? No son cantidades fini-tas, ni infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No podríamos llamarlos fantasmas de cantidades difuntas?
1.3.
Crecimiento y desarrollo
Aunque las críticas de Berkeley eran correctas, a la mayor parte de los ma-temáticos de su época no les preocupaban: estaban más interesados en aplicar las nuevas y poderosas herramientas a la solución de problemas matemáticos y físicos de todo tipo. Por ejemplo, la segunda ley de Newton expresada en el lenguaje del cálculo afirma queF =m¨x, dondeF representa la fuerza que actúa sobre una masa puntualm en la posiciónx yx¨ representa la aceleración. Por otra parte Robert Hooke (1635–1703) había hallado la ley de la elasticidad que hoy lleva su nombre, la cual, como se acostumbraba en la época, publicó en forma de anagrama en latín:ceiiinosssttuv, cuyo significado esUt tensio sic vis (como la extensión, así la fuerza). En otras palabras, la fuerza de recuperación F de un resorte estirado es proporcional al estiramiento x, oF = −kx. Igua-lando estas dos expresiones, Euler (1707–1783) estableció en 1739 la ecuación diferencial de un resorte vibrante
mx¨+kx= 0,
y la resolvió, hallando que la solución involucra a las funciones trigonométricas seno y coseno. Euler también estudió, al igual que D’Alembert, Daniel Bernoulli y otros matemáticos, la ecuación diferencial de las cuerdas vibrantes (que in-volucra una función de dos variables y sus derivadas parciales). Este problema condujo a extensas discusiones sobre la definición de función y la naturaleza de la continuidad.
Figura 1.7: Euler Aunque el concepto de función es uno de los más
importantes de toda la matemática, en su sentido téc-nico no aparece sino hasta fines del siglo XVII, en la correspondencia entre Leibniz y Johann Bernoulli. La notaciónf(x)se debe a Euler, en cuya obra Introduc-tio in analysin infinitorum, publicada en 1748, este concepto ocupa un rol central, aunque aparece toda-vía ligado al de representación analítica. En 1755, en su Institutiones calculi differentialis, el mismo Euler da una definición más general.
Algunos otros temas atacados con éxito durante esta época fueron la mecánica de los cuerpos rígidos, la mecánica celeste y la hidrodinámica. Así, a media-dos sel siglo XVIII, las ecuaciones diferenciales ya se habían convertido en la herramienta matemática más importante de la física.
1.4.
Rigor y Fundamentación
1.4 Rigor y Fundamentación 9
En 1797 escribió que el concepto newtoniano de límite no era lo suficientemente claro como para ser el fundamento de una rama de la matemática. El cálculo, decía, debería ser reducido al algebra, tema que en ese entonces se pensaba que tenía bases sólidas. Lo que Lagrange tenía en mente eran las series infinitas, a las que consideraba parte del álgebra, pues así como la aritmética trata con fracciones decimales infinitas el álgebra podía también tratar con expresiones al-gebraicas infinitas. Como Euler había hallado expansiones en serie de potencias de funciones comoex,cosxy senx, Lagrange creía que para cualquier función
f se podría hallar un desarrollo del tipo
f(x+h) =f(x) +p(x)h+q(x)h2+r(x)h3+· · ·
Figura 1.8: Lagrange excepto tal vez para algunos valores aislados dex.
En-tonces definió la función derivada de f como el coe-ficiente p(x) de h, e introdujo para ella la notación f′(x). También definió f′′(x) como la función
deri-vada de f′(x), y así sucesivamente, y probó que en
el desarrollo de f(x+h) se tiene q(x) = f′′(x)/2,
r(x) =f′′′(x)/6, etc.
Aunque la definición de Lagrange no es apropia-da más que para una clase de funciones (las que hoy llamamosanalíticas), él también describió la derivada mediante desigualdades semejantes a la actual defi-nición mediante límites. También halló importantes propiedades, por ejemplo probó que una función con derivada positiva en un intervalo es creciente, obtuvo
la hoy llamadaforma de Lagrangepara el resto en la fórmula de Taylor y aplicó sus hallazgos para resolver un gran número de problemas de geometría, máximos y mínimos y mecánica.
Figura 1.9: Cauchy
El matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) señaló, en 1821, que el álgebra de las cantidades finitas no podía extenderse a los procesos infinitos. Además mostró que la función e−1/x2
límite, tratando de evitar las dificultades lógicas que encerraban los incrementos evanescentes, pero nunca propuso una definición aceptable de esta noción. El primero en precisar el concepto de límite fue Cauchy, en su Cours d’Analyse (Paris, 1821). A diferencia de sus predecesores, Cauchy evitó la cuestión de si una variable podía alcanzar o sobrepasar su límite. Y aunque su definición es todavía verbal, en sus demostraciones utiliza la caracterización algebraica de los límites, mediante desigualdades. De hecho, Cauchy es quien utiliza por primera vez la hoy famosa notaciónǫ-δ. Y entonces, en 1823, define la derivada como el límite (cuando existe) del cociente de diferencias(f(x+h)−f(x))/hcuandoh tiende a 0.
Después de Cauchy, el Cálculo comenzó a ser visto desde una perspectiva diferente. De mero conjunto de poderosos métodos se convirtió en una disciplina matemática rigurosa, con buenas definiciones y teoremas cuyas pruebas se basan en las definiciones.
Figura 1.10: Weierstrass En 1856 Karl Weierstrass (1815–1897) comenzó
a trabajar en la Universidad de Berlin. En el cur-so de Introducción al Análisis que dictó entre 1859 y 1860 encaró el problema de los fundamentos. En sus teoremas utilizó la técnica ǫ-δ de Cauchy, pero reemplazando la definición verbal de los límites por desigualdades, y haciendo una distinción clara entre la convergencia puntual y la uniforme, lo cual a Cau-chy se le había pasado por alto. De esta manera lo-gró una presentación sistemática y completamente ri-gurosa del Cálculo. Aunque Weierstrass no publicó sus conferencias, sus alumnos (entre quienes estaban Georg Cantor, Eduard Heine, Mittag-Leffler, Salvato-re Pincherle, Hermann Schwartz y Sofia Kowalevska-ya, entre otros) diseminaron su enfoque riguroso por
toda Europa. Su publicación en 1872 de un ejemplo de función continua que no es derivable en ningún punto muestra su completo y profundo dominio de los conceptos fundamentales del análisis matemático. Este descubrimiento perturbó a muchos matemáticos, que consideraban a este tipo de funciones contrarias a la intuición como “patológicas”. En una dirección contraria el mismo Weierstrass probó, a los 70 años de edad, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado puede ser aproximada uniformemente, con la precisiñon que se desee, por medio de funciones polinómicas.
