INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente:

(1)

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Crecimiento de una Función en un Intervalo

Tasa de Variación Media (T.V.M.)

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función yf(x) en un intervalo



a,b



al siguiente cociente:





a b ) a ( f ) b ( f x Δ y Δ b , a . M . V . T    

La T.V.M. de f(x) en



a,b



es la pendiente del segmento que une los puntos ) ) a ( f , a ( A y B(b,f(b)).

Si designamos el intervalo mediante la expresión



a,a h



, donde a es el extremo origen del intervalo y h su longitud, la T.V.M. es la siguiente:





h ) a ( f ) h a ( f x Δ y Δ h a , a . M . V . T     

Si una función es creciente en un intervalo, su T.V.M. es positiva y, si es decreciente, negativa.

Ejemplo: Calcula la T.V.M. de la función f(x)  x2  4x en los siguientes intervalos:

 

1,2 y

 

1,4

 

1 1 ) 3 ( 4 1 2 ) 1 ( f ) 2 ( f x Δ y Δ 2 , 1 . M . V . T          

 

1 3 ) 3 ( 0 1 4 ) 1 ( f ) 4 ( f x Δ y Δ 4 , 1 . M . V . T        

Ejemplo: Determina la T.V.M: de la función del ejemplo anterior en un intervalo con origen en el 1 y con longitud variable, h. Es decir, en el intervalo



1,1 h



.                        3 1 · 4 1 ) 1 ( f h h 2 3 h 4 4 h 2 h 1 ) h 1 ( 4 ) h 1 ( ) h 1 ( f 2 2 2 2





              h ) 3 ( h h 2 3 1 h 1 ) 1 ( f ) h 1 ( f h 1 , 1 . M . V . T 2 2 h h h h 2 2      

Observa que si le damos a h los valores 1 y 3, respectivamente, obtenemos las T.V.M. obtenidas en los dos intervalos del ejemplo anterior.

(2)

Crecimiento de una Función en un Punto. Derivada

El crecimiento de una función en un punto se mide mediante la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Se llama derivada de f en a (donde a es la abscisa del punto) y se expresa por f'(a), que se lee f prima en a.

Obtención de la Derivada a partir de la Expresión Analítica

La derivada de f en a (pendiente de la recta tangente) es el límite de las pendientes de las rectas secantes:

h ) a ( f ) h a ( f lim a x ) a ( f ) x ( f lim ) a ( ' f 0 h a x        

Ejemplo: Calcula, aplicando la definición, el valor de la derivada de la función x 4 x ) x (

f  2  _{en los puntos de abscisa 1, 2 y}_3.

                       3 1 · 4 1 ) 1 ( f h h 2 3 h 4 4 h 2 h 1 ) h 1 ( 4 ) h 1 ( ) h 1 ( f 2 2 2 2 2 2 h h 2 ) 3 ( h h 2 3 ) 1 ( f ) h 1 ( f             Por tanto: lim( 2 h) 2 h h h 2 lim h ) 1 ( f ) h 1 ( f lim ) 1 ( ' f 0 h 2 0 h 0 h                                     4 2 · 4 2 ) 2 ( f h 4 h 4 8 h 4 h 4 ) h 2 ( 4 ) h 2 ( ) h 2 ( f 2 2 2 2 2 2 ₍ ₄₎ _h h 4 ) 2 ( f ) h 2 ( f          Por tanto: limh 0 h h lim h ) 2 ( f ) h 2 ( f lim ) 2 ( ' f 0 h 2 0 h 0 h                                 3 3 · 4 3 ) 3 ( f h h 2 3 h 4 12 h 6 h 9 ) h 3 ( 4 ) h 3 ( ) h 3 ( f 2 2 2 2 2 2 h h 2 ) 3 ( h h 2 3 ) 3 ( f ) h 3 ( f            Por tanto: lim(2 h) 2 h h h 2 lim h ) 3 ( f ) h 3 ( f lim ) 3 ( ' f 0 h 2 0 h 0 h           

(3)

Función Derivada de otra

Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f) a una función f' que asocia a cada abscisa, x, la derivada de f en ese punto, f'(x), es decir, la pendiente de la curva yf(x) en ese punto.

