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CICLO 2011-I Módulo:

Unidad: 6 Semana: 6

CONTENIDOS

• Energía Potencial

• Impulso

• Conservación de la Cantidad de Movimiento

• Choques

• Coeficiente de Restitución

ENERGÍA POTENCIAL

¿ Y cuánto vale el trabajo que puede realizar

la fuerza peso ?

Bueno, el trabajo realizado por una fuerza es w=F d

E_p  Ph ó mgh

Esta E_p que tiene el objeto es con respecto al piso. Al calcular energías potenciales, uno siempre tiene que

U, Energía potencial de un resorte en Joule,

K, constante de rigidez del resorte N/m

Ejemplo : Calcular la E_pot del cuerpo que está arriba de la mesa.

h g m

E_p   

m s

m Kg

E_p 1 9,8 ₂ 1



Joule

9,8 E

l

p 

NOTA:

La energía potencial en realidad se llama “

Energía potencial gravitatoria “ .

La E

de un sistema en un momento

determinado es la suma de la energ

í

a

cin

é

tica, m

á

s la potencial que el tipo tiene en

ese momento. ( Esto es una definici

ó

n ). Es

decir:

E



_E



_E

Energía

_mecánica

Ejemplo: Calcular la Energía Mecánica del Carrito en el punto A.

E_MA = E_CA + E_PA





m

s

m

Kg

s

m

Kg

E



2



1



2



9

,

8



1



Joule

E

20

,

6



Ejemplo: Se Empuja al carrito dándole velocidad de manera que su energía

cinética inicial es de 0.2 Joule. El carrito cae luego por la pendiente calcular la

La energía mecánica en el punto A va a ser: E_MA = E_CA + E_PA

Joule 0,2 1 8 , 9

1  ₂  



 m

s m Kg

E_{m A}

Joule E_{m A} 10





EN EL PUNTO B:

B B

B

m m v m g h

E     

 2

2 1

  m

s m Kg s m Kg

E_mB  ₂11  1 2 1 9,8 ₂ 0,5

EN EL PUNTO C:

0



¿ Pero cómo ? .

¿ No era que la energía siempre se conservaba ?. ¿ No era que no se perdía sino que sólo se

transformaba de una forma en otra ?.

Y bueno, justamente. Toda la energía mecánica que el

tipo tenía se transformó en calor.

Una fuerza es conservativa si hace que la energía

mecánica del sistema no cambie mientras ella actúa.

O sea, una fuerza conservativa hace que la energía

mecánica se conserve. ( De ahí viene el nombre )

Bueno, inicialmente su energía potencial vale m

g  h y a medida que va cayendo la va perdiendo. Pero atención con esto: Pierde

energía potencial...

¡ pero va ganando energía cinética !

. 6

, 19 2

8 , 9

1 ₂

0 m Joule

s m Kg

h g m

Situaciones Problemáticas



m

s



J

Kg

v

m

E

1

6

,

26

19

,

6

2

1











1ª FUERZA NO CONSERVATIVA: El Rozamiento

2ª FUERZA NO CONSERVATIVA: Una Fuerza

Exterior.

 Una fuerza

exterior.

1.El bloque de 1kg se deja caer desde la posición mostrada,

sobre un resorte de constante

K=1600 N/m. Determine la máxima compresión del resorte. (g=10 m/s2)

1

k g

3

m

2.Un cuerpo de 2kg de masa sube

una pista circunferencial, tal como se muestra en la figura. Si el

cuerpo alcanza una altura máxima

de 0,5m. ¿Cuál es el trabajo

realizado por las fuerzas de

rozamiento.

h

C

3.Un bloque parte de “A” sin velocidad inicial y se desliza, como muestra la figura. ¿Qué distancia “S” recorre en

la parte plana si solamente hay rozamiento en esta

parte?

A

5

m

m



= 0 ,2

4.De una altura de 5m con respecto al extremo libre de su resorte (ver figura) se lanza una piedra de 2kg con

velocidad de 10m/s. ¿Cuál es la constante elástica del resorte si éste comprime 1m por acción del choque?

llllll

l

5.Una bala de 0,15kg con rapidez de 200m/s penetra

en una pared de madera deteniéndose al recorrer 0,3 m.

Es una magnitud vectorial definida como el producto de la masa de un cuerpo y su velocidad.

Unidades

Donde: _{p =Cantidad de movimiento(vectorial)}

V=Velocidad(vectorial) m=masa(escalar)

Reemplazando valores se obtiene:

Sabemos que: p =mVp =mV

Si m=2kg y V=5m/s ; Calcular p.

Ejercicios Resueltos

Es una magnitud vectorial definida como el producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo y el intervalo de tiempo que dura la acción de la fuerza.

