Algunos resultados sobre cohomología de las variedades kählerianas

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(1)Algunos resultados sobre cohomología de las variedades kählerianas Juan Girbau Badó. ADVERTIMENT. La consulta d’aquesta tesi queda condicionada a l’acceptació de les següents condicions d'ús: La difusió d’aquesta tesi per mitjà del servei TDX (www.tdx.cat) ha estat autoritzada pels titulars dels drets de propietat intel·lectual únicament per a usos privats emmarcats en activitats d’investigació i docència. No s’autoritza la seva reproducció amb finalitats de lucre ni la seva difusió i posada a disposició des d’un lloc aliè al servei TDX. No s’autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant al resum de presentació de la tesi com als seus continguts. En la utilització o cita de parts de la tesi és obligat indicar el nom de la persona autora.. ADVERTENCIA. La consulta de esta tesis queda condicionada a la aceptación de las siguientes condiciones de uso: La difusión de esta tesis por medio del servicio TDR (www.tdx.cat) ha sido autorizada por los titulares de los derechos de propiedad intelectual únicamente para usos privados enmarcados en actividades de investigación y docencia. No se autoriza su reproducción con finalidades de lucro ni su difusión y puesta a disposición desde un sitio ajeno al servicio TDR. No se autoriza la presentación de su contenido en una ventana o marco ajeno a TDR (framing). Esta reserva de derechos afecta tanto al resumen de presentación de la tesis como a sus contenidos. En la utilización o cita de partes de la tesis es obligado indicar el nombre de la persona autora.. WARNING. On having consulted this thesis you’re accepting the following use conditions: Spreading this thesis by the TDX (www.tdx.cat) service has been authorized by the titular of the intellectual property rights only for private uses placed in investigation and teaching activities. Reproduction with lucrative aims is not authorized neither its spreading and availability from a site foreign to the TDX service. Introducing its content in a window or frame foreign to the TDX service is not authorized (framing). This rights affect to the presentation summary of the thesis as well as to its contents. In the using or citation of parts of the thesis it’s obliged to indicate the name of the author..

(2) JUAN GIEBAU. ALGUNOS SOBRE DE. R E S U L T A D O S COHOMOLOGIA. LAS. V A R I E D A D E S. K A H L E R I A N A S. DEPARTAMENTO DE.GEOMETRÍA Y' TOPOLOGÍA UNIVERSIDAD DE BARCELONA. 1971.

(3) Memoria redactada para obtener e l grado de Doctor en Ciencias, Sección de Matemáticas por l a Universidad de Barcelona.. Juan Girbau. yo Bo. E l Director de l a Tesis. José Vaquer. Barcelona,30 de A b r i l de 1971.

(4) 1 I N T H O D U C C I O N. En esta introduooión, después do un brevo' resumen de los antecedentes inmediatos de nuestro trabajo, damos los enunciados de l o s r e s u l tados de esta Tesis y a l a vez l o s situamos en e l maroo de l o s ya conocidos. Sea W una variedad kahleriana, compacta, de dimensión compleja n. Sea. E. ¥. un fibrado de línea, complejo, holomorfo. Designemos por. O^(E) l a primera clase de Chem de E, Designemos por S i (E) e l haz de gérmenes do p-formas holomorfas sobre W, a coeficientes en E, Dada una 2-forma antisimétrica ]f de tipo ( l , l ) sobre W, llamaremos simetrizada de y 2-foxma simétrica. eilf). definida por: s(/)(X,Y) -. X{X,JY),. donde J es. e l operador que da l a estructura compleja sobre ¥. Se dice que (respectivamente o ( E ) ¿ 0 ) d i existe m. representante ye. la. o^(j^)<. O. O^{E) t a l que. s ( y ) es tina forma cuadrática estrictamente definida negativa (respectivamente, definida negativa en sentido, no ostrícto) en todo punto de "Sí. Análogamente se defino O^(E) > O y C ^ ( E ) ^ 0. Akizuki y Nakano f l ] demostraron e l siguiente resultado: Teorema de Akizuki-Uakano,- Si o^(E),< O, entonces se v e r i f i c a H^(W,JZ (E)) « O, para. p-+-qá n-1.. Anteriormente Kodaira habia obtenido uno de sus más famosos teoremas ¿.6]: Teorema de Kodaira.- S i O^(E®K(W)'*') > O, donde K(w) tí. indica e l. ^. fibrado canónico de W, entonces H (¥, J2. (E)) = O, para 0 < q $ n . Puede demostrarse que cuando en e l teorema de Akizuki-líakano se toma. p =0. se obtiene un resultado equivalente a l teorema de Kodaira.. Si en éste se toma como E e l fibrado t r i v i a l se obtiene:.

(5) 2. Teorema de Bochner (c^J,teorema 6). S i c^(w)> O,enton-. ces h°'^-h^'°-0,para 0<pí:n,donde h^'^^-dira H^(W,rL^(') )). ( A in-. dica e l fibrado t r i v i a l ) . Bochner había enunciado este resultado con l a hipótesis R> O,donde R es e l tensor de Ricci,en lugar de c^ (>}/)> O. Todos estos teoremas son falsos s i se sustituyen en cada uno de ellos,las hipótesis,por las siguientesi c^(E)^0,en e l primero, o^(E®K(wr)^ 0,en e l segundo,y c^(w):^0,en e l tercero. E l l o puede probarse con ejemplos fáciles. ¿Qué resultados pueden obtenerse con este tipo de hipó'. tesis? Hay que poner de relieve que c^(w)> O vina variedad algebraica (Kodaira),mientras. implica que W es. que o^(w);;^ O no implica. que W sea algebraica.Saltar pues de l a hipótesis c^(w)> O a l a h i pótesis c^(w):5'0 equivale a s a l i r s e del marco de las variedades a l gebraicas . Lichnerowicz ha demostrado e l siguiente resultado C. 3 que. generaliza e l teorema de Bochner: Teorema de Lichnerowicz.-. (a) S i c^(w)^0,toda p-forma. holomorfa que se anule en un ptinto es idénticamente nula,y además , p,o , o,p ^ ,nv h =h (p) ,para o < p $ n . (b) S i c^ (w)> O y en vm punto de W l a desigualdad es esp.o Ofp tricta,entonces h «h «iO,para 0<pí:n. Enunciemos ahora los resultados que obtenemos en e l presente trabajo : Teorema l . - S i existe un representante l a forma cuadrática pRestrictamente. X. e C,(E) t a l que. traza s(V")g^O, y en un punto de W es. positiva,entonces. H°{w, XÍ/'(E))=0.(S indica e l ten-.