A la derivada de f le llamaremos f' o bien Df.

h ) x ( f ) h x ( f lim ) x ( ' f ) x ( Df 0 h      Reglas de Derivación

Derivada del Producto de un Número por una Función

La derivada del producto de un número por una función es igual al producto del número por la derivada de la función:



k·f(x)



k·f'(x)

D 

Ejemplo: D



7·f(x)



 7·Df(x)

Derivada de la Suma (o Diferencia) de Funciones

La derivada de la suma (o diferencia) de funciones es igual a la suma (o diferencia) de las derivadas de dichas funciones:



f(x) g(x)



f'(x) g'(x)

D   

Ejemplo: D



x2x



D(x2)D(x) Derivada del Producto de Funciones

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda más la primera por la derivada de la segunda:



f(x)·g(x)



f'(x)·g(x) f(x)·g'(x)

D  

Ejemplo: D



x3 ·x2



D(x3)·x2  x3 ·D(x2) Derivada del Cociente de dos Funciones

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador, dividido todo ello por el cuadrado del denominador:

2 ) x ( g ) x ( ' g · ) x ( f ) x ( g · ) x ( ' f ) x ( g ) x ( f D _        Ejemplo:

 

₂ 2 2 3 2 3 2 3 x ) x ( D · x x · ) x ( Df x x D _       

(4)

Derivada de una Función Compuesta (Regla de la Cadena)

La derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa, evaluada en la función interna, multiplicada por la derivada de la función interna:



f(g(x)



f'(g(x))·g'(x)

D 

Tabla de Derivadas

Derivada de la Función Constante

La derivada de una constante siempre es cero: 0 ) x ( Df k ) x ( f    Ejemplo: f(x)9Df(x)0

Derivada de la Función Identidad La derivada de x es 1: 1 ) x ( Df x ) x ( f   

Derivada de la Función Potencia

La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base:

Función simple: f(x)xn Df(x)nxn1 Ejemplo: _f₍_x₎_x7 _Df₍_x₎₇_x71₇_x6

Función compuesta: f(x)g(x)n Df(x)ng(x)n1·g'(x) Ejemplo: f(x)(x2 5)3 Df(x)3(x2 5)2·2x

Derivada de la Raíz n-ésima

La derivada de la raíz n-ésima de una función es igual a la derivada del radicando dividida por n veces la raíz n-ésima del radicando elevado a n menos uno:

Función simple: n n 1 n x · n 1 ) x ( Df x ) x ( f     Ejemplo: 4 3 4 x · 4 1 ) x ( Df x ) x ( f    Función compuesta: n n 1 n ) x ( g · n ) x ( ' g ) x ( Df ) x ( g ) x ( f     Ejemplo:





3 2 2 3 2 1 x · 3 x 2 ) x ( Df 1 x ) x ( f     

(5)

Caso particular

Derivada de la Raíz Cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando dividida por el doble de la raíz:

Función simple: x 2 1 ) x ( Df x ) x ( f    Función compuesta: ) x ( g 2 ) x ( ' g ) x ( Df ) x ( g ) x ( f    Ejemplo: 5 x 2 x 3 ) x ( Df 5 x ) x ( f 3 2 3     

Derivada de la Función Exponencial

La derivada de la función exponencial es igual a la función exponencial multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente: Función simple: f(x) ax Df(x) ax ·lna Ejemplo: f(x)  7x Df(x) 7x ·ln7 Función compuesta: f(x) ag(x) Df(x) ag(x) ·lna·g'(x) Ejemplo: f(x)  4x21 Df(x)  4x21·ln4·2x Caso particular