Capítulo 2
Conceptos Básicos
En este capítulo se revisan los conceptos y resultados básicos del cálculo diferencial. Su contenido no refleja la forma en que el autor piensa que debe enseñarseel Cálculo, sino más bien lo que éste cree que un profesor de Cálculo debería saber.
Un curso de Cálculo para estudiantes que lo vean por primera vez requeriría de mucha más motivación, ejemplos y ejercicios. Además, el grado de formalidad y rigor debería adaptarse al nivel y objetivos del curso. No debe olvidarse que la mayor parte del Cálculo se desarrolló antes de poseer definiciones formales de los conceptos básicos (como los de número real y límite), y por lo tanto un curso para estudiantes interesados enaplicarel cálculo no necesita detenerse en los aspectos más sutiles de su fundamentación.
Como se supone que el lector ya está más o menos familiarizado con estos temas, las demostraciones que se incluyen son bastante concisas y esquemáticas. Los ejercicios, más que a desarrollar habilidades específicas, están destinados a refrescar la memoria del lector o a llamar la atención sobre puntos interesantes o delicados. Para una exposición más completa el lector puede consultar la bibliografía, por ejemplo [2], [9] o [13].
2.1.
Los números reales
un número real igual a la medida del segmentoOB respecto a la unidadOA, y que recíprocamente para cada número real xexiste un único punto B en la recta tal que la medida del segmentoOB respecto a la unidadOAesx.
En la enseñanza media los números reales se definen como expresiones deci-males infinitasg, a1a2a3. . ., dondeg es un número entero (posiblemente prece-dido de un signo+ó −) ya1, a2, a3, . . . son dígitos. Las expresiones decimales finitas pueden identificarse con expresiones decimales infinitas agregándoles in-finitos ceros a la derecha. También se enseña que a cada número racional le corresponde o bien una expresión decimal finita o bien una expresión decimal infinita periódica, mientras que las expresiones decimales infinitas no periódicas son números irracionales.
Este enfoque, aunque aceptable, presenta varios problemas, entre los cuales se pueden mencionar los siguientes:
1. Hace depender a los números reales del sistema decimal. Una buena defi-nición debería ser independiente de la base en que se representen. 2. Hay expresiones diferentes que corresponden al mismo número, por
ejem-plo1,5 = 1,4999. . .
3. Definir las operaciones básicas (la suma, y especialmente el producto) con expresiones decimales infinitas, presenta ciertas dificultades.
4. Tampoco es sencillo demostrar las propiedades básicas de las operaciones (asociatividad, distributividad, etc.)
Por esas razones en la segunda mitad del siglo XIX varios matemáticos (entre ellos Cantor, Méray, Dedekind y Weierstrass) trabajaron para poner al núme-ro real sobre bases más sólidas, pnúme-roponiendo diversas formas de construirlos a partir de los racionales. Entre los métodos propuestos se pueden mencionar las cortaduras de Dedekind, los pares de clases contiguas, los pares de sucesiones monótonas contiguas y las sucesiones de Cauchy.
Veamos brevemente el método de las cortaduras (para más detalles vea [8]). Unacortaduraes un par(I, S)de subconjuntos no vacíos del conjuntoQde los números racionales, tales que
1. I∪S=Q,I∩S=∅.
2. six∈I yy∈S, entoncesx < y. 3. I no tiene elemento máximo.
Al conjunto I se le llama clase inferior y alS clase superior de la cortadura. Observe que la clase inferior I determina completamente la cortadura, ya que la clase superiorS es el complement6o de IenQ.
Para cada número racional q se puede construir una cortadura(Iq, Sq)
po-niendo Iq = {x ∈ Q : x < q}, Sq = {x ∈ Q : x ≥ q}. Observe que en esta
2.1 Los números reales 13
Un ejemplo más interesante es el siguiente:I ={x∈Q:x <0 ó x2 <2}, S={x∈Q:x >0yx2≥2}. En esta cortadura, ni la clase inferior tiene máxi-mo ni la clase superior tiene mínimáxi-mo. Si supiéramáxi-mos qué cosa es√2, podríamos decir que la clase inferior contiene todas las aproximaciones por defecto de ese número, y la clase superior todas las aproximaciones por exceso. La idea de De-dekind fue sencillamentedefinir√2mediante esa cortadura. En otras palabras, para Dedekind un número realesuna cortadura.
El conjunto de todos los números reales se denotaR. EnRes muy fácil definir un orden: siα= (I, S)y α′ = (I′, S′) son números reales, se dice queα≤α′
si I ⊆I′. Es inmediato verificar que ≤es una relación reflexiva, transitiva y
antisimétrica.
Lasumaα+α′ es la cortadura cuya clase inferior esI+I′ ={x+x′:x∈
I, x′ ∈I′}. Es inmediato probar que la adición es conmutativa y asociativa, y
que el cero (definido por la cortadura con clase inferior {x∈Q:x <0})es un elemento neutro para esta operación.
También se puede definir el producto y probar las leyes asociativa, conmu-tativa y distributiva.
Lamentablemente para analizar en detalle cualquiera de las construcciones de los números reales se requiere un tiempo del que generalmente no se dispone en los cursos de cálculo. Además exige un esfuerzo que tal vez sólo se les puede pedir a los estudiantes matemáticamente orientados. La alternativa más corriente hoy en día consiste en introducir los números reales axiomáticamente. La ventaja de este método, además de la rapidez, es que el estudiante dispone de entrada de una lista de propiedades básicas de los números reales, que puede usar como punto de partida para demostrar otras.