(6) 3 sor de R i c c i y g l a métrica) Corolario.-Si R>0. y en un punto de W es estrictamente. positivo,y s i traza de C ^ C E ) ^ O,entonces H°(W, ÍI?(E))=0. Teorema 2.-Si existe un representante ^ Í C ^ ( E ) t a l que pR_ i traza B{V)S ¿0,y en un punto de W es estrictamente negativa, entonces T^(E*)=0,donde T^(E*) indica e l espacio vectorial de los p-tensores holomorfos a coeficientes en E*. Corolario.-Si R ¿ O ,y en un punto de W es estrictamente negativo,y s i traza de c., (E) 3> O,entonces T^(E*)'»0. Teorema 3»-Si W tiene dimensión compleja n;5'2,y C ^ C E ) ^ O con rango de O^(E):^ 2 (rango complejo,es decir rango real:^4)en todo piante de W,entonces H''(W, JCL^ÍE) )«»0. E l teorema 3 puede aplicarse para calcular deficiencias de fibrados: *. S i S es una subvariedad analítica no singular de W,de d i -. mensión compleja n-1,y. E. indica l a restricción de E a S,Kodaira y. Spencer introducenc73 e l concepto de deficiencia de E con respecto S de l a siguiente. manera:. Sea r l a restricción. X)^(E). —•. jn?(E ).Se define. l a deficiencia def(E/s) (Se lee deficiencia de E con respecto S) por l a fórmula : def(E/s)=dim H°(S, rL(Eg))-dim r,H°(w,. SÍ{E)). Se v e r i f i c a siempre: def(E/s)^dim H''(W, XL ( E (E)^sV )) ,donde {s] indica e l f i brado de l i n e a asociado a l divisor determinado por S, Nosotros ,como corolario del teorema 3>obtenemos: Teorema 4 «-Si l a dimensión compleja de W es mayor o igual que 2,y s i c^(E)á.O,con rango de o^{E):^2 en todo punto de W,entonces se v e r i f i c a : def(E/s)Bdim. H''(W,JO?(E®{S\*))..

(7) 4. Obtenemos también: Teorema 5«-Si C^(e)<: O,con rango de C^{e). constante,igual. a k,sobre W,entonces H^(W,í1.°(e))'=0 para 0$q<k-'1 . Cuando k=:n este teorema coincide con e l de Akizuki-Nakano para p«O.El teorema 5 puede enunciarse de esta otra manera: Corolario.-Si c^ (E ®K(w)* ) O,con rango de c^(E®K(wr) constante igual a k,sobre W,entonces #(W,rL°(E))=0 ,para n-k<q<n. Si k«n,este teorema coincide con e l de Kodaira.Caso particularmente interesante resulta a l considerar como E e l fibrado t r i v i a l . S e obtiene entonces: Corolario ."Si c^(w)^0,con rango de c^(w) p«o o.p a k,sobre W,entonces h. oh. constante igual. =0 para n-k<p<n.. Cuando k=n este resultado coincide con e l teorema de Bochner. Teorema 6.-Si W es,"una variedad de Hodge (es decir,algebraica) sumergida en un espacio proyectivo complejo,y s i R es e l tensor de R i c c i de l a métrica de W inducida por l a métrica de Pubip.o o,p n i , s i R:>0 se v e r i f i c a h. =h. =0,para n-k<; ps n,donde k es e l má-. ximo de todos los rangos de R en los diferentes puntos de W. Son también de c i e r t a importancia,aunque no nos hemos atrevido a bautizarlos con e l nombre de teoremas,los resultados que en e l texto vienen enunciados como proposición 11 y proposición 12. Conjeturamos que los teoremas 1 y 2 siguen siendo ciertos sustituyendo en l a s hipótesis e l tensor de Ricci,por \m representante cualquiera de o^(w).Estos resultados se obtendrían automáticamente de ser c i e r t a l a famosa conjetxira de Calabi s Sobre una variedad kShleriana compacta,dada una forma cerrada de tipo (. ) «¿c^g' dz"* A dz? ,cohom61oga a, ¿KQ-. dz**Adz^,. existe otra métrica de KShler cuyo tensor de R i c c i es(c^_).Esta.

(8) 5 conjetura de Calabi data de 1957. y continua abierta. Nuestra conjetura. referente a los teoremas 1 y 2 es más débil. Algunos de los resultados expuestos en el.presente trabajo fueron envmoiados en publicaciones anteriores. £3} , £ 4 ] ,. Hemos empleado, s i n ningún reparo, coordenadas en nuestros cálculos y toda suerte de índices s i n preocupamos de que tomaran vina apariencia que hoy en dia se ha venido en llamar "no intrínseca". Sin embargo l o s resultados que obtenemos son "intrínsecos". Los cálculos son siempre pesados, pero necesarios y cada cual l o s hace a su manera. A f i n de cuentas dice Antonio Machado que " . . . l a verdad es l o que es y sigue siendo verdad aunque s© piense a l revés".. lío me queda sino agradecer a máis profesores José Teixidor y José Vaquer, a quienes debo gran parto de mi formación matemática, su ayuda de todo orden, Graoias a ellos entablé contacto con e l profesor André Lichnerowicz, a quien agradezco sobremanera e l interés que se ha tomado en mi trabajo, sus orientaciones y l a s conversaciones que hemos sostenido sobro Geometria do l a s variedades kahlerianas..

(9) 6. CAPITULO I : P R E L I. MINARES. Trabajaremos sobre una variedad kahleriana,compacta,W, de dimensión compleja n.Dadas dos formas V y sobre W, de signaremos por. del mismo tipo,. l a contracción de V y «^^. res-. pecto l a métrica.La razón de adoptar esta notación es que (. ,. ). constituye un producto escalar (local,es decir en cada punto)" de formas.Obtenemos un producto escalar global de formas <. ,. >. por integración sobre toda l a variedad :. <. 4*,. •= J (^Lf. i 'Z indica e l elemento de volumen). Designaremos por d l a diferencial exterior,que se descompone en d'+d".Designaremos. por S , S'y S. los operadores tras-. puestos de d,d' y d"respectivamente,mediante e l producto escalar de formas < , >. .Se v e r i f i c a ^ «. l a laplaciana de de Rahm ,: lerianas se v e r i f i c a : por. y por. .Designaremos por ¿\. ¿ S i df+S^d.En las variedades kSh-. A =2(d'S^'+. A' »2(d'S"*+ S' d' ). ?. d* ) B 2 ( d " ^ ' ' d " ) .Designaremos. í^'^2{d". S"d").Se tiene pues. = ¿v[ o ¿N^' , (Esta igualdad es especifica de las variedades kfíh— , lerianas.Para las fórmulas explícitas de los operadores. y. A. remitimos a l l i b r o de Lichnerowicz C ^ 11 • Sea E • - > W. un fibrado de linea,holomorfo,sobre W,es. decir un fibrado vecorial,con f i b r a C,dado por funciones de transición holomorfas.El grupo estructural de E es C* (grupo multiplicativo de los números complejos no nulos).Designaremos por E* e l f i brado dual de E.Si E viene dado por funciones de transición j^f^^. \ sobre un recubrimiento (u. \ de W,E" vendrá dado por las funciones.