Derivada de la Función Exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e es igual a la función exponencial multiplicada por la derivada del exponente (recordar que lne1):

Función simple: _f₍_x₎ _ex _Df₍_x₎ _ex

Función compuesta: f(x) eg(x) Df(x) eg(x) ·g'(x) Ejemplo: f(x) ex21 Df(x)  ex21·2x

Derivada de la Función Logarítmica

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función divida entre el producto de la función por el logaritmo neperiano de la base:

Función simple: a ln · x 1 ) x ( Df x log ) x ( f  _a   Ejemplo: 3 ln · x 1 ) x ( Df x log ) x ( f  ₃  

(6)

Función compuesta: a ln · ) x ( g ) x ( ' g ) x ( Df ) x ( g log ) x ( f  _a   Ejemplo:









2 ln · 7 x x 5 ) x ( Df 7 x log ) x ( f ₅ 4 5 2      Caso particular

Derivada de un Logaritmo Neperiano

La derivada de un logaritmo neperiano a es igual a la derivada de la función divida por la función (recordar que lne 1):

Función simple: x 1 ) x ( Df x ln ) x ( f    Función compuesta: ) x ( g ) x ( ' g ) x ( Df ) x ( g ln ) x ( f    Ejemplo:





7 x x 5 ) x ( Df 7 x ln ) x ( f ₅ 4 5     

Derivada de la Función Potencial-Exponencial

Una función potencial-exponencial es una función que tiene la variable independiente x tanto en la base como en el exponente. En otras palabras, es una función elevada a otra función.

La derivada de la función potencial-exponencial se calcula derivándola como una función potencial, luego como una función exponencial y sumando ambas:

) x ( ' g · ) x ( f ln · ) x ( f ) x ( ' f · ) x ( f · ) x ( g ) x ( Dh ) x ( f ) x ( h  g(x)   g(x)1  g(x)

Otra forma de calcular esta derivada es tomando logaritmos neperianos, aplicar la propiedad de que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base y después derivar:

h(x)  f(x)g(x) lnh(x) lnf(x)g(x) lnh(x) g(x)·lnf(x)            ) x ( f ) x ( ' f · ) x ( g ) x ( f ln · ) x ( ' g · ) x ( h ) x ( ' h ) x ( f ) x ( ' f · ) x ( g ) x ( f ln · ) x ( ' g ) x ( h ) x ( ' h _          ) x ( f ) x ( ' f · ) x ( g ) x ( f ln · ) x ( ' g · ) x ( h ) x ( ' h _         ) x ( f ) x ( ' f · ) x ( g ) x ( f ln · ) x ( ' g · ) x ( f ) x ( Dh g(x)

(7)

Ejemplo: _f₍_x₎ 



_x3  ₉



x27 Por la fórmula:



 



 

_

_

 

_

_

x 2 · 9 x ln · 9 x x 3 · 9 x · 7 x ) fx D 2 3 x 8 2 3 x 7 3 2 2         Otra forma: 



3 



x27  



3



x27  9 x ln ) x ( f ln 9 x ) x ( f



 





 



9 x x 3 · 7 x 9 x ln · x 2 ) x ( f ) x ( ' f 9 x ln · 7 x ) x ( f ln ₃ 2 2 3 3 2          





 

_

_{ }

_

              9 x x 3 · 7 x 9 x ln · x 2 9 x ) x ( ' f ₃ 2 2 3 7 x 3 2

Derivada de la Función Seno

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función:

Función simple: f(x) SenxDf(x)  Cosx

Función compuesta: f(x)  Seng(x)Df(x) Cosg(x)·g'(x) Ejemplo: f(x) Sen



x2  3



Df(x)  Cos



x2  3



·2x

Derivada de la Función Coseno

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función:

Función simple: f(x) CosxDf(x)  Senx

Función compuesta: f(x) Cosg(x)Df(x)  Seng(x)·g'(x) Ejemplo: f(x) Cos



x2  3



Df(x)  Sen



x2  3



·2x

Derivada de la Función Tangente

La derivada de la tangente de una función es igual a uno más el cuadrado de la tangente de la función multiplicado todo ello por la derivada de la función.