Axiomas del sistema de los números reales
En el enfoque axiomático se supone dado un conjunto R que contiene dos elementos distinguidos 0 y 1, en el cual están definidas dos operaciones binarias
+ y ·(suma y producto) y una relación <, de manera tal que se cumplen los siguientes axiomas:
A1. a+ (b+c) = (a+b) +cpara todos losa, b, c∈R. A2. a+b=b+apara todos losa, b∈R.
A3. a+ 0 =apara todoa∈R.
A4. Para todo a∈Rexiste−a∈Rtal quea+ (−a) = 0. A5. a·(b·c) = (a·b)·cpara todos losa, b, c∈R.
A6. a·b=b·apara todos losa, b∈R.
A7. a·1 =apara todoa∈R.
A9. 16= 0.
A10. a·(b+c) =a·b+a·cpara todos losa, b, c∈R.
A11. Paraa, b, c∈R, sia < byb < centoncesa < c.
A12. Sia, b∈R, una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta: (i)a < b, (ii)a=b, (iii)b < a.
A13. Paraa, b, c∈R, sia < bentonces a+c < b+c. A14. Paraa, b, c∈R, sia < by0< centoncesa·c < b·c.
A15. Cualquier subconjunto de Rno vacío y acotado superiormente tiene una cota superior mínima.
La mayoría de estos axiomas corresponden a conocidas propiedades: A1 y A2 son las propiedades asociativa y conmutativa de la suma, A3 dice que el 0 es neutro para la suma, A4 afirma la existencia de un opuesto aditivo para cada a∈R, A5 y A6 son las propiedades asociativa y conmutativa para el producto, A7 dice que 1 es neutro para el producto, A8 afirma la existencia de un inverso multiplicativo para cada a 6= 0, A10 es la propiedad distributiva, A11 es la transitividad de <, A12 es la tricotomía, A13 y A14 son la monotonía de < respecto a la suma y el producto, y A15 es el axioma de completitud, también llamado principio del supremo.
Los axiomas A1...A10 caracterizan la estructura algebraica llamadacuerpo. A11 y A12 son los axiomas de una relación de orden. A13 y A14 relacionan el orden con la estructura algebraica. Los axiomas A1...A14 caracterizan a los llamadoscuerpos ordenados. Si se pone el cuerpo Qde los números racionales
en lugar de Ren los axiomas A1...A14, todos se satisfacen. El axioma A15 en
cambio es característico de los números reales, y enseguida lo trataremos con mayor detenimiento.
El enfoque axiomático plantea varias preguntas importantes, entre las cuales cabe destacar: (1) ¿Existe algún conjunto Rcon las propiedades especificadas
por los axiomas? (2) Admitiendo que exista, ¿es esencialmente único? (3) ¿Los axiomas sonconsistentes?, es decir, ¿no podrá derivarse de ellos alguna contra-dicción?
La respuesta a la primer pregunta es que, a partir del sistema de los números naturales o de la teoría de conjuntos, se pueden construir modelos de R que
satisfacen todos los axiomas. Esto da una respuesta parcial a la tercera pregunta, ya que reduce la consistencia del sistema de los números reales a la consistencia de la aritmética, o de la teoría de conjuntos. Y decimos que la respuesta es parcial porque estas dos últimas teorías no se sabe si son consistentes.
2.1 Los números reales 15
Ejercicio 2.1. SeaQ(√2) ={a+b√2 :a, b∈Q}. Pruebe que poniendoQ(√2)
en lugar deRen los axiomas A1...A14, todos ellos se satisfacen.
Recordemos ahora algunas definiciones:
Definición 2.1. Un número realc escota superior de un conjunto A⊂R, si para todo a ∈ A se cumple a ≤ c. En este caso se dice que A está acotado superiormente. Un número realM esmáximo deA⊂R, si M es cota superior deA y ademásM ∈R. Análogamented∈Rescota inferiordeAsi para todo a∈Ase cumpled≤a(en este caso se dice queAestáacotado inferiormente) y m∈ResmínimodeA, simes cota inferior deAy ademásm∈R. Un conjunto esacotadosi lo está tanto superior como inferiormente. Si el conjunto de las cotas superiores de un conjunto Atiene mínimo, a ese mínimo se le llamasupremo o extremo superior deA y se denota supA. Análogamente, si el conjunto de las cotas inferiores deA tiene máximo, a ese máximo se le llamaínfimoo extremo inferior deA, y se denota´ınfA.
Es claro que el máximo y el mínimo de un conjunto, si existen, son únicos.
Ejemplo 2.1. Sea R+ = {x∈ R : x > 0} la semirecta real positiva. R+ no tiene ninguna cota superior, pero cualquier número real c≤0 es cota inferior. El 0 es la mayor cota inferior, por lo tanto 0 es el ínfimo deR+. Como06∈R+,
R+ no tiene mínimo.
Ejemplo 2.2. SeaX={−3,−1,0,√2,2, π}. Entonces−5es cota inferior, 5 es cota superior, -3 es mínimo yπes máximo de X.
Ejercicio 2.2. Pruebe quec= supAsi y sólo sices cota superior deAy, para todo b < c, existe a ∈ A tal que b < a ≤c. Enuncie y pruebe una condición similar para los ínfimos.
El axioma A15 se puede enunciar de la siguiente manera.
Principio del supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente de números reales tiene supremo.
En el conjunto Q de los números racionales el Principio del supremo no
vale. Por ejemplo, el conjunto A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2} es acotado superiormente por3/2(ya que six≥3/2entoncesx2≥9/4>2yx6∈A), pero no tiene supremo enQ.
En segundo lugar probaremos que para todo x∈ A existe otrox′ ∈ A tal
quex′> x. En efecto, six <1basta tomarx′= 1. Six≥1, seah= (2−x2)/4. Como1≤x2<2 se tiene0< h≤1/4. Entonces(x+h)2=x2+ (2x+h)h < x2+ (3 + 1/4)h < x2+ 4h= 2. Es decir que si tomamos x′ =x+h se tiene
x′ ∈Ayx′> x.