(10) 7. de transición Dar una estructura herraitica sobre E consiste en asignar sobre cada f i b r a Vc'^x) un producto" escalar hermítico do diferenciablemente de x,en e l sentido de que s i dos secciones diperenciables de E , l a función. dependieny f. son. V ( x ) , V ( x ) ) depen-. de diferenciablemente de x.En términos de trivializaciones locales y funciones de transición,una estructura E consiste en vina familia CL » real,positiva sobre. ^. hermítica,positiva,sobre. ,donde cada. es una función. de modo que t. Siempre es posible dar una estructura hermitica sobre E.Designemos por. X. l a forma diferencial de tipo ( 'í ,'/ ) sobre W definida so-. bre cada U. por :. X- - \P7 J'*^"-^. .Se v e r i f i c a que ^. es vm. representante de l a primera clase de Chern de E(que designaremos por c,(E)). E l fibrado canónico de W,que designaremos por K(w),es e l fibrado de l i n e a dado por e l sistema de fxanciones de transición de jacobianos. i. o dicho de otra manera,el fibrado de linea asociado a l a clase canónica de divisores. La primera clase de Chern de l a variedad W,que designaremos por c^(w),es por definición C^ÍKCW)*),es decir - C ^ ( K ( W ) ) . S i designamos por R e l tensor de R i c c i de W,la forma d i f e r e n c i a l ¿^E^_ d z V d z ^. es xin representante de c^Cw).. Designaremos por sCy) (simetrizada de JT ) l a forma simét r i c a definida por: s(y)(X,Y)-•5r(x,¿rY) ,donde J es e l operador que.

(11) 8. da l a estructura compleja de W.Diremos que C^(e)< O (respectivamente C ^ ( e ) ¿ 0 ) s i existe un representante XcC^(e) t a l que s(ír) es una forma cuadrática estrictamente definida negativa (respectivamente, definida negativa en sentido no estricto)en todo punto de W.Análogamente se define C^(e)>0 y C^(e)> O .Estas definiciones,aunque dependan de un representante son intrínsecas de l a clase de Chern en e l sentido de que no pueden e x i s t i r en c^(e) un representante positivo y uno negativo a l mismo tiempo.Para e l l o remitimos por ejemplo a l artículo de Lichnerowicz C 9 D • Designemos por T e l fibrado. A^T ® / ^ T ® E. W e l fihrado tangente.Consideremos. como fibrado diferenciable.Designaremos. P03^ XI?''^(e) e l haz de gérmenes de secciones diferenciables del fibrado anterior .Una sección global del haz X1.''^*^(e) es,por d e f i nición,una forma de tipo (p,q) a coeficientes en E.Una t a l forma puede darse por un sistema. ] de formas de tipo (p,q). bre cada U. ,verificando l a condición :. = :fi. • V-. S^- ,sosobre U.HU. •. A las formas a coeficientes en e l fibrado t r i v i a l las l l a maremos en adelante " s i n coeficientes". Para las formas de tipo (p,q) a coeficientes en E,definimos los operadores á\_ ,d" , %' y hermitica £«.=|<x¿^. (relativos a l a estructura. del fibrado E) de l a siguiente manera: sobre ca-. da U_. se define :. Con estas definiciones se v e r i f i c a que d'^^ ,d" <P , S'f y S ^ V son formas a coeficientes en E.Comprobemoslo por ejemplo para d ^ V :. pero este último término es nulo a causa de que las f son holomorkj^.

(12) 9. fas.Así pues t. como queríamos demostrar. Para las formas a coeficientes en E definimos e l producto escalar local relativo a l a estructura hermítica .<x= poniendo sobre cada. ( f»^)»» ®3. de E,. :. función s i n coeficientes puesto que». Definimos e l producto escalar global relativo a l a estructvira hermítica a=(<K.^-^de E,de l a siguiente manera Í. donde. es e l elemento de volumen de W. Si f. es una forma a coeficientes en E y 4-' es una forma. a coeficientes en E ,se define e l producto exterior. ^ /\ V. de ma-. nera natural,como una forma "sin coeficientes". Designemos por s i n coeficientes por: ^oí.. ^. e l operador definido sobre las formas =i(o<)'^ . ( i ( ),indica contracción inte-. r i o r ) .Se tiene : J T L ^ ' ^ C - / ) e l fibrado trivial).Designemos aplicar primero ^. ^¿''^'''"^(-^ ) (¿onde ^ indica por ^. e l operador que consiste en. y luego conjugar.Definamos :. _Q?'^(E) -^-^_fñ"^'"""'^(E) ,de l a siguiente manera: ^X- = -f ^ ^-1- «Se v e r i f i c a : J. j. d. r. Mí/ Se comprueba también fácilmente que :.

(13) 10. Podemos definir ahora las dos laplacianas ( relativas a l a estructura hermitica a.^ {cK^\áe E ) :. Guando E es e l fibrado t r i v i a l y cians son las laplacianas A ' y A " se v e r i f i c a. A". £^ =. a.= //. estas dos l a p l a -. que hemos definido antes^y. Por ser l a variedad kahleriana.Pero. a'o^ y A ' L no coinciden .Más adelante calcularemos su. en general. diferencia en términos de l a primera clase de Chern de E. Las laplacianas A*o^ y. son operadores estrictamente. positivos en e l sentido siguiente! < aU.V/ y las igualdades sólo se alcanzan cuando f. <A'j^V, V > es idénticamente nula.. En efecto,se tiene t <. t:^,. ?. ¿ < ^1.?, «:¿L9;>-+- ¿ <c ^ V, S V >. S i designamos por_OLf(E) e l haz de gérmenes de p-formas holomorfas. (de tipo (p,0)) a coeficientes en E,y por H^**^(e) e l. espacio vectorial de l a s formas de tipo (p,q) a coeficientes en E, que son. A'^armónicas,se v e r i f i c a e l siguiente isomorfismo,debido. a Hodge,Dolbeault y Kodaira : hP»^(e) » H'l(W,ja?(E)). Una demostración de dicho isomorfismo puede encontrarse en e l l i bro de Hirzebruch laplaciana. Este resultado pone en evidencia que l a. A*l^. es muy importante.Por esta razón es muy empleada. en l a l i t e r a tura,mientras que l a laplaciana A'c^. apenas se usa. Gran parte del éxito del presente trabajo consiste en emplear conjuntamente las dos laplacianas 2ü'I_y. •. Terminemos este capítulo con algunas. notaciones.Siempre. ^ o..

(14) q.ue empleemos índices latinos supondremos q.ue varían de 1 a 2n,mien tras que cuando empleemos índices griegos supondremos que varían de 1 a n.Si i es un índice,T inicará i+n s i is:n,ó bien i - n s i i >n,Siempre que empleemos coordenadas reales en una carta l o c a l U,(xí.,x'",y''..,y'^). supondremos que verifican. ^(^•<)=!|^». Designaremos por z°'= x'*-»-tRiy** , y por z**» x°*^—y** .Siempre que empleemos coordenadas de un. tensor o de una forma con índices g r i e gos^ las supondremos referidas a (z**',z'')..

(15) 12. CAPÍTULO I I : CÁLCULOS REPERNTES A LAS LAPLACIANAS A'^ Y. Al. Designemos por P l a forma de Kahler de W,definida por: P(X,Y) = g( JX,Y) ,donde g es l a métrica.Designaremos por J\, y L los operadores: ys. =i(P) (contracción i n t e r i o r por P),L=e(P) (producto exterior por P).Los operadores yv y L transforman formas a coeficientes en E,en formas a coeficientes en E,y son traspuestos uno del otro respecto del producto escalar. < ,. Proposición l.-Se v e r i f i c a n las siguientes identidades :. (1). J'UL-^ciLc¿"=-^. ^crl. (2) K r - A ' ' A . - ' ^ ^. (4). S'i::. (5)^. c. L-L^::. donde Jf viene dada sobre cada U. por: V; = ^ Demostración: (4)»(5) y(6) y (3). respecto e l producto escalar. =. J^J"A¡¡cl'. v^eij. .. son las traspuestas de (l),(2) <. ^ •:>^ . (2). y(3). son las mis-. mas que para formas "sin coeficientes" y se suponen conocidas.Remitimos,por ejemplo,al lector a l l i b r o de Lichnerowicz C€3.Basta puoo demostrar (l),En cada carta l o c a l U_j so tiene :. Por otro lado:. Sumando,y teniendo en cuenta que. o sea:. ^"Jl,-*-JJ^ J")<(5 = -\p. «0,3e tiene:. JiCír)^' »como queríamos demostrar..

