Estimación de hidrogramas de ingreso a vasos,
usando observadores proporcionales
Gabriel Soto Cortés Ricardo Aguilar López
Fabián Rivera Trejo
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, Mexico
Se presenta un método basado en la teoría de controlpara inferir la avenida de ingreso a un vaso. El método se fundamenta en la implantación de un observador proporcional del tipo Luenberger, que permite deducir de manera indirecta, conocidas las variaciones en la elevación de la superficie libre de/ agua, el volumen que ingresa al vaso y su variación en el tiempo. En una primera etapa, considerando un caso hipotético, el algoritmo propuesto se compara analítica y numéricamente con el método tradicional que emplea la regla trapezoidal. Posteriormente se realizan algunas estimaciones de avenidas para casos reales. Se concluye que el algoritmo de inferencia propuesto en este trabajo presenta un buen desempeño y exhibe características que lo hacen especialmente atractivo en este tipo de aplicaciones.
Palabras clave: transito inverso, regla trapezoidal, esquema de Crank-Nicholson, teoría de control, observadores proporcionales, presa La Angostura, presa Chicoasén, presa Malpaso.
Introducción
Los hidrogramas de ingreso a un vaso son datos indispensables en la definición de las políticas de operación Óptimas que permitan maximizar el beneficio y reducir
los
riesgos asociados con eventos hidrológicos extremos (Domínguez, 1989). A falta de datos hidrométricos, dichos hidrogramas se infieren a partir de datos de la elevación de la superficie libre del agua en la presa, tomando en cuenta la capacidad del almacenamiento y las descargas. Este proceso se conoce como tránsito inverso de la avenida o antitránsito. Tradicionalmente, el antitránsito se lleva a cabo al resolver, en forma inversa, la ecuación de continuidad discretizada de acuerdo con el esquema de Crank-Nicholson o regla trapezoidal. Con frecuencia, los resultados de esta técnica presentan oscilaciones que resulta difícil asociar con una variabilidad natural del caudal o con inestabilidades numéricas (Aldama y Aguilaret
al., 1997). Este trabajo tiene la finalidad de proponer una alternativa numéricaen donde V representa el almacenamiento en el vaso; el gasto de ingreso; O, el gasto de egreso, y t, el tiempo. Dado que tanto el volumen almacenado como el gasto de egreso dependen de la elevación de la superficie libre del agua en el vaso (E) (ecuación se escribe:
basada en la teoría de control para el antitránsito de avenidas que no tenga este inconveniente y que permita determinar de manera indirecta el volumen de líquido que ingresa al vaso, así como su distribución en el tiempo.
Tránsito inverso y regla trapezoidal
Método
propuesto
El algoritmo que aquí se propone se basa en la inferencia de los gastos de ingreso vía la observación de las variables y parámetros relevantes del sistema. Los
observadores son algoritmos computacionales especialmente útiles para determinar el valor de variables desconocidas o físicamente imposibles de medir a partir de variables conocidas (Marlin, 2000). Ya que
los
observadores tienen cualidades poco explotadas en otras áreas del conocimiento, su uso se ha limitado casi totalmente al control y supervisión de procesos
industriales.
En particular, el algoritmo de inferencia propuesto en este trabajo es del tipo Luenberger (Luenberger, 1964). De la ecuación se define la incertidumbre del modelo, como se muestra a continuación:
La determinación de un hidrograma desconocido de ingreso a un vaso = I(t) es posible a partir de laecuación siempre que se conozca la evolución en el tiempo de la superficie libre del agua E = E(t) y las relaciones:
llamadas, respectivamente, relación elevaciones- capacidades y relación elevaciones-descargas. La solución a la ecuación o antitránsito pudiera considerarse trivial si no se consideran los efectos numéricos espúreos de los métodos tradicionales (Aldama y Aguilar, 1997; Hoffmann y Chiang, 1993).