También se cumple que, si y > 0 y y2 >2, entonces existe y′ tal que 0 <
y′ < yy y2>2. En efecto, si ponemosx= 2/y se tiene x2= 4/y2<4/2 = 2, y entonces como acabamos de ver existe x′ ∈ A tal que x′ > x. Si tomamos
y′= 2/x′ entoncesy′= 2/x′ <2/x=y yy′2= 4/x′2>4/2 = 2.
Ahora es fácil probar que A no tiene supremo en Q. En efecto, si c < 0 ó c >0 yc2<2, entonces c∈A, y como vimos existe unc′ ∈A tal quec′ > c,
por lo tantoc no puede ser cota superior deA.
Si c >0yc2>2, entonces ciertamentec es cota superior de A, pero como existec′ tal que0< c′< cyc′2>2,c no es cota superior mínima deA.
El único caso que quedaría por examinar es cuando c >0yc2= 2, pero eso ya vimos que no es posible.
En el conjunto de los números realesR, el conjuntoAdebe tener un supremo c >0. Como ya sabemos que no puede serc2<2nic2>2, la única posibilidad que queda esc2= 2, y ese es el número que llamamos√2.
Por razones de simetría, existe también un
Principio del ínfimo: Todo conjunto no vacío y acotado inferiormente de números reales tiene ínfimo.
El Principio del ínfimo y el Principio del supremo son equivalentes (ver ejercicios).
Prueba del Principio del Supremo
Cuando los números reales se construyen a partir de los números raciona-les, el principio del Supremo puede y debe demostrarse. Usando cortaduras de Dedekind es muy fácil: Si A⊂Res no vacío y acotado superiormente, y cada a ∈ A es una cortadura (Ia, Sa), entonces la cortadura cuya clase inferior es
∪a∈AIa es el supremo deA(la verificación es inmediata).
Si los reales se definen como expresiones decimales infinitas, la prueba tam-bién es fácil pero más trabajosa. La haremos sólo para el caso en queA tenga algún elemento no negativo, dejando el otro caso como ejercicio.
2.1 Los números reales 17
Como ejemplo, sea A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2}. Entonces A0 = {. . . ,−2,−1,0,1}yg= 1. AhoraA1={1+x:x∈Q, 0≤x <1, (1+x)2<2}. Como 1,42 = 1,96<2 pero 1,52 >2, es claro quea1 = 4. Del mismo modo, como1,412= 1,9881<2 pero1,422= 2,0164>2, resultaa1= 1. Prosiguien-do de esta manera se van obtenienProsiguien-do las cifras del supremo:1,4142. . .(que por supuesto es√2).
Seana, b∈Rcona≤b. Llamaremosintervalo abiertocon extremosaybal conjunto
(a, b) ={x∈R:a < x < b}.
Análogamente se define el intervalo cerradocon extremosaybcomo
[a, b] ={x∈R:a≤x≤b},
y los intervalos semiabiertos (o semicerrados): [a, b) = {x∈ R: a≤x < b} y
(a, b] ={x∈R:a < x≤b}.
También consideraremos los intervalos no acotados abiertos(a,+∞) ={x∈
R:a < x}y(−∞, a) ={x∈R:x < a}, y los cerrados:[a,+∞) ={x∈R:a≤ x}y (−∞, a] ={x∈R:x≤a}. En general llamaremosintervaloa cualquiera de los anteriores y al propioR. Elinteriorde un intervaloIes el mayor intervalo abierto contenido en él, y se denotaI◦. Por ejemplo[a, b]◦= [a, b)◦= (a, b]◦=
(a, b),[a,+∞)◦= (a,+∞).
Un subconjunto A de R se dice que es convexo si para cualquier par de elementosa < bdeAse cumple[a, b]⊂A.
Ejercicio 2.3. Pruebe que los subconjuntos convexos de R son precisamente los intervalos.
Sia∈Ryδ >0, se llamaráentornoabierto de centroay radioδal intervalo Ua(δ) = (a−δ, a+δ). Aunque el término entorno se utiliza a veces en un sentido
más general, en estas notas se entenderá siempre por entorno de aun entorno abierto de centro a. Llamaremossemientorno derecho (resp. izquierdo) deaa un intervalo de la forma [a, a+δ)(resp.(a−δ, a]).
Se llamaráentorno reducidoabierto de centroay radioδal conjuntoU∗
a(δ) =
Ua(δ)\{a}= (a−δ, a)∪(a, a+δ), que se obtiene deUa(δ)suprimiendo al propio
a. Análogamente, se llama semientorno reducido derecho (resp. izquierdo) dea a un intercalo de la forma (a, a+δ)(resp.(a−δ, a)).
Ejercicio 2.4. Si A⊂Rllamemos−Aal conjunto {−x:x∈A}. (a) Pruebe quec∈Res cota superior deAsi y sólo si−ces cota inferior de−A. (b) Pruebe quec= supAsi y sólo si−c= ´ınf−A.
Ejercicio 2.5. Demuestre el Principio del ínfimo a partir del Principio del supremo, y viceversa.
Ejercicio 2.6. SiA, B⊂Rson acotados superiormente, entoncessup(A+B) =
2.2.
Funciones
El concepto de función se fue clarificando durante el siglo XIX, a través de los trabajos de Cauchy, Dirichlet, Fourier y Weierstrass, entre otros, hasta que en su forma moderna y general (función como correspondencia arbitraria) aparece explícitamente a comienzos del siglo XX en elCours d’analyse mathématiquede Goursat.
SiAyBson dos conjuntos, se define elproducto cartesianoA×B de ambos como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b)con aen A y b en B, es decir
A×B={(a, b) :a∈A, b∈B}.
A×Ase abreviaA2, y por inducción se definenA3=A2×A,A4=A3×A,. . . , An=An−1×A.
Unarelación deAenB es un subconjunto deA×B.