(16) Proposición 2.-. Se v e r i f i c a : ¿^'^ - A ' l = ¿ ( A. -e-^. Demosrtación: De (2) se obtiene :. Sximando:. (7) De (6) se obtiene:. Sumando:. '. De (7) y (8):. =. I/T; ( A ^ ( v ) -. JLCOA^. como queríamos demostrar. CÁLCULO LOCAL. DE. C^'^Y. ¿\'L : Situémonos en una carta l o c a l. U, fija.Para simplificar l a notación escribiremos. Y. en lugar de. • y ex. en lugar de o. • .Introduzcamos algunas notaciones.Dado xm tensor simétrico t,covariante,de tipo ( W ,),designaremos por Q'(t). y Q"(t) los operadores que actúan sobre l a s formas. po (p><l) de l a siguiente manera:. Designaremos por K e l siguiente operador:. de t i -.

(17) 14. donde R. son las componentes del tensor de curvatura. Antes de calcular laa laplacianas /¡l^'^ y Z\'l^ necesita-. mos algunas expresiones de l a laplaoiana ordinaria A. (para las. formas s i n coeficientes).Es bien conocida l a siguiente expresión!. donde (k) indica q.ue e l índice k está situado en e l lugar s. s Fácilmente puede verse que t. Pero , - V ^ V ^. = -V^Vr-. V, =: - e. ^ ( V ^ V r " V-'V^). y de l a identidad de R i c c i se deduce fácilmente que:. Se tiene pues l a siguiente expresión de ¿i : A y = -^ ^^Vr. <?"Ci^^ V + ^ K. ^. Análogamente puede obtenerse esta otra expresión:. Pasemos ahora a las laplacianas Proposición 3«-Se v e r i f i c a : •4-¿. A'o^ y Z^'^ que nos ocupan. = --2 7"^^;^ - ^ ("o. V^a"') ^. ^ , ,dondo H od o l tonoor do Riooi. Demostración:Se tiene : ¿i.'!, <f = -I. ií"(°<'^"(<>:"'{>))-h¿<\^"(o:'Ji"(f),. Es decir : (Al. ^ i,.............. =. -. ^ec^. v M - v ^ ( a . - ' v,,...,^,^^.^^) ^.

(18) 15. — Z>^^('^. 5....J. T...."^. .Observando ahora que l a suma del primero. y último término da l a laplaciana ordinaria. A. jse tiene:. Pero: En esta expresión de J " ^ , cuando 'vi T. _ _. /. ^ - s e obtiene e l término:. y cuando L 'T^" ' •/*». j. se obtie—. nen q sumandos iguales cuya sxuna vale:. Sustituyendo en l a expresión de. A'^f que teníamos,se obtiene:. Por otro lado,tendiendo en cuenta que s(ír)^-. ^ ' ^ ^ ^ i * ^. ,se tiene:. Comparando con (9) so tiene: ^^^^^^^^^^^. y teneiendo presente l a expresión de A. se tiene e l enunciado de l a proposición. Proposición 4.- Se v e r i f i c a :. que habíamos obtenido:.

(19) 16. Demostración:. -. f. r. «. V ' { f ^ - - ) % . ^ ^ \ - f r « C , ^ . . . ^. La suma del primero y/ultimo término de esta expresión,da l a l a p l a ciana ordinaria. A. ,Se tiene pues:. í^-'V-.v.^'í^-'U^^. - ^. (^^.«•••){£. En este último sumando,cuando X - ^ se obtiene:. y cuando /•=<5:;/'5i^—^ se obtienen p sumandos iguales cuya suma vale:. Sustituyendo en l a expresión que teníamos de. Por otro lado:. .. ,se obtiene:. ..

(20) 17. Comparando con (lO) se obtiene*. y teniendo presente que á =- --2. ^4-¿(p'CT?)-'-'2Ky. se obtiene e l enunciado de l a proposición.. FÓRJ.IULAS GLOBALES :. Si. es una forma de tipo (p,q) a coeficientes en E,de-. signaremos por A( f ). l a forma de tipo (p,q+'f ) »a coeficientes. en E,definida en cada U. por :. Proposición 3. Si f. es una forma de tipo (p,q) a c o e f i -. cientes en E,se verifica». DemostracióntSea 3 l a forma de tipo (O, 'I ) " s i n c o e f i cientes", definida sobre cada U. por: J. donde f^-'^^^'-"^Vindica. tf^-V^.--^, .. Por comodidad,cuando no haya lugar a confusión,.suprimiremos e l sub-índice j,y escribiremos mos. es. en lugar de o.j .Calcule-. ^"5:. i " t - -. j^,. y,...,,.....^ t ^ ' - v * ..

(21) 18. por otro lado,en virtud de l a proposición 3,se tiene,empleando e l producto escalar l o c a l. i. j. •. Integrando esta expresión sobre toda l a varidad y teniendo en cuenta que. *S '3 = O .en virtud del teorema de Green(. es. una divergencia),se obtiene e l enunciado de l a proposición. Si. V. es una forma de tipo (pfq) a coeficientes en E,. designaremos pop B( Y') l a forma de tipo (p+^,q) a coeficientes en E,definida en cada U. por :. Suprimiremos como siempre e l sub-indice j cuando no haya lugar a confusión. Proposición 6.- S i 'f. es una forma de tipo (p,q) a coe-. ficientes en E,se v e r i f i c a :. Demostración:Sea "% l a forma de tipo ( /í »0) s i n coeficientes, definida sobre cada U. por: J. Se tiene,escribiendo abreviadamente:.

(22) 19. Calculemos. T :. Se tiene,en virtud de l a proposición 4Í. Integrando esta expresión sobre toda l a variedad se obtiene e l eaou ciado de l a proposición. i.

(23) 20. CAPITULO I I I : PRINCIPALES RESULTADOS .. Definición.- S i P es un operador cualquiera que actúa sobre las formas de tipo (p,q) a coeficientes en!p,transformándolas en formas de tipo (p,q) a coeficientes en E,diremos que P es e s t r i c tamente positivo en un punto de W,si en dicho punto se v e r i f i c a : (P(. ) ^ O ,y l a igualdad sólo es alcanzada para las formas f. que se anulan en dicho punto.Cuando P sea estrictamente positivo en todo punto de W escribiremos P ? 0.Definiciones análogas se dan para P;^0, P<0,y P á O .. E l operador Q"(R+s(Y) )-t-K que aparece en l a proposición 5» es e l operador de Kodaira C6^3 (Kodaira l o designa por 9^'^(X') ) . Cuando este operador es estrictsunente positivo pueden obtenerse de l a proposición 5 los famosos "vanishing theorems" de Kodaira mediante e l siguiente razonamiento : Si. f es una forma de tipo (p,q) a coeficientes en E,. d'-BX^()rílca.,-]^OT ser A';,<f=o><ie l a proposición. 5 se deduce:. Por ser Q"(R-»-s(Y))+K> 0,el primer miembro es negativo y e l segundo p.-. luego ambos deben ser nulos.De l a anulación del primer. miembro y de ser Q"(R+s(5'))+K>0 ,se desprende que V. debe ser idén-. ticamente nula,por consiguiente H'^*^(E)=>0. A s i pues,de l a proposición 5 salen los teoremas de Kodaira. ¿y de l a proposición 6,qué se puede obtener? En primer lugar observemos que en l a proposición 6 f i g u r a l a laplaciana. tL^. ,pero en v i r t u d del isomorfismo de Hodge,.