El tránsito inverso en vasos para la estimación de hidrogramas de ingreso se realiza discretizando (ecuación empleando el esquema de Crank-Nicholson o regla trapezoidal (Hoffman y Chiang,
Lo anterior, dado que asumimos conocidos en todo instante tanto el volumen en el almacenamiento como el gasto de egreso (ecuaciones y respectivamente). Con lo anterior (ecuación 1) se reescribe:
con error de truncamiento en la aproximación de la ecuación y neutralmente estable, lo que explica el
donde el término desconocido se considera como un nuevo estado del sistema y cuya dinámica está dada por: comportamiento oscilatorio de los hidrogramas
estimados, usando esta técnica. Tal como
lo
predice la teoría (Hoffman y Chiang, la estabilidad del esquema de Crank-Nicholson, entendida ésta como la propiedad del esquema para no amplificar los errores iniciales de redondeo de la variable dependiente, se deteriora conforme disminuye el valor At. Lo anterior puede ser una desventaja especialmente importante de la regla trapezoidal, en el caso de que se pretendan realizaralmacenamiento. Como se muestra más adelante en este
operación mucho más amplio. La estabilidad que muestra
l a función no se conoce y depende del volumen almacenado en el vaso (V) y de
los
parámetros del sistema (P).El observador Luenberger contiene, dentro de su estructura, una copia del sistema, además de una
medición. La estructura de este tipo de observadores
precisión el fenómeno en estudio; por lo tanto, cuando inferencias a tiempo real del volumen que ingresa al
corrección proporcional relacionada con el error de
trabajo, el método propuesto es estable en un rango de requiere de un modelo matemático que describa con
el esquema de observación propuesto radica en el hecho
de que, desde un punto de vista formal, las hipótesis de existen discrepancias importantes entre la realidad física y la descrita por el modelo, este tipo de observador no es diseño del observador considera un modelo continuo en
tiempo, con mediciones también continuas. Por lo anterior, el desempeño del observador será satisfactorio conforme las mediciones consideradas tengan tengan una frecuencia
razonable en relación con el tiempo característico de muestreo.
donde a g1 y g2 se les denomina ganancias del obser- vador; y es la salida medible del sistema; C = y las variables con acento circunflejo denotan valores estimados; la matriz de ganancias G del sistema esta dada por:
es la ganancia o parametro de sintonización del observador y el parametro positivo es la velocidad de convergencia deseada, la cual es proporcional al inverso del tiempo de medición del sistema. Además, debe ser una solución positiva de la siguiente ecuación algebraica de Riccati:
y junto con la ecuación el error dinámico de la estimación se define como:
donde se asume cerrada; es decir,
donde es la cota máxima que puede tomar la incertidumbre considerada. Ahora, si se resuelve la ecuación 15:
Obteniendo la norma a ambos lados de la ecuación tenemos que:
en el límite, cuando
t
La desigualdad dada por la ecuación implica que el error de la estimación puede ser tan pequeño como se desee, siempre y cuando las ganancias del observador se determinen de acuerdo con lo anteriormente expuesto. Debe notarse que si la entrada del sistema se corrompe por ruido; esto es, V y el ruido se
considera acotado (es decir, donde A es la la cual asegura propiedades estabilizantes para el
amplitud de la banda de ruido considerada, Con esto desempeño del observador (Tornambe, Perrier et
Aguilar et al., bajo las consideraciones mencionadas con anterioridad, el error de estimación del observador no lineal propuesto tiene un decaimiento exponencial para cualquier condición inicial dada.
La solución simultánea de las ecuaciones y O para el valor observado converge a su valor real dado por la ecuación si
lo
que se pretende es obtener inferencias en tiempo real del gasto que ingresa a la presa.A continuación demostraremos que lo anterior es completamente factible. Se define el error de la estimación como:
puede aplicarse una metodología similar la usada aquí a
que la estimación del error en el estado estacionario es
+
lo cual es indicativo de la robustez del modelo de inferencia contra ruidos en la medición (Aguilar et al.,y 2001).
Comparación de los métodos para un caso analítico
En esta sección se presenta un caso hipotético en el que la ecuación tiene solución analítica y sera empleada con fines de comparación entre los dos métodos expuestos con anterioridad.
En forma general, la ecuación elevaciones- capacidades puede calcularse como:
al
Como se muestra en Martínez-Guerra, ydonde V representa el volumen del almacenamiento correspondiente a la elevación E , mientras que los subíndices c y m representan el valor de dichas variables medidas a la elevación correspondiente a la cresta vertedora y a un nivel de referencia arbitrario superior al
que pudiera alcanzarse durante el tránsito, igual a (ecuación puede escribirse como: respectivamente; es el exponente de la regresión.
Por su parte, la ley de descargas para el vertedor de demasías con descarga libre puede escribirse como:
Con las ecuaciones, a y suponiendo un valor conveniente del coeficiente de regresión de la ecuación
donde representa un coeficiente de descargas y L, la longitud de la cresta vertedora.
Para encontrar una solución analítica a la ecuación sera preciso escribirla en forma adimensional y para ello se definen las escalas de las variables significativas del volumen almacenado, del gasto de egreso, de la elevación y del tiempo de la siguiente forma:
Con las ecuaciones y definimos,
respectivamente, el volumen almacenado adimensional, gasto de ingreso adimensional, gasto de egreso adimensional, elevación adimensional y tiempo adimensional:
la cual representa una ecuación diferencial ordinaria de coeficientes constantes. Esta ecuación se integra con faciIidad:
O
Consideremos ahora un hidrograma triangular de ingreso de la forma:
En esta Última expresión, dado que O* = V*. A fin de realizar la comparación entre los métodos, consideremos los parámetros (Aldama y Aguilar, 1997)
Qp
m3/s, tp = h y tb = h a ser transitada por un vaso con características geométricas dadas por Vc=3.5 x m3, Vm=4x m3, E, = m,Em
= m; con un vertedor con características = y L = m. La ilustración muestra la evolución de los almacenamientos en el tiempo, calculada con la ecuación La ilustración compara los hidrogramas de ingreso y egreso de acuerdo con los parámetros antes mencionados.Así, de acuerdo con la ecuación la solución a la ecuación para el hidrograma triangular de ingreso expresado por la ecuación es:
Tanto la evolución de los almacenamientos como el hidrograma de egreso se utilizan a continuación para comparar los métodos, descritos con anterioridad, mediante el empleo de las ecuaciones y O.
