DESCARGAR FUNCIONES – ALGEBRA SEGUNDO DE SECUNDARIA – Descarga Matematicas

(1)

Funciones I

Función.- Es una relación o correspondencia binaria (es

decir, entre dos magnitudes), de manera que a cada valor de la primera, le corresponde un único valor de la segunda.

Ejemplo: Sea la relación R = {(x, y)



A x A / y = x + 1}

donde: A = {1; 2; 3}

¿"R" es función?

Solución.- Como: A = {1; 2; 3}, entonces:

A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3),

(3; 1), (3; 2), (3; 3)}

Luego, los pares que verifican la relación: y = x + 1 son los siguientes: (1; 2), (2; 3)

Así: R =

{(

1; 2), (2; 3)

}

Observa que las primeras componentes no se repiten, entonces "R" es una función.

Observaciones:

1. Recuerde que en todo par ordenado se tiene:

2. Indicar cuáles de los siguientes conjuntos determinan una función:

(x ; y)

A 



B 



Primera

componente

Segunda

componente C 



(

1; 4

)

,

(

3; 5

)

,

(

7

0_{; 2}

₎

_

2. Si tenemos un conjunto de pares ordenados, basta

que la primera componente de dos pares diferentes, sean iguales, para determinar que no es función.

Ejemplo:

El conjunto: P =

{

(1; 3), (2; 7), (5; 6), (30_{; -5)}

_}

... es función.

entonces:

a) “B” no es función b) “A” es función

c) “A” y “C” son funciones d) “A” y “B” no son funciones e) “A” y “C” no son funciones 5. Sabiendo que:

F = {(2a; 3), (3; 7), (1; 4), (8; 10)}

es una función, ¿qué valor natural puede no tomar "a"?

a) 1 b) 2 y 5 c) 3

d) 4 y 8 e) 4

Bloque I 6. Si el conjunto:

  1  

J 

8; x

,



5; 3,  ; 5, 8; 2x 3 1. Será cierto qué "F" es función, si:

F = {(1; 2), (3; 7), (5; 3), (1; 9)}  

2  

es una función, entonces el valor de "x" es:

a) sí b) no c) quizás. a) 2 b) 1 c) 3

(2)

(b-1; 9)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4

Bloque II

e) 5 7. Determinar el valor que no puede tomar "a", si:

11.Según el gráfico:

  5   es una función. ("a"



IN

)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. El gráfico: el valor de "a + b" es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12.Del gráfico:

-2 -1 1 2

-1

a) Determina una función b) No determina una función c) Posee cuatro pares ordenados d) a y c

e) b y c

9. Si tenemos el siguiente gráfico:

hallar "a + b + c"

1. De acuerdo al gráfico: f

Entonces:

-3 -2 -1 1 2 3 1 2

5 3

a) Determina una función b) No determina una función c) Posee cinco pares ordenados d) a y c

e) b y c

7 5

calcular: f₍₁₎+ f₍₅₎+ f₍₇₎ 10.Dado el gráfico:

(2a+1; 8)

a) 10 b) 5 c) 2

d) 3 e) 13

2. Considerando la función anterior, determinar: f (f (7)) + f (1)

f (5)

Entonces "a+b" vale:

a) 2 b) 9 c) 8

d) 6 e) 4

7

a) 5 b) 1 c)

3 5

d) e) 2

(3)

a) 2 b) 5 c) 4

d) 1 e) 3

3. Dadas las funciones "f" y "g" definidas por: 6. Según el gráfico:

f g

1 2 3 5

3 1 1 2

5 3 2 3

hallar: _hallar: f (1) + f (2) + f(3)

f + f

f₍₁₎g₍₃₎

(3,5) (3,6)

f_{(g(2) )}f_{(g(3) )} a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

7

a) 1 b) 2 c)

4

7. Definida la función:

2x 7; si x 3

21

d) 4 e)

2

f ( x )  

x 1; si x 3

4. Del gráfico:

Marca la altenativa correcta:

a) f₍₁₎= -5 b) f₍₃₎= -1 c) f₍₀₎= 1 d) f₍₅₎= 6 e) f₍₄₎= 9

8. Con la función definida en la anterior pregunta, determinar el valor de la expresión:

hallar:

J  f(5) f(1)

f(2)  f₍₃₎

f (f (5)) + f (0)

f (1)

a) 1,50 b) 3,75 c) 2,45

d) 2,50 e) 3,25

9. Si se tiene la función:

a) 0,5 b) 1,0 c) 2,75

d) 3,25 e) 2,0



3x



a ;

H

(x)



_



si: x



1

5. Determinar el valor de:

f (f (1)) + f (f (3))



x



b

; si: x



5

f (5)

sabiendo que para la función tenemos:

Determinar "a2 _{+ b}2_{", sabiendo además que:} H₍₀₎= 2; H₍₇₎= 9

a) 0 b) 2 c) 4

d) 16 e) 8

10.Consideremos a la función:

2x 3a ; si:

J( x )  __ x  3

x  2b ; si: x 3

(4)

7

a) -11 b)

3 1

d) 1 e)

3

Bloque III

c) 5

6. Sea:

G = {(3; 6), (5; 9), (8; 4), (7; 6)} H = {(3; 9), (5; 12), (8; 7), (7; 9)} Si: f_{(G(m) )}h_(m), hallar "f₍₉₎+ f₍₄₎"

a) 12 b) 7 c) 19

1. Sea "f" una función:

f = {(1; 2), (2; a), (3; b), (4; 5)} y f_(x)= cx + d hallar "a + b + c + d"

a) 5 b) 7 c) 9

d) 11 e) 13

2. Siendo: F_(x)= ax + b, obtener "F_(a). F_(b)" Sabiendo que (1; 5) y (- 1; 1) pertenecen a "F".

a) 72 b) 63 c) 56

d) 42 e) 18

d) 5 e) 13

7. Si:

G = {(5; 7), (8; a + 4b); (8; 3), (5; 2a - 15)}; representa una función.

b El valor de " " es:

a

2

a) 4 b) 2 c)

11 11

d) - 6 e)

3. Dada la función "F", tal que:

F₍₄₎= 1; 2F₍₂₎= 3F₍₃₎

Además: F_(x)_{= ax + b; luego podemos afirmar:}

a) F_(-1)= 6 b) F₍₃₎= - 2 c) F_{(- 4)}= F₍₁₄₎d) F₍₁₀₎= 5 e) F₍₂₎+ F₍₈₎= 0

4. Sea f_(x)una función lineal tal que: f_{(x + 1)}_{= 3x + 8} hallar la ordenada del punto de abscisa 8.

a) 13 b) 1 c) 29

d) 15 e) 18

5. Sea f_(x)una función definida por: f= {(a; b), (3; c), (1; 3), (2b; 4)} f_(x)= x - 2a

hallar "abc"

2 8. A partir de la función:

H = {(a+1;3), (2a-1;a), (a+1;2a-7), (9;b-3), (b;a-1)} Hallar: H_{(a + 4)}+ H_{(b - 2)}

a) 3 b) 9 c) 8

d) 6 e) 4

9. Si:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {1; 2; 3; 4; 5}

F: A  B es una función

F = {(a; 1), (2; 4), (4; 4), (b; 4), (c; 5)} Indique el mayor valor de "a + b + c"

a) 1 b) 10 c) 14

d) 15 e) 16

a) 6 b) - 5 c) - 8

(5)

Autoevaluación

1. Dados los conjuntos: 3. Dada la función: f(x) = 3x - 1, observa el gráfico.

M 



( 16 ; 5), (7; 4), (4; 5)



₁

 0  _1  _ ₀ _ N  (3 ; 7), 6; , (3)

2 ;4 

0



   _ _

2



  2 

_

_

 P  ( 49 ; 6), 1; , 7;

