1
2 2 12 24
3 3 3
Fracciones
Cuando estudiamos el conjunto de los números naturales ( IN ), vimos que era necesario extender dicho conjunto a otro más amplio que nos permita efectuar la resta o sustracción para todos los casos, apareciendo entonces el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS (ZZ).
Pero ahora se nos presenta otra dificultad, al tratar de efectuar ciertas divisiones de números enteros, como por ejemplo:
¿Cómo divido una deuda de
S/.150 en 18 cuotas? ... 150 18
El denominador 6, representa la cantidad de partes iguales en que se ha dividido la UNIDAD.
El numerador 5, representa la cantidad de partes que se ha tomado de la unidad.
La fracción como cociente
Queremos repartir dos tortas entre tres niños en partes iguales, a cada uno le corresponde 2/3 de la torta, esto significa que la fracción 2/3 es el cociente de dividir dos entre tres; es decir:
2 ¿Cómo divido una cuerda de
cinco metros en dos partes iguales? ... 5 2
¿Cómo divido una torta en
dos partes iguales? ... 1 2
2 3 = para cada niño 3
En todos estos casos anteriores no encontramos solución en el conjunto de los números enteros, ante esta situación surge la necesidad de ampliar dicho conjunto a otro que en adelante llamaremos el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES que lo reconoceremos por la letra
Q
I
. La fracción como operador
“La mitad”, “la tercera parte”, “la cuarta parte”, etc., son nombres de operadores que fraccionan. Así:
¿Qué es una fracción?
* 1 2 de 8 1 8 8 4 2 2
Una fracción es una división indicada de dos números enteros. En tal división, el divisor es diferente de cero.
* 1 de 15 3
3
1 15 3
3 20 a
Es decir: b , donde: b 0
* de
5 20 5
a
Observación: La fracción “
b ” es un operador que Además “a” y “b” son los términos de la fracción y reciben
el nombre de NUMERADOR y DENOMINADOR respec- tivamente.
multiplica por “a” y divide entre “b”, también se le conoce como “a” por “b”.
Ej.: El 2 por 3 de 12 es: 12 8
Algunos significados de fracción
La fracción como parte de la unidad
Si dividimos un papel en seis partes iguales y pintamos cinco de dichas partes, entonces toda la parte pintada del papel la representamos por 5/6
5 6
Comparación de una fracción con la unidad
Fracción propia
Se llama así cuando el numerador es menor que el denominador, estas fracciones son menores que la unidad.
+
Fracción impropia
Se llama así cuando el numerador es mayor que el denominador, estas fracciones son mayores que la unidad.
Ejemplo: De un pastel no podemos servirnos las 5/4
partes, entonces tomamos dos pasteles así:
Cociente = 5; es la parte entera
Residuo = 2; es el numerador de la parte fraccionaria
Divisor = 3; es el denominador de la parte fraccionaria
Luego:
1
7 2 3 = 3
Observación: Si el numerador es igual al denominador,
la fracción es igual a la unidad.
Ejemplo: De un pastel tomemos las 4/4 partes.
¿Cómo transformamos un mixto a una fracción impropia?
Para efectuar esta transformación, multiplicamos el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y a este producto le sumamos el numerador obteniendo así el numerador de la fracción buscada. El denominador es el mismo.
Del ejemplo anterior:
Transformación a mixtos
* Transformar
+
2
3 a fracción impropia:
Llamamos números mixtos a una forma de representar
las fracciones mayores que la unidad. Así: 2 3 = 3 5 3 2 17
3
1
2 es un número MIXTO,
donde: la PARTE ENTERA es
1 la PARTE FRACCIONARIA es
2
Fracciones equivalentes
Dos fracciones:
a y c
b d
Este número MIXTO puede ser desdoblado también así: + 12
Entonces, también es cierto que:
son equivalentes, si se cumple que:
ad = bc
Ejemplo:
1 = 1
2 2
3 9
5 y 15
3 9
son equivalentes
¿Cómo transformamos una fracción impropia a número mixto?
5 = 15 porque: 3 15 = 9 5 45 = 45
Veámoslo en un ejemplo:
* Transformar 17/3 a mixto.
Dividimos el numerador entre el denominador
17 3 15 5
2
Fracción irreductible
Si los términos de una fracción tienen como único divisor común a la unidad, dicha fracción es irreductible o irreducible.