(24) 21. Dolbcault y Kodaira,las verdaderamente interesantes son las formas />l'¿^arm6nicas. Sustituyendo en l a proposición 6. A'^ por A'^-t-eÍA-tCV)-A(r)A,). (En virtud de l a proposición 2),se obtiene l a siguiente proposición: Proposición 7»-Si V. es una forma de tipo (p,q) a coe-. ficientes en E,se v e r i f i c a : <. C^l'P,. V : > - ¿ <-^M. > Y\=. zC/^u). <'SC^),1^(?)^. donde ? es e l siguiente operador:. Por. e l mismo razonamiento anterior,cuando T sea p o s i t i -. vo se obtendrán otros teoremas de anulación.Pero de momento T es \xn. operador complicado.¿Cuándo T será positivo?. CÁLCULO LOCAL DEL OPERADOR T' :. Proposición 8.- Se v e r i f i c a :. donde t r s(jf) indica l a traza de l a forma cuadrática s(ír). Demostración: Probaremos quo. E l cálculo que sigue está inspirado en l a demostración del teorema de Hodge-Lepage (ver por ejemplo Lichnerowicz3,pag.215-216). Trabajaremos utilizando coordenadas reales y empleando índices latinos que varían de 1 a 2n.Designaremos por P l a forma.

(25) 22. de Kühler.Tendremos:. Los términos del segundo miembro de l a expresión anterior pueden ser de uno de los tres tipos siguientes: a) Términos en los que los índices j,k ,coinciden con J.,m.Ello puede suceder de dos maneras d i s t i n t a s : 1Q)Ó=Í. ,k=m;. 2fi) jom,k=^ .Cuando suceda lo)' aparecerán los términos :. y cuando suceda 2») aparecerán términos iguales que loa anteriores. Por tanto l a suma de todos los términos del tipo a) será:. b)Términos en los que solamente uno de los índices j,k coincide con uno de los índices ^,m.Ello puede suceder de cuatro maneras: lo)jKX,k5ííra ;2o)ó«=m,k9tí ;3o)J9íí,k»m ;4o)j?^m,k=i.Cuando suceda lo) ,k será igual a algún t.Cuando k sea igual a t ^ , t ^ , . . . t^ se obtendrán r sumandos iguales,la suma de los cuales valdrá: ,1. >.». I. t^/iWh. 'b. Cuando suceda 2o),3o) y 40) se obtendrán términos iguales a l que hemos hallado.La suma de todos los términos del tipo b) será pues:. c)' Términos en los que j y k pertenecen ambos a l a sucesión t_j,..t^ .Supongamos ó=t^ ,ket¿, obtendremos :.

(26) 23. Hay r(r--<) términos como éste,por tanto l a s\iraa de todos ellos vale:. '•/C,. <,.(/i-i)!. >n.. ' De todo e l l o se desprende q.ue :. Pero FJ^'Vjj, ^-/bz, sC^S"). Si. es una forma de tipo (p,q),poniendo r-p+q,tendre-. mos:. (Recordemos que los índices griegos varían de 1 a n y los latinos de 1 a 2n).Este último término se descompondrá en dos,según m sea un. \) ,0 m soa un 'í- .So tendrá *. Pero P--V,_, ^ f. (puesto que. - X ^ s e ^^^^ ^. ,,,)^^^. = -i^o-c). También se v e r i f i c a V. T^^^ = ^^"^^Í X<5; " " ^ / ' ^. =. ^^^^^^.

(27) 24. Se tiene pues :. E l l o concluye l a demostración de l a proposición.. RESULTADOS QUE S E DESPRENDEN DE LA PROPOSICIÓN 7 PARA LAS FOmaS DB TIPO (p,0) :. Sobre las formas de tipo (p,0),Q" y K se anulan y e l operador T queda :. Se tendrá pues :. Por. tanto e l operador T tiene e l mismo carácter que l a. forma cuadrática pRmétrica y. T. t r s(y)g ( R indica e l tensor de Ricci,g l a. un representarite de. s i pR- - j - t r s(y)g>0. C.,(E). H^'°(E). ).De aqui se desprende que. = O.No obstante este r e s u l t a -. do puede mejorarse generalizando los métodos empleados en e l a r t i culo de Lichnerovdcz C13.Esto es l o que vamos a hacer a continuación. Sobre las formas de tipo (p,o),decir que una forma es £i];;-armónica equivale a decir que es holomorf a. De signaremos por T (E ) Tsl espacio v e c t o r i a l de los p-tensores holomorfos a c o e f i cientes en E* (Llamamos p-tensor aimétrico,de tipo (p,0) ).. a un tensor contravariante,anti-.

(28) 25. Dado un p-tensor X a coeficientes en E ,designaremos por c<(x) l a p-forma a coeficientes en E|definida en cada carta l o c a l U. por: 3. Cuando no haya lugar a confusión suprimiremos,como siempre, e l sub-índice j .. c< da una biyección entre los p-tensores. a coeficientes en E * y las p-formas a coeficientes en E. Proposición 9»- XéOpCE*). <. > B(o<(x)) = O,donde B. es e l operador que aparece en las proposiciones 6 y 7» '^^X^"""'> =0. Demostración: XéaPCE"*) ^ X ^ ' - V =0. 4==^. =0. ^^X,. <^. -.>. 4^o.^^(a.-(^x,_,^^^^0. <-^"^- > B(o<(x))=0 . Proposición 10.-. i(x)^. Si XÉT^CE"*) y. (9 6H^'°(E) ,entonces. es una constante. Demostración:. i(x)^. es una función "sin coeficientes". holomorfa sobre toda l a variedad,luego es una constante. Proposición 11.-Si l a forma cuadrática pR- — toda forma. t r s{r)^>yO,. ^<Í-H''^'°(E) que se anule en un punto,es idénticamente. nula.En particular dim H^'°(E) -^(p) C Demostración: Sabemos que e l operador T tiene e l mismo carácter que l a forma cuadrática pH- ~- t r s(íf)g .Por tanto T:^0. Sea. H^'°(E).Sea. X'^ oC^^). de l a proposición 7 se deduce:. .Teniendo en cuenta que A 1 ^ = ^ V M = 0.