Las ilustraciones y muestran los hidrogramas de ingreso calculados con la regla trapezoidal para At =
y s, respectivamente. En todos los casos se
presentan oscilaciones espúreas que, de acuerdo con
lo
previsto, se incrementan para valores pequeños At, Por otra parte, las ilustraciones y muestran
los
hidrogramas de ingreso inferidos por el observador. Los resultados obtenidos con el método propuesto superan considerablemente a los correspondientes con el método tradicional. Nótese que el observador presenta un desempeño bastante satisfactorio para At de y
s,
debido a la consideración de medición continua que anteriormente se mencionó; pero en el caso de s, la medición deja de cumplir con esa característica y el desempeño del observador empieza a degradarse, sin embargo converge al valor esperado.Aplicación del método a tres casos reales
El método propuesto se aplicó en la estimación de
los
hidrogramas de ingreso de las presas La Angostura, Chicoasén y Malpaso, las cuales forman parte del sistema hidroeléctrico del río Grijalva, ubicado en el sureste de la república mexicana, en el estado de Chiapas. La simulación se realizó para los meses de mayo y junio de Los gastos descargados para
la
avenida en consideración se obtuvieron de los estados de operación del embalse.Las ilustraciones O y muestran los hidrogramas de ingreso medidos y calculados de acuerdo con
la
de funcionamiento de los vasos corresponden a intervalos de horas y que para los propósitos de la simulación se consideró un At de s, se precisó suavizar la señal de salida con ayuda de la transformada rápida de Fourier,
removiendo las componentes con frecuencias superiores a
(n
donden
equivale al número de puntos considerados a la vez; en este caso,n
= (24 horas). Como puede observarse, el comportamiento del observador describe adecuadamente al hidrograma de entrada. Los errores relativos en volumen entre los valores medidos y calculados fueron de para La Angostura,inverso que usa el esquema de Crank-Nicholson, con el cual se pone de manifiesto la presencia de oscilaciones espúreas debidas a la propagación de errores de un instante a otro que no permiten obtener un hidrograma realista. Tanto para el caso hipotético planteado en este trabajo como para los casos particulares de las presas La Angostura, Chicoasén y Malpaso, el modelo de inferencia propuesto demuestra tener cualidades que lo hacen especialmente útil en este tipo de aplicaciones.
Recibido: 13/05/2002 Aprobado: 25/07/2002
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Abstract
SOTO CORTÉS, G., AGUILAR LÓPEZ, R RIVERA TREJO, F. Estimation of inflow hydrographs of floods entering a reservoir using proportlonal observers Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). July-September; vol. no. pp.
A method based on the control theory to infer the flood entering a reservoir is presented. The method is based on a Luenberger proportlonal observer that allows the deduction, in an indirect way, and knowing the variations in water surface elevation, of the volume that enters the reservoir and its variation in time. First, by considering a hypothetical case, the proposed algorithm is compared, both analytically and numerically, with the traditional method which uses the trapezoidal rule. Some real cases are also analyzed. It is concluded that the inference algorithm, which is proposed in this work, presents a good behavior, making it especially attractive in this kind of applications.
Keywords: inverse hydraulic routing, trapezoidal rule, Crank-Nicholson scheme, control theory, proportlonal observers, La Angostura reservoir; Chicoasen reservoir; Malpaso reservoir.
Dirección institucional de los autores:
DI: Gabriel Soto Cortés
Profesor-investigador
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, Departamento de Energía,
Avenida San Pablo Col Reynosa Tamaulipas, Código Postal
Delegación Azcapotzalco, Mexico, D F., México, teléfono
+
(52) (55)fax t (52) (55)
Dr. Ricardo Aguilar López
Profesor-investigador.
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco,
Apartado Postal Código Postal México, D F., México,
teléfono (55) extensión fax. (55)
DI: Fabián Rivera Trejo
Profesor-investigador
Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco, Departamento de Ciencias Básicas,
Avenida San Pablo Col Reynosa Tamaulipas, Código Postal
Delegación Azcapotzalco, México, D.F., México, teléfono: t (52) (55)
fax (55)