Donde: F=Es el valor de la fuerza( vectorial)

t=Es el intervalo de tiempo que dura la acción de la fuerza(escalar) I=Es el valor del impulso(vectorial)

Unidades

I=Ft

I=Ft

I: N s



1

V

 I 

F



2

V

Sabemos que:

Si F=10N y t=0.02s, entonces I es:

I=Ft

I=Ft

Reemplazando valores se obtiene:

I=(10N)(0.02s)

Ejercicios Resueltos

Solución



1 V

 I 

F



2 V

IMPULSO.-“La impulsión de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual al incremento de la cantidad de movimiento del cuerpo”

 F  2 V  a

Las relaciones anteriores se pueden expresar en forma vectorial, es decir:



F





m

a



Sabemos que:

Entonce

s: El impulso _es: I  (





p

I

;

t

F

I















F

t

;

I

p

I













m=4kg

V2=2m/s

V₁=4m/s Ejercicios Resueltos 2400N F : queda F, Finalmente 01 . 0 24 01 . 0 16 8 01 . 0 4(-4) -4(2) F : obtiene se F Despejando ; mV -mV ) V -m(V Ft

I _{2 1 2 1}

        Sabemos que:

Reemplazando valores se obtiene:

Hallar la fuerza media en el choque; si dura 1 centésimo de segundo.

La velocidad de impacto es hacia la izquierda, entonces se considera negativa y la del rebote es a la derecha entonces es positiva. Solución P I p -p

A un péndulo de madera se le golpea con un pedazo de fierro con una fuerza de 600N, el impacto dura 0.01s. Si la masa de la madera es de 10Kg. ¿Cuál será la velocidad que adquiere?

Ejercicios Resueltos

Solución

1 2

1

2 -V ) mV -mV

m(V Ft

I Ft m(V2 -V1) mV2 -mV1

I   

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento:

Reemplazando valores se obtiene:

Área= IMPULSION Área= IMPULSION

A) FUERZA VARIABLE



o

t

t

Fdt IMPULSO



1

o

t

t

Fdt IMPULSO

F

Área= F.(t₂ - t₁)

SE CUMPLE Área= IMPULSIONÁrea= IMPULSION

1.Cuando un cohete es lanzado, la fuerza que permite su impulso es

F=100+400t-800t2 _{donde t esta en segundos y F en Newton, si el intervalo de}

tiempo de lanzamiento es 2seg. calcular: a)El impulso realizado para el lanzamiento del cohete, b)La fuerza promedio durante el impulso.

Solución   1 o t t Fdt

IMPULSO 

1 o t t Fdt IMPULSO Sabemos que:

Reemplazando valores se obtiene:

400N.s I 2400 -800 2000 ) 3 2 900( ) 2 2 400( 1000(2) I ) 3 t 900( ) 2 t 400( 1000(t) I )dt 900t -400t (1000 Fdt I 3 2 3 2 2 0 2 2 0            _{ } Fuerza promedio:   1 o t t _ Fdt Δt 1

F 

Solución ) m/s ( k 4 j 3 i 2

v   



  

Sabemos que:

2.Una partícula de masa m=1kg en el instante t₁=0 tiene una velocidad de:



luego inmediatamente actúa sobre la masa la fuerza F (3 i 4t j 3t2 k ) New

      

durante 1 segundo; luego la velocidad de la partícula al cabo de 1seg, será

) V -V m(

I 2 1

 



Reemplazando valores se obtiene:

2 1

0

1 Fdt mV

V

m  



0

1 Fdt mV

V

m  



2 1

0

2 _{k )dt (1)V}

3t j 4t -i (3 ) k 4 j 3 -i

“Cuando sobre el sistema no actúa ninguna fuerza resultante exterior, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante tanto en magnitud, como en dirección y sentido”

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO



1

V 

2 V₂ V

m₁ m₂

 1 F  2 F _m 1 m 2  4 V  3 V

m_{1 m2}

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

La Cantidad de movimiento total inicial es igual la Cantidad de movimiento total Final

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La Ley de la conservación de la cantidad de movimiento es una igualdad

vectorial que se puede expresar en forma escalar si todas las velocidades están dirigidas a lo largo de una misma recta, es decir:

4 2 3

1 2

2 1

1

v

m

v

m

v

m

v

Es el fenómeno de la colisión entre dos cuerpos, en el que aparecen fuerzas de acción y reacción de gran magnitud, que actúan durante un brevísimo lapso de tiempo.

Choques Elásticos ( e = 1 )

Choques Inelásticos ( 0 < e < 1 )

Choques perfectamente inelásticos ( e = 0 )

“En los choques, la ley de la conservación de la cantidad de movimiento se cumple en todos los casos, mientras que la Ley de Conservación de la Energía no siempre se cumple”

COEFICIENTE DE RESTITUCION (e)

Es un numero que establece la relación entre las velocidades relativas de los cuerpos después y antes del choque.

2 4 3 V -V1 V V

e   

2 4 3 V -V1 V V

e   



1

V V₂

ANTES DEL CHOQUE

 2 V m1 m2  3

V V_{4 DESPUES DEL CHOQUE}

m1 m2

Nota

•e=0, En choques

perfectamente inelásticos

•e=1, En choques elásticos

La figura muestra la colisión de los bloques 1 y 2. Entonces, el coeficiente de restitución entre los bloques es:

20m/s 1 V=0 2 12m/s 1 2 16m/s Solución: 2 4 3 V -V1 V V

e   

2 . 0 ) 20 4 ( 0 -20 16 12

e       

Sabemos que :

Reemplazando valores se obtiene:

Este es el caso en el que la energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética después del choque.

