2.5. Integrales triples.

5. Integrales triples.

Integral triple en un prisma. El proceso para definir la integral triple ( , , )

U

f x y z dV

∫∫∫

, de una función continua f : ( , , )x y z ∈ ⊆U \3→ f x y z( , , )∈\ es completamente análogo al de la integral doble. Primero se considera la integral triple para el caso en que U: [ ,= x x_{1 2}] [ ,× y y_{1 2}] [ ,× z z_{1 2}] es un

prisma rectangular. La integral triple se construye como el límite de las sumas de Riemann

1

( , , )volumen( ),

N

k k k k

k

f x y z U

=

∑

correspondientes a una partición de U formada por subprismas rectangulares P:=

{

U U₁, ₂,...,U_N

}

cuando el diámetro máximo P de estos subprismas rectangulares tiende a cero, esto es

( , , ) : U

f x y z dV =

∫∫∫

0

1

lim ( , , )volumen( ).

N

k k k k

P k

f x y z U

→

∑

₌

El símbolo dV se lee diferencial de volumen.

El teorema de Fubini para un prisma rectangular en \3 afirma que las seis integrales iteradas coin-ciden con el valor de la integral triple. Concretamente tenemos el siguiente resultado.

TEOREMA (FUBINI). Sea f : ( , , )x y z ∈ ⊆U \3 → f x y z( , , )∈\ una función continua en el prisma

rectangular U: [ ,= x x1 2] [ ,× y y1 2] [ ,× z z1 2]. Entonces

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 1

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , )

z y x z x y

U z y x z x y

y z x y x z

y z x y x z

y

y

f x y z dV f x y z dx dy dz f x y z dy dx dz

f x y z dx dz dy f x y z dz dx dy

f x y z dy

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤

= _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥} = _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥}

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤

= _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥} = _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥}

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ =

⎣

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

( , , ) .

x z x y z

x z x y z

dz dx f x y z dz dy dx

⎡ ⎤ ⎤ ₌ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤

⎢ ⎢ ⎥_⎦ ⎥ ⎢ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ ∫

De aquí que la integral triple también se suela escribir como ( , , ) . U

f x y z dxdydz

∫∫∫

EJEMPLO. Vamos a calcular algunas integrales triples usando el teorema de Fubini.

(1) La integral de f x y z( , , )= + +x y z en U: [ 1, 2] [0, 2] [1, 2].= − × ×

(

)

2 2 2 2 2

1 0 1 1 0

2

1

3

( )

2 (2 2 3) 18.

U

x y z dxdydz x y z dz dy dx x y dy dx

x dx

− −

−

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤

+ + = _{⎢ ⎢} + + _{⎥ ⎥} = _{⎢ ⎜} + + _{⎟ ⎥}

⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

= + + =

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

4 2 3 4 2 4

2 2 2 2

1 2 0 1 2 1

9

18 378.

2 U

x z dxdydz x z dz dy dx x dy dx x dx

− −

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥} = _{⎢ ⎜ ⎟ ⎥} = =

⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

Integral triple en un recinto proyectable. Una vez definido el concepto de integral triple sobre un

prisma rectangular pasamos a considerar recintos más generales cuya estructura sea similar a la de los conjuntos que hemos manejado en el cálculo de integrales dobles. El teorema de Fubini motiva la definición de la integral de una función continua sobre uno de estos recintos. Veámoslo con más detalle.

DEFINICIÓN. Un conjunto U ⊆\3 se llama XY-proyectable si existe un conjunto D⊆\2 y dos

fun-ciones continuas z₁: ( , )x y ∈ ⊆D \2 →z x y₁( , )∈\ y z₂: ( , )x y ∈ ⊆D \2 →z x y₂( , )∈\, tales que

1( , ) 2( , ),

z x y ≤z x y para todo ( , )x y ∈D de forma que

{

3 2

}

1 2

( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , ) .