5 36 



   _

Entonces:

a) “M” no es función b) “N” y “P” son funciones c) “N” es función

Determina el valor de: + +

a) 2 b) 6 c) 5

d) -1 e) 0

4. Si tenemos:

d) “P” es función 3x 1 ; si

f ( x )   x  0

e) “M” y “P” no son funciones

x 5 ; si x 0

2. Del gráfico:

El conjunto de pares ordenados ... a) Determina una función

b) No determina una función c) Tiene tres elementos d) Es un absurdo e) Forman un triangulito

Determinar: f(f(-4))

a) 4 b) -5 c) -1

d) -4 e) 0

5. Con la función definida en el ejercicio anterior, calcular el valor de:

f_{(f (f (}

10) ) )

f₍₃₎

3 1

a) b) 5-1 _c)

10 10

(6)

ÁLGEBRA 2

AÑO

Funciones II

Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.

Así: D_f= {x  A /  y ; tal que (x; y)  "f"}

También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.

Asi: D_f= {y B / y ; tal que (x; y)  "f"}

Dominio y rango de la función lineal y = f_(x)= ax + b / a IR b IR

Como a cada valor de "x" le corresponde un valor de "y" entonces si a "x" le asignamos valores reales obtendremos para "y" también valores reales. Luego el dominio y rango de la función lineal será:

Df = IR y Rf = IR

Ejemplo:

La función: f_(x)= 2x - 5; por ser lineal su dominio y rango será: Df = IR y Rf = IR

Ejemplo:

Ejemplo: _{La función: f} ₌ 1 x

  ; es lineal pues

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 9; 16}

la relación: _f

(x) =  (x)

1 

5 3  1   x  

f = {(2; 4), (3; 9), (4; 16)} es una función 3   5 

f: A  B con Dominio: Df = {2; 3; 4} y Rango

Rf = {4; 9; 16}

Para que se puede definir bien una función es

Luego su dominio y rango será: Df = IR y Rf = IR

Dominio y rango de la función racional: suficiente conocer su dominio (Df) y una regla que

permita relacionar cualquier "x  Df" con su imagen "f_(x)".

y = f(x) = ax b cx d

Ejemplo:

Dada la función: f_(x)= 2x2 + x - 3

Donde: x {- 1; 2; 4}

El dominio de la función (todos los valores de "x") es

el conjunto de los números reales IR menos el conjunto

de valores de "x" que anulen al denominador. Df: IR - {cx + d = 0}

Hallar el rango de la función

Resolución:

Ejemplo:

2x 1

Como: x {- 1; 2; 4}  Df = {- 1; 2; 4}

Ahora para cada "x" obtenemos su imagen f_(x)o simplemente el rango de la función.

x = - 1 f_{(- 1)}= 2(-1)2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3  f_{(- 1)}= - 2 x = 2  f₍₂₎= 2(2)2 + 2 - 3 = 8 + 2 - 3  f₍₂₎= 7 x = 4  f₍₄₎= 2(4)2 + 4 - 3 = 32 + 4 - 3  f₍₄₎= 33 finalmente la imagen o rango de la función será:

Rf = {- 2 ; 7; 33}

* Hallar el dominio de la función: f_(x)= 4 x 8

Resolución:

El dominio de la función se obtendrá así: Df: x IR - {4x - 8 = 0}

(7)

Observación: El dominio de la función: 2x 1

Como: x IR  3y - 1  0

3y  1

y = f_(x)₌ manera:

; lo podemos encontrar de la siguiente

4 x 8 _y 1



3

y IR si el denominador nunca deberá ser nulo entonces:

4x - 8  0

4x  8

x  2



Df: x  IR - {2}

El rango de la función será:

1  Rf: y  IR -   3 

Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función:

x 4

* Hallar el dominio de la siguiente función: _f

(x) = _3x_₆

y = f_(x)= 4 x 1 x 2

6 

3x 9 Dividiendo los términos lineales del numerador y _{denominador; así:}

 x  1 

Resolución:

Rf: y IR -    y IR -   y  IR  x - 2  0 3x + 9  0

x  2 3x  - 9

x  2 x  - 3 Ejemplo:

3x  3 



Df: x IR - {- 3; 2} * Hallar el dominio y rango de la función:

10x 1 ax b

Para hallar el rango de la función racional: y = cx d

se despeja "x" en función de "y". Resolución:

f_(x)_{= 5x} 1

Ejemplo: Cálculo del dominio: 5x + 1  0  5x  - 1

1 * Hallar el rango de la función: f_(x)= x 4

3x 6  1 

x  

5

Df: x IR -   5  

Resolución:

x 4

Cálculo del rango: (utilizo el método práctico) 10x 

Como: y = f_(x)_{; entonces: y = 3x}

6 _{Rf: y}_ _I_{R -} 

y(3x - 6) = x + 4 Efectuando la multiplicación

3yx - 6y = x + 4

Despejando "x" 3yx - x = 6y + 4

Común: x

x(3y - 1) = 6y + 4 6y 4

 5x  y IR - {2}

Dominio y rango de la función cuadrática y = F_(x)= ax2 + bx + c; a  0

• El dominio de la función está representado por todos los números reales es decir: Df = IR.

• Los valores de "y"; es decir el rango de la función cuadrática se obtiene despejando "x" en función de "y".

(8)

2

Ejemplos:

* Hallar el dominio y rango de la función cuadrática: f_(x)= 2x2 _{+ 3x + 2}

Resolución:

Cálculo del dominio: x IR

Cálculo del rango: y = 2x2 + 3x + 2

formando una ecuación de segundo grado: 2x2 + 3x + (2 - y) = 0

Usando la fórmula general para despejar "x" en función de "y".

ax2 + bx + c = 0 (a  0)

Resolución:

Como: y = f_(x), entonces: y = 3x2 - 5x + 1 ; la ecuación

de segundo grado será: 3x2 - 5x + (1 - y) = 0

Así como el problema anterior para encontrar el rango

de la función resolveremos:  = b - 4ac 0

Discriminante de la ecuación de 2do grado

a = 3 ; b = - 5 y c = 1 - y (- 5)2 - 4(3)(1 - y) 0

25 - 12(1 - y) 0 Despejando "y":

25 - 12 + 12y 0

13 + 12y 0

b 

x = b2 4ac

2a

12y - 13 13 y  

12

2

= b - 4ac

Discriminante de la ecuación

13 Rf = [  ; + >

12

3 

x = 9 4(2)(2 y)

2(2)

Dominio y rango de la función raíz cuadrada

Para que "x  IR" lo que está dentro de la raíz

cuadrada o sea la discriminante () deberá ser una cantidad no negativa es decir:

 = 9 - 4(2)(2 - y) 0

Resolviendo:

y = f( x )

• Al resolver la inecuación f_(x) 0 obtendremos el dominio de la función.

• El rango de la función se obtiene construyendo la función a partir del dominio de la función.

Ejemplo:

9 - 8(2 - y) 0

9 - 16 + 8y 0 Hallar el dominio y rango de la función:

- 7 + 8y 0

8y 7 f(x) = x 5

y  7 8

7

Rf = [

8 ; + >

Resolución:

Cálculo del dominio: x - 5 0 x 5 Df = [5 ; + >

* Ejemplo:

Calcular el rango de la función cuadrática. f_(x)= 3x2 - 5x + 1 ; x IR

Cálculo del rango:

Construyendo la función y = f_(x)=

dominio.

Dominio: x 5

Resto 5: x - 5 5 - 5

x - 5 0

(9)

Extraemos : x 5  0 Los valores enteros son: _{- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

como: y = x 5

 y 0

* Ejemplo:



# elementos = 11



Rf = [0; + >

Calcular el dominio y rango de la función:

* Ejemplo:

Hallar el rango de la función:

Resolución:

f_(x)₌ __x2 __{10 x}_₂₁

Resolución:

f_(x)₌ x 2 - 6

Cálculo del dominio: - x2 + 10x - 21 0

Cálculo del dominio: x + 2 0

x - 2 Rf = [ - 2; + > Cálculo del rango:

Dominio: x - 2

x + 2 0

Multiplicando por (- 1):

x2 - 10 x + 21 0

x - 7

x - 3

(x - 3)(x - 7) 0

extraemos _{: x}2  0 3 7

restando 6: x  2 - 6 0 - 6 Df: 3 x 7 ó [3; 7]