Las funciones son un tipo especial de relaciones. Más precisamente, una relaciónf deAenB es unafunción si se cumple que, para cadaa∈A, existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. O dicho de otra manera, si (a, b) ∈ f y
(a, b′) ∈ f entonces b = b′. Para indicar que f es una función de A en B se
utiliza la notaciónf :A→B. Al conjuntoAse le llamadominio de la función y aB codominio. Si(a, b)∈f entonces se escribef(a) =b, y se dice quebes la imagen deaporf. También se dice queaes unapreimagen debporf. Observe que cada elementoa∈Atiene exactamente una imagen porf, mientras que un elementob∈B puede tener una, ninguna o muchas preimágenes por f.
Intuitivamente, una función de A enB no es más que una correspondencia que a cada elementoa∈Ale asocia un único elementof(a)∈B. La definición que hemos presentado no es más que el resultado de un largo esfuerzo por tratar de formalizar el concepto intuitivo pero algo vago de correspondencia.
Al conjuntof(A) ={f(x) :x∈A}se le llamarecorridodef; en general es un subconjunto del codominio B. En el caso de que f(A) = B, se dice que f essobreyectiva, o simplementesobre. Esto equivale a decir que para cadab∈B existe algúna∈Atal quef(a) =b.
f :A→B esinyectivao uno a unosi las imágenes de elementos diferentes deAson diferentes, es decir six6=y implicaf(x)6=f(y).
Si f es tanto inyectiva como sobreyectiva entonces se dice que esbiyectiva. En este caso, el conjunto de pares ordenados{(b, a)∈ B×A : (a, b) ∈ f} es también una función, que se denominainversadef y se denotaf−1.
Ejercicio 2.7. Para cualquier conjunto A se define la función identidad IA :
A→A comoIA(x) =xpara todox∈A. Pruebe queIA es biyectiva.
Ejercicio 2.8. Pruebe que si f :A→B es biyectiva, entonces el conjunto de pares ordenados{(b, a)∈B×A: (a, b)∈f}es también una función.
En estas notas se consideran principalmente funciones del tipo f : I → R,
cuyo dominio es un intervaloIdeR(o una unión de intervalos) y cuyo codominio
2.2 Funciones 19
las funciones g : A → R donde A ⊂ Rn se les llama funciones reales de n variables reales.
Ejemplo 2.3. Si c ∈ R, a la función f : R → Rdefinida mediante f(x) = c para todo x∈Rse le llamafunción constante.
Ejemplo 2.4. Si a, b ∈ R, a la función g : R→ R definida mediante g(x) =
ax+bse le llamafunción lineal(o afín).
Ejemplo 2.5. Si a, b, c∈R, a la funciónh:R→Rdefinida mediante h(x) =
ax2+bx+cse le llamafunción cuadrática. Análogamente se definen las funciones polinómicas de grado superior.
Ejemplo 2.6. k : (0,+∞)→ Rdefinida mediante k(x) = logxes la función logaritmo natural.
En muchos textos se suele dar una expresión analítica, por ejemplo √
1−x2
2x−1 ,
y se pide “hallar el dominio”. Estrictamente hablando esto no tiene mucho senti-do, pues para que una función esté bien definida, se debe especificar cuáles son su dominio y su codominio. En realidad lo que se pretende en estos casos es que se halle el subconjunto más grande posible de R en el cual la expresión dada permita definir una función. Por ejemplo la expresión anterior tiene sentido si
1−x2 ≥0 y2x−1 = 06 , es decir si|x| ≤ 1 yx6= 1/2. Por lo tanto se puede definir una funciónf con dominio [−1,1/2)∪(1/2,1]y codominioRmediante f(x) =√1−x2/(2x−1).
2.2.1.
Operaciones con funciones
Las funciones a valores reales pueden combinarse mediante operaciones arit-méticas para formar nuevas funciones. Así, si f es una función y c ∈ R una constante, se definen las funciones−f ycf (con el mismo dominio quef) me-diante (−f)(x) = −f(x) y (cf)(x) = cf(x). Sif y g son funciones reales con dominiosDf yDg, respectivamente, se definenf+g yf genDf∩Dgmediante
(f +g)(x) =f(x) +g(x) y(f g)(x) =f(x)g(x). También se puede definir f /g mediante (f /g)(x) =f(x)/g(x), enDf∩ {x∈Dg:g(x)6= 0}.
Dadas dos funcionesg :A→B yf :C →D, supongamos que g(A)⊂C. Entonces se puede definir la composición de f y g, denotada f ◦g, mediante
(f◦g)(x) =f(g(x)). Por ejemplo sif(x) =x2+ 3x−1yg(x) = 2x+ 1, entonces
(f◦g)(x) =f(g(x)) =f(2x+ 1) = (2x+ 1)2+ 3(2x+ 1)−1 = 4x2+ 10x+ 3. La composición de funciones esasociativa, es decir que(f◦g)◦h=f◦(g◦h).
Ejercicio 2.9. Si f : A → B es biyectiva y f−1 es su inversa, pruebe que f−1◦f =Id
Ayf◦f−1=IdB.
1. f es inyectiva si y sólo si existeg:B→A tal queg◦f =IdA.
2. f es sobreyectiva si y sólo si existeg:B→A tal quef◦g=IdB.
2.2.2.
Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones
Las nociones de cota, máximo, mínimo, supremo e ínfimo que se definieron para conjuntos de números reales en la sección 2.1 pueden trasladarse a funciones f :I→R, aplicándolas al conjuntof(I). Por ejemplo: se dice quef es acotada superiormente sif(I)lo es, es decir si existe c∈Rtal quef(x)≤c para todo x∈ I. Del mismo modo, se dice que f tiene máximo si f(I)lo tiene, o sea si existe un real M tal que f(x)≤M para todo x∈I yM ∈f(I). También se dice que f alcanza su máximoen a o que aes un punto máximo def si f(a)
es el máximo de f. Observe que el máximo de una función, si existe, es único. Expresiones análogas se usan para cotas inferiores y mínimos.
Sea f:I→Rya∈I. Si existe un entornoV deatal quef(x)≤f(a)para todo x∈V ∩I, entonces se dice que f(a)es un máximo local, yaes un punto máximo local.