U = x y z ∈\ x y ∈ ⊆D \ z x y ≤ ≤z z x y

Ahora, si f : ( , , )x y z ∈ ⊆U \3 → f x y z( , , )∈\ es una función continua, se define la integral de f

sobre U como

2 1

( , )

( , )

( , , ) : ( , , ) .

z x y

U D z x y

f x y z dV = ⎡_⎢ f x y z dz dA⎤_⎥

⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ ∫

OBSERVACIÓN. Si el conjunto D:=

{

( , )x y ∈\2:x₁≤ ≤x x y x₂, ₁( )≤ ≤y y x₂( )

}

es un conjunto X

-proyectable en el plano, entonces

2 2 2

1 1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) : ( , , ) .

x y x z x y

U x y x z x y

f x y z dV = ⎡_⎢ ⎡_⎢ f x y z dz dy dx⎤_⎥ ⎤_⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦

∫∫∫

∫ ∫ ∫

Aná-logamente, si D es Y-proyectable, esto es, D:=

{

( , )x y ∈\2:y₁≤ ≤y y x y₂, ₁( )≤ ≤x x y₂( ) ,

}

enton-ces

2 2 2

1 1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) : ( , , ) .

y x y z x y

U y x y z x y

f x y z dV = ⎡_⎢ ⎡_⎢ f x y z dz dx dy⎤_⎥ ⎤_⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦

∫∫∫

∫ ∫ ∫

Esta definición de integral triple en un recinto XY-proyectable se traslada de forma similar a conjun-tos YZ-proyectables y a conjuntos XZ-proyectables.

DEFINICIÓN. Un conjunto U ⊆\3 se llama XZ-proyectable si existe un conjunto D⊆\2 y dos

fun-ciones continuas 2

1: ( , ) 1( , )

y x z ∈ ⊆D \ → y x z ∈\ e 2

2: ( , ) 2( , ) ,

y x z ∈ ⊆D \ →y x z ∈\ tales que

1( , ) 2( , ),

y x z ≤y x z para todo ( , )x z ∈D de forma que

{

3 2

}

1 2

( , , ) : ( , ) , y ( , ) ( , )

U = x y z ∈\ x z ∈ ⊆D \ x z ≤ ≤y y x z

Ahora, si f : ( , , )x y z ∈ ⊆U \3 → f x y z( , , )∈\ es una función continua, se define la integral de f

sobre U como

2 1

( , )

( , )

( , , ) : ( , , ) .

y x z

U D y x z

f x y z dV = ⎡_⎢ f x y z dy dA⎤_⎥

⎣ ⎦

DEFINICIÓN. Un conjunto U ⊆\3 se llama YZ-proyectable si existe un conjunto D⊆\2 y dos

fun-ciones continuas x₁: ( , )y z ∈ ⊆D \2 →x y z₁( , )∈\ y x₂: ( , )y z ∈ ⊆D \2 →x y z₂( , )∈\, tales que

1( , ) 2( , ),

x y z ≤x y z para todo ( , )y z ∈D de forma que

{

3 2

}

1 2

( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , )

U = x y z ∈\ y z ∈ ⊆D \ x y z ≤ ≤x x y z

Ahora, si 3

: ( , , ) ( , , )

f x y z ∈ ⊆U \ → f x y z ∈\ es una función continua, se define la integral de f

sobre U como

2 1

( , )

( , )

( , , ) : ( , , ) .

x y z

U D x y z

f x y z dV = ⎡_⎢ f x y z dx dA⎤_⎥

⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ ∫

El teorema de Fubini para regiones proyectables afirma que, para un sólido U que sea de dos tipos de regiones proyectables simultáneamente, las posibles integrales iteradas son todas iguales a la in-tegral triple de f en U.

TEOREMA (FUBINI). Sea f : ( , , )x y z ∈ ⊆U \3→ f x y z( , , )∈\ una función continua en la región

proyectable U.