Esto es equivalente a:

La derivada de la tangente de una función es igual a la derivada de la función dividida por el cuadrado del coseno de la función.

Función simple: x Cos 1 x tg 1 ) x ( Df x tg ) x ( f     2  ₂ Función compuesta:





) x ( g Cos ) x ( ' g ) x ( g tg 1 · ) x ( ' g ) x ( Df ) x ( g tg ) x ( f     2  ₂

(8)

Ejemplo:









_

_

3 x Cos x 2 3 x tg 1 ) x ( Df 3 x tg ) x ( f 2 2 2 ₂ ₂        

Utilidad de la Función Derivada

Dada la función yf(x), su derivada, f'(x), nos da la inclinación (la pendiente) de la curva en cada punto.

Aplicaciones de la función derivada

 Cálculo de la derivada de una función en varios puntos

Para determinar f'(a), f'(b), f'(c), …, se procede de la siguiente manera: - Se obtiene la expresión general de f'(x).

- Se substituye en f'(x) la x por a, b, c,…

 Obtención de las abscisas en la que la derivada tiene un cierto valor

Para determinar los valores de x tales que f'(x)k, se procede de la siguiente manera:

- Se obtiene la expresión general de f'(x). - Se resuelve la ecuación: f'(x)k.

 Obtención de las abscisas de los puntos singulares

Llamamos puntos singulares a los puntos de tangente horizontal, es decir, a los puntos en los que la derivada es cero. Entre ellos están los máximos y mínimos relativos, pero puede haber otros.

Las abscisas de los puntos singulares son las soluciones de f'(x)0.

 Obtención de tramos donde la curva crece o decrece

Si f'(x)0, la función es creciente, y si f'(x)0, la curva es decreciente. Por lo tanto, resolviendo estas inecuaciones se obtienen los intervalos donde la curva crece o decrece.

Ejemplo: Dada la función f(x) x3  2x2 1 determina: a) Su derivada x 4 x 3 ) x ( ' f  2 

b) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas -1 y 2 7 4 3 ) 1 ( · 4 ) 1 ( 3 ) 1 ( ' f    2      4 8 12 2 · 4 2 · 3 ) 2 ( ' f  2    

(9)

c) La recta tangente en el punto de abscisa 2 Sabemos por el apartado anterior que f'(2) 4

1 1 8 8 1 2 · 2 2 ) 2 ( f  3  2      

La ecuación pedida es: y 1 4(x 2) y 4x 9 d) Las abscisas de los posibles máximos y mínimos relativos

                 3 4 x 0 4 x 3 0 x 0 ) 4 x 3 ( x 0 x 4 x 3 0 ) x ( ' f 2

e) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

0 ) x ( ' f  en x  0 y en 3 4 x                              0 4 8 12 2 · 4 2 · 3 ) 2 ( ' f 0 1 4 3 1 · 4 1 · 3 ) 1 ( ' f 0 7 4 3 ) 1 ( · 4 ) 1 ( · 3 ) 1 ( ' f 2 2 2                           _ _     3 4 , 0 en 0 ) x ( ' f , 3 4 ) 0 , ( en 0 ) x ( ' f  ) x ( f  crece en       _ _   , 3 4 ) 0 , (  y decrece en       3 4 , 0 .

Representación de Funciones Polinómicas

Las funciones polinómicas son de la forma yP(x), donde P(x) es un polinomio. Son funciones continuas, con dos ramas infinitas, una en   y otra en  .

Para representar una función polinómica de grado mayor que dos, se procede de la siguiente manera:

 Se determinan sus ramas infinitas: lim P(x)

x y xlimP(x)

 Se resuelve la ecuación P'(x) 0. Sus soluciones, si las hay, son las abscisas de sus puntos singulares. A continuación, se obtienen sus ordenadas.

