Fórmulas de cuadratura.

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PROYECTO DE “ANALISIS MATEMATICO I”: Integraci´on num´erica.

Objetivos: Aprender los m´etodos m´as sencillos de integraci´on n´umerica y aplicarlos en diversos problemas.

ormulas de cuadratura.

Sea f(x) una funci´on continua definida en el intervalo [a, b]. Nuestro objetivo ser´a encontrar f´ormulas aproximadas para calcular la integral

Z b

a

f(x)dx. En caso de conocer la primitiva F(x) es evidente que podemos encontrar el valor exacto de la integral utilizando el Teorema fundamental del c´alculo integral:

Z b a

f(x)dx = F(b) −F(a). Sin embargo no siempre esto es posible. Por ejemplo, para la funci´on f(x) = e−x2 no existe ninguna primitiva que podamos escribir utilizando funciones elementales. En esta pr´actica vamos a aprender tres m´etodos para calcular aproximadamente el valor n´umerico de las integrales definidas.

F´ormula de los rect´angulos. Una aproximaci´on de la integral

Z b

a

f(x)dx consiste en aproximar el ´area bajo la curva y=f(x) por un rect´angulo de baseb−ay alturaf a+b2

(ver figura 1), entonces Z b a f(x)dx= (b−a)f a+b 2 +R(ξ), ξ ∈[a, b], (1) donde el errorR(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b], se expresa de la forma

R(ξ) = (b−a) 2 24 f 00 (ξ), ξ ∈[a, b]. (2) a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f FORMULA DE LOS RECTANGULOS

a b

f FORMULA DE LOS RECTANGULOS

Figura 1: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de los rect´angulos. Ahora si queremos aproximar la integral

Z b

a

f(x)dxcon mejor exactitud podemos dividir el inter-valo [a, b] ennpuntos, o sea, consideremos la partici´on del intervalo

[a, b] = [a, x1]∪[x1, x2]∪ · · · ∪[xn−2, xn−1]∪[xn−1, b], donde xk=a+b−a n k, n= 0,1,2, ..., n, x0=a, xn=b. De Z b a f(x)dx= Z x1 a f(x)dx+· · ·+ Z xk+1 xk f(x)dx+· · ·+ Z b xn −1 f(x)dx.

(2)

si aplicamos a cada integral Z xk+1

xk

f(x)dx la f´ormula (1)obtenemos la ecuaci´on

Z b a f(x)dx= b−a n n−1 X k=0 f xk+xk+1 2 +R(ξ), (3) y |R(ξ)| ≤M(b−a) 2 24n2 , M = m´axx∈[a,b]|f 00 (x)|. (4)

Problema 1 Utilizando las f´ormulas (1) y (2) demostrar las f´ormulas (3) y (4).

Problema 2 (Opcional) Prueba la f´ormula (1) y (2) .

F´ormula de los trapecios. Otra aproximaci´on de la integral

Z b

a

f(x)dx consiste en aproximar el ´area bajo la curvay=f(x) no por un rect´angulo sino por un trapecio de base b−a(ver figura 2), entonces

Z b a f(x)dx= (b−a) f(a) +f(b) 2 +R(ξ), (5)

donde el errorR(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b] se expresa de la forma

R(ξ) =−(b−a) 2 12 f 00 (ξ), ξ∈[a, b]. (6) a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f FORMULA DE LOS TRAPECIOS

a b

f FORMULA DE LOS TRAPECIOS

Figura 2: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de los trapecios. Problema 3 Demostrar las f´ormulas (5) y (6). Para ello seguir los siguientes pasos:

1. Demostrar que Z b a f00 (x)(x−a)(x−b)dx=−(b−a)[f(a) +f(b)] + 2 Z b a f(x)dx. (7)

2. Utilizando el teorema del valor medio integral demostrar que

Z b a f00 (x)(x−a)(x−b)dx=−(b−a) 3 6 f 00 (ξ), ξ∈[a, b]. (8)

3. Usando los dos apartados anteriores obt´en las f´ormulas (5) y (6).

Ahora podemos aproximar la integral Z b

a

f(x)dxcon mejor exactitud dividiendo, igual que antes, el intervalo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la partici´on del intervalo

(3)

donde xk =a+ b−a n k, k = 0,1,2, ..., n, x0 =a, xn=b. Nuevamente, Z b a f(x)dx= Z x1 a f(x)dx+· · ·+ Z xk+1 xk f(x)dx+· · ·+ Z b xn −1 f(x)dx,

y, por tanto, si aplicamos a cada integral Z xk+1

xk

f(x)dxla f´ormula (1) obtenemos la expresi´on

Z b a f(x)dx= b−a 2n f(a) +f(b) + 2 n−1 X k=1 f(xk) ! +R(ξ), (9) donde |R(ξ)| ≤M(b−a) 2 12n2 , M = m´axx∈[a,b]|f 00 (x)|. (10)

Problema 4 Utilizando las f´ormulas (5) y (6) demostrar las f´ormulas (9) y (10).

Problema 5 (Opcional) Prueba la f´ormula (5) y (6) .