1) Si U es XY-proyectable y XZ-proyectable, entonces

2 2

1 1 2 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) .

z x y y x z

D z x y D y x z

f x y z dz dxdy f x y z dy dxdz

⎡ ⎤ ₌ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫∫ ∫

∫∫ ∫

2) Si U es XY-proyectable y YZ-proyectable, entonces

2 2

1 1 3 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) .

z x y x y z

D z x y D x y z

f x y z dz dxdy f x y z dx dydz

⎡ ⎤ ₌ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫∫ ∫

∫∫ ∫

3) Si U es XZ-proyectable y YZ-proyectable, entonces

2 2

2 1 3 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) .

y x z x y z

D y x z D x y z

f x y z dy dxdz f x y z dx dydz

⎡ ⎤ ₌ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫∫ ∫

∫∫ ∫

OBSERVACIÓN. Al igual que un área plana puede obtenerse como una integral doble, un volumen

puede obtenerse como una integral triple. Si tenemos un sólido U en \3, su volumen es la integral

volumen( ) 1 . U

U =

∫∫∫

dV

EJEMPLO. Consideremos la región U contenida en el primer octante y acotada por los planos x=0,

0

y= y z=2 y la superficie z=x2+y2. Vamos a calcular .

U

x dxdydz

∫∫∫

Observemos que el con-juto U es una región XY-proyectable. De hecho, U =

{

( , , )x y z ∈\3:x≥0, 0, y≥ x2+y2 ≤ ≤z 2 .

}

De esta forma, si llamamos D=

{

( , )x y ∈\2:x≥0, 0,y≥ x2+y2 ≤2

}

y consideramos también las funciones continuas 2 2

1( , )

puntos ( , , )x y z de \3 tales que ( , )x y ∈D y verifican z x y1( , )≤ ≤z z x y2( , ). Por tanto, la

defini-ción de integral triple en este tipo de regiones nos lleva a que

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

0 0 0

cos

(2 )

sen 8

(2 ) cos (2 ) 2.

15

U D x y D

x r

xdxdydz xdz dxdy x x y dxdy

y r

r r d dr r r dr

π

θ θ

θ θ

+

=

⎡ ⎤

⎡ ⎤

= _{⎢ ⎥} = − − _{= ⎢ ⎥}

=

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= − = − =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ ∫

∫∫

∫ ∫

∫

EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen del sólido U contenido en el primer octante y acotado

su-periormente por el cilindro de ecuación y2+z2 =1 y comprendido entre los planos x+ =y 1 y 3.

x+ =y Tenemos que calcular volumen( ) . U

U =

∫∫∫

dxdydz Esta región es XY-proyectable, XZ -proyectable e YZ-proyectable. Comprobemos que es YZ -proyectable. Para ello consideremos la re-gión D:=

{

( , )y z ∈\2:y≥0,z≥0, y2+z2 ≤1

}

del plano OYZ y las funciones x y z1( , )= −1 y y

2( , ) 3 .

x y z = −y De esta forma, el sólido está descrito por

{

3

}

1 2

( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , )

U = x y z ∈\ y z ∈D x y z ≤ ≤x x y z

y su volumen es

3

1

volumen( ) 2 ,

2

y

U D y D

U dxdydz dx dydz dydz π

−

−

⎡ ⎤

= = _{⎢ ⎥} = =

⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ ∫

∫∫

ya que D es un sector circular de radio 1 y ángulo .

2 π

Ya hemos comentado que el conjunto U es XY-proyectable. De hecho, se verifica que U =

{

( , , )x y z ∈\3: ( , )x y ∈E, z ( , )1 x y ≤ ≤z z x y2( , ) ,

}

donde z x y1( , )=0,

2 2( , ) 1

z x y = −y y E:=

{

( , )x y ∈\2:x≥0, 0≤ ≤y 1, 1≤ + ≤x y 3 .

}

De esta forma,

2

1 1 3

2 2

0 0 1

1

2 2

2 2 2

0 0 0

2

0

volumen( ) 1 1

sen

2 1 2 1 sen cos 2 cos

cos 1 cos 2

2 .

2 2

y y

U E E y

U dxdydz dz dxdy y dxdy y dx dy

y t

y dy t tdt tdt

dy tdt

t dt

π π

π

π

− −

−

⎡ ⎤ _{⎡ ⎤}

= = ⎢ ⎥ = − = _⎢ − _⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

⎡ ⎤

= − =_{⎢ ⎥}= − =

=

⎣ ⎦

+

= =

∫∫∫

∫∫ ∫

∫∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

EJEMPLO. Consideremos ahora el recinto Ω acotado inferiormente por el paraboloide de ecuación

2 2

3 4

z+ =x + y y superiormente por el elipsoide de ecuación x2+4y2+z2 =9. Vamos a calcular la integral z dxdydz.