Cálculo del rango:

como: y = x 2 - 6

f_(x)₌ x 2 10x 21 luego: y - 6



Rf = [- 6; + >

completando cuadrado:

* Ejemplo: f(x) = x 2 10 x 25 4

Calcular el dominio de la función:

- x2 + 10x - 25 = - (x2 - 10x + 25) = - (x - 5)2

f_(x)₌ _x4 4 6 x _Luego:

Indicar el número de elementos enteros. f_(x)= (x 5)2 4

Resolución:

Cuando el radical es de índice par lo que está dentro Recordamos que para hallar el rango de la función _{debemos partir del dominio para construir la función}_f de la raíz debe ser una cantidad no negativa, es decir:

x + 4 0  6 - x 0 Resolviendo las inecuaciones:

x - 4 6 x x - 4  x 6 Graficando:

Dominio

- 4 6

x [- 4; 6]

Df: 3 x 7

Restando 5: 3 - 5 x - 5 7 - 5

- 2 x - 5 2

Al cuadrado: 0 (x - 5)2 22

0 (x - 5)2 4 Multiplicando por - 1: - 4 - (x - 5)2 0 Sumando 4: - 4 + 4 - (x - 5)2 0 + 4

0 - (x - 5)2 4

(10)

a) 24 b) 18 c) 14

d) 10 e) 6

a) {2; 3; 5} b) {1; 6; 2} c) {2; 3}

d) {3; 5} e) {1; 6}

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

extraemos : ₀ (x 5)2 4  4

como: y = f_(x)₌ (x 5)2 4 entonces: 0 y 2



Rf = [0; 2]

Dominio y rango

la función

Lineal

F_(x)=ax+b

Racional F = ax+b

Cuadrática

2

F =ax +bx+c

Raíz cuadrada

x _cx+d (x) y  F_{( x )}

Dominio

x



IR

Dominio

xIR-{cx+d=0}

Dominio

x



IR

Dominio

se resuelve la inecuación

F_(x)0

Rango

y



IR

Rango

a 

x IR  

c

Rango

Se resuelve la inecuación

Rango

Se debe construir la

  __₀

: Discriminante

función a partir del

dominio

Problemas para la clase

Bloque I

1. Dada la función: F = {(2; 1), (3; 6), (5; 2)} hallar el dominio de la función.

3. Señale la suma de los elementos del rango de la función: F_(x)= 2x + 3; siendo: x = {0; 1; 2; 3}

2. Dada la función: G = {(5; 1), (6; 2), (8; 1), (9; 2)} hallar el rango de la función.

a) {1} b) {5; 2} c) {1; 8}

d) {5; 6; 8; 9} e) {1; 2}

(11)

a) [6; + > b) <- ; 6] c) <- ; 9> d) [8; + > e) <- ; 8]

5. Dada la función: y

9 y = f_(x)

Bloque II

1. Determine el rango de la función: f_(x)= 10x 1 2x 4 1 2

1 6 x

a) IR b) IR - {5} c) IR - ₅

d) IR - {2} e) IR - {- 2}

8x 1 Indicar el dominio de la función.

a) [1; 6] b) [1; 6> c) <1; 6]

d) [2; 9] e) <2; 9]

2. ¿Cuál es el rango de la función: g_(x)₌

1 

? 2x 1

 1  a) IR -   _b)_I_{R - {4}} _c)_I_{R -}   2 6. Dada la función:

y

9

2   _

d) IR - {4} e) IR

x 3. Indicar el dominio de la función: F_(x)= ₂ y = f_(x)

3

2 10 x

x 1 a) IR - {1} b) IR - {- 1} c) IR - {- 1; 1}

d) IR - {10} e) IR - {x}

x 1 Indicar el rango de la función.

a) IR b) [2; 10] c) <2; 10>

d) [3; 9] e) <3; 9>

7. Hallar el dominio de la función: F_(x)_{= 2x - 1}

4. Indicar el dominio de la función: F_(x)=

a) IR - {- 3; 3} b) IR - {3}

c) IR - {- 3} d) IR - {1}

e) IR

x 2 9

a) IR b) IR+ c) IR- 1

d) 2 e) 1

5. ¿Cuál es el dominio de: g_(x)= x 2 ?