(29) 26. Por ser T.?0 ,ambos miembros son nulos,por tanto =0,de donde^en virtud de l a proposición 9,X ¿ L. " ^(^^é'. T^CE""). B(C<(X)). ,por tanto. constante en virtud de l a proposición. 10, y s i (? se anula en un punto esta constante será cero,por tanto Q. será idénticamente nula.Para demostrar l a segunda parte de l a. proposición,supongamos que dim. H'^*°(E)>. (p) .Sea (^^. base de H^'°(E),con k>(p).En todo punto x. 6. una. W se v e r i f i c a :. = (p) »Por consiguiente para un x cualquiera {(?a\. &±m^{tÍ'\C8Z^. -^^^. nealmente dependientes,por tanto existe una combinación l i n e a l ^. (.^)^='O.Sea Q= "¿Ui.^^. .Entonces Q. se anula en e l punto x,. por consiguiente. Q ,as£ pues se tiene una combinación l i n e a l. no t r i v i a l de. (/^^. ,en contra de l a hipótesis de que cons-. tituyan xina base.. ^. Teorema 1.- S i l a forma cuadrática pR- ~. t r s(í')g^O,. y en iin pvtnto de W es estrictamente positiva,entonces H°(W,-Q?(E) ) « = 0. Demostración:. Toda ^éH^'°(E) v e r i f i c a :. Por ser T>0,ambos miembros son nulos,por tanto. •<. T(jff). ,(2^. =. 0. Por ser T ^ O , e l l o implica que en cada punto x , e l producto escalar local de W, ^. O.Por ser T estrictamente positivo en. un punto debe anularse en dicho punto,y en virtud de l a proposición. 11, debe ser idénticamente nula.Ello concluye l a demostración del teorema.. Corolario.-Si R:^0,y en un. punto es estrictamente positivo,y s i t r c^ ( E ) ^ O,entonces H°(W,Í1?(E) ) = 0..

(30) 27. Proposicián 12.-. S i pE-. t r s (r)g¿0,todo tensor XéT^(E*). ue se anule en un punto,es idénticamente nulo y además se v e r i f i — • : dim T^(E*)^dim H ^ ' ° ( E ) . . Demostración: S i XíT^(E''),se tiene: B(c<(x))«= O,en virtud de l a proposición 9>luego se tendrá,en virtud de l a proposición 7Í <. d^o<.C%\,ui%W-Z. <-r(o<CK)^,oC()4^:> := o. Pero T tiene e l mismo carácter que l a forma cuadrática p R — ^ t r s(r)g,luego •o. O.Pero. y-O ,luego los dos términos del. primer miembro son positivos,luego ambos tienen que ser nulos,luego c<(x)é H^'°(E),y en virtud de l a proposición 10,i(x)(o<(x)) es una constante,luego s i X se anula en un punto esta constante será nula y de aquí se deduce que X debe anularse en toda l a variedad W. Para probar l a segunda parte de l a proposición basta que observemos que e l morfismo ^. TP(E-). X. —. ^. H^»°(E). >. ^{X). es inyectivo.. Teorema 2 .- S i pR- - ^ t r s(V)g^0. ,y en un punto de W. es estrictamente negativa,entonces T^(E*)=0. Demostración: S i X € T^CE**) ,se tiene:. Por ser. O,ambos términos deben ser nulos.Por-ser T. estrictamente negativo en un punto de W, o((x) debe anularse en d i -.

(31) 28. cho punto.Por tanto X debe anularse también en dicho punto,y en virtud de l a proposición 12,debe ser idénticamente nulo.. Corolario.- S i. O y en un punto es estrictamente nega-. tivo,y s i t r C^(E)> O,entonces T^(E*)=0.. RESULTADOS Q.UE SE DESPRENDEN DE LA PROPOSICIÓN 7' PARALAS FOBIIAS DE TIPO (0,q) : . •. .. Sobre las formas de tipo (0,q) los operadores Q* y K se anulan y en virtud de l a proposición 8 e l operador T toma l a siguien te expresión :. ^. Se tendrá pues:. Se desprende pues que e l operador T tiene e l mismo carácter que l a forma cuadrática qs(ir)- 'i^tr s(ír)g. Téngase en cuenta que t r B{^) » ^"'^íCif);^ ,donde i,k varían de 1 a 2n.Empleando índices griegos se tendrá pues:. Es decir: ~ t r s(y) = traza de l a forma hermítica (s(?í)^^)..

(32) 29. Después de estas consideraciones,está claro que se v e r i f i c a l a siguiente proposición (que se desprende de l a proposición. 7) : Proposición 1 3 . -. S i l a forma hermítica qs(5r)^_-(tr s(ír) J g _. >o,entonces H ° ' ^ ( E ) = H^(W,IL°(E)) » O. Supongamos ahora que l a dimensión compleja n de W e s : ^ 2 . Supongamos que c^(E)^0,con rango de C ^ ( E ) : ^ 2 en todo punto de W, es decir,que exista un representante X.é^c^(E) t a l que l a forma hermítica ( 3 ( 5 ). ) sea ¿O y rango de (s(íXr) sea. 2.Entonces,como coro-. l a r i o de l a proposición 13 se desprende e l siguiente teorema: Teorema 3.-Si W tiene dimensión compleja n ^ 2. y. C^(E)^. O,. con rango de C ^ ( E ) > 2 en todo punto de W,se v e r i f i c a H'^(V/, rL'(E))eO. Demostración: Sea x. un punto de W y tomemos en x o. "base t a l que. una o. = \,^y t a l que l a forma hermítica (s(í)^g.) se ex-. prese en dicha base de manera diagonal:. \. Los. c^ serán ^ O,para todo i.En v i r t u d de las hipótesis existirán. dos índices k,s,para los cuales c < 0,o < O.Se verificará por taniC s to: c. < c , ^ 0 . Como q=^ , 1 a forma hermítica qs(ír)-(tr's(y) será en X : o. O.

(33) Por tanto se v e r i f i c a n las hipótesis de l a proposición 13.. Aplicación del teorema 3 a l cálculo de deficiencias de fibrados :. Sea S vxia subvariedad analítica no singular de W,de d i mensión compleja n-W .Designemos por |s\ e l fibrado de línea asociado a l divisor determinado por S.Sea {p .\ un recubrimiento de W t a l que s i Sn U.. 4) j l a subvariedad S venga expresada en U'. por-. una. ecuación holomorf a s .=O.En los U. tales que SAU. 3. , ponemos. /[ .El divisor determinado por S vendrá expresado en e l recubrí-. miento {^^ \. e l sistema de funciones \ s^\>y e l fibrado de línea. |s^ vendrá dado por las funciones de transición : g. » — ¿. en U.A U. .. Consideremos l a restricción canónica _n!(E) (E. í. >. SL\E^). indica l a restricción de E a s)'.Definamos ahora una aplicación. j:f(E®(sp. i. ^ií(E). de l a siguiente manera: E l fibrado E®is\. en U.nu. tiene funciones de transición. f.,. . ( f s o n las funciones de transición de E ) .Un germen. v^é_rif(E®{sf)^ (en e l punto p) vendrá dado por su coordenada Ij^ en l a f i b r a C,en cada. U.5 p,los. { verificando:.