Ω

{

3 2 2 2 2

}

( , , )x y z :x 4y 3 z 9 x 4y . Ω = ∈\ + − ≤ ≤ − −

Se trata de una región XY-proyectable, siendo z x y1( , )=x2+4y2−3 y

2 2

2( , ) 9 4

z x y = −x − y con dominio de definición D que está formado por los puntos ( , )x y tales que z x y1( , )≤z x y2( , ).

Pues-to que

2 2

2 2 2

3 4 , 9 4 ,

z x y

z x y

⎧ + = + ⎪

⎨

− = +

⎪⎩ tenemos que z x y1( , )=z x y2( , ) cuando

2

3 9

z+ =z − y esto último se ve-rifica si z= −3 o z=2. Por tanto, z x y₁( , )≤z x y₂( , ) siempre que − ≤ ≤3 z 2. Para z= −3 obtene-mos el punto (0, 0, 3)− y para z=2 obtenemos la ecuación x2+4y2 =5. Todo esto nos dice que el dominio común de z x y1( , ) y z x y2( , ) es conjunto

{

}

2 2 2

( , ) : 4 5 .

D= x y ∈\ x + y ≤ Ahora podemos calcular la integral

(

)

(

)

2 2 2 2

9 4 ₂

2 2 2 2

4 3

1

9 4 4 3 .

2

x y

D x y D

z dxdydz zdz dxdy x y x y dxdy

− −

Ω + −

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ = − − − + −

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ ∫

∫∫

Para calcular esta integral doble hacemos el cambio de variable

cos ,

1

sen , 2

x r

y r

θ θ

= ⎧ ⎪ ⎨ ₌

⎪⎩ cuyo determinante

jacobiano es . 2

r

Además, ( , )x y ∈D equivale a r≤ 5. Por consiguiente,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 2 2 2

2 5 ₂ 2 5

2 2 3 5

0 0 0 0

1

9 4 4 3

2

1 1 1 125

9 3 5 .

2 2 4 24

D

z dxdydz x y x y dxdy

r r rdr d r r dr d

π π

θ θ π

Ω = − − − + −

⎡ ⎤

⎡ ⎤

= _⎢ − − − _⎥ = _⎢ − _⎥ =

⎣ ⎦ _{⎣ ⎦}

∫∫∫

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

EJERCICIO 1. Calcula la integral de ( , , )f x y z =xy+2z en U: [0,1] [1,3] [ 1, 2].= × × −

EJERCICIO 2. Determina todos las posibles formas de integración iterada para calcular la integral triple de una función ( , , )f x y z en el tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1,1, 0), (0,1, 0) y (0,1,1).

EJERCICIO 3. Dibuja las regiones de integración de las siguientes integrales iteradas: (1)

2 1 1 1

1 0

. y

x

dz dy dx

−

−

⎡ ⎡ ⎤ ⎤

⎢ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

(2)

2 1 0

0 1 0

.

y

dz dy dx

−

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Escribe las diferentes integrales iteradas equivalentes de cada una de ellas y calculas las integrales.

EJERCICIO 4. Calcula el volumen del sólido limitado por los paraboloides de ecuaciones

2 2

3

z=x + y y 2 2

8 .

z= −x −y

EJERCICIO 5. Calcula el volumen del sólido del primer octante limitado por los planos

EJERCICIO 6. Sea V el sólido limitado por debajo por la parte superior del cono 4x2+4y2 =z2 y,

por encima, por la esfera x2+y2+z2 =2 .z Calcula la integral (1 ) . V

x dxdydz

+

∫∫∫

EJERCICIO 7. Considera el sólido V =

{

( , , )x y z ∈\3: 4,x2+y2+z2 ≤ x2+y2 ≤1,z≥ y

}

. Calcula

su volumen.

EJERCICIO 8. Sea V el trozo de la esfera unidad limitado por el cono z2 =(x−1)2+y2 en el octan-te positivo. Calcula 2 2 .

V