Ejemplo:
Simplificación de fracciones
Significa transformarla en otra equivalente y a la vez
Transformando las fracciones a denominador común
* Ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor: irreductible. Para lograrlo dividimos sucesivamente los
términos de la fracción entre sus divisores comunes hasta lograr una fracción irreductible.
24
5 2 9 ; 5
7 y 12
Ejemplo: Simplificar 180
2 2 3
24 12 6 2
Paso 1: Hallamos el m.c.m. de los denominadores:
m.c.m. (9, 5, 12) = 180 =
180 90 = 45 = 15
2 2 3 Paso 2:
5 100 2 72 7 105
Relación de orden
Regla de productos cruzados
9 180 5 180 12 180
* ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?
Paso 3: Ordenando de acuerdo a los numeradores:
7 3 ; 9 5
Hacemos: 72 100 105< <
35 = 7 9
y como: 35 > 27
3 = 27
5
180
2 < 5
180
5 9
180
7 <
12
7 3 entonces: >
9 5
Problemas para la clase
Bloque I
1. En las siguientes figuras colorea la parte correspondiente a la fracción referida:
e) ...
3. Calcular: 3
a) 4 b) 5 8
a) los 5 de 32 f) el 5 por 7 de 21 8
3 c) 8
b) los 2 de 12 g) el 2 por 11 de 33 3
2. Escribe la fracción que representa la parte sombreada
en cada caso: c) la tercera parte de 51 h) la mitad del 3 por 8 de 48
a) ... b) ...
4 d) los
9 de 63 i) el 4 por 5 de 20
c) ... d) ... e) los 2
20 7
23 5
13 9
9 7
2 d) 7
17 137
5 f) 3
4. Escribe como mixto las siguientes fracciones: 12 10
e) 18 15 f)
8 a) 5
13
11 b) 7
15
1 g)
9
13
117 h)
c)
8. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: e)
141 103
a) 14 ; 9 y 7
17 13 10 b)
3
; 3 y 3 5 7 10 g) 11
78 i)
25
h) 4
51 j)
5
c) 4 ; 9
e) 2 ; 3
y 3 8 10
3 ; 4 y 5
d) 3 ; 4
4
; 3 y 4 5 5 7
5. Escribe como fracciones los siguientes mixtos: 3 4 5 6
1 a) 3
7 1 c) 4 5
1
2 b) 7
3 2 d) 2 7
1
Bloque II
1. Calcular 7 2 de 2 604
e) 5 9
2 g) 21 3
1 i) 19
3
f) 13 2
2 h) 18 7
2 j) 37
3
a) 744 b) 720 c) 644
d) 250 e) 764
2. ¿Cuál es el número que deberíamos escribir en el casillero para que la igualdad sea cierta?
6. Simplificar las siguientes fracciones: 2
9 de = 46
4 a)
40 36 c) 180
72 e)
96 24 g) 180
18 i)
300
75 b) 100
16 d)
64 64 f) 360
253 h) 69
768 j)
512
a) 107 b) 207 c) 117
d) 213 e) 111
3. ¿Cuál es el número que deberíamos escribir en el casillero para que la igualdad sea cierta?
de 143 = 26 11
a) 1 b) 5 c) 3
d) 2 e) 4
7. Escribe el signo “<”; “>” o “=” según corresponda:
4. Señalar la fracción menor:
3 5
a) 5 8
11 10
c) 24 13
3 2
b) 51 33
10 11
d) 17 13
5
a) 3 b)
2
d) 11 e)
2 1
7 c) 4
a) S/.103 b) 83 c) 97
d) 91 e) 102
5. Si simplificamos una fracción, obtendremos 1/3. Si la
suma de sus términos es 28, calcular su diferencia. 7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor que 1/6?
a) 10 b) 14 c) 15
d) 16 e) 18
5 a)
7 2
3 b)
19 5
42 c)
43
6. Al simplificar una fracción obtendremos 2/5. Si la diferencia de sus términos es 12, encontrar la suma de
d) 3 e) 29
ellos. 8. Los 4/7 de la propina de Luis equivalen a S/.52. ¿Cuánto
es la propina de Luis?
a) 28 b) 17 c) 22