Observe que una función puede tener varios máximos locales (también puede tener sólo uno, o ninguno).
A los máximos locales algunos autores les llaman máximos relativos, y en-tonces al máximo le llamanmáximo absoluto.
De manera análoga se define el concepto demínimo local. A los máximos y mínimos locales se les llamaextremos locales(orelativos).
Definición 2.2. Una funciónf :I→Rse dice que es
monótona crecientesix≤y implicaf(x)≤f(y), para todo x, y∈I, estrictamente crecientesix < yimplica f(x)< f(y)para todox, y∈I, monótona decrecientesix≤y implicaf(x)≥f(y), para todox, y ∈I, y estrictamente decrecientesix < yimplicaf(x)> f(y)para todox, y ∈I.
A las funciones monótonas crecientes o decrecientes se les llama conjunta-mentemonótonas.
Ejercicio 2.11. Sif :I→Rno es monótona, pruebe que existena < b < cen I tales que, o bienf(a)> f(b)< f(c), o bienf(a)< f(b)> f(c).
2.3 Límites 21
2.3.
Límites
El concepto delímitees la noción fundamental del cálculo, en su formulación moderna. Sea f una función real definida en un entorno reducido de c ∈ R.
Informalmente se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y se escribel´ımx→cf(x) =L, cuando la diferencia entref(x)yLpuede hacerse tan
pequeña como se quiera, en valor absoluto, tomandoxsuficientemente próximo a c. Más formalmente:
Definición 2.3 (Límites con entornos).
Se dice que l´ımx→cf(x) = L si, dado cualquier entorno U de L, existe un
entorno reducidoV∗ dec tal quef(V∗)⊂U.
Recordando que UL(ǫ) = (L−ǫ, L+ǫ) y Uc∗(δ) = (c−δ, c+δ)\ {c}, la
definición anterior es equivalente a la siguiente:
Definición 2.4 (Límites con desigualdades).
Se dice quel´ımx→cf(x) =Lsi, dado cualquierǫ >0, existe unδ >0 tal que si
0<|x−c|< δ, entonces|f(x)−L|< ǫ.
Observe que para la existencia del´ımx→cf(x)no hace falta quef esté
defi-nida enc, sino tan solo en un entorno reducido dec.
Ejercicio 2.12. Sif :R→Res la función de valor constantek(es decirf(x) =
k para todox∈R), pruebe que para cualquierc∈Rse tienel´ımx→cf(x) =k.
Ejercicio 2.13. g:R→Res lafunción identidad(es decirg(x) =xpara todo x∈R), pruebe que para cualquierc∈Res tienel´ımx→cg(x) =c.
Ejercicio 2.14. Sih:R→Rse define mediante
h(x) = (
1 six∈Q,
0 six6∈Q,
pruebe que no existel´ımx→ch(x)para ningúnc∈R.
Ejercicio 2.15. Seak(x) = senx1parax= 06 . Pruebe que no existel´ımx→0k(x).
Ejercicio 2.16. Si f(x) ≤ g(x) en un entorno reducido de c pruebe que, si ambos límites existen, entoncesl´ımx→cf(x)≤l´ımx→cg(x).
2.3.1.
Límites laterales e infinitos
Definición 2.5. Se dice que el límite def cuandoxtiende ac por la derecha esL, y se escribel´ımx→c+f(x) =L o l´ımx↓cf(x) =L, si dado cualquierǫ >0 existe unδ >0tal que, si c < x < c+δ, entonces |f(x)−L|< ǫ.
Análogamente se dice que el límite def cuandoxtiende acpor la izquierda esL, y se escribe l´ımx→c−f(x) =L o bienl´ımx↑cf(x) =L, si dado cualquier
ǫ >0existe unδ >0 tal que, sic−δ < x < c, entonces|f(x)−L|< ǫ.
Ejemplo 2.7. Sif :R→Res la funciónescalón
f(x) = (
0 six <0,
1 six≥0,
entoncesl´ımx→0f(x)no existe, perol´ımx→0−f(x) = 0 yl´ımx→0+f(x) = 1.
Ejercicio 2.17. La funciónparte enterao piso dexse denota⌊x⌋y se define como el mayor entero que es menor o igual a x. En otras palabras, ⌊x⌋ es el único entero tal que ⌊x⌋ ≤x <⌊x⌋+ 1. Estudie los límites laterales def para cadac∈R.
Ejercicio 2.18. Pruebe que l´ımx→cf(x) existe si y sólo si l´ımx→c+f(x) y
l´ımx→c−f(x)existen y son iguales.
Ejercicio 2.19. Si f : (a, b) → R es monótona creciente, pruebe que existen l´ımx→a+f(x)(y es finito sifes acotada inferiormente) yl´ımx→b−f(x)(y es
fini-to sif es acotada superiormente). Un resultado análogo vale para las funciones monótonas decrecientes.
La definición de límite l´ımx→cf(x) =Lse puede extender al caso en quec,
Lo ambos sean infinitos, con o sin signo. Para ello llamaremosentorno de+∞ a cualquier intervalo de la forma (H,+∞) = {x: x > H}, entorno de −∞a cualquier intervalo de la forma(−∞, H) ={x:x < H}, y entorno de∞ a la unión de intervalos(−∞,−H)∪(H,+∞) ={x:|x|> H}.
Por ejemplo l´ımx→cf(x) = +∞si para cualquier intervalo(H,+∞)existe
un entorno reducido V∗ de c tal que, si x ∈ V∗ entonces f(x) ∈ (H,+∞).
Expresado con desigualdades esto equivale a:
l´ımx→cf(x) = +∞ si para cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si
0<|x−c|< δ, entoncesf(x)> H.
Análogamente l´ımx→cf(x) =−∞si dado cualquier H ∈Rexiste δ >0 tal
que, si 0 < |x−c| < δ, entonces f(x) < H, y l´ımx→cf(x) = ∞ (sin signo)
si dado cualquier H ∈ R existe δ > 0 tal que, si 0 < |x−c| < δ, entonces |f(x)|> H. Observe quel´ımx→cf(x) =∞equivale al´ımx→c|f(x)|= +∞.