M´etodo de Simpson.

El m´etodo de Simpson para calcular integrales consiste en aproximar la integral Z b a f(x)dxde la siguiente forma Z b a f(x)dx=A f(a) +B f a+b 2 +C f(b) +R(ξ), (11) dondeA, B, C son tales queR(ξ) es igual a cero si f(x) = 1,f(x) =x yf(x) =x2, respectivamente. Es decir si sustituimos en (11) la funci´on f por cualquiera de las funciones f(x) = 1, f(x) = x o

f(x) =x2, la f´ormula es exacta, o seaR(ξ) = 0. Esto es equivalente a aproximar el ´area debajo de f

por una parabola (ver figura 3)

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f FORMULA DE SIMPSON

a b

f FORMULA DE SIMPSON

Figura 3: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de Simpson.

Problema 6 Sustituyendo f(x) = 1, f(x) =x yf(x) =x2 en (11) encontrar un sistema de ecuacio-nes para las inc´ognitas A, B, C y demostrar entonces que (12) se puede escribir de la forma

Z b a f(x)dx= b−a 6 f(a) + 4(b−a) 6 f a+b 2 +b−a 6 f(b) +R(ξ). (12) Sif es cuatro veces derivable y todas sus derivadas son continuas en [a, b] entonces se puede demostrar queR(ξ) se expresa de la forma

R(ξ) = (b−a)

5

2880 f

(4)

Problema 7 Demostrar la f´ormula anterior. Para ello seguir los siguientes pasos. 1. Comprobar que la funci´on F(x, t), con x= a+b2 , definida por

F(x, t) = Z x+t

x−t

f(ξ)dξ− t

3[f(x−t) + 4f(x) +f(x+t)], (14)

es continua y tres veces diferenciable para todot∈[0, b−a 2 ], yF 000(x, t) =t 3[f 000(x+t)−f000(xt)], adem´as F(x,0) =F0 (x,0) =F00 (x,0) = 0.

2. Probar queF000(x, t)es tal que existen dos n´umeros realesmyM (¿qui´enes son dichos n´umeros?)

tales que 2 3mt 2 F000 (x, t)≤ 2 3M t 2,

y deducir de aqu´ı que

1 90mt 2F(x, t) 1 90M t 5. 3. Finalmente, substituyendot= b−a

2 , deducir el resultado deseado.

Al igual que en los casos anteriores vamos aproximar la integral Z b

a

f(x)dx con mejor exactitud dividiendo el intervalo [a, b] en 2npuntos de la forma

[a, b] = [a, x1]∪[x1, x2]∪ · · · ∪[x2n−2, x2n−1]∪[x2n−1, b],

donde

xk=a+ b−a

2n k, k = 0,1,2, ...,2n, x0 =a, x2n=b.

Apliquemos ahora la f´ormula de Simpson (12) para cada subintervalo [x2k, x2k+2], k = 0,1, ..., n−1, o sea, escribamos la integral original como la suma de las integrales

Z b a f(x)dx= Z x2 a f(x)dx+· · ·+ Z x2k+2 x2k f(x)dx+· · ·+ Z b x2n −2 f(x)dx.

y apliquemos el m´etodo de Simpson a cada uno de los sumandos. N´otese que los intervalos siguen teniendo una longitudx2k+2−x2k= b−na igual que antes. Esto nos conduce a la expresi´on

Z b a f(x)dx= b−a 6n f(a) +f(b) + 4 n X k=1 f(x2k−1) + 2 n−1 X k=1 f(x2k) ! +R(ξ), (15) donde |R(ξ)| ≤M(b−a) 5 2880n4 , M = m´axx∈[a,b]|f (4)(x)|. (16)

Problema 8 Utilizando las f´ormulas (12) y (13) demostrar las f´ormulas (15) y (16).

Comparaci´on de los m´etodos de cuadratura de los rect´angulos, los trapecios y de Simpson.

Problema 9 Sea la funci´on f(x) = cosx. Calcular la inegral

I = Z 12

0

cosxdx,

utilizando las f´ormulas (1), (5), (12), respectivamente. Comparar los resultados con el resultado exacto

Z 12

0

cosxdx= sin1

2 = 0,4794255386. . .

Calcular una aproximaci´on de la integral cambiando la funci´on f(x) por su polinomio de McLaurin de orden 5. Comparar los resultados con los del apartado anterior.

(5)

Problema 10 Calcular el orden del error cometido al calcular la integral I = Z 1 0 f(x)dx f(x) =      sinx x , x6= 0 1, x= 0

por los m´etodos de de los rect´angulos, los trapecios y de Simpson, respectivamente, utilizando en todos ellos una partici´on del intervalo [0,1] con n= 4 puntos. ¿Qui´en aproxima mejor?

Problema 11 (Opcional) Calcular la integral

I = Z 1

0 e−x2

dx,

utilizando los m´etodos de de los rect´angulos, los trapecios y de Simpson cuando n= 4. Comparar los resultados con el resultado exacto con 10 cifras decimales I = 0,7468241328...

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