8. Hallar el rango de la función: f_(x)_{= 5x + 1} a) [2; +

> b) <- ; 2] c) <- 2; 2] d) [- 2; 2> e) IR

a) 1 b) 5 c) IR+

d) IR- e) IR

9. Determine el dominio de la función: f_(x)= x 3 x 2

6. ¿Cuál es el dominio de h_(x)= 8 x ?

1 x

a) IR - {2} b) IR - {3} c) IR - {- 2}

d) IR - {- 3} e) IR - {1}

x 5

7. Hallar el dominio de la función: h_(x)= 4 a) <- ; 1] b) [1; + > c) [0; + >

d) {1} e) IR

10.Determinar el rango de la función: f_(x)₌

x 1

x 3

a) IR - {5} b) IR - {- 3} c) IR - {2}

d) IR - {- 1} e) IR - {1}

8. Hallar el dominio de la función: f_(x)₌ x 6

a) [3; + > b) [3; + >

c) [6; + > - {3} d) [3; + > - {6}

(12)

a) 2 002 b) 4 004 c) 0

d) 1 e) 1 000

9. Hallar el dominio de la función: f_(x)= 6 x x 1

6. Sea:

f_(x)₌ 7

2x 3 y Domf = [2; 5]

a) <- ; 1] b) [6; + >

c) <- ; 6] d) <- ; 6] - {1}

e) [6; + > - {1}

10.Determinar el dominio de la función:

Halle el rango de "f_(x)"

a) [1; 7] b) [1; 7

3 ] c) [2; 5]

f_(x)₌ x 2  8 x d) [3; 7] e) [2; 8]

7. Hallar el dominio:

a) [- 8; 2] b) [- 2; 8] c) [2; 8]

d) IR e) IR+

Bloque III

f_(x)₌ 5x 2 x 2 __5x_₆

2 

; es:

1. Dados las funciones: _a)_I_R _b)_I_{R -}__ _c)_I_{R - {3}}

f_(x)₌ x 2 . x 3 5 

d) IR - {2} e) IR - {2; 3}

g_(x)_{= (x}2)(x 3)

8. Hallar el dominio: De sus dominios se puede afirmar:

a) Df = Dg b) Df Dg = Ø

c) Df  Dg = Df d) Df Dg = Dg

f_(x)₌ 3x 2

x 3  x 2 20x

e) Df  Dg = Df

2. Calcule usted, el número de valores enteros del

a) {0; 4; 5} b) IR - {0; 4; 5}

c) IR d) IR+

e) IR - {0; 4; - 5}

dominio: f_(x)= 2002 x  x 2002 _{9. Hallar el dominio y rango de la función:}

3. Hallar el rango de: f_(x)₌

y

6

x 1

x 1 2

a) IR - {1} b) IR c) IR - {- 1}

d) IR - {± 1} e) {- 1; 1}

4. Determinar el rango de:

3x 1

- 5 3 x

- 4

f_(x)₌ x 2

a) x <- 5; 3] ; y [- 4; 2]

1  b) x  <- 5; 3] ; y [- 4; 3]

a) IR - {2} b) IR -   _c)_I_{R - {3}} c) x [- 5; 3] ; y [2; 6]

d) IR e) Ø

3  _{d) x}_ _{<- 4; 6] ; y}__{[- 5; 3]}

e) x  [- 5; 3] ; y [- 4; 6] 5. Hallar el dominio y rango de la función:

f(x) = 4 _x

3 8 3  x

10.Obtener el número de elementos enteros del dominio de:

x 3 3 x

a) IR; IR b) [3; + >; IR

c) <- ; 3]; [- 3; 3] d) {3}; {0}

F_(x)₌

x 2 _₁

e) [- 3; 3]; IR a) 5 b) 7 c) 3

(13)

ÁLGEBRA _AÑO2

Funciones III

... Y continuando con la Función ...