Si f está definida en una semirecta(a,+∞), la definición de límite de f(x)
cuandox tiende a+∞ queda así: l´ımx→+∞f(x) =L si dado cualquierǫ > 0
existeH ∈Rtal que, six > H, entonces |f(x)−L|< ǫ.
Ejercicio 2.20. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspon-dientes a l´ımx→−∞f(x) = L, l´ımx→+∞f(x) = +∞, l´ımx→+∞f(x) = −∞,
2.3 Límites 23
De la misma manera se pueden definir límites laterales infinitos, por ejemplo
l´ımx→c+f(x) = +∞ si dado cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si
0< x < c+δ, entoncesf(x)> H.
Ejercicio 2.21. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspondien-tes al´ımx→c−f(x) = +∞,l´ımx→c+f(x) =−∞yl´ımx→c−f(x) =∞.
Ejercicio 2.22. Sea f(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 una función
polinómica de grado n > 0, conan >0. Pruebe que l´ımx→+∞f(x) = +∞, y
que
l´ım
x→−∞f(x) =
(
+∞sines par, −∞sines impar.
2.3.2.
Operaciones con límites
Los límites se comportan bien con respecto a las operaciones que se pueden realizar con funciones, tales como suma, producto, composición, etc. Sin em-bargo, hay algunos detalles que hay que tomar en cuenta para no incurrir en errores.
Teorema 2.1. Dadas f : U∗
c → R y g : Ua∗ → Uc∗, si l´ımx→ag(x) = c y
l´ımx→cf(x) =L, entoncesl´ımx→af(g(x)) =L.
Demostración. Dado un entorno W de L, como l´ımx→cf(x) = L, existe un
entorno reducidoV∗
c ⊂Uc∗tal quef(Vc∗)⊂W. Y comol´ımx→ag(x) =c, existe
un entorno reducido V∗
a ⊂ Ua∗ tal que g(Va∗) ⊂ Vc, y más aún g(Va∗ ⊂ Vc∗.
Entonces(f◦g)(V∗
a) =f(g(Va∗))⊂f(Vc∗)⊂W.
Ejercicio 2.23. Sea f : R→Rdefinida como f(x) = 1 si x6= 0 y f(0) = 0, y sea g : R → R la función constanteg(x) = 0. Entonces l´ımx→0g(x) = 0 y
l´ımx→0f(x) = 1, perol´ımx→0f(g(x)) = 0. ¿Contradice esto al Teorema 2.1?
Teorema 2.2. Seanf ygfunciones reales definidas en un entorno reducido de c. Si existenl´ımx→cf(x) =K y l´ımx→cg(x) =L, entonces
l´ım
x→c(f(x) +g(x)) = K+L,
l´ım
x→c(f(x)−g(x)) = K−L,
l´ım
x→c(f(x)g(x)) = KL.
Si además L6= 0, entonces también
l´ım
x→c
f(x)
g(x) =
K L.
Y si K >0, entonces
l´ım
x→cf(x)
La prueba de este teorema es estándar y puede hallarse en cualquier texto. Si uno o ambos de los límites de f y g son infinitos, en algunos casos se pueden deducir los límites de las operaciones entre f y g, pero en otros casos no se puede. Por ejemplo:
Sil´ımx→cf(x) = +∞yl´ımx→cg(x)es finito o+∞, entoncesl´ımx→c(f(x) +
g(x)) = +∞. Un resultado análogo se tiene si se cambia+∞por−∞.
Sin embargo, sil´ımx→cf(x) = +∞yl´ımx→cg(x) =−∞, no se puede afirmar
nadaa priori sobrel´ımx→c(f(x) +g(x)). Esto se expresa a veces diciendo que
∞ − ∞es una “forma indeterminada”. Esto sólo significa que el límite no queda determinado por los límites de las funciones coomponentes f y g. Pero es una expresión poco afortunada, ya que lleva a muchos alumnos a pensar que un límite de este tipo “no se puede determinar”, y por lo tanto no se puede hacer nada con él. Es preciso enfatizar que lo indeterminado es la forma en general, pero no cada límite en particular. En realidad puede ocurrir que el límite de la suma no exista, o que exista y sea finito, o que exista y sea infinito. Pero para averiguar cuál es el caso hace falta un análisis más profundo.
Ejemplo 2.8. Si enRdefinimosf(x) =x,g1(x) =−x,g2(x) =−2xyg3(x) =
−⌊x⌋, entonces l´ımx→+∞f(x) = +∞ y l´ımx→+∞g1(x) = l´ımx→+∞g2(x) =
l´ımx→+∞g3(x) =−∞, y se tiene que
l´ımx→+∞(f(x) +g1(x) = 0,
l´ımx→+∞(f(x) +g2(x) =−∞,
mientras quel´ımx→+∞(f(x) +g3(x))no existe.
Si l´ımx→cf(x) = +∞ y l´ımx→cg(x) es finito y positivo o +∞, entonces
l´ımx→cf(x)g(x) = +∞. Análogamente si l´ımx→cf(x) =−∞y l´ımx→cg(x)es
finito y positivo o+∞, entoncesl´ımx→cf(x)g(x) =−∞.
En general se puede decir que si el límite de una función es +∞o−∞y el de la otra es+∞, −∞o un real distinto de 0, entonces el límite del producto es+∞o −∞, y el signo se determina mediante la regla usual de los signos.
En cambio si l´ımx→cf(x) = +∞ y l´ımx→cg(x) = 0, no se puede afirmar
nadaa priorisobrel´ımx→cf(x)g(x). Esto se expresa diciendo que∞ ·0es una
“forma indeterminada”, expresión para la cual valen los mismos comentarios que hicimos para∞ − ∞. Y como en el caso de la suma, aquí también puede ocurrir que el límite del producto no exista, o que exista y sea finito, o que exista y sea infinito, siendo necesario un análisis más profundo para averiguar qué es lo que en realidad ocurre.
Ejercicio 2.24. Proporcione ejemplos de cada una de las tres posibilidades descriptas para la forma∞ ·0.