CASO1: CHOQUES ELASTICOS ( e = 1 )

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICA La energía cinética antes del choque es igual a después del choque

2 4 2 2 3 1 2 2 2 2 1

1 m v

2 1 v m 2 1 v m 2 1 v m 2

1 _{  }

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque

4 2 3 1 2 2 1

1v m v m v m v

m   

Dos “canicas” de masas iguales van a realizar un choque elástico y unidimensional. Si una de ellas esta en reposo y la otra posee una velocidad de 4m/s antes del choque, determinar las velocidades que adquieren después del choque.

Solución:

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento

4 2 3 1 2 2 1

1V m V m V m V

m   

V₂=0 V₁=4m/s

Como las masas son iguales, m₁=m₂=m, se tiene (4)m +(0)m = mV₃+ mV₄ V₃+ V₄ = 4 ...( 1 )

Como el choque es perfectamente elástico(e=1)

) 2 ...( ... ... 4 V V 1 0 -4 V V V -V1 V V e 4 3 4 3 2 4 3          

NOTA: Este caso se ve

en el choque de bolas de billar, en la cual

tienen masas iguales y una de ellas está en reposo; entonces las partículas intercambian velocidades

CASO 2: CHOQUES INELASTICOS ( 0 <e < 1 )

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICA

La energía cinética total no es constante

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque

4 2 3

1 2

2 1

1v m v m v m v

m   

Coeficiente de restitución ( e):

NOTA: El choque de una pelota de plástico con una superficie dura es inelástico,

porque un poco de energía cinética se pierde cuando esta se deforma mientras está en contacto con la superficie.

En este caso los cuerpos permanecen adheridos “se pegan” después de la colisión. CASO 3: CHOQUES PERFECTAMENTE

INELASTICOS



1

V 

2 V₂ V  4 V  3 V

m_{1 m2}

m_{1 m}

2

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

Se cumple V3=V4

Por conservación de la cantidad de movimiento y si V3=V4=V entonces:

)v m m ( v m v

m_{1 1}  _{2 2}  ₁  ₂

Dos masas disparadas en sentidos contrarias, tal como se muestra en la figura, chocan y quedan pegadas ¿Cuál será la velocidad del conjunto? si los datos son: m₁ = 50g; V₁ = 100 m/s ; m₂ = 40g; V₂ =60 m/s

m₂ m₁

Solución:

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento

Como las masas quedan pegadas se cumple, V₄ = V₃ = V, se tiene

(50g)(100m/s) - (40g)(60m/s) = (50g)V+ (40g)V (5000 -2400 )g.m/s= 90g(V)

2600 g.m/s = 90g(V)

4 2 3

1 2

2 1

1V m V m V m V

m   

Finalmente la velocidad(V) que se obtiene es: V = 28.89m/s

COLISIONES EN DOS DIMENSIONES

Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa

para cada componente como:

m₁v_1ix + m₂v_2ix = m₁v_1fx + m₂v_2fx

COLISIONES EN DOS DIMENSIONES

m₁

m₂ v_1i

v_2f v_1f

Antes de la colisión Después de la

colisión

COLISIONES EN DOS DIMENSIONES

Consideraremos el caso en que m₂ está en reposo

inicialmente. Después del choque m₁ se mueve a un

ángulo  con la horizontal y m₂ se mueve a un ángulo 

con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:

m₁v_1i = m₁v_1fcos  + m₂v_2fcos 

COLISIONES EN DOS DIMENSIONES

La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes

v_1f,v_2f, , .

2 2 2 2 1 2

1 1 2 1 2

1 1 2 1

f f

i

m

v

m

v

v

Ejemplo.-Un auto de 1500Kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500Kg que se mueve hacia el norte a 20m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque perfectamente inelástico.

25 m/s

20 m/s

v_f

Momento en x:

Antes Después

(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) v_f cos()

Momento en y:

Antes Después

(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) v_f sen()

Resolviendo

EJERCICIOS

DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

CENTRO DE MASA

M m m

m _{i i}

i i i CM







 r r

r m₁ m₂ m_n m_i r₁

r_{2 r} i r_n r_CM x y z

MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS















CM

m

ACELERACIÓN DE CENTRO DE MASA







 i _{i i}

i CM CM m M dt d m M dt d a v v

a 1 1

De la segunda ley de Newton:









CM

m

M

a

a

F

dt d M tot CM ext p a

F  



Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

Ejemplo: Calcular el centro de masa de la barra.

Por ser un objeto simétrico z_cm = 0 y_cm = 0

Consideremos una densidad lineal de masa

Ejemplo: Por ser un objeto simétrico respecto al eje Z, las coordenadas x , y, del centro de masas serán nulas:

x_cm = 0 y_cm = 0