Ya hemo s vi sto l a de fini ción de F unci ón, las características del Dominio y Rango, y su ubicación (como pares ordenados) en el plano cartesiano.

Solución:

Aquí aplicaremos un "truco" muy sencillo:

Ahora trabajaremos con sus gráficas (o dibujitos), viendo las principales, sus propiedades de traslación, intersección, etc.

Por ejemplo:

Igualdad de Funciones

f (x) = g(x)

x2 + 1 = 3x - 1

 x2 - 3x + 2 = 0

Función Gráfica

y

x -2

x -1

Luego: x = 2 ; x = 1

1. y = x

2. y = x2

Estos son los valores de "x" en los puntos de intersección x

Reemplazando "x" en cualquier función: • x = 2  f₍₂₎= 22 + 1 = 5  y = 5

El punto de intersección es: (2, 5)

• x = 1  g₍₁₎= 3(1) - 1 = 2  y = 2

La primera función es llamada "FUNCIÓN IDENTIDAD" y la segunda es llamada "FUNCIÓN CUADRÁTICA".

Ahora veamos un ejemplo de intersección de funciones:

Sean las funciones: f_(x)= x2 + 1 g_(x)_{= 3x - 1}

Hallar los puntos de intersección del gráfico:

El otro punto de intersección es: (1, 2)

Fácil!! ... no crees?

Ahora te toca a ti ... ok? ... LA FUNCIÓN DEBE CONTINUAR!!

Bloque I

f

_(x)

_Y

g

(x)

1. Cuál es el gráfico de: f_(x)_{= x}

a) b)

X

(14)

2. Cuál es el gráfico de: f_(x)= - x2

a) b)

c) d)

3. Indicar el gráfico de: f_(x)= x + 3

a) b)

7. A qué función corresponde el gráfico:

a) f_(x)= x2 _{+ 4} _{b) f}

(x) = x2 - 4

c) f_(x)= - x2 + 4 d) f_(x)= - x2 - 4 e) f_(x)= x2

8. Si se tiene: f_(x)= 2x + 2; g_(x)= x2 - 1; entonces, hallar los puntos de intersección del gráfico.

a) (-1; 3) b) (3; 7), (-1; 5) c) (3; -1) d) (3; 8), (-1; 0) e) (3; 9), (-1; 4)

9. Indicar los puntos de intersección de:

c) d)

4. Indicar el gráfico de: f_(x)= x2 - 7

f(x) = x2 + 1

g (x) = 3x - 1

a) (2; 1)

b) (-2; 5), (1; 4) c) (1; 2)

d) (1; 2), (2; 5) e) (5; 1), (2; 2)

a) b) 10.Según el gráfico, indicar "a +b"; donde:

f_(x)= - 2x + 1 g_(x)= 2x2 - 3

c) d)

5. El siguiente gráfico: pertenece a:

g(x)

b a

f(x)

a) 2 b) -1 c) -2 d) 1 e) 0

a) x + 3 b) - x2 + 3 c) x2 - 3

d) x2 + 3 e) - x2 - 3

6. El gráfico: corresponde a la función:

a) f_(x)= x + 7 b) f_(x)= x - 7

c) f_(x)= - x - 7 d) f_(x)_{= - x + 7}

e) f_(x)_{= -x}

11.Determinar el valor de "a + b" según el siguiente gráfico:

g(x)= -2x - 4

a

f(x) = -3x2+1

(15)

(x)

22 a) 

3 5 d) ₃

28

b) - 1 c) 

3 e) 1

I. 2



Dom f

II. 5



Dom f

III.- 2



Dom f, son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) II y III

d) Todas e) N.A.