 Se unen los puntos obtenidos entre sí y con las ramas infinitas. De este modo se determinan los máximos y mínimos relativos.

 Si se puede, conviene obtener, también, los puntos de corte con los ejes para conseguir mayor precisión en la representación. Estos puntos se obtienen haciendo x  0 y hallando la y, y haciendo y 0 y hallando la x.

(10)

Ejemplo: Representa la siguiente función polinómica: f(x)  x3 3x2  4  Ramas infinitas:         (x 3x 4) lim 3 2 x         (x 3x 4) lim 3 2 x  Puntos singulares: x 6 x 3 ) x ( ' f  2                  2 x 0 2 x 0 x 0 ) 2 x ( x 3 0 x 6 x 3 0 ) x ( ' f 2                     0 4 12 8 4 2 · 3 2 ) 2 ( f 2 x 4 4 0 · 3 0 ) 0 ( f 0 x 2 3 2 3

 los puntos singulares son (0,4) y (2,0)

 Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X: f(x) 0 x3  3x2  4 0. Soluciones:       2 x 1 x

(se calculan por Ruffini). Con el eje Y: x  0f(x)  4

(11)

Representación de Funciones Racionales Las funciones racionales son de la forma

) x ( Q ) x ( P y  , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Para representar una función racional simplificada, se procede de la siguiente manera:

 Se determinan sus Asíntotas Verticales.

Las raíces del denominador (soluciones de la ecuación Q(x) 0) son las abscisas de las asíntotas verticales. También debemos determinar la posición de la curva respecto a ellas.

 Se determinan sus Asíntotas Horizontales u Oblicuas.

- Si grado de P(x) grado de Q(x), hay asíntota horizontal. - Si grado de P(x)  grado de Q(x) 1, hay asíntota oblicua.

- Si grado de P(x) grado de Q(x) 1, no hay asíntota horizontal ni oblicua, pero sí ramas infinitas en  .

También debemos determinar la posición de la curva respecto a las asíntotas horizontales u oblicuas o respecto a las ramas infinitas.

 Se determinan sus Puntos Singulares.

Las abscisas de los puntos singulares son las soluciones de f'(x) 0.

 Se determinan otros puntos, si queremos tener mayor precisión. Ejemplo: Representa la siguiente función polinómica:

1 x 1 x x ) x ( f 2      Asíntotas Verticales: 1 x 0 1 x 0 ) x ( Q       Asíntota Vertical: x 1

Posición de la curva respecto a la asíntota vertical:

        _x ₁ 1 x x lim 2 1 x         _x ₁ 1 x x lim 2 1 x

 Como grado de P(x)  grado de Q(x) 1, hay asíntota oblicua.

x y 1 x 1 x 1 x 1 x x2 _ _      

(12)

Posición de la curva respecto a la asíntota oblicua:

Para determinar la posición de la curva respecto de la asíntota,

estudiamos el signo de

1 x

1

 para un valor de x “grande y

negativo” y para un valor de x “grande y positivo”. 1

x 1

 es negativo para un valor de x “grande y negativo”. Por lo

tanto, la curva se aproxima a la asíntota por abajo.

1 x

1

 es positivo para un valor de x “grande y positivo”. Por lo

tanto, la curva se aproxima a la asíntota por arriba.

 Puntos singulares: 2 2 2 2 ) 1 x ( x 2 x ) 1 x ( ) 1 x x ( ) 1 x ( · ) 1 x 2 ( ) x ( ' f                           2 x 0 2 x 0 x 0 ) 2 x ( x 0 x 2 x 0 ) x ( ' f 2                  3 1 2 1 2 2 ) 2 ( f 2 x 1 ) 0 ( f 0 x 2

 los puntos singulares son (0,1) y (2,3)

 Otros puntos:

No son necesarios