(34) 31. J Itefinimos l a aplicación 1 de l a siguiente manera :. Es fácil comprobar q.ue se tiene l a siguiente sucesión exacta de haces: O. ^. (E®(sn — ^ ( E ). il°(Eg). > O. Kodaira y Spencer CT-T) definen l a deficiencia de E respecto l a subvariedad. S,def(E/S),de. l a siguiente manera:. def(E/s) » dim H°(S, Xl°(E_)) - dim r^H°(W, ÍI°(E) ) .. De l a sucesión exacta anterior se desprende l a siguiente sucesión exacta de cohomologíá :. ^H°(W, ^i^)). H°(S,í\f(Eg)) — >. H'(W,XI°(E«j{sn) -^H^(W, i l f ( E ) ). Se desprende pues de esta sucesión exacta q.ue :. Podemos aplicar e l teorema 3 a esta situación y obtenemos: Teorema 4«-Sea W una variedad kShleriana compacta de d i mensión compleja n^2, E -í^-^ W un fibrado de línea holomorfo,S vina subvariedad analítica no singular de W,de dimensión compleja n-yf . S i c^(E).¿0,con rango de. C^(E)>2. en todo punto de W,entonces:.

(35) 32. def(E/s) = dim H^(W, Demostración:. (E®|sf)) .. Basta considerar l a sucesión exacta de. cohomología anterior,observando qué H''(W, r>f(E)) = O,en virtud del teorema 3. Cuando se toma E. |s]la deficiencia def(|s\/s) se llama. deficiencia característica de S. En este caso l a dimensión de H^(W, X^(Eía{s])) (= dim H^(W, ^(-1)) ) es l a mitad del primer número de Betti de Y/,es lo que en Geometria algebraica se llama l a irregularidad de W. De l a proposición 13 hemos sacado consecuencias solamente cuando q = /) .Veamos qué conclusiones podemos sacar para q > /| .. Consecuencias de l a proposición 13 para q>^ ». Para estudiar e l carácter de l a forma hermítica q s(x')^_-(tr s(ifi^)g_^ ,necesitamos e l siguiente lema: Lema 1.-. Sea W una variedad kahleriana de dimensión com-. X. forma r e a l cerrada,de tipo (-/,>/) sobre V/.Sea. pleja n.Sea. c=s(5").Se supone c ¿ 0 y rango de (c^^) constante,igual a k,sobre W.Bajo estas hipótesis exiate una métrica kahleriana G,sobre TV,de modo que en cada carta l o c a l las formas herraíticas (c^^) y ('G,g-), puedan expresarse,en una base conveniente,de l a siguiente manera:. c =. Demostración: Sea g una métrica kahleriana cualquiera sobre W.En cada punto p é W sea M. e l subespacio del espacio r e a l P tangente a W en p,T^(w),formado por los tales que c(X^,y^)^0.

(36) 33. para todo Y de T (w),es decir,el núcleo de l a forma caudrática c. p p Sea M e l ortocomplemento de M en T (w) respecto l a métrica g. P P P Definimos l a métrica G en cada punto p,poniendo: G(X ,Y ) = - c(X ,Y ) ^ p P P P. s i X ,Y 6M^ P P P >. G(X^,Y ) o P P. s i X ,y 6M P P P. g(X^,Y ) P P. G(X ,Y ) - O P P. s i X 6 M c, Y óM"^ P P P P. , . .. La d i f i c u l t a d mayor consiste ahora en ver que esta mét r i c a G es kahleriana.Para e l l o probemos en primer lugar que e l sistema diferencial que a cada pxinto p asigna e l espacio M ,es P integrable.Tenemos que probar que s i X,Y son campos,en una carta l o c a l U,tales que X ,Y (£M en todo pxinto p de U,entoñces fx,Yj éM . P P P P P Tomemos en U unas coordenadas(xí . .x^yt • « y t a l e s que J{.^^i.)= —. i. "^^J^r'^^J^. Sea Z uno cualquiera de los vectores de l a base :. Tenemos que probar que c(jTx,Y_ ,Z)'=O.La condición de que l a forma ^^^¿r- '--^Í^ ~ ~ ' ^ ^ ^ ~ \. sea cerrada se traduce en l a base : por las ecuaciones : ^. c^^. c ^ ^ ^ - ^ ^ ' ' • ^ ^ ^ ' ^ ^ ^y- '. Empleando índices latinos podemos e s c r i b i r cada índice latino puede ser igual a un. o<. <^/fe. ,• c^^ (donde. o un S< ). Para. poder u t i l i z a r ostao condiciones bajo esta forma,oporaromos tomando componentes en l a base •^J^^oi •--j^»*^^^ 1^ identidad:. se desprende:. x \ ( c . .YV)=O 10 que se puede e s c r i b i r :.

(37) 34. (1). x^O. , c. .)YV. + x^c. .0>y)z^. le íj. ij. = 0. K. (Puos-to que las componentes de Z en l a base que consideramos son constantes).Análogamente de c. .X^Z*' = O se desprende! (2). Y^(;"^i,°i¿)xV + y V . C ^ / ) z ^. - o .. E l primer término de ( l ) coincide con e l primer término de (2) puesto que "^.c. .= "^.c . .Restando (2) de ( l ) se obtiene: k ij i kj c..(X^V^ -. V^)Z^ - O •. Es decir:. c. .{X,Y]V = O Por e l teorema de Frobenius en cada punto tendremos una subvariedad integral del sistema diferencial {M^\ tipo ('íj'í) los espacios M. .Por ser ÍT de. son invariantes por-J,es decir,en las P. subvariedades integrales tendremos un operador J definido por restricción del operador J de W. Construyamos ahora en un entorno de un punto p^ una f a m i l i a do Gubvariodadoa,también invariantes por J,do dimensión complementaria, de t a l modo que cada subvariedad de l a familia que varaos a construir corun punto a cada subvariedad integral de 4 M \ .Para construir esta nueva f a m i l i a podemos proceder de l a s i ^ P ^ guiente manera: Tomemos coordenadas (x".. .x^yí. .y'") en un entorno U de p^ ,tales que p^ sea e l origen de coordenadas,y tales que J Í ^ ) ^.

(38) 35. = 3 —. n^.y. .En T (V/) podemos encontrar una base /e^...e ,Je. ...Je \ p; ' 1 1 n 1 n i. t a l que "le, ....e ,Je, ...Je \ constituyan una base de M . ^ L k-»-< n' k+4 ni " Pa Se tendrá :. Consideremos las subvariedades de dimensión 2k definidas paramétricamente por:. donde c'',r'' son constantes .Para cada valor de las constantes tendremos una subvariedad de dimensión 2k,invariante por J,puesto que:. Se ver; "ca pues :. ). ;. La subvariedad de esta familia,que pasa por e l origen, corta en un solo punto a l a subvariedad integral de (M \ que pasa por e l origen,por construcción.Luego en un entorno suficientemente pequeño del origen,cada subvariedad de esta f a m i l i a cortará en un solo punto a cada subvariedad integral de l a distribución. M. ,tal P. como queremos..