12.Determinar "a2 + b2" según el gráfico:

6. Dada la función: f_{( x )} 3x ; indicar lo correcto: x 2 _₂₅

f = 2x 2 - 7

a b

a) 5 Dom f b) - 5 



Dom f c) 3 



Dom f

d) - 5 Dom f e) 0  Dom f

7. Si tenemos la función:

g = -x2+ 5

a) 4 b) 0 c) 8

d) 1 e) - 2

h_{( x )}

a) D o m f = IR+

5 

x 2 _₁; entonces: b) - 1  Dom f

Bloque II c) {1, - 1} _{e) Dom f = Ø}Dom f d) Dom f = IR

1. Determinar el dominio de la función: x 5 f_{( x )}

x 1

8. Dada la función: g_{( x )} 2x 8 , entonces se cumple:

a) IR - {5} b) IR - {1} c) IR - {-5}

a) 0  Dom f b) Dom f = 4, 

d) IR - {1} e) IR c) Dom f = , 4



d) 5 Dom f

2. Determinar el dominio de: x 2

e) Dom f = IR

1 x f_{( x )}_

x 7 9. Si tenemos: h( x )  7 , de las afirmaciones:

a) IR b) IR - {7} c) IR - {-7}

d) IR - {0} e) Ø

I. 7 Dom f II. 0 Dom f

3. Indicar el dominio de: III.Dom f = , 1 , son verdaderas

g_{( x )}_x 1 _{a) I y II} _{b) Sólo III} _{c) II y III}

d) Sólo II e) N.A.

a)



1,  b) 1 ,  c) , 1



_{10.Dadas las funciones:}

d) , 1



e) , 1

f_(x)_ 7 x _y g(x)  1

x2 _₁ ; x IN

4. Cuál es el dominio de: g_{( x )} 4 x

Indicar: Dom f Dom g

a)



4,  b) , 4



c) ,  4

a) {x IN / x < 7}

d) 4, 

5

e)



4,  b) {x IR / 0 < x 7}

c) {x IN / x 7} d) {x IN / x 7}

5. Si: f_{( x )} ; entonces; de las afirmaciones:

(16)

Bloque III

1. Hallar la gráfica de la función: f_(x)= x - 2

4. Graficar: g y

(x) = x + 3

y

y y

a) b)

x x

a) b)

x x

y y

c) d)

x x

y

e)

x

c)

x d) x

y

e)

x

5. Graficar: y = - x 2. Graficar: y = x - 2

y y

a) b)

x x

a) b)

x x

y y

c) d)

x x

c) _x

y

d) _x

y e)

x e)

x

3. Graficar: f_(x)=

y

a)

x

x 2

y

b) _x

6. Graficar: y =  - x

y y

a) b)

x x

y y

c) d) x

x

c) d)

x x

y

y e)

x e)

(17)

2. = x 7. G r a f i c a r : F

(x) = | x - 4 | + 2

y y

a) b)

x x

9. Halle el área de la región formada por la función constante: f_(x)= 7; la función lineal: g_(x)= 3x - 2 y el eje "y".

a) 9 u2 b) 3 c) 27

2 9

y y

c) d)

d) e) N.A.

2

x x _{10.Si f}

(x) es una función lineal que pasa por los puntos

(4; 7) y (5; g₍₄₎_{); donde:}

y g(x) = 2x + 2

hallar el punto de intersección de "f_(x)" y "g_(x)". e)

x _{a) (3; 5)} _{b) (7; 16)} _{c) (8; 10)}

d) (9; 15) e) (1; 4)

8. Graficar: y = - | x | + 2

y y

a) x b) x

y y

c) x d) x

y

e)

x

Autoevaluación

2

E l g r á f i c o c o r r e s p o n d i e n t e a : f

(x) - 1, es:

1. En el gráfico:

f(x)

; pertenece a la función:

a) b) c)

a) 2x - 3 b) 2x + 3 c) -2x + 3

d) -2x - 3 e) x

(18)

2

3. Dado el gráfico: 5. Dada la función: h _(x) 2x 1 , indicar la verdad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

g (x) x 2

f(x) x

I. Dom h = ; 1 _ 

II. 1 Dom h

III.0  Dom h

Uno de los puntos de intersección es:

a) (1; 0) b) (0; 1) c) (0; 0)

d) (1; -1) e) (-1; 0)

a) VFV b) FVV c) FFV

d) VVF e) VFF

5

4. De la función: f (x)  , se deduce que:

2 x