Para el cociente, si l´ımx→cf(x) = +∞ y l´ımx→cg(x) es finito y
positi-vo, entonces l´ımx→cf(x)/g(x) = +∞. Si en cambio l´ımx→cf(x) es finito y
l´ımx→cg(x) =∞(con o sin signo), entoncesl´ımx→cf(x)/g(x) = 0.
Si tanto f como g tienen límites infinitos, o si ambas tienen límite 0, no se puede afirmar nadaa priorisobrel´ımx→cf(x)/g(x). Es decir que se tienen dos
2.3 Límites 25
Ejercicio 2.25. Proporcione ejemplos de la forma∞/∞y0/0para los cuales el límite a) no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito.
Un resultado sencillo pero muy útil es el siguiente:
Teorema 2.3 (Teorema del sándwich). Sif,g y hson funciones definidas en un entorno reducido V dec tales queg(x)esté siempre comprendido entref(x)
y h(x)(es decir, f(x)≤g(x)≤h(x)oh(x)≤g(x)≤f(x)para todo x∈V), y sil´ımx→cf(x) = l´ımx→ch(x) =L, entonces l´ımx→cg(x)existe y es igual aL.
Demostración. Dado un entorno deLexisten entornos reducidosV∗
1 yV2∗ dec tales que f(V∗
1)⊂U yh(V2∗)⊂U. Si tomamosV∗ =V1∗∩V2∗ entonces, para cualquier x∈V∗, se tiene que tantof(x) como h(x) están enU, por lo tanto
todo el intervalo de extremos f(x)yh(x)está contenido enU, y en particular g(x)∈U.
Figura 2.1: Límite de(senx)/x.
x >0) se tiene entonces que
1< x
senx <
1 cosx.
De aquí se deduce, por el teorema del sándwich, que l´ımx→0+x/senx = 1 y por tanto, tambiénl´ımx→0+(senx)/x= 1. Como la función (senx)/xes par, se sigue quel´ımx→0(senx)/x= 1.
Ejercicio 2.26. Probar que
(a) l´ım
x→0
tgx
x = 1, (b) xl´ım→0
1−cosx
x2 =
1
2, (c) xl´ım→0
1−cosx
x = 0. Paral´ımx→cf(x)g(x), si el límite de def o el deg(o ambos) son infinitos, se
plantean algunos casos fáciles de decidir y otros que requieren un análisis más profundo. Si l´ımx→cf(x) = +∞ y l´ımx→cg(x) es positivo (finito o infinito),
entonces l´ımx→cf(x)g(x) = +∞. Lo mismo ocurre sil´ımx→cf(x) =K > 1 y
l´ımx→cg(x) = +∞. Si 0 < l´ımx→cf(x) < 1 y l´ımx→cg(x) = +∞, entonces
l´ımx→cf(x)g(x)= 0.
En cambio no se puede afirmar nadaa priorisil´ımx→cf(x) = 1yl´ımx→cg(x)
= +∞. Esto se conoce como la “forma indeterminada” 1∞. Un ejemplo
impor-tante esl´ımx→0(1 +x)1/x=e.
Ejercicio 2.27. Proporcione ejemplos de la forms1∞en los cuales el límite a)
no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito.
Otro caso delicado se presenta cuando l´ımx→cf(x) = 0. Suponiendo que
f(x)≥0en un entorno reducido de 0 (de lo contrariof(x)g(x)podría no estar si-quiera definido), sil´ımx→cg(x) =L >0entonces es claro quel´ımx→cf(x)g(x)=
0. Y siL <0, entoncesl´ımx→cf(x)g(x)= +∞. Pero siL= 0aparece una nueva
“forma indeterminada” que se representa como00.
2.3.3.
Asíntotas
Diremos que una rectarde ecuacióny=mx+nesasíntota de la gráfica de una funciónf, si la distancia del punto(x, f(x))artiende a 0 cuandoxtiende a +∞ o a −∞. Para que esto ocurra, por ejemplo para x → +∞, debe ser
l´ımx→+∞(f(x)−mx−n) = 0y por lo tantol´ımx→+∞(f(x)−mx) =n. Además
l´ımx→+∞f(x)/x= l´ımx→+∞(f(x)−mx)/x+m=m. Por lo tanto para hallar
una asíntota para x→ +∞ debemos calcular primerom = l´ımx→+∞f(x)/x,
y si existe se calcula luego n = l´ımx→+∞(f(x)−mx). Si este segundo límite
también existe, entoncesy=mx+nes una asíntota.
Si existe l´ımx→+∞f(x) =n entonces automáticamentel´ımx→+∞f(x)/x=
0, y se tiene una asíntotahorizontaly=n.
Si existem= l´ımx→+∞f(x)/x, pero no existel´ımx→+∞(f(x)−mx), se dice
quey=mxes una dirección asintótica.
De modo análogo se buscan asíntotas para x→ −∞.
Unaasíntota verticales una rectax=atal quel´ımx→a+f(x)ol´ımx→a−f(x)
2.3 Límites 27
Ejemplo 2.10. Sea f(x) = x/(1 +e−x) +x/(x−1). Obviamente hay una
asíntota verticalx= 1. Como
l´ım
x→+∞
f(x)
x = l´ımx→+∞
1
1 +e−x + l´ımx→+∞
1
x−1 = 1 + 0 = 1,
y
l´ım
x→+∞(f(x)−x) = x→l´ım+∞
x
1 +e−x+
x x−1−x
= l´ım
x→+∞
−xe−x
1 +e−x+
x x−1
= 0 + 1 = 1,
se tiene la asíntota oblicuay=x+ 1parax→+∞. Por otra parte
l´ım
x→−∞
f(x)
x = l´ımx→−∞
1
1 +e−x+ l´ımx→+∞
1
x−1 = 0 + 0 = 0,
y
l´ım
x→−∞f(x) = l´ımx→−∞
x
1 +e−x +
x x−1
= 0 + 1 = 1,
por lo tanto se tiene una asíntota horizontaly= 1 parax→ −∞.
Figura 2.2: Asíntotas