(39) 36. DeDÍgnem03 por V. l a subvariedad integral de -(lí \ quo Po ^ P' pasa por e l origen p^ .Esta subvariedad posee una estructura c a s i coinpleja (es decir,un operador J) cuya torsión es nula (por ser subvariedad de una variedad compleja), luego por e l teorema de Nev/lander-Nirenberg,es una variedad compleja.Podemos encontrar pues sobre esta variedad,coordenadas en un entorno de p„ tales que jQ^). i{xi^*.\\x^,v't\\v'^). .. Sea Vp. l a subvariedad de l a otra familia,que pasa por. p^.También será una variedad compleja,y podremos encontrar coordenadas sobre esta variedad,en un entorno de p^, : (u"^.. •u^'^jV^. .v*'') tales que. 'C^Í. .Introduzcamos ahora las coordenadas (u''...u'^. v^...v'^) en un entorno suficientemente pequeño de p^ ,en W,de l a siguiente maneras Por e l punto de coordenadas (u"^.. .u*',ví. .v**) de Vp^, t r a zamos l a única superficie integral de -^Mp^ que pasa por dicho punto.Por e l punto de coordenadas (u^\\ .u'^,v*''.''. .v'*^) de V_ , trazamos l a única subvariedad de l a otra familia,que pasa por dicho punto. E l punto donde se cortan estas dos subvariedades es por definición e l punto de coordenadas (u''.. .u'^, v'*.. .v'"). En estas coordenadas,el sistema d i f e r e n c i a l (Mp '^tendrá en cada punto p l a base : ( ^ T » - "''-ÍIT-^5^""'%^-^ Consideremos ahora e l sistema d i f e r e n c i a l |. . Pro-. bemos que es integrable.Sea Z uno cualquiera de los vectores: '-^^W^^^'Para poder u t i l i z a r con comodidad l a condición de que l a métrica g es kShleriana,pongamos: w^su'V^Plv'^, y utilicemos l a base -l^-^Vv kahlerianidad se escribe:. l a cual l a condición de ^^.^='^-. .Sean X,Y dos campos de-.

(40) 37. finidos en un entorno U de. ,tales q.ue Xp,YpéMp ,para todo p. de U.Se tendrá : g. J^Z^ = O. ;. g.^xS^ - O. dé donde:. X^\(g. j V ) = O Teniendo en cuenta que. ;. » O .. Z'' = O , se tendrá :. Restando y teniendo en cuenta que "c), g. .= ^-S... »se tiene :. X iCJ. ]C. Tendremos ahora dos familias de subvariedades,las subvariedades integrales de{Mp^y las subvariedades integrales de lí'í;^^ Cada subvariedad es invariante por J y además cada subvariedad de una familia corta a cada subvariedad de l a otra familia en un solo punto.Procediendo pues como antes,podremos encontrar unas coordenadas ( íé^-.-se'^, ''^*=ci£... ®" u n / j f e i s ^. ^ tales que ^"^cL.. c:fe. serán subvariedades integrales de-^Mp^ ,y. las subvariedades integrales de -^M^lserán. A s i pues de M"^. le'^-ch,. ,en cada punto,y / ' ^ i ^. " ^ ^ ^. -.-TSL-. ,1S. Jtí,. ^'^=^ ofe-.. constituirá una base r^.^. \. será en cada pun-.

(41) to una base de M,Poniendo ';:e°'.= s^"-*-*^'«tendremos,en lá base "(r^r*'-i^-'\. siguiente expresión de (G^^) S. - '^f 1 G. ^. \^. j. \. /y^.varlan de 1 a k ^1 S,varían de k+1 a n.. Para ver que l a métrica G es kühleriana tenemos que ver que '^ííy y. .Supongamos que. I?. ^. ^. varían de 1 a k,. varían de k+l a n.Se presentarán los siguientes casos. .1. M. o. O. ,. E l l o prueba que G es kühleriana. Diagonalizando ahora c respecto l a mética G se obtiene el enunciado del lema. ' Usando e l lema y apoyándonos en l a proposición 13 demos trareraos e l siguiente teorema :.

(42) 39. Teorema ^ .-Si existe un representante•X¿o^(E) t a l que s(V) óO,y rango de s(^) constante,igual a k,sobre W,entonces H^(W,rL°(E))=0 para O^q^k--! . (k indica e l rango de sCS") como forma hermític,es decir_^ e l rango de s(¿r) como forma real es 2k) Cuando k=n (dim de w) este enunciado coincide. con e l. de Akiziiki-Hakano sobre las formas de tipo (0,q) r'^3,o bien con e l teorema 2 de Kodaira C. 3.. Demostración: En virtud del lema,existe una métrica kShleriana sobre W t a l que (s(ír )^_.^ podrá expresarse en una base ortonormal de l a siguiente manera:. La forma herraitica. q.s{)í). - ( t r s(lf),Jg «que aparece en e l enunciado. de l a proposición 13,se expresará en dicha base : í^-\ V. ^ /. Será pues positiva cuando 0^q<-k->/. Basta pues aplicar l a proposición 13 para obtener e l teorema. Corolario .-Si existe un representante ^ é c , ( E (S)K(w)''), donde K(W) indica e l fibrado canónico de W,tal que s(<r)^0,con rango de S(T) constante,igual a k,sobre W,entonces H'^(vy,iX°(E))=0 para n-k <:rq $ n . Cuando k=n este teorema coincide, con e l teorema 3 ¿e Kodaira C í 2 ' Demostración: Se tiene,como caso particular de l a d u a l i -.

(43) 40. dad de Serró :. Por otro lado es inmediato probar que :. sC{E). & j:^(E®K(wr).. Se tiene pues: H°^(E) ^ H^(W,rL°(E)) = H^(W,j:\í:(E®K(wn)- H^"^(W,ri°(K(w)^E^)). Sea /P=r - ^. . -^ec^(K(w)(S) E**) ,con s(^) ó O.Aplicando e l teorema. anterior se tiene: H""'^(W,J1°(K(W)(2>E'*"))=0,SÍ Oí^n-q^k. Es d e c i r , s i n-k ^q^-n,como queríamos demostrar. Tomando en este corolario B igual a l fibrado t r i v i a l , s e obtiene este otro importante corolario: Corolario .-Si existe un representante -^ec^íw) t a l que s(¿r)> o. con rango de s(5r) constante,igual a k,sobre W,entonces. j^o»P^j^P>o donde. n-k<p<-n .(h^'^ indica l a dimensión de H^(w,rL°(<í)), indica e l fibrado t r i v i a l ) Cuando k = n este resultado coincide con e l de Bochner-. (teorema 6 C-áO)• Teorema 6.-Si W es una variedad de Hodge (es decir,algebraica) sumergida en un espacio proyectivo complejo,y s i R es e l tensor de R i c c i de l a métrica de W inducida por l a métrica de Pup,o o,p b i n i del espacio proyectivo,si R^O se v e r i f i c a b. =h.. »0 para. n-k <• p $ n,donde k es e l máximo de los rangos de R en los diferentes puntos de W. Demostración : Por ser W una subvariedad analítica de PC. , e l conjunto de puntos de V/ en los que e l rango de R no es.

(44) 41. máximo tiene dimensión ^ n.El teorema quedará probado s i se v e r i f i a e l siguiente lema: Lema 2 .-Si e l operador T de l a proposición 7,que actúa sobre las formas de tipo (p,q) a coeficientes en E,es>0 sobre toda l a variedad Vir,y T>0. salvo quizá en un conjunto de medida nula,. entonces H^*'^(E)=0. Demostración del lema: S i. es una forma ¿¡'"aTmónicsLi. en virtud de l a proposición 7»se tendrá :. Por ser T!^0,ambos miembros deben ser nulos.. se anu-. lará en todos los puntos en que T sea > O^j luego se anulará en todo. 7/,salvo quizá en un conjunto de medida nula.Pero por continuidad,. deberá anularse en toda l a variedad